精品解析：江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末考前检测数学试题

临江高中2024-2025-2高一年级期末考前检测 数学试题 2025.6 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知复数（为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出其共轭复数，然后可求出结果. 【详解】由，得， 所以其共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为(　　) A. 4 cm2 B. cm2 C. 8 cm2 D. cm2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意结合斜二测画法的法则整理计算即可求得原图形的面积. 详解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，， 则梯形的面积为：，则， 原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为， 其面积为：. 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人 B. 成绩前名的学生中，高一人数不超过人 C. 成绩前名的学生中，高三人数不超过人 D. 成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断． 【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确； 由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确； 成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确； 第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误． 故选：D． 4. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积． 【详解】由题意侧棱长为． 所以表面积为：． 故选：A. 【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长． 5. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为　　 A. 4+2 B. 4﹣2 C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可知的值，代入到余弦定理中求得． 【详解】解：由已知可得：，解得：， 又，由正弦定理可得：， 由余弦定理： ， 解得：， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题． 6. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与的夹角为，由数量积的定义求解即可. 【详解】设与的夹角为，， 因为， 因为，，所以， 解得：，因为，所以. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简变形可求出，再利用二倍角公式可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以． 故选：A． 8. 如图所示，正方形中，，分别是，的中点，将此正方形沿折成直二面角后，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将此正方形沿折成直二面角后点翻折到点，取的中点，的中点，连接，，.设正方形的边长为.则根据异面直线所成角的定义可证即为异面直线与所成角.在中，由余弦定理可得，进而可求.在中，由余弦定理即可求解. 【详解】将此正方形沿折成直二面角后点翻折到点，如下图所示. 取的中点，的中点，连接，，.设正方形的边长为. 因为，分别是，的中点，所以，. 因为为的中点，所以，. 因为为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，， 所以即为异面直线与所成角. 在中，由余弦定理可得. 所以. 在中，由余弦定理可得. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 设是三个非零向量，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. 不与垂直 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数量积的运算律判断A，B，计算出判断C，根据向量减法的三角形法则判断D. 【详解】对于A：因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 当与不共线，且时，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C， ， 所以与垂直，故C错误； 对于D：当、不共线时，所以、、组成三角形的三边，所以， 当、同向时，当、反向时， 又，， 所以，故D正确. 故选：BD 10. 已知某班n名学生的数学测试成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中，且成绩在内的有5人，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质及其中的数据即可求解. 【详解】解：由题意，得， 解得，a，c的值不能确定． ∵成绩在内的有5人， ∴，解得． 故选：BD． 11. 如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点为的中点，则平面 B. 连接，则直线与平面成角正弦值为 C. 若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；求出线面角的正弦判断B；把正方形与正方形置于同一平面内，求出线段长判断C；求出点的轨迹判断D. 【详解】对于A，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形， ，由点、分别为、的中点，得，平面， 平面，因此平面，A正确； 对于B，连接，则，由平面，平面， 得，又平面，则平面， 过作交于，连接，于是平面， 是直线与平面所成的角，，， ，B错误； 对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧， 连接，则的最小值为，C正确； 对于D，延长与的延长线交于，由，得为平行四边形， ，取中点，连接交于，连接， 由，得四边形是平行四边形，，为的中点， 由平面，平面，得，又， 平面，则平面，而平面， 则，同理，因此，而， 平面，于是平面，又，则平面， 又平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段， 而，所以点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 频数 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值______，病人等待时间方差的估计值______. 【答案】 ①. 9.5 ②. 28.5 【解析】 【分析】 直接套用平均数公式与方差公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）； （2） 故答案为：（1）9.5；（2）28.5 【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属基础题. 13. 已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________. 【答案】3 【解析】 【详解】由条件知是的重心，设是边的中点， 则，而， 所以. 14. 如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，根据三角形面积求出DE＝，再设出未知数，列出方程，求出线段B1F的长. 【详解】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h. 又2×＝h ，所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中，B1E＝. 在Rt△DB1F中，由面积相等得：， 解得：x＝. 即线段B1F的长为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. 【小问2详解】 ， . 16. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； （2）估计该公司员工的值的众数，中位数； （3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 【答案】（1）， （2）众数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1可计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比； （2）利用频率分布直方图即可估计众数，中位数； （3）先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解． 【小问1详解】 由题，，解得：， 由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得，众数为， 因为，， 故中位数在，设为，则； 【小问3详解】 设样本平均数为， 则由频率分布直方图可得； ， 又， 即，解得：． 17. 如图，在梯形中，为线段中点，记 （1）用表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量的数量积计算，即可得结果； （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由于，可得，又有， 所以； 【小问3详解】 由于，可得，又有， 所以. 由，可得， . 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小， （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 所以， 所以，解得， 所以 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且. （1）当点A的曲率为时证明： ①CN⊥平面； ②平面平面. （2）当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值. 【答案】（1） ①证明：在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为， 所以. 因为，所以为正三角形. 因为N为AB的中点，所以. 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，、平面，所以平面. ②证明：取的中点D，连接DM，DN. 因为N为AB的中点， 所以且.. 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则 由（1）知平面，则平面. 又平面， 所以平面平面 （2）1 【解析】 【分析】（1）①由直棱柱的性质可得，，再由点的曲率可求出，则为等边三角形，所以，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；由①知平面，则平面.又平面，所以平面平面； （2）根据曲率为，得出线面垂直⊥平面，进而得出平面，得出面面垂直即得二面角为得出正弦值为1. 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 当点A的曲率为时，易得， 所以，，，由勾股定理得， 又，，平面得，平面， ∵平面， 所以，且平面， ∴平面， 因为平面， ∴平面平面，即二面角的平面角为，则. 所以二面角的正弦值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临江高中2024-2025-2高一年级期末考前检测 数学试题 2025.6 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知复数（为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为(　　) A. 4 cm2 B. cm2 C. 8 cm2 D. cm2 3. 某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人 B. 成绩前名的学生中，高一人数不超过人 C. 成绩前名的学生中，高三人数不超过人 D. 成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多 4. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为 A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为　　 A. 4+2 B. 4﹣2 C. 1 D. 1 6. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，正方形中，，分别是，的中点，将此正方形沿折成直二面角后，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 设是三个非零向量，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. 不与垂直 D. 10. 已知某班n名学生的数学测试成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中，且成绩在内的有5人，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点为的中点，则平面 B. 连接，则直线与平面成角正弦值为 C. 若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 频数 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值______，病人等待时间方差的估计值______. 13. 已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________. 14. 如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 16. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； （2）估计该公司员工的值的众数，中位数； （3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 17. 如图，在梯形中，为线段中点，记 （1）用表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且. （1）当点A的曲率为时证明： ①CN⊥平面； ②平面平面. （2）当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $