精品解析：河南省南阳市九师联盟2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

河南省南阳市九师联盟2024-2025学年高二下学期6月期末 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 3. 已知为等差数列的前项和，若，则的公差（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 展开式中的常数项为（ ） A. 112 B. 16 C. －16 D. －112 5. 若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列前项和为，若，则（ ） A. 56 B. 105 C. 112 D. 189 8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是的极小值 D. 是的极小值 10. 数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的五位数构成集合，则下列说法正确的是（ ） A. 中有偶数60个 B. 中数字1，2相邻的数有36个 C. 中2，4不相邻的数有72个 D. 将中元素从小到大排列，第55个数为31024 11. 已知甲袋中有3个红球，乙袋中有2个黑球1个红球．从两袋中各随机摸出1个球，放入对方袋中，如此反复次，记甲袋中恰有2个红球的概率为，甲袋中恰有1个红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的重量（吨）的相关性，在生产过程中收集了6组对应数据，如下表所示．根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，则_____________. 2 3 4 5 6 7 1.5 2 3 4 5.5 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求的极值． 16. 已知椭圆左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线斜率之积. 17. 在一个不透明箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 18. 已知是数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为.而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面. （1）若点，，，求平面的方程； （2）求证：是平面的一个法向量； （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市九师联盟2024-2025学年高二下学期6月期末 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推公式进行迭代，即可求解. 【详解】由，，可得，， 故选：B. 3. 已知为等差数列的前项和，若，则的公差（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】应用计算，再结合等差数列求和公式及通项公式计算求解. 【详解】， 所以. 故选:A. 4. 展开式中的常数项为（ ） A. 112 B. 16 C. －16 D. －112 【答案】A 【解析】 【分析】应用二项式展开式通项公式列式计算求解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，故展开式中的常数项为. 故选：A. 5. 若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由等差数列的求和公式确定，再由等差中项结合等差数列的性质求出公差小于零进而可判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即中最大的项是. 故选：C. 6. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判断函数单调性即可得解. 【详解】因为， 所以在上单调递增， 所以， 故选：D 7. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 56 B. 105 C. 112 D. 189 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列性质得，结合基本量运算计算求解. 【详解】因为成等比数列， 即成等比数列，所以，解得， 又，所以，解得. 故选:B. 8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算. 【详解】设切点为， 由可得，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 由点在切线上代入可得， 即三次方程有三个不同的实数根， 令，则， 所以极值点为和， 又极值点处函数值为， 三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号， 所以，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是的极小值 D. 是的极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数图象可得函数单调区间，从而利用单调性与导数符号判断AB，根据极小值的概念判断CD. 【详解】由图可知，故A正确，B错误； 当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 当时，单调递增，. 所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的五位数构成集合，则下列说法正确的是（ ） A. 中有偶数60个 B. 中数字1，2相邻的数有36个 C. 中2，4不相邻的数有72个 D. 将中的元素从小到大排列，第55个数为31024 【答案】ABD 【解析】 【分析】分个位数是否为零两种情况讨论即可判断A；利用捆绑法即可判断B，利用排除法结合捆绑法即可判断C；易得第55个数的首位为，再列举即可判断D. 【详解】对于A： 若个位数为，则有个； 若个位数不为，则个位数只能是之一， 只能在中间3个位置任选一个位置， 剩余3个数字在剩余的三个位置上任意排列， 则有个. 所以偶数有60个，故A正确； 对于B，将看成一个整体，首位不为， 则有个， 所以中数字1，2相邻的数有36个，故B正确； 对于C，种共有个元素， 其中相邻有个， 所以中2，4不相邻的数有个，故C错误； 首位为，则有个， 首位为，则有个， 首位为，则有个， 所以将中的元素从小到大排列，第55个数的首位为， 则第个数为，第个数为，第个数为，第个数为， 第个数为，第个数为，第个数为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知甲袋中有3个红球，乙袋中有2个黑球1个红球．从两袋中各随机摸出1个球，放入对方袋中，如此反复次，记甲袋中恰有2个红球的概率为，甲袋中恰有1个红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分情况讨论时甲袋中球的组成，算出和.当，同样分三种情况分析甲袋中球的组成，得出的递推式，经变形得到与的关系，确定是等比数列，进而求出表达式和.再根据条件得出递推式，结合，依次算出、，逐个判断. 【详解】当时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球两种情况， 所以； 当时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球、甲袋中恰有1个红球2个黑球3种情况， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以C正确D错误； ， 又，所以，AB正确． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的重量（吨）的相关性，在生产过程中收集了6组对应数据，如下表所示．根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，则_____________. 2 3 4 5 6 7 1.5 2 3 4 5.5 【答案】6.2#### 【解析】 【分析】先计算样本中心点，将其代入回归方程中即可. 【详解】由题意得， 将代入方程，得，所以． 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数得到在区间上恒成立，即恒成立求出最小即可. 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 即恒成立，又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算抛物线方程，再设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得，根据题意即可求得直线的斜率. 详解】 因抛物线经过点，所以，所以， 圆的圆心为，半径为， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入可得， 设、，则， 所以， 所以， 所以， 所以，所以，即得 解得. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求值； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，然后令代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后令，即可得到极值点，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的定义域为， ∴， 令得，解得． 【小问2详解】 由（1）可知， ， 令，解得（舍去）或， 当变化时，变化情况如下表所示： 3 - 0 + 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值． 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质结合关系求解可得； （2）设，由在椭圆上，得，再利用斜率的定义代入化简可得. 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得. 又，所以椭圆的标准方程为. 小问2详解】 由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为. 17. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可； （2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率； 【小问2详解】 由题意，可取， 则， ， ， ， 所以分布列为 . 18. 已知是数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式成变形后，利用和的关系结合等差数列的性质可得； （2）由错位相减法求和可得. 【小问1详解】 因为，所以，① 当时，，② ①－②得： 所以， 所以， 所以. 因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 两式相减得， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为.而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面. （1）若点，，，求平面的方程； （2）求证：是平面的一个法向量； （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离； （3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 解：，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，得，，所以. 设点是平面内任意一点， 由，得， 所以平面的方程为. 【小问2详解】 证明：记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点，， 则有， 因为，， 所以 所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量. 【小问3详解】 ，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，得，， 所以. 因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为， 设直线的一个方向向量为， 则， 令，得，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $