精品解析：2025年海南省省直辖县级行政单位乐东黎族自治县民族中学中考三模数学试题

2025年初中毕业生学业水平模拟考试 数学科试题（三） （温馨提示：本卷满分120分，考试时间100分钟，请将答案写在答题卡上） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用铅笔涂黑． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. “五一”期间，某市共接待海内外游客约650000人次，将650000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 当时，代数式的值是（　　） A. 7 B. C. 5 D. 4. 如图是由5个棱长为1的小正方体组合而成的几何体，则该几何体俯视图的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列计算，正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 7. 分式方程的解是（　　） A B. C. D. 8. 如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，则的面积等于（　　） A. 24 B. 18 C. 14 D. 12 12. 如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 分解因式：x3y﹣xy3=_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______． 15. 如图，点是正方形边的中点，点是边延长线上一点，，连结的延长线交于点交于点，则___________，___________． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算： （2）解不等式组：． 17. 神舟二十号载人飞船于2025年4月24日在我国酒泉卫星发射中心成功发射，某中学为提高学生对我国航天事业的认识，计划组织八年级师生前去观看，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 问此次前去观看的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 18. 如图，点、、、在同一条直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 为传承中华优秀的传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委举办了“经典诵读”竞赛，赛后随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分100分），根据竞赛成绩分布情况，将竞赛成绩分成四组，绘制了如下不完整的统计图： 竞赛成绩分组表 组别 分数/分 A B C D 请根据统计图表提供的信息，回答如下问题： （1）本次抽样调查的样本容量是_______； （2）本次随机抽取部分学生的竞赛成绩的中位数落在_____组；（填A、B、C或D） （3）如果该校共有3000名学生，请估计成绩在的学生约有_____人． （4）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，则甲、乙两名同学都被选中的概率是_____； （5）为了更好的提高学生的“经典诵读”意识，请你提出一些合理的建议． 20. 综合与实践 海口钟楼历史悠久，跨越近百年岁月，是海口市著名的八景之一、为了测量钟楼的高度，某校两个“综合与实践”小组设计了不同的方案，测量方案和数据如下表： 测量钟楼的高度 第一小组 第二小组 测量工具 测量角度和长度的仪器 测量角度和长度的仪器及无人机 测量方案示意图 测量方法及测量数据 （1）在钟楼正面点测得钟楼顶端点仰角为； （2）在钟楼背面点测得钟楼顶端点的仰角为； （3）测得米． （1）让无人机上升到点处，测得点距地面的高度为37米，此时测得钟楼顶端点处的俯角为； （2）让无人机沿水平方向由点飞行10米到达点，测得钟楼顶端点处俯角为． 说明 地平面，钟楼宽度不计 是地平面，钟楼宽度不计 请你根据以上信息解决下列问题 （1）填空：图1中，_______度，图．2中，_____度，______米； （2）请你选择其中的一个方案及其数据求钟楼的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 21. 如图，已知二次函数（、为常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当二次函数的自变量满足时，二次函数的最小值为，求的值； （3）点是第二象限内二次函数图象上一动点，过点作轴，垂足为，过点、的圆与交于点，连接，求的面积． 22. 如图，在矩形中，为大于0常数），点是对角线上一动点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转与射线交于点，连接． （1）特例发现：如图1，当时，探究：点在移动过程中，的大小是否发生改变，请说明理由； （2）类比探究：如图2，若，当的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由； （3）拓展应用：当时，如图2，连接，若，，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生学业水平模拟考试 数学科试题（三） （温馨提示：本卷满分120分，考试时间100分钟，请将答案写在答题卡上） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用铅笔涂黑． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数，由相反数的概念直接求解即可得到答案，熟记相反数概念是解决问题的关键． 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数是， 故选：A． 2. “五一”期间，某市共接待海内外游客约650000人次，将650000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 当时，代数式的值是（　　） A. 7 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，将代入代数式，按照有理数运算法则及运算顺序计算即可得到答案，掌握代数式求值的方法及有理数相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 故选：D． 4. 如图是由5个棱长为1的小正方体组合而成的几何体，则该几何体俯视图的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从上面看几何体得到的平面图形是俯视图，再计算平面图形的面积即可得到答案，掌握俯视图定义，发挥空间想象能力是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，几何体的俯视图是， 该几何体俯视图的面积是4， 故选：B． 5. 下列计算，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方等于乘方的积． 【详解】解： A、原式，计算错误，不符合题意； B、原式，计算错误，不符合题意； C、原式，计算错误，不符合题意； D、计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂除法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 6. 