第一章 第5课时 一元二次方程、不等式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第5课时　一元二次方程、不等式 [考试要求]　1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 考点一　不含参数的不等式的解法 1．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ____________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ___________ _ _ 2．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a，或x>b} _______ _______ _____ (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} _ _________ 3．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f (x)·g(x)>0(<0)且g(x)≠0． (2)≥0(≤0)⇔f (x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 4．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为______________， |x|<a(a>0)的解集为______． 提醒：解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． [典例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集． (2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组，如本例中，≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔不能在不讨论x－2与“0”的大小关系的情况下，不等式的两边直接乘“x－2”去分母． 巩固迁移1　(2024·福州鼓楼区一模)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤2，或x≥3}　　 B．{x|－2＜x＜3}　 C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3} 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [典例2]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)讨论二次项系数：本例中二次项系数为a，当a＝0时，转化为一次不等式x＋1≤0；当a<0时，要转化为二次项系数大于0的形式(x＋1)≤0(注意不等号的变化)；当a>0时直接求解． (2)判断方程根的个数：不能分解因式时，需通过讨论判别式Δ与0的关系，确定根的个数，能分解因式无需判断，如本例． (3)确定根的大小写解集：本例中，a>0时，>－1，不等式的解集在两根之外，a<0时，与－1的大小不定，需比较与－1的大小，确定不等式的解集． 巩固迁移2　若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为(　　) A． B． C． D． 考点三　三个二次的关系 [典例3]　(多选)(人教B版必修第一册P81习题2－2BT7改编)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中，由ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)可知a>0，且ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和3，即－＝－2＋3，＝－2×3，可求得b＝－a，c＝－6a，代入所求不等式中，可得不等式的解集，进而得解． 巩固迁移3　(2025·张家口市桥西区模拟)已知不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x|－3＜x＜2}，则不等式x2－bx－2a≥0的解集为(　　) A．{x|x≤－2，或x≥3}　　 B．{x|－1≤x≤2}　 C．{x|－2≤x≤3} D．{x|x≤－1，或x≥2} 解决不等式恒成立问题，常用判别式法、分离参数法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体条件求解． 　形如f (x)≥0(f (x)≤0)在R上恒成立问题 [典例1]　(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，要分a＝0和a≠0进行讨论． 应用体验1　若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0]　　 B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0) 　形如f (x)≥0在区间[a，b]上恒成立问题 [典例2]　已知函数f (x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中，不等式f (x)<5－m在[1，3]上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值． 应用体验2　已知函数f (x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0，2]有f (x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．　　 B．[－1，1] C．(－∞，1] D． 1．(2024·开封期中)不等式(x－2)(1－2x)≥0的解集为(　　) A． B． C． D． 2．(2025·雷州市模拟)关于x的不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1＜x＜2}，则m＋n的值为(　　) A．－　　 B．－ C． D． 3．(2025·北京朝阳区模拟)若关于x的不等式mx2－mx－1＜0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．0＜m＜4　　 B．0≤m＜4 C．－4＜m＜0 D．－4＜m≤0 4．(2025·株洲荷塘区模拟)关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)＞0的解集是____________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　一元二次方程、不等式 考点一 1．{x|x<x1，或x>x2}　{x|x1<x<x2}　∅　∅　2．{x|x≠a}　{x|x<b，或x>a}　∅　{x|b<x<a}　4．(－∞，－a)∪(a，＋∞)　(－a，a) 典例1　ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．故选ABD．] 巩固迁移1　B　[因为集合A＝＝{x|－2＜x≤2}，B＝{x|x2－3x＜0}＝{x|0＜x＜3}， 则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．故选B．] 考点二 典例2　解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0． ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0， 解得x≤－1． ②当a>0时，原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1． ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0． 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为． 巩固迁移2　C　[由题可知，原不等式可转化为[2x－(a＋1)][2x－(a－1)]<0，因为>，所以不等式的解为<x<．故选C．] 考点三 典例3　ABD　[∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确； 已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．故选ABD．] 巩固迁移3　D　[因为不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x|－3＜x＜2}， 所以－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的根， 即解得a＝1，b＝1， 所以不等式x2－bx－2a≥0即x2－x－2≥0，解得x≥2或x≤－1， 所以不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≥2，或x≤－1}． 故选D．] 微点突破2　一元二次不等式恒成立问题 典例1　　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R， 则解得2<a<．综上可得，实数a的取值范围是．] 应用体验1　D　[一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则必有 解得－3<k<0．] 典例2　　[f (x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立．因为x2－x＋1＝＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是．] 应用体验2　C　[f (x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0，2]有f (x)≥0恒成立，即2a≤x＋在x∈(0，2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1．故选C．] 随堂练习 1．B　2．C　3．D 4．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[由题意关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，可得＝1，且a＞0， (ax＋b)(x－2)＞0可变为(x－2)>0，即得(x－2)(x＋1)＞0， ∴x＜－1，或x＞2，∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．] 学科网（北京）股份有限公司 $$