第04讲充分条件和必要条件（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第04讲充分条件和必要条件（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 命题的概念及真假 典型例题二 充分条件的判定及性质 典型例题三 必要条件的判定及性质 典型例题四 根据充分不必要条件求参数 典型例题五 根据必要不充分条件求参数 典型例题六 根据充要条件求参数 典型例题七 充要条件的证明 典型例题八 探求命题为真的充要条件 知识点 1 充分条件与必要条件 1、命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2、充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件． （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件． （3）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同． 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系． 3、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 4、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 5、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点 2 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点3 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 【典型例题一 命题的概念及真假】 【例1】下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【例2】下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典型例题二 充分条件的判定及性质】 【例1】．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【例2】命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或   4．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【典型例题三 必要条件的判定及性质】 【例1】设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【例2】．“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 4．“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典型例题四 根据充分不必要条件求参数】 【例1】．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】 设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 1．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 2．“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 4．（多选题）下列结论正确的是（ ） A．命题“若，则”为真命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D．命题“若，则且”为真命题 5．（多选题）下列说法正确的有（    ）. A．“”是“”的充分条件 B．命题“”是真命题 C．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 D．集合，， 若， 则实数a的取值集合为 6．（多选题）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【典型例题五 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（多选题）．已知P是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 【例2】（多选题）下列命题中，正确的是（   ） A．集合，表示同一集合 B．，，都有为真命题 C．集合，集合，则 D．设，则“”是“”的充要条件 1．（多选题）已知关于x的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实根之和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的充要条件是 2．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 3．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 4．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 5．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 6．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 7．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 8．关于的方程的解为的充要条件是 ． 【典型例题六 根据充要条件求参数】 【例1】已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【例2】已知命题，若是的充要条件，则 ． 1．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 2．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 3．在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 4．已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 5．设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 6．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 7．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 8．已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【典型例题七 充要条件的证明】 【例1】．已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【例2】．已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 1．设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 2．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 3．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 4．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 5．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 6．设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 7．已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 8．已知集合，集合． (1)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． (2)若；求实数的取值范围． 【 典型例题八 探求命题为真的充要条件】 【例1】．已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【例2】．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 2．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 3．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．  4．已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 5．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 6．已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 7． 已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 8．已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 一、单选题 1．设平面四边形ABCD的两条对角线为AC、BD,则“”是“四边形ABCD为菱形”的(    ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设，则“”是“”成立的 A．充要不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充要也不必要条件 4．已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 5．在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．以下三个命题中，正确的个数是 ①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数在上有零点，则一定有. A． B． C． D． 7．若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（    ） A．原命题与逆命题均为真命题 B．原命题真，逆命题假 C．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题 二、多选题 9．（多选）下列命题中为真命题的是（    ）． A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于x的方程有实数根”的充要条件是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 10．对任意实数、、，给出下列命题，其中真命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 11．下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 三、填空题 12．设，是非空集合，则是的 条件．（填”充分”或”必要”） 13．“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是 （满足条件即可）. 14．对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ③“a<5”是“a<3”的必要条件； ④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为 ． 四、解答题 15．用集合的观点如何理解充分条件与必要条件？ 16．在下列命题中，试判断是的什么条件. （1），； （2），； （3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形. 17．下列各组中两个命题是否为等价命题. （1）“”与“”； （2）“”与“”. 18．判断下列各组中，是否有或成立，并用必要条件的语言表述： (1)p：，q：； (2)p：，，q：； (3)p：能被5整除的整数，q：整数的个位数字为5； (4)p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等． 19．下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲充分条件和必要条件（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 命题的概念及真假 典型例题二 充分条件的判定及性质 典型例题三 必要条件的判定及性质 典型例题四 根据充分不必要条件求参数 典型例题五 根据必要不充分条件求参数 典型例题六 根据充要条件求参数 典型例题七 充要条件的证明 典型例题八 探求命题为真的充要条件 知识点 1 充分条件与必要条件 1、命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2、充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件． （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件． （3）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同． 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系． 3、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 4、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 5、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点 2 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点3 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 【典型例题一 命题的概念及真假】 【例1】下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 【例2】下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合之间的包含与不包含的定义，利用反例，可得答案. 【详解】对于①，因集合A，B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题； 对于②，因集合A，B满足⊈B，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题； 对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题； 对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题. 所以①②是真命题. 故选：B. 1．已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断. 【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到； 当时，若，就不能得到. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据点和圆的位置关系可得选项A错误；举例可说明选项B错误；根据等腰三角形和等边三角形的关系可得选项C错误；举例可说明选项D正确. 【详解】A. “点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，选项A错误. B. 若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等， 由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，选项B错误. C.由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，选项C错误. D.若，则，为无理数，但是有理数， 若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数， 故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，选项D正确. 故选：D. 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【详解】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 6．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 7．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举例说明证明充分性，根据不等式的性质证明必要性，即可下结论. 【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 【典型例题二 充分条件的判定及性质】 【例1】．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 【例2】命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 1．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 2．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 3．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 4．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是的必要条件，，. 故选：B. 5．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 6．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 7．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 8．关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【典型例题三 必要条件的判定及性质】 【例1】设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 【例2】．“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分类讨论求解，即可判断． 【详解】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 1．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 2．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 4．“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断结合一元二次方程的根的情况可判断. 【详解】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 5．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得. 【详解】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 6．设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的概念进行判断即可. 【详解】因为若，则； 若，则． 故“”是“”的充要条件． 故选：A 8．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 【典型例题四 根据充分不必要条件求参数】 【例1】．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】，故，得到答案. 【详解】因为， 所以， 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 【例2】 设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 1．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 2．“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论是否为0，当时，显然无解，故，用表示出方程的解，令结果大于0，求得的取值范围. 【详解】当即时，，，所以； 当即时，，. 故选：C. 3．（多选题）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 4．（多选题）下列结论正确的是（ ） A．命题“若，则”为真命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D．命题“若，则且”为真命题 【答案】ABD 【分析】根据命题真假的判定可判断ACD；根据充分以及必要条件的判断可判断B. 【详解】对于A，时，则，故A正确； 对于B，时，；当时，或， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，方程有实数根时，， 时，必有，故命题“若，则方程有实数根”为真命题， 则命题的否定为假命题，C错误； 对于D，时，且， 故命题“若，则且”为真命题，D正确， 故选：ABD 5．（多选题）下列说法正确的有（    ）. A．“”是“”的充分条件 B．命题“”是真命题 C．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 D．集合，， 若， 则实数a的取值集合为 【答案】AC 【分析】对A，根据充分条件的判定即可；对B，根据一元二次方程的解即可判断；对C，根据子集的个数即可判断；对D，分和讨论即可. 【详解】对A，根据“”可以推出“”，则充分性成立，故A正确； 对B，，无实数解，故B错误； 对C，若，则，而集合的子集个数为4，故C正确； 对D，若，则，当，则， 当，则或，则或，解得或2； 综上实数a的取值集合为，故D错误. 故选：AC. 6．（多选题）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 7．（多选题）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 8．（多选题）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可. 【详解】由为的必要条件，可得， . 故选：AB. 【典型例题五 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（多选题）．已知P是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 【答案】AB 【详解】由条件可知，，，，且， A.由以上关系可知，，且，即，所以是的充要条件，故A正确，C错误； B.由以上可知，，即，所以是的充分条件，故B正确； D.由以上可知，，，即，所以是的充要条件，故D错误. 故选：AB 【例2】（多选题）下列命题中，正确的是（   ） A．集合，表示同一集合 B．，，都有为真命题 C．集合，集合，则 D．设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【分析】由集合、充要条件的相关概念逐项判断即可. 【详解】对于A:集合是全体实数，集合:，故错误； 对于B: 恒成立，故错误； 对于C：正确 对于D:当时，可得；当时，可得，故正确 故选:CD 1．（多选题）已知关于x的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实根之和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的充要条件是 【答案】BC 【分析】根据一元二次方程的性质，结合判别式和韦达定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B中，方程无实数根，则，解得， 又由，方程无实根的一个必要条件是，所以B正确； 对于C,D，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得， 所以C正确；D错误. 故选：BC. 2．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 3．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【答案】甲 【分析】根据韦达定理再结合题意即可判断. 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 4．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 5．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 6．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 7．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 8．关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 【典型例题六 根据充要条件求参数】 【例1】已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 【例2】已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 1．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 2．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 3．在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，利用交集概念求出答案； （2）选①②，得到，进而得到不等式，求出；选③，需满足或，求出答案. 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以； （2）若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或 4．已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可； （2）由题可知此时，再分和讨论即可. 【详解】（1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. 5．设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用交集的定义求解，再写出所有真子集. （2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）由，得， 则，所以的所有真子集为. （2）由是的充分条件，得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 6．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用集合的基本运算即可得到结果. （2）由是的充分条件可得，讨论和，根据子集的概念即可得结果. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵是的充分条件，∴. 当时，，即，满足； 当时，， 由可得，解得. 综上，实数的取值范围为或. 7．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 8．已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，根据交集、补集的知识来求得正确答案. （2）根据充分、必要条件的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为， ， 或， 所以或. （2）若是的充分条件，则， 因为， 所以，解得， 若是的必要条件，则， 所以，解得， 综上的取值范围为. 【典型例题七 充要条件的证明】 【例1】．已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②{或}； (2). 【分析】（1）利用交集、补集、并集的概念运算即可； （2）根据必要条件的概念转化集合间的基本关系，计算参数即可. 【详解】（1）当时，， ， 而{或}，则{或}； （2）由“”是“”的必要条件，知， ，解得. 实数的取值范围. 【例2】．已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 1．设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 2．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 3．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【详解】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 4．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 5．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 6．设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空集构造不等式求解即可； （2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可； 【详解】（1）因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． （2）． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 7．已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由条件可得，根据交集的定义，根据补集的定义求， （2）根据充分条件的定义条件可转化为，列不等式求结论. 【详解】（1）若，则， 因为 所以 或； （2）若是的充分条件，则， 则，解得， 所以， 即实数的取值范围为 8．已知集合，集合． (1)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． (2)若；求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论； （2）先说明，由条件结合交集的定义列不等式求的范围. 【详解】（1）命题，命题，若是的充分条件，则有． 所以解得：． 所以实数的取值范围． （2）因为，要使，只需或， 解得：或． 所以实数的取值范围． 【 典型例题八 探求命题为真的充要条件】 【例1】．已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 【例2】．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 1．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，再由集合并集运算即可； （2）由题意得到，构造不等式求解即可； 【详解】（1）由题设，，当时，所以； （2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则 又a为正实数，即，解得， 故a的取值范围为. 2．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 3．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得集合，进而可得； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 又 则； （2）由“”是“”的必要不充分条件， 可知， 所以或， 解得或， 综上所述， 即. 4．已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合； （2）由必要不充分条件有，进而分情况求解参数范围. 【详解】（1）由题意知：集合， 集合或， 所以或，； （2）由“是的必要不充分条件”知：， 当时，，即，符合题意， 当时，，即， 综上所述，实数的取值范围是. 5．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 6．已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 8．已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案； （2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 一、单选题 1．设平面四边形ABCD的两条对角线为AC、BD,则“”是“四边形ABCD为菱形”的(    ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若,四边形ABCD不一定是菱形 若四边形ABCD为菱形,则一定有成立 所以“”是“四边形ABCD为菱形”的必要不充分条件 故选:B． 2．已知集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据子集和交集的概念可判断. 【详解】由,又,所以是的充要条件. 故选：C 3．设，则“”是“”成立的 A．充要不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】C 【详解】试题分析：当时，，当一正一负时， ，当时，，所以，故选C． 考点：充分必要条件． 4．已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 【答案】B 【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论． 【详解】对于A选项，，解得：或， 所以，但， 故为的充分不必要条件，故A错误； B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确； C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误； D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等， 但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等， 例如：中，，斜边， 中，，则斜边， 故为的必要不充分条件． 故选：B． 5．在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据“类”的定义逐一进行判断可得答案. 【详解】①因为，令，得，所以，①不正确； ②，故②正确； ③若整数、属于同一“类”，则整数被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为，即；若，则被6除所得余数为，则整数被6除所得余数相同，故“整数、属于同一“类””的充要条件是“”，所以③正确； ④若整数、满足，，则，，，， 所以，，所以；若，则可能有，所以“整数、满足，”的必要不充分条件是“”，所以④不正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键. 6．以下三个命题中，正确的个数是 ①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数在上有零点，则一定有. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于①，利用否命题的定义直接写出，举反例判断出命题错误；对于②，在中，利用正弦定理判断出命题正确；对于③，举反例得出命题错误． 【详解】对于①，命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是周期函数，则不是三角函数”，举反例：函数是三角函数，不具有周期性，①错；对于②，在中，当时，由正弦定理有，由大边对大角有；当时，，由正弦定理有，所以“”是“”成立的充要条件，②正确；对于③，举反例：函数在上有零点，但不符合.只有个正确， 故选：B. 7．若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C. 8．设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（    ） A．原命题与逆命题均为真命题 B．原命题真，逆命题假 C．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题 【答案】B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若中没有一个大于等于1，则， 等价于“若，则”，显然这个命题是对的，所以原命题正确； 原命题的逆命题为：“若中至少有一个不小于1，则”，取则中至少有一个不小于1，但，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题. 二、多选题 9．（多选）下列命题中为真命题的是（    ）． A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于x的方程有实数根”的充要条件是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 【答案】AC 【分析】从“”与“”互相不能推出，得到A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误； 由一元二次方程根的判别式可知，C正确； D选项可举出反例. 【详解】 A √ 且． B × 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件． C √ 一元二次方程有实数根，则，反之亦然． D × 当集合时，应为充要条件． 故选：AC 10．对任意实数、、，给出下列命题，其中真命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 【答案】CD 【分析】利用特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B选项的正误；利用必要条件的定义可判断C选项的正误；利用充要条件的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A，因为“”时成立，且时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错； 对于B，，，时，；，，时，. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错； 对于C，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，C正确； 对于D“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于基础题. 11．下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】根据充分条件，必要条件的定义判断． 【详解】，但或，不一定有.故A正确. 为直角三角形，反之，若为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出，故B错误. ，b不全为0，反之，由a，b不全为，故C正确. 当为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分条件与必要条件的定义是解题关键． 三、填空题 12．设，是非空集合，则是的 条件．（填”充分”或”必要”） 【答案】必要 【分析】根据必要条件的定义：若 ,那么是的必要条件，判断即可得出答案． 【详解】由，， 可知”“是”“的必要条件． 【点睛】本题考查必要条件的定义，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题． 13．“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是 （满足条件即可）. 【答案】0（答案不唯一，满足且均可）. 【分析】利用充分不必要条件的定义求解. 【详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且， 所以且，故可取0， 故答案为：0（答案不唯一，满足且均可） 14．对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ③“a<5”是“a<3”的必要条件； ④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为 ． 【答案】③④ 【详解】对于①，因为“”时成立，时，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要条件，故①错，对于②， 时， ; ，时，，所以“”是“”的的既不充分也不必要条件，故②错，对于③，因为“ ”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，③正确；对于④“是无理数”是“ 是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④． 四、解答题 15．用集合的观点如何理解充分条件与必要条件？ 【答案】答案见解析 【详解】设p：，q：. 若，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 续表 若，则p，q互为充分条件和必要条件 若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 16．在下列命题中，试判断是的什么条件. （1），； （2），； （3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形. 【答案】（1）充要条件；（2）充分不必要条件；（3）既不充分也不必要条件. 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （2）利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （3）利用平行四边形的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）因为“”是真命题，“”也是真命题， 所以是的充要条件； （2）因为“ ”是真命题，“”是假命题， 所以是的充分不必要条件； （3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题， “四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假命题， 所以是的既不充分也不必要条件. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 17．下列各组中两个命题是否为等价命题. （1）“”与“”； （2）“”与“”. 【答案】（1）等价；（2）不等价 【解析】（1）从充分性和必要性的角度，对命题进行推导，即可容易判断； （2）从充分性和必要性的角度，对命题进行推导，即可容易判断. 【详解】（1）由，即可得； 反过来，若，则，而， 所以即有，， 则。 所以两个命题是等价命题； （2）当，即可得 而，不一定有. 所以两个命题不是等价命题. 【点睛】本题考查集合与集合的包含关系，以及元素与集合之间的关系，属基础题. 18．判断下列各组中，是否有或成立，并用必要条件的语言表述： (1)p：，q：； (2)p：，，q：； (3)p：能被5整除的整数，q：整数的个位数字为5； (4)p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据命题的真假判断的关系，根据的关系判断充分条件、必要条件求解. 【详解】（1）由可得，故不成立，成立，即是成立的必要不充分条件； （2）由，，可知，都成立，是成立的必要充分条件，即充要条件； （3）因为能被5整除的整数个位为5或0， 所以不成立，成立，是成立的必要不充分条件； （4）由两个三角形全等可得两个三角形的面积相等，但两个三角形的面积相等不能得到两个三角形全等，所以成立，不成立，即是成立的充分不必要条件. 19．下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$