江苏省南通中学2025-2026学年度第二学期期末教学质量调研卷高二数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，通过空间几何证明、量子加密概率应用等题型，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量投影等|基础概念与运算结合，如向量投影考查几何直观| |多选题|3/18|数列性质、三角恒等变换等|多选项辨析，如双曲线与直线位置关系考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、函数最值等|分层设空，如分组建模问题体现数据意识| |解答题|5/77|立体几何、圆锥曲线、概率统计等|综合应用与创新，如量子加密情境题考查数学建模，自映射区间问题发展创新意识|

2025~2026学年度第二学期期末教学质量调研卷 高 二 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则    A. B. C. D. 2.已知复数，则z的虚部为 A. B. C. D. 3.已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则  A. 1 B. C. D. 4.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为    A. B. C. D. 5.记为等比数列的前n项和．若则    A. B. C. D. 6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(    ) A. B. C. D. 7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率(    ) A. B. C. 2 D. 8.已知 ，则下列式子一定成立的是     A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有(    ) A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 10.已知，为锐角，，，则    A. B. C. D. 11.已知直线其中与双曲线C：的上支相交于两点，为线段AB的中点.过点M斜率为的两条直线分别与双曲线C相交于两点.则下列结论中正确地是    A. 点M的坐标满足 B. 方程表示的图形是直线MP和直线MQ C. 直线PQ与直线l始终保持平行 D. 直线PQ恒过某个定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中，常数项为          . 13.已知函数，若，则的最大值为          . 14.随机将1，2，…，N，这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记当时，的数学期望          ；若对任意，恒成立，则c的最小值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，正四棱柱中，M为的中点，， 求证：平面平面AMC； 求平面MAC与平面的夹角的余弦值． 16.本小题15分 已知数列中，， 证明：数列为等差数列; 给定正整数m，设函数，求 17.本小题15分 已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交于两点，交于两点，且 求的离心率； 若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程． 18.本小题17分 某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息. 现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. 求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率; 记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列; 求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 19.本小题17分 我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间I上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间.已知函数， 若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率; 若存在自映射区间， ①求m的取值范围; ②求证：，且的长度 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末教学质量调研卷 高二数学参考答案与解析 【答案】 1. A  2. A  3. B  4. D  5. B  6. D  7. D  8. D  9. BCD  10. BCD  11. ABC  12. 11  13. 2  14.  ； 2  15. 解：如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取； 设平面AMC的法向量为，则， 取； 因为，即， 所以平面平面AMC； 设平面的法向量为， 则， 取， 设平面MAC与平面的夹角为， 则， 所以平面MAC与平面的夹角的余弦值为   16. 解：已知，两边同时乘以， 得，即， 又， 所以是以3为首项，公差为1的等差数列. 因为所以，， 由可知，n是公差为1的等差数列， ① 则② 由①-②得 由知，首项为3，公差为1， 即 ， 又因为，   17. 解：为椭圆的右焦点，且AB垂直x轴， ，将带入椭圆方程得A，B坐标，则， 设抛物线方程为，为抛物线的焦点，且CD垂直x轴， ，将带入抛物线得C，D坐标，则， ，与的焦点重合，， 整理得，，， 设的离心率为e，则，解得或舍， 故椭圆的离心率为 由知，，， ：，：， 的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为， 由已知得，即 所以与的标准方程分别为，   18. 解：设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则，， 由条件概率公式，； 由题意：，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”， 事件“发射器发射了i个“1指向”光子”， 由知：，，， 则，，， 由全概率公式，得  19. 