如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，设，由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得其表达式为，将代入即可得到答案．读懂题意，利用待定系数法求解是解决问题的关键． 详解】解：由题意，可设， 由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得，， ， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度是， 故选：C． 7. 分式方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了解分式方程，先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再检验根是否使分母为零． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：D． 8. 如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，先根据平移方式确定点的位置，再根据旋转方式确定的位置，结合坐标系即可得到答案． 【详解】解：如图，和所在位置如下： ∴． 故选：C 9. 如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对顶角定义得到，再由平行线的性质得到，然后由角平分线定义、对顶角相等得到，最后由直角三角形两锐角互余确定，再数形结合表示出求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， , 直线平分， , 则， ， , , 故选：B． 【点睛】本题考查求角度，涉及平行线的性质、角平分线定义、直角三角形两锐角互余、对顶角相等等知识，数形结合，准确表示出所求角度是解决问题的关键． 10. 如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆内接四边形得到，从而由直角三角形两锐角互余得到相关角度，连接，如图所示，由切线性质、等腰直角三角形的判定与性质进一步求出相关角度，最后由直径所对的圆周角是直角，由互余定义求出，结合图形表示出即可得到答案． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， ， ，则， 连接，如图所示： ， 则， ， ，则， 是圆的直径， ， 则， ， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形、直角三角形两锐角互余、切线性质、互余定义、圆性质、等腰三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角等知识，掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 11. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，则的面积等于（　　） A. 24 B. 18 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的性质得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 12. 如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，， ∴点E的坐标为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 分解因式：x3y﹣xy3=_____． 【答案】xy（x+y）（x﹣y）． 【解析】 【详解】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解． 详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）． 点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数； ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，点是正方形边的中点，点是边延长线上一点，，连结的延长线交于点交于点，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正方形性质找全等三角形，通过全等三角形对应角相等及角的互余关系推导 求得．借助正方形对边平行得相似三角形，利用相似三角形性质及线段比例关系求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴； ∵四边形是正方形，，， ∴， ∵是中点，即， ∴， ∴设，则， ． ∵为中点， ∴， 设正方形的边长为，则． ∴， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等和相似三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算： （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，一元一次不等式组的求解，涉及算术平方根的求解，负整数指数幂，乘方的运算等知识，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）利用乘方，绝对值的意义，负整数指数幂，算术平方根计算各项，再算乘除法，最后计算减法即可； （2）分别求出不等式的解集，再根据不等式组的求解方法得出结果即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组解集是． 17. 神舟二十号载人飞船于2025年4月24日在我国酒泉卫星发射中心成功发射，某中学为提高学生对我国航天事业的认识，计划组织八年级师生前去观看，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 问此次前去观看的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】此次前去观看的师生600人，原计划租用13辆45座客车 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．设此次前去观看的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设此次前去观看的师生人数是人，原计划租用辆45座客车， 根据题意，得， 解得， 答：此次前去观看的师生600人，原计划租用13辆45座客车． 18. 如图，点、、、在同一条直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据平行线的性质导角，继而用证明全等； （2）根据全等三角形的性质以及，得到，则，再由三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ． ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， 19. 为传承中华优秀的传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委举办了“经典诵读”竞赛，赛后随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分100分），根据竞赛成绩分布情况，将竞赛成绩分成四组，绘制了如下不完整的统计图： 竞赛成绩分组表 组别 分数/分 A B C D 请根据统计图表提供的信息，回答如下问题： （1）本次抽样调查的样本容量是_______； （2）本次随机抽取部分学生的竞赛成绩的中位数落在_____组；（填A、B、C或D） （3）如果该校共有3000名学生，请估计成绩在的学生约有_____人． （4）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，则甲、乙两名同学都被选中的概率是_____； （5）为了更好的提高学生的“经典诵读”意识，请你提出一些合理的建议． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）见解析 【解析】 【分析】本题考查了数据的整理与分析，扇形统计图和条形统计图，概率的简单计算，熟练掌扇形统计图与条形统计图的基础知识和概率的计算是解题的关键， （1）综合扇形统计图与条形统计图中组的数据计算即可得到答案； （2）样本容量为100人，中位数在50~51之间，从而可得到中位数的位置； （3）由条形统计图可计算出组的人数，从而得到组所占百分比，进而可求出成绩在学生的人数； （4） 利用树状图计算概率即可得到 答案； （5）见解析 【小问1详解】 解：设样本容量为，由组的数据可得：， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵随机抽取的学生的竞赛成绩，并按照从低到高分成A、B、C、D四组， ∵中位数为第位和第位同学成绩的平均数，且C组人数为（人）， 则， ∴本次随机抽取学生的竞赛成绩的中位数落在C组， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：组所占百分比为：， 组所占百分比为：， 成绩在的学生约有：（人）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设4个名同学分别为：甲、乙、丙、丁，由题可得树状图如下： ∴4名同学随机抽取两名共有种情况，甲乙同时被选中的情况有2种， ∴甲乙同时被选中的概率为：， 故答案为：； 【小问5详解】 建议：在学校张贴醒目的标语；建立班级图书吧，为广大学生提供更方便的阅读条件． 20. 综合与实践 海口钟楼历史悠久，跨越近百年岁月，是海口市著名的八景之一、为了测量钟楼的高度，某校两个“综合与实践”小组设计了不同的方案，测量方案和数据如下表： 测量钟楼的高度 第一小组 第二小组 测量工具 测量角度和长度的仪器 测量角度和长度的仪器及无人机 测量方案示意图 测量方法及测量数据 （1）在钟楼正面点测得钟楼顶端点仰角为； （2）在钟楼背面点测得钟楼顶端点的仰角为； （3）测得米． （1）让无人机上升到点处，测得点距地面的高度为37米，此时测得钟楼顶端点处的俯角为； （2）让无人机沿水平方向由点飞行10米到达点，测得钟楼顶端点处俯角为． 说明 是地平面，钟楼宽度不计 是地平面，钟楼宽度不计 请你根据以上信息解决下列问题 （1）填空：图1中，_______度，图．2中，_____度，______米； （2）请你选择其中的一个方案及其数据求钟楼的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】（1）75，30，10 （2）钟楼的高度为28米 【解析】 【分析】（1）图1中，在中，，图2中，延长交直线于点F，在中，，得； （2）若选第一小组方案设．根据在中，，得 ，在中，根据，得．得，解得，得（米）；若选第二小组方案，延长交于．根据，得，在中，．得，证明四边形是矩形，得，即得（米）． 【小问1详解】 解：图1中， ∵中，， ∴； 图2中， 延长，交直线于点F， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：75，30，10； 【小问2详解】 解：选第一小组方案： 设． ∵在中，，， ∴， ∴， ， 中，， ∴， ． ， 解得， （米） 答：钟楼的高度为28米． 选第二小组方案： 延长交于． ，， ， ， ， 在中，． ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （米）． 答：钟楼的高度为28米． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用——仰俯角问题．熟练掌握三角形内角和，含30度的直角三角形性质，等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，是解题的关键． 21. 如图，已知二次函数（、为常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当二次函数的自变量满足时，二次函数的最小值为，求的值； （3）点是第二象限内二次函数的图象上一动点，过点作轴，垂足为，过点、的圆与交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）将点、代入，即可得出答案； （2）二次函数的图象的顶点坐标是，在分为三种情况：当时，即；若，即；若，求出最小值即可； （3）连接，设，且，得出，再证明，再根据相似三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 解：将点、代入，得， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 当时，即， 则函数的最小值为， 解得（舍）， 若，即， 则函数的最小值为， 解得：（舍去）； 若， 则函数的最小值为， 解得（舍）； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：连接，如图设，且， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在矩形中，为大于0的常数），点是对角线上一动点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转与射线交于点，连接． （1）特例发现：如图1，当时，探究：点在移动过程中，的大小是否发生改变，请说明理由； （2）类比探究：如图2，若，当的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由； （3）拓展应用：当时，如图2，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）的大小不发生改变，理由见解析 （2）的大小不发生改变，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）此时四边形是正方形，先证明，然后由四边形对角互补导角证明，则，那么，此时为等腰直角三角形，则； （2）过点作于于，证明，，则,由于，则为定值； （3）先证明，得到垂直平分，得到，再证明，得到，由，可得，设，，解得（负值已舍），再由勾股定理求解得到，即可得到． 【小问1详解】 解：的大小不发生改变， 理由：连接．如图， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 的大小不变； 【小问2详解】 解：的大小不变． 理由：由旋转得，如图，过点作于于， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， , ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 为定值， 的大小不变； 【小问3详解】 解：如图，若与的交点为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ∵矩形，， ∴， ， ， ， ， ，， ， ． 设， ， 解得．（负值已舍） ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $