专题09 充分条件与必要条件（3个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题09 充分条件与必要条件 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 题型一：充分条件与必要条件的判断 【例1】（2025·高三·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2025·高一·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2025·高一·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2025·高一·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型二：充分条件与必要条件的性质 【例2】（2025·高一·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-1】（2025·高一·云南昆明·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【例3】（2025·高一·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式3-1】已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【变式3-2】（2025·高一·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 【变式3-3】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：根据必要条件求参数取值范围 【例4】已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【变式4-1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【变式4-3】（2025·高一·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型五：根据充要条件求参数取值范围 【例5】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 【变式5-1】（2025·高二·安徽亳州·期末）已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件． 【变式5-2】关于的方程的解为的充要条件是 ． 【变式5-3】已知，，若是的充要条件，则实数 ． 题型六：充要条件的证明 【例6】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【变式6-1】已知，求证：的充要条件是. 【变式6-2】已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【变式6-3】设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 题型七：探求命题为真的充要条件 【例7】已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 【变式7-2】（2025·高一·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 1．（2025·高二·上海松江·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 7．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 8．使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知P是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 10．（多选题）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 12．（多选题）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 13．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 14．（2025·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 15．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 16．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 17．已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 18．（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（2025·高一·福建南平·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 21．（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 22．（2025·高一·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 23．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 充分条件与必要条件 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 题型一：充分条件与必要条件的判断 【例1】（2025·高三·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-1】（2025·高一·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-2】（2025·高一·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-3】（2025·高一·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 题型二：充分条件与必要条件的性质 【例2】（2025·高一·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 【变式2-1】（2025·高一·云南昆明·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知是的真子集， 是的真子集，故选项AD符合. 故选：AD 【变式2-2】的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的一个必要不充分条件对应集合设为,则， 则满足条件， 故选：C． 【变式2-3】一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为“一元二次方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”， 所以：“一元二次方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是“（）”，即选项D正确. 故选：D 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【例3】（2025·高一·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 【变式3-1】已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 【变式3-2】（2025·高一·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】；， 因为是的充分条件， 所以有， 故答案为： 【变式3-3】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，若p是q的充分条件，则，故． 题型四：根据必要条件求参数取值范围 【例4】已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【解析】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 【变式4-1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即． 【变式4-2】已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【解析】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 【变式4-3】（2025·高一·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 题型五：根据充要条件求参数取值范围 【例5】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 【解析】“关于的方程至少有一个负根”的情况有： 当时，方程，解得，符合题意． 当时，方程有实根的充要条件是判别式，解得且， 设方程的两根为分别为，，则，， ①当时，方程的两根均为零即，不合题意； ②当时，，即方程有两个异号根； ③当时，，，即方程有两个负根； 综上所述，“”是“方程至少有一个负根”的充要条件，所以. 【变式5-1】（2025·高二·安徽亳州·期末）已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件． 【解析】方程，有两个大于的实数根， ， ⇔⇔ ⇔⇔. 由于上述变型过程是等价的，所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是. 【变式5-2】关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【解析】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 【变式5-3】已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【解析】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 题型六：充要条件的证明 【例6】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【解析】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为. 【变式6-1】已知，求证：的充要条件是. 【解析】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 【变式6-2】已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【解析】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【变式6-3】设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 【解析】证明：必要性：设方程与有公共根， 则，. 两式相减，得， 由，可得， 故， 将此式代入得 可得，故. 充分性：∵，∴.① 将①代入方程， 可得，即， 方程两根为或， 将①代入方程， 可得， 即，方程两根为或， 故两方程有公共根. ∴方程与有公共根的充要条件是. 题型七：探求命题为真的充要条件 【例7】已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】由是的充要条件，建立方程组，解之求得.由 是的必要不充分条件，建立不等式组，解之求得实数的取值范围.由条件可得，因为是的充要条件，所以，解得. 因为是的必要不充分条件，所以，解得. 故答案为：2；． 【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 【答案】真 【解析】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当且时，， 因为，所以，即， 当且时，， 因为，所以，即， 所以“的充要条件是 是真命题， 故答案为：真. 【变式7-2】（2025·高一·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【解析】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 1．（2025·高二·上海松江·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，推不出来， 由得或，推不出来，排除A，B； 由可得，解得或， 所以是的既不充分也不必要条件，排除C； 由，反之不成立，D正确， 故选：D. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由得图： 或 对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于，故④错误.所以与等价的有①③，共2个. 4．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 5．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 6．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意得，解得，所以． 7．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 8．使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 9．（多选题）已知P是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】由条件可知，，，，且， A.由以上关系可知，，且，即，所以是的充要条件，故A正确，C错误； B.由以上可知，，即，所以是的充分条件，故B正确； D.由以上可知，，，即，所以是的充要条件，故D错误. 故选：AB 10．（多选题）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 11．（多选题）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【解析】若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若 ，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确． 12．（多选题）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【解析】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 13．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 14．（2025·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【解析】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 15．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【解析】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 16．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 17．已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 18．（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 19．（2025·高一·福建南平·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 20．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 21．（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 22．（2025·高一·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，或， ∴，或. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为. 23．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【解析】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$