2025年天津市中新天津生态城一中中考数学三模试卷

2025年天津市中新天津生态城一中中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）计算的结果等于（　　） A． B．﹣1 C． D．1 2．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）将290000用科学记数法表示应为（　　） A．0.29×106 B．2.9×105 C．29×104 D．290×103 6．（3分）的值等于（　　） A．0 B．1 C． D． 7．（3分）计算的结果等于（　　） A．﹣1 B．x﹣1 C． D． 8．（3分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2 9．（3分）设方程2x2+4x+6＝0的两实数根为x1、x2，则x1+x2+x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．5 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC 11．（3分）如图AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝54°． ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于D，E； ②分别以DE为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线BP，与AC交于点F，则∠BFC的度数为（　　） A．60° B．64° C．68° D．72° 12．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x，则下列结论： （1）柱子OA的高度为m； （2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； （3）喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； （4）水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题。 13．（3分）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　 　 ． 14．（3分）计算（﹣5a2b）•（﹣3a）＝　 　 ． 15．（3分）计算的结果等于　 　 ． 16．（3分）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为 　 　 ． 17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN， 则（Ⅰ）AE的长为　 　 ． （Ⅱ）PN的长为　 　 ． 18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （I）线段AG的长为 　 　 ； （II）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 三、解答题 19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 　 　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　 ． 20．每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　 ，扇形统计图中的m的值为　 　 ； （Ⅱ）求本次抽取学生4月份“读书量”的样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数． 21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，∠ABC＝30°． （Ⅰ）如图①，若点E是弧BD的中点，求∠BAE的大小； （Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点F，若DG∥CF交A于点G，AB＝8，求AF的长． 22．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN．在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为60°．已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，） （1）求大桥立柱在桥面以上的高度MC（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度MN（结果精确到1米）． 23．已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 　 　 0.6 　 　 　 　 ②填空：张强从超市到体育场的速度为 　 　 km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 24．已知，在平面直角坐标系内有四边形OABC，点A与点C分别在y轴与x轴上，其中∠OAB＝90°，且点B坐标为（10，8），OC＝16，y轴上有一点D，将△ADB沿BD折叠，点A的对应点E在x轴上． （Ⅰ）如图1，求线段BC的长度和点D的坐标； （Ⅱ）将四边形AOEB沿x轴向右平移，得到四边形A′O′E′B′，点A，O，E，B的对应点分别为A′，O′，E′，B′，当点E′到达点C时停止平移，设 OO'＝t，四边形A′O′E′B′与△BEC重叠部分的面积为S． ①如图2，当四边形A′O′E′B′与△BEC重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当3≤t≤11时，直接写出S的取值范围． 25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过坐标原点，顶点P的坐标为（1，﹣1），与x轴的另一个交点为A． （Ⅰ）求抛物线解析式和点A的坐标； （Ⅱ）抛物线上有一点D，过点D作直线y＝x﹣4的垂线，垂足为点E，DE＝4，求点D的坐标； （Ⅲ）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（k，b为常数，|k|＜2）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GO，GA相交于点H，K，求GH+GK的值． 2025年天津市中新天津生态城一中中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D C C B A C C A C D 题号 12 答案 C 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）计算的结果等于（　　） A． B．﹣1 C． D．1 【解答】解：原式＝+（2） ＝1， 故选：D． 2．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，立体图形的主视图为：第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形． 故选：D． 3．（3分）估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【解答】解：∵25＜29＜36， ∴56，即5和6之间， 故选：C． 4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、选项中的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意； D、选项中的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 5．（3分）将290000用科学记数法表示应为（　　） A．0.29×106 B．2.9×105 C．29×104 D．290×103 【解答】解：290000＝2.9×105． 故选：B． 6．（3分）的值等于（　　） A．0 B．1 C． D． 【解答】解：cos45°﹣1 1 ＝1﹣1 ＝0， 故选：A． 7．（3分）计算的结果等于（　　） A．﹣1 B．x﹣1 C． D． 【解答】解： ， 故选：C． 8．（3分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2 【解答】解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y的图象上， ∴﹣5，即x1＝﹣2， 2，即x2＝5； 5，即x3＝2， ∵﹣2＜2＜5， ∴x1＜x3＜x2； 故选：C． 9．（3分）设方程2x2+4x+6＝0的两实数根为x1、x2，则x1+x2+x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．5 【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x+6＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝3， ∴x1+x2+x1x2 ＝（x1+x2）+x1x2 ＝﹣2+3 ＝1， 即x1+x2+x1x2的值1， 故选：A． 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC 【解答】解：A、∵AB＝AC， ∴AB≥AM， 由旋转的性质可知，AN＝AM， ∴AB≥AN，故本选项结论错误，不符合题意； B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意； C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN， ∵AM＝AN，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠AMN， ∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意； D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 11．（3分）如图AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝54°． ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于D，E； ②分别以DE为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线BP，与AC交于点F，则∠BFC的度数为（　　） A．60° B．64° C．68° D．72° 【解答】解：∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠CAB＝54°， ∴∠ABC＝90°﹣54°＝36°， 根据作图步骤可知，BF平分∠ABC， ∴∠ABF∠ABC＝18°， ∴∠BFC＝∠CAB+∠ABF＝54°+18°＝72°， 故选：D． 12．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x，则下列结论： （1）柱子OA的高度为m； （2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； （3）喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； （4）水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：当x＝0时，y，故柱子OA的高度为m；（1）正确； ∵y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+2.25， ∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故（2）正确，（3）错误； 解方程﹣x2+2x0， 得x1，x2， 故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确． 故选：C． 二、填空题。 13．（3分）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　　 ． 【解答】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球， ∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率． 故答案为：． 14．（3分）计算（﹣5a2b）•（﹣3a）＝　15a3b　 ． 【解答】解：（﹣5a2b）•（﹣3a） ＝15a3b， 故答案为：15a3b． 15．（3分）计算的结果等于　9　 ． 【解答】解： ＝16﹣7 ＝9． 故答案为：9． 16．（3分）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为 　（，0）　 ． 【解答】解：根据题意，知， 当直线y＝2x﹣1与x轴相交时，y＝0， ∴2x﹣1＝0， 解得，x； ∴直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标是（，0）； 故答案为：（，0）． 17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN， 则（Ⅰ）AE的长为　　 ． （Ⅱ）PN的长为　　 ． 【解答】解：（Ⅰ）正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，如图，作PH⊥AN于H． ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， 故答案为：； （Ⅱ）∵AF⊥DE， ∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°， ∴∠DAF＝∠CDE， 在△ADF与△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（ASA）， ∴DF＝CE＝1，， ∵， ∴， ∴，， ∵BE∥AD， ∴△PAD∽△PEB， ∴， ∴， ∵AF⊥DE，PH⊥AN， ∴PH∥EN， ∴△APH∽△AEN， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （I）线段AG的长为 　　 ； （II）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） 　如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求　 ． 【解答】解：（I）AG； （II）如图，点M，N，P即为所求． 方法：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 故答案为：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 三、解答题 19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣1　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 　x≤3　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣1≤x≤3　 ． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤3； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤3． 故答案为：x≥﹣1，x≤3，﹣1≤x≤3． 20．每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为　60　 ，扇形统计图中的m的值为　35　 ； （Ⅱ）求本次抽取学生4月份“读书量”的样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数． 【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为3÷5%＝60（人）， m%100%＝35%，即m＝35． 故答案为：60，35； （Ⅱ）读4本的人数有：60×20%＝12（人）， 本次所抽取学生4月份“读书量”的平均数是：3（本）； 根据统计图可知众数为3本； 把这些数从小到大排列，中位数是第30、31个数的平均数， 则中位数是3（本）； （Ⅲ）根据题意得：700×20%＝140（人）， 答：该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数大约是140人． 21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，∠ABC＝30°． （Ⅰ）如图①，若点E是弧BD的中点，求∠BAE的大小； （Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点F，若DG∥CF交A于点G，AB＝8，求AF的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∵点E是弧BD的中点， ∴， ∴， 故∠BAE的大小为22.5°； （Ⅱ）连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴OD⊥AB， ∵FD是⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∴DF∥AB， ∵DG∥CF ∴四边形AGDF是平行四边形， ∴AF＝DG， ∵∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AF∥DG， ∴∠DGA＝∠CAB＝60°， ∵AB＝8， ∴OD＝4， ∴DG， ∴AF＝DG， 故AF的长为． 22．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN．在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为60°．已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，） （1）求大桥立柱在桥面以上的高度MC（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度MN（结果精确到1米）． 【解答】解：（1）∵∠BAM＝30°，∠CBM＝60°， ∴∠AMB＝∠CBM﹣∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝40（米）， 在Rt△BCM中，（米）， 答：大桥立柱在桥面以上的高度MC为米； （2）在Rt△BCM中，米， ∴AC＝AB+BC＝60（米）， 在Rt△ACN中，CN＝AC•tan∠CAN≈60×0.27≈16.2（米）， ∴（米）， 答：大桥立柱在水面以上的高度MN为51米． 23．已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 　0.3　 0.6 　0.9　 　1.2　 ②填空：张强从超市到体育场的速度为 　0.06　 km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【解答】解：（Ⅰ）①∵10＝0.3（km）， ∴张强离开宿舍10min，离宿舍的距离为0.3km； ∵（35﹣30）+0.6＝0.9（km）， ∴张强离开宿舍35min，离宿舍的距离为0.9km； 由图象可知，张强离开宿舍70min，离宿舍的距离为1.2km； 故答案为：0.3，0.9，1.2； ②∵0.06（km/min）， ∴张强从超市到体育场的速度为0.06km/min； 故答案为：0.06； ③当0≤x≤20时，yx＝0.03x； 当20＜x≤30时，y＝0.6； 当30≤x≤40时，y＝0.6（x﹣30）＝0.06x﹣1.2； ∴y； （Ⅱ）当x＝20时，李明离宿舍的距离为（20﹣5）＝0.9（km），此时张强离宿舍的距离为0.6km， ∴李明在去体育场的途中遇到张强时，0≤x≤20； 根据题意，（x﹣5）＝0.03x， 解得x＝10， ∴（x﹣5）＝0.06×5＝0.3， ∴李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3km． 24．已知，在平面直角坐标系内有四边形OABC，点A与点C分别在y轴与x轴上，其中∠OAB＝90°，且点B坐标为（10，8），OC＝16，y轴上有一点D，将△ADB沿BD折叠，点A的对应点E在x轴上． （Ⅰ）如图1，求线段BC的长度和点D的坐标； （Ⅱ）将四边形AOEB沿x轴向右平移，得到四边形A′O′E′B′，点A，O，E，B的对应点分别为A′，O′，E′，B′，当点E′到达点C时停止平移，设 OO'＝t，四边形A′O′E′B′与△BEC重叠部分的面积为S． ①如图2，当四边形A′O′E′B′与△BEC重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当3≤t≤11时，直接写出S的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）过B作BF⊥OC于F，如图： ∵∠OAB＝90°＝∠AOB＝∠BFO， ∴四边形AOFB是矩形， ∴AO＝BF，AB＝OF， ∵B（10，8）， ∴AB＝OF＝10，AO＝BF＝8， ∵OC＝16， ∴FC＝OC﹣OF＝6， 在Rt△BFC中，BC10， ∵将△ADB沿BD折叠，点A的对应点E在x轴上， ∴BE＝AB＝10，AD＝DE， 在Rt△BEF中，EF6， ∴OE＝OF﹣EF＝10﹣6＝4， 设OD＝x，则AD＝8﹣x＝DE， 在Rt△DOE中，OD2+OE2＝DE2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴OD＝3， ∴D（0，3）； ∴线段BC的长度是10，点D的坐标为（0，3）； （Ⅱ）①设A'O'交BE于K，B'E'交BC于T，过T作TH⊥BB'于H，过B作BF⊥x轴于F，如图： 由（1）知BF＝8，EF＝CF＝6，OE＝4， ∴BE10＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴tan∠BEC＝tan∠BCE， 由平移可得，OO'＝BB'＝EE'＝t，BE＝B'E'，BE∥B'E'， ∴四边形BEE'B'是平行四边形， ∴S平行四边形BEE'B'＝EE'•BF＝8t， ∵OO'＝t，OE＝4， ∴EO'＝t﹣4， 在Rt△EO'K中，tan∠KEO'， ∴， ∴KO'， ∴S△EO'KEO'•KO'， ∵∠B'＝∠B'E'C＝∠BEC＝∠BCE＝∠B'BC， ∴BT＝B'T，tanB'＝tan∠BEC， ∴BH＝B'HBB'， ∴， ∴TH， ∴S△BB'TBB'•THt， ∴S＝S平行四边形BEE'B'﹣S△EO'K﹣S△BB'T＝8tt2t， ∵OE＝4，OF＝10， ∴4＜t＜10， ∴S＝﹣t2t（4＜t＜10）； ②当t＝3时，如图： ∴OO'＝EE'＝BB'＝3， 同①可得S平行四边形BEE'B'＝3×8＝24，THB'H＝2， ∴S△BB'T3×2＝3， ∴S＝24﹣3＝21； 当t＝4时，如图： ∴OO'＝EE'＝BB'＝4， 同理可得S平行四边形BEE'B'＝4×8＝32，THB'H， ∴S△BB'T4， ∴S＝32； 当4＜t＜10时， S＝﹣t2t（t）2， ∴当t时S最大为， 当t＝10时，如图： ∴OO'＝EE'＝BB'＝10， 同理可得S平行四边形BEE'B'＝10×8＝80，THB'H， ∴S△BB'T10，S△A'EO'6×8＝24， ∴S＝8024； 当t＝11时，设A'O'交BC于R，如图： ∴OO'＝EE'＝BB'＝11， ∴OE'＝OE+EE'＝4+11＝15， ∴O'E'＝OE'﹣OO'＝15﹣11＝4， ∴S梯形A'O'E'B'56， ∵B'HBB'，， ∴TH， ∴S△B'TH， ∵A'B＝BB'﹣A'B'＝11﹣10＝1， ∴A'H＝BH﹣A'B1， ∵， ∴A'R， ∴S梯形A'RTH， ∴S＝56； ∵21， ∴当3≤t≤11时，S的取值范围是S． 25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过坐标原点，顶点P的坐标为（1，﹣1），与x轴的另一个交点为A． （Ⅰ）求抛物线解析式和点A的坐标； （Ⅱ）抛物线上有一点D，过点D作直线y＝x﹣4的垂线，垂足为点E，DE＝4，求点D的坐标； （Ⅲ）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（k，b为常数，|k|＜2）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GO，GA相交于点H，K，求GH+GK的值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得， 抛物线顶点P的坐标为（1，﹣1）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 将（0，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1中， 解得：a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x， 当y＝0时，可得x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴点A的坐标为（2，0）． （Ⅱ）如图，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，与直线 y＝x﹣4 相交于点B． ∵抛物线上有一点D， 设点D的坐标为（t，t2﹣2t），则点B的坐标为（t，t﹣4）， ∴DB＝t2﹣2t﹣（t﹣4）＝t2﹣3t+4， 当y＝0时，可得x﹣4＝0， 解得：x＝4， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴直线y＝x﹣4与坐标轴的交点为M（4，0），N（0，﹣4）， ∴ON＝OM＝4， ∵∠MON＝90°， ∴∠OMN＝∠ONM＝45°， ∵DC⊥x轴，ON⊥x轴， ∴DC∥ON， ∴∠DBE＝∠ONM＝45°， 在Rt△DEB中， ， ∴， 则t2﹣3t+4＝8， 解得：t1＝﹣1，t2＝4， ∴点D的坐标为（﹣1，3）或（4，8）． （Ⅲ）如图，过点H作HI⊥FG，过点K作KL⊥FG， ∵点G是点F（1，0）关于点P（1，﹣1）的对称点， ∴点G的坐标为（1，﹣2）， ∴OF＝1，FG＝2， ∵∠OFG＝90°， ∴， ∴在Rt△OFG中，， ∵点O和点A关于对称轴对称， ∴，∠OGF＝∠AGF， ∵直线l：y＝kx+m（k，b为常数，|k|＜2）与抛物线只有一个公共点， ∴x2﹣2x＝kx+m有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， 即（﹣2﹣k）2﹣4×1•（﹣m）＝0， 解得：， ∴直线l的解析式为， 设直线OG解析式为y＝k1x， 把G（1，﹣2）代入， 解得k1＝﹣2， ∴直线OG解析式为y＝﹣2x， ∴， 解得：， ∵在Rt△HIG中，， ∴， 设直线AG解析式为y＝k2x+b2，把G（1，﹣2）A（2，0）代入， 解得：， ∴直线AG解析式为y＝2x﹣4， ∴， 解得：， ∵在Rt△KLG中， ， ∴， ∴HG+KG（1﹣xH）（xK﹣1） （xK﹣xH） [（k+2）（k+6）] 4 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$