精品解析：湖南省长沙市长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米 5. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是上的动点（点不与、及的中点重合），矩形内接于扇形，且．，设矩形的面积与的关系为，则最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在复平面内，复数 对应点满足.点与关于轴对称.则复数为（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为正方体中，点是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 无论点在线段的什么位置，三棱锥的体积为定值 B. 无论点在线段的什么位置，都有 C. 当时，与异面 D. 若直线与平面所成角为，则的最大值为 11. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B ， C 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 三、填空题 12. 2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个. 13. 如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为，，四边形的面积为，则______． 14 设函数，若恰有个零点，. 则下述结论中: ①若恒成立，则的值有且仅有个； ②在上单调递增； ③存在和，使得对任意恒成立； ④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论的编号是______________； 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 16. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若为纯虚数，求的值； （2）定义，是否存在，使得? 若存在，求出；若不存在，说明理由. 17. 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形面积最大时制冷效果最好． （1）设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； （2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽? 18. 已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，. （1）求，的通项公式； （2）若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和. 19. 布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： （1）若，且，求A和； （2）若求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果. 【详解】， 而，故， 故选：B． 2. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据向量的坐标求以及，再代入叉乘公式，即可求解. 【详解】若向量，，则， ，则， . 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入求值即可. 【详解】，故. 故选：B 4. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，由直角三角形中三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解. 【详解】设，由已知，，，， 则，又， 在中：，则 解得或（舍去），所以解放碑的高度为米. 故选：A. 5. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由，可得， 即，. 因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数， 故，即. 因为，所以，即实数的取值范围是. 故选：B 6. 若对任意正实数都有，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为，再构造函数（），求其最大值，进而求得结果. 【详解】化简不等式可得，即：， 令（），则对任意的，， 所以，设，， 则，令， 所以，所以在上单调递减， 又因为， 所以，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，解得：，即：的取值范围为. 故选：A. 7. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是上的动点（点不与、及的中点重合），矩形内接于扇形，且．，设矩形的面积与的关系为，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，并求出函数，再利用三角恒等变换，正弦函数性质求出最大值. 【详解】依题意，在中，， 由正弦定理得，即， ， 而，因此当，即时，. 故选：A 【点睛】思路点睛：几何图形中的面积最值问题，解题关键是借助正余弦定理及三角形面积公式求出角的函数，结合三角恒等变换和三角函数性质求出最值. 8. 已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，由导数的几何意义求出切线方程，可把、用表示，从而可表示为关于的函数，再引入新函数，由导数求得函数的值域即得． 【详解】设切点为，， 曲线在切点处的切线方程为， 整理得，所以． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．故， 则的取值范围是． 故选：C. 二、多选题 9. 在复平面内，复数 对应点满足.点与关于轴对称.则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的模运算公式可求出，进而求出点的坐标，根据与关于轴对称，可求出点的坐标，再根据复数的几何意义，即可求出结果. 【详解】由于复数 对应点满足 所以，所以，或 又点与关于轴对称，所以点或 所以复数为或. 故选：CD. 10. 在棱长为正方体中，点是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 无论点在线段的什么位置，三棱锥的体积为定值 B. 无论点在线段的什么位置，都有 C. 当时，与异面 D. 若直线与平面所成的角为，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中.利用锥体的体积公式可判断A选项；利用空间向量法可判断B选项；利用共线向量的坐标表示可判断C选项；利用线面角的定义结合同角三角函数的基本关系可判断D选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，其中. 对于A选项，因为平面平面，平面，平面， ，故点到平面的距离等于点到平面的距离，即为， ，因此，，A错； 对于B选项，，，则，故，B对； 对于C选项，，， 若，则，无解，故与不可能平行， 若，设点， ，，因为，则，则， ，， 因为，则，解得. 所以，当时，即当时，与异面，C对； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，点到平面的距离为， 由已知可得，当取最小值时，取最大值，此时取最大值， 且，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故的最大值为，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 11. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 【详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 三、填空题 12. 2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中元素的个数为，则该集合的非空真子集个数为求解即可. 【详解】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为. 故答案为：. 13. 如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为，，四边形的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，即可得到，再由、面积公式及三角恒等变换公式得到，从而求出，即可得解. 【详解】连接、，因为圆的半径为，，则是等边三角形， 所以， 四边形的面积 ， 解得. 因为，所以，则， 所以是等边三角形，所以. 故答案为： 14. 设函数，若恰有个零点，. 则下述结论中: ①若恒成立，则的值有且仅有个； ②在上单调递增； ③存在和，使得对任意恒成立； ④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论的编号是______________； 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据条件画出的图像，结合图像和逐一判断即可. 【详解】恰有个零点，，，函数的图像如图： ①如图，即有两个交点，正确； ②结合右图，且当时，在递增，错误； ③，， ，存在为最小值，为最大值，正确； ④结合右图，若方程在内恰有五个解，需满足，即，同时结合左图，当，不一定有五个解，正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于难题. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意转化为方程在上有解，以为整体，结合正弦函数图象运算求解. 【小问1详解】 对于函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，则， ∴函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，即，则， ∵在存在零点，则方程在上有解， 若时，则，可得， ∴，得 故实数的取值范围是． 16. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若为纯虚数，求的值； （2）定义，是否存在，使得? 若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 【分析】（1）根据为纯虚数列式，由此求得的值. （2）根据复数能比较大小列不等式组，由此求得的值. 【详解】（1）由于为纯虚数， 所以. （2）依题意， 即，， ， ， 所以，解得. 17. 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形的面积最大时制冷效果最好． （1）设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； （2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽? 【答案】（1） （2）长为米，宽为米时，制冷效果最好 【解析】 【分析】（1）根据可得，由勾股定理可得的关系，再根据可得x的取值范围； （2）设的面积为，计算可得，利用导函数判断单调性可得何时取最大值. 【小问1详解】 由题意，，． 因，故． 设，则．因△ADP≌△CB'P，故． 由，得． 【小问2详解】 记凹多边形的面积为S，则 求导得， 当时，；当时，． 故函数S在上递增，在上递减． 所以当时，S取得最大值． 故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好． 18. 已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，. （1）求，的通项公式； （2）若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求解出的公差，则的通项公式可求；将的通项公式求出，则的通项公式可知； （2）先分析前项的组成情况，然后采用分组求和求得结果. 【小问1详解】 设的公差为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 将及其后中的两项看成一组，故需要组再加上第组的前两项， 所以 . 19. 布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： （1）若，且，求A和； （2）若求值． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，即，又，可得，，再在中，利用正弦定理求解； （2）先根据，得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，，进一步化简即可. 小问1详解】 ∵，∴，∵，， ∴， ∴，∴，即，又， 由勾股定理得，则． 在中，设，则， 由正弦定理可得， 所以，化简可得． 综上，，． 【小问2详解】 ，所以． 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得：， 由上面可得， 所以， 先求， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以 再求． 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由（2）可知，所以； 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $