1.4充分条件和必要条件（七题型+过关检测）-2025年《暑假计划》新高一数学新课预习（人教A版2019必修第一册）

1.4充分条件和必要条件 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1 命题及相关概念 2 知识点2 充分条件与必要条件 2 知识点3 充要条件 2 题型训练 3 题型1 判断命题的真假 3 题型2 充分、必要条件的判断 4 题型3 找出命题的充分、必要条件 6 题型4 根据充分（不必要）条件求参数 9 题型5 根据必要（不充分）条件求参数 11 题型6 根据充要条件求参数 13 题型7 充要条件的证明 14 过关检测 17 学习目标： 1．深入理解充分条件、必要条件及充要条件的定义本质，并系统掌握其判别方法； 2．能针对给定命题，准确识别并书面表述其对应的充分条件、必要条件或充要条件； 3．会对某些命题的充要条件进行证明． 重难点： 重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义。 难点：充分条件、必要条件、充要条件的判断 知识点1 命题及相关概念 定义 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 分类 真命题:判断为真的语句 假命题:判断为假的语句 形式 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 知识点2 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点3 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 题型1 判断命题的真假 1．对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 2．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 3．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)； (3)； (4)6是方程的解； (5)方程有实数解． 4．下列命题中真命题有 . ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． 5．下列语句中是命题的有 ；是真命题的有 （填序号）. ①这里真热闹啊！②求证是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则. 题型2 充分、必要条件的判断 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 11．（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 题型3 找出命题的充分、必要条件 12．使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 13．（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 14．设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 15．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 16．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 17．（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型4 根据充分（不必要）条件求参数 18．命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 21．（多选）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 22．若集合，其中为实数，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 23．已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型5 根据必要（不充分）条件求参数 24．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 25．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 26．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 27．已知，.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 28．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 题型6 根据充要条件求参数 29．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 30．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 31．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 32．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 33．关于的方程的解为的充要条件是 ． 题型7 充要条件的证明 34．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 35．（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 36．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 37．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 38．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 一、单选题 1．“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．老师经常说“努力不一定成功，但是不努力一定不会成功”，若这句话是真命题，则“努力”是“成功”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 5．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 7．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 12．下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 13．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . 四、解答题 14．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 15．设集合，集合．设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．已知，求证：的充要条件是. 17．已知集合，集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4充分条件和必要条件 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1 命题及相关概念 2 知识点2 充分条件与必要条件 2 知识点3 充要条件 2 题型训练 3 题型1 判断命题的真假 3 题型2 充分、必要条件的判断 4 题型3 找出命题的充分、必要条件 6 题型4 根据充分（不必要）条件求参数 9 题型5 根据必要（不充分）条件求参数 11 题型6 根据充要条件求参数 13 题型7 充要条件的证明 14 过关检测 17 学习目标： 1．深入理解充分条件、必要条件及充要条件的定义本质，并系统掌握其判别方法； 2．能针对给定命题，准确识别并书面表述其对应的充分条件、必要条件或充要条件； 3．会对某些命题的充要条件进行证明． 重难点： 重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义。 难点：充分条件、必要条件、充要条件的判断 知识点1 命题及相关概念 定义 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 分类 真命题:判断为真的语句 假命题:判断为假的语句 形式 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 知识点2 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点3 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 题型1 判断命题的真假 1．对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 2．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【答案】甲 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 3．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)； (3)； (4)6是方程的解； (5)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)是命题，且是真命题 (5)是命题，且是假命题 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （3）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （4）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （5）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 4．下列命题中真命题有 . ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． 【答案】②③ 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 5．下列语句中是命题的有 ；是真命题的有 （填序号）. ①这里真热闹啊！②求证是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则. 【答案】 ③④⑤ ④⑤ 【详解】①是感叹句，不是命题；②是祈使句，不是命题； ③是命题，一个数不是正数可能是负数，还可能为0，可以判断该语句的真假，所以该命题为假命题； ④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题； ⑤是命题，当时，，可以判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题． 故答案为：③④⑤；④⑤ 题型2 充分、必要条件的判断 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由,令，则，即得不到； 反之，，取，得不到. 则“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】时，可能，此时无法推出， 而时，隐含，两边同时乘以，得到． 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，充分性成立； 而时，但不成立，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 10．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】A. “点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，选项A错误. B. 若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等， 由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，选项B错误. C.由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，选项C错误. D.若，则，为无理数，但是有理数， 若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数， 故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，选项D正确. 故选：D. 11．（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 题型3 找出命题的充分、必要条件 12．使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 13．（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为有两个实数解， 当时，，显然不满足题意； 当时，，得； 综上，且， 即有两个实数解等价于且，即或， 要使得选项中的范围是题设条件的充分条件， 则选项中的范围对应的集合是或的子集， 经检验，AB满足要求，CD不满足要求. 故选：AB. 14．设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使得选项中的条件是的一个必要不充分条件， 即集合是选项中的对应的集合的真子集， 对于A，不是的真子集，故A错误； 对于B，不是的真子集，故B错误； 对于C，不是的真子集，故C错误； 对于D，是的真子集，故D正确； 故选：D. 15．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 16．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为“一元二次方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”， 所以：“一元二次方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是“（）”，即选项D正确. 故选：D 17．（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 题型4 根据充分（不必要）条件求参数 18．命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 19．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 20．（多选）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】BC 【详解】由题意得，解得，则BC符合题意. 故选：BC. 21．（多选）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 22．若集合，其中为实数，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 当时，； 当时， 若，则，不满足题意； 若，则， 所以，解得， 综上，， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 23．已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 题型5 根据必要（不充分）条件求参数 24．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 25．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 26．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 27．已知，.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】． 【详解】由已知命题：， p是q的必要不充分条件，则或， 解得或，综上，． 故答案为：． 28．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 或， 则. （2）因为“”是“”的必要条件，则， 当时，则，即； 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围为. 题型6 根据充要条件求参数 29．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 30．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，解得. 故选：A 31．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 32．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 33．关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 题型7 充要条件的证明 34．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 35．（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【答案】（1）或（2）证明见解析 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明：充分性：若，则， 方程有两个实根， 根据根与系数的关系得， 所以方程有两个异号实根； 必要性：若方程有两个异号实根， 则，即， 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 36．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 37．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 38．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 一、单选题 1．“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 3．老师经常说“努力不一定成功，但是不努力一定不会成功”，若这句话是真命题，则“努力”是“成功”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据充分条件与必要条件的概念，结合题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为“努力不一定成功，但是不努力一定不会成功”，这句话是真命题， 所以由“努力”不一定能推出“成功”，所以“努力”不是“成功”的充分条件； 又“不努力一定不会成功”，所以“努力”是“成功”的必要条件. 因此“努力”是“成功”的必要不充分条件. 故选：B. 4．下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 5．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由， 判断充分性： 当时，，满足， 所以由“”可以推出“”，充分性成立． 判断必要性： 若，因为，， 所以的值可以为，也可以是其他值如， 即由“”不能推出“”，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 7．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 8．我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当，时，满足， 此时，，即， 所以“”不是“”的充分条件； 当，时，，， 此时，，即，此时， 所以“”不是“”的必要条件， 综上所述“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D. 二、多选题 9．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 10．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 故选：BD. 三、填空题 11．已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】 因为，所以，解得，所以，又，因为，故p是q的必要不充分条件． 12．下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 13．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . 【答案】 【详解】（1）若，则，则且， 则且，则， 故； 若，则且，则且， 则，则， 故； 综上所述，. （2）若，则，则或， 则或，则， 故； 若，则或，则或， 则，则， 故； 综上所述，. 故答案为：； 四、解答题 14．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 15．设集合，集合．设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，得, 当时，解得，经验证，时符合题意， 综上实数的取值范围是， 16．已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 17．已知集合，集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 若，则，即，满足， 若，则， 综上所述,的取值范围为. （2）或， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以是的真子集， 若，则，即，满足题意， 若，则， 或， 综上所述,的取值范围为或. 18．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$