解：，得， 因为，所以恒成立，所以在R上单调递增， 若是的自-映射区间，则，即且， 由，可得，， 在区间上，，的解为，，，0，，，，共7个解， 从这些解中任取两个构成区间，总的取法有种，即共有不同的区间共21个， 其中个区间不符合要求， 自映射区间的长度的概率为； ①因为，在上单调递增， 若存在自映射区间，则，， 即在上至少有两个零点， 因为， 时，，单调递增；时，，单调递减； 若要存在两个零点，则，即， 此时，，使得， 由，得函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 所以，则，使得， 综上，m的取值范围为； ②因为，，所以， 下证：： 记， 则， 则在上单调递增，则，即， 即，所以， 所以，所以， 记，则， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，即， 由①知，，，则，所以，即， 因为，同理可得， 因为函数的，且对称轴为， 则方程存在两根，，且， 又，且，，所以， 则， 所以区间的长度  【解析】 1. 【分析】 本题主要考查交集运算，属于基础题. 通过解三角不等式求出集合A，再根据集合间的运算即可求解. 【解答】 解：由， 解得：，， 即， 所以 故选： 2. 【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数虚部的概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部的概念得答案． 【解答】 解：复数 的虚部是 故选： 3. 解：因为平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为， 所以， 所以， 所以 4. 【分析】 本题考查古典概型及其计算，属于基础题. 利用列举法，即可求出结果. 【解答】 解：从1，2，3，4，5这五个自然数中任选三个不同数， 这三个数之积为偶数的基本事件为：， ，，，，，共9种情况， 它们的和大于8的有： ，，，，，共5种情况， 所求的概率为  故选 5. 【分析】 本题考查等比数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，属于基础题. 由等比数列的通项公式，前n项和公式计算即可. 【解答】 解： ①， ② ②①得 ，   故选 6. 【分析】 本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题． 过A作，得，连接AC，，过A作，求出，从而，由此能求出正四棱台的体积． 【解答】 解：如图， 为正四棱台，，， 在等腰梯形中，过A作，可得， 连接AC，， ，， 过A作，， ， 正四棱台的体积为： 故选 7. 解：设的内切圆与、、分别切于A、B、C， 由切线长相等，， 且，解得，， 所以的内切圆的圆心在直线上， 因为内切圆与y轴相切，所以A到y轴的距离等于半径，即，  设，因为P是左支上一点， 所以， 所以， 所以的面积为， 因为的面积为，所以，即， 所以， 因为为直角三角形，所以内切圆半径为， 即，又， 所以， 所以，整理得， 所以，解得或舍去 故选： 8. 解：因为，所以且， 因为，所以且， 故等式化为：，，， 对于A，令，，， 令，，令，则，即时，，单调递减，单调递减， 即时，，单调递增，单调递增， 有最小值， 所以在上单调递增， 故当时，， 所以，即，故A错误; 对于B，由得， 因为，所以，所以，故B错误; 对于C，令，因为，所以在上单调递增， 所以当时，，所以存在使得，即，故C错误. 对于D，由A可知，要证，即，即需要证明，即， 即，即， 令，，，令，， 令，则，即时，，单调递减，单调递减， 即时，，单调递增，单调递增， 所以有最小值，所以在上单调递增， 故当时，，所以成立，故D正确; 故选： 9. 解：因为， 所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，故B正确； 则 ， 所以 ， 故C正确； ，故D正确. 故选 10. 【分析】 本题考查两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 由已知得到，可对B，C，D作出判断，从B出发可得到，以此，可判断 【解答】 解：，为锐角，， 可得，① ，得，② 由①②得 ， 又，得， 则，故B正确； ，故C正确； 又，，， 从而，故D正确； 由B知，则有，， ， 又，， 则，所以，即，故A错误. 故选： 11. 解：设， 联立，得， 所以，所以， 代入 ，故A正确； 对于B，由题意可设直线MP方程为：， 直线MQ方程为：， 两式相乘即为方程方程，故B正确； 对于C，由及， 两方程相减可得直线PQ方程：， 所以， 由得， 即， 所以，故C正确； 对于D：由PQ方程：， 结合， 代入可得：， 又，， 所以PQ方程：，不恒过定点，故D错误. 故选： 12. 【分析】 本题主要考查二项式定理的展开式，属于基础题。 【解答】 解：常数项为： 13. 解：为增函数，不妨设， 则， 即， 可得， 则， 解得舍去， 当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为 故答案为： 14. 【分析】 本题考查离散型随机变量的期望与方差，组合与组合数公式，属于较难题. 当时，的可能取值为1，2，3，讨论求得对应的概率，即可得到； 当时，，，…，2n在同一组，在另一组， 此时有种分组方法，得到，则，根据组合数的运算求得，即可求得结果. 【解答】 解：当时，的可能取值为1，2，3， 将1，2，3，4，5，6这6个正整数分成两组，每组3个数，有种分组方法， 当时，5和6不在同一组，此时有种分组方法， 当时，5和6在同一组，4在另外一组，此时有种分组方法， 当时，1，2，3在同一组，4，5，6在另外一组，此时有2种分组方法， 则，，， 可得； 由题可知的可能取值为1，2，3，…，N，， 随机将1，2，…，N，这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数， 有种分组方法， 当时，，，…，2n在同一组，在另一组， 此时有种分组方法， 则， ， ， … ， 因为， 所以 … ， 可得 ， 则， ， 对任意的N，，， 则，即c的最小值为 故答案为：； 15. 本题考查面面位置关系，利用空间向量求面面夹角，属于基础题. 建立空间直角坐标系，求出平面、平面AMC的法向量，利用空间向量法证明即可； 求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 16. 详细解答与解析过程见【答案】 17. 本题主要考查椭圆和抛物线的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，属于中等题. 根据题意，列出椭圆之间的方程，求出离心率； 由可设与的标准方程，求出顶点坐标，列出方程即可求出c的值，从而得到与的标准方程. 18. 详细解答和解析过程见【答案】 19. 详细解答和解析过程见【答案】 第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $