精品解析：天津市静海区第六中学2024-2025学年高二下学期第三次质量监测（6月月考）数学试题

静海六中2024—2025学年度第二学期第三次质量监测 高二年级数学试卷 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知全集，集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合，根据交集的定义即可. 【详解】由题意可知，， ， 所以. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 3. 已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变换率的公式先计算，利用作差法比较大小即可. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：B. 4. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除C；根据的符号可排除A；利用导数说明不是函数的极值点，即可排除D. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故排除C； 因为，故排除A； 当时，，则， 因为，所以不是函数的极值点，故排除D. 故选：B. 6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 【答案】C 【解析】 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 7. 下列结论中，正确的选项个数是（ ） （1）对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 （2）若随机变量，，则 （3）若随机变量，，满足，则， （4）根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】（1）运用回归方程性质，样本点中心在回归直线上，利用此性质列方程求解参数； （2）运用正态分布特点，正态曲线有对称轴，对称区间概率相等，据此计算概率； （3）运用随机变量期望和方差的运算性质，根据公式计算随机变量线性变换后的期望和方差； （4）运用独立性检验知识，通过比较值与临界值判断两个变量是否有关联。 【详解】（1）已知回归方程，样本点的中心一定在回归直线上， 将样本点中心代入回归方程可得：， 解得：； （2）因为随机变量，所以正态曲线关于对称 与关于对称，所以 那么； （3）根据期望与方差的性质，（为常数） 可得：，； （4）因为，所以不能判断与有关系. 总上所述：（1）、（2）正确， 故选：B 8. 已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据可知， 令 由知为增函数， 所以恒成立， 分离参数得， 而当时，在时有最大值为， 故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 9. 设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是. 故选：D 10. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 11. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题 只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种， 故不同的分配方案为：， 故选A. 12. 已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数的奇偶性把转化到同一区间，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，又为上偶函数，所以， 所以， 又，， 因为对时，都有成立， 设，因为，， 即自变量小时函数值大，所以为减函数， 所以即， 故选：B. 二、填空题（每题5分，共30分） 13. 已知的定义域为，函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列不等式组求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，须有： ，所以或. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 14. 已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】先利用已知条件求出参数，再展开式的通项公式找出常数项，然后用公式计算即可. 【详解】因为的展开式中各项系数的和为1，且为正数， 所以，则， 故的展开式的通项为， 令，解得， 所以的展开式中常数项为， 故答案为：60. 15. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调区间及单调性列出不等式，分离参数求解即可. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，且对恒成立， 则对恒成立，而，恒成立，于是， 当时，，，则， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，因此当时，对恒成立， 所以实数的最大值为. 故答案为： 16. 已知正数x，实数y满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先应用消元法化简，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为正数x，实数y满足，则， 则， 当且仅当即时，取最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：． 17. 学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是______相关（填“正”或“负”），其相关系数______（结果保留两位小数） 【答案】 ①. 正 ②. 0.99 【解析】 【分析】根据正相关和负相关的定义即可得出结论；根据相关系数公式求相关系数即可. 【详解】由表中数据得随的增大而增大， 所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关， . 故答案为：正；. 18. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用条件概公式求解即可. 【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球” 所以. （2），. 故答案为：；. 三、解答题（每题15分，共60分） 19. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 性别与对活动的喜爱程度无关． （2）①概率为； ②的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，与2.706比较后得到结论； （2）①利用二项分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． 【小问2详解】 ①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． ②的可能取值为， ， ， 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望. 20. 射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． （1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； （2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； （3）假设这名射手射击3次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总分数，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列是 0 1 2 3 6 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则由题可知.根据二项分布的概率公式即可求解； （2）设“第次射击击中目标”为事件，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件，则，根据独立事件的概率乘法公式即可求解； （3）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6，分别计算各概率，即可列出的分布列，根据随机变量的数学期望公式即可求解期望. 【小问1详解】 设为射手在5次射击中击中目标的次数，则由题可知. 根据二项分布的概率公式可知：在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为. 【小问2详解】 设“第次射击击中目标”为事件， “射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件，则 . 【小问3详解】 由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6. ， ， ， ， . ∴的分布列是 0 1 2 3 6 P ∴. 21. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3） 证明：由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 【解析】 【分析】（1）由可求得； （2）求出导函数，分类讨论确定和的解得单调区间； （3）根据（2）的求解，先确定的导函数在区间上存在零点时的范围，确定单调性后得的最小值，引入新函数后，由导数得新函数的最小值，从而证得结论． 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求单调区间的方法，求出导函数，然后解不等式得增区间，得减区间，题中不等式的证明可以在利用导数的基础上求得函数的最小值，由于此最小值中含有参数，以此参数为自变量得一新函数，再利用导数求得其极值、最值，从而可证明结论成立． 22. 已知函数，（e为自然对数的底数），. （1）若时，求函数的极值； （2）若恒成立，求实数m的值； （3）若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）1 （3） 设直线与曲线相切于点， 因为，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 所以解得， 所以，则 令，得，当时，； 当时，. 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增. 所以，即. 所以， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求出导函数，确定单调性后可得极值； （2）不等式转化为恒成立，利用导数求得的最小值，则最小值大于或等于0求得参数的值； （3）由导数的几何意义求得值，再利用导数证明恒成立，即.从而有，化简后利用刚才所得不等式可得证． 【小问1详解】 当时，，则. 令，得， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 若恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，恒成立，所以是上的增函数 注意到，所以时，，不合题意： 当时，若，则，若，则， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故只需， 令. 则， 当时，，若时，， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故，当且仅当时取等号， 所以时，即，从而. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数值或范围的方法，不等式恒成立，一种方法利用导数求得，然后由转化为关于参数的不等式，从而求得参数范围或值，另一种方法是分离参数，化不等式不，由导数求的最大值，然后解不等式可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海六中2024—2025学年度第二学期第三次质量监测 高二年级数学试卷 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知全集，集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 4. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 7. 下列结论中，正确的选项个数是（ ） （1）对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 （2）若随机变量，，则 （3）若随机变量，，满足，则， （4）根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 12. 已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 13. 已知的定义域为，函数的定义域为______． 14. 已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________. 15. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为______. 16. 已知正数x，实数y满足，则的取值范围为______． 17. 学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是______相关（填“正”或“负”），其相关系数______（结果保留两位小数） 18. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 三、解答题（每题15分，共60分） 19. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 20. 射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． （1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； （2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； （3）假设这名射手射击3次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总分数，求的分布列及期望． 21. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 22. 已知函数，（e为自然对数的底数），. （1）若时，求函数的极值； （2）若恒成立，求实数m的值； （3）若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $