第一章 第4课时 基本不等式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第4课时　基本不等式 考点一 1．(2)a＝b　(3)　2．(1)2ab　3．(1)2　(2)S2 典例1　C　[函数y＝＝－3x－＋2＝－＋2． ∵x>0，∴3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立． 故y＝－＋2≤－4＋2，则y的最大值为2－4．故选C．] 巩固迁移1　B　[∵x＞0，y＞0，xy＝4，∴x＋2y≥2＝4，当且仅当x＝2y＝2时，等号成立， 则x＝2，y＝时，x＋2y的最小值是4．故选B．] 典例2　B　[因为0＜x＜2，所以0<2－x<2， 所以3x(2－x)≤3×＝3， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号．故选B．] 巩固迁移2　D　[∵x>2，∴x－2>0， ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号． ∴y＝x＋(x>2)的最小值为6．故选D．] 典例3　C　[8a＋b＝(8a＋b)＝＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号．故选C．] 巩固迁移3　C　[因为a＋2b＝1，a＞0，b＞0，所以＝(a＋2b)＝2＋＋2≥4＋2＝8， 当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时取等号．故选C．] 典例4　6　[由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1时取等号．所以x＋3y的最小值为6．] 巩固迁移4　A　[由ab＝a＋b＋3，得a(b－1)＝b＋3>0， ∴a＝且b－1>0， ∴ab＝×b＝ ＝ ＝b－1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当b－1＝，即b＝3时等号成立．故选A．] 考点二 典例5　解：(1)由题意，当v＝100时，y＝1， ∴1＝，∴l＝5． ∴该车型的平均车长为5米． (2)由(1)知，函数的表达式为y＝(0<v≤120)． ∵v>0，∴y＝＝ ＝，当且仅当v＝，即v＝80时取等号． 故当汽车的平均速度为80千米/小时时，车流量y达到最大值． 巩固迁移5　8　[每台机器运转x年的年平均利润为＝万元， 由于x>0，故≤18－2＝8， 当且仅当x＝，即x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　基本不等式 [考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．掌握基本不等式在实际生活中的应用． 考点一　基本不等式的内容及求最值 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当___时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥___(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_______． (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值． 提醒：使用基本不等式及其变形求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 　直接法求最值 [典例1]　已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4　　 B．2 C．2－4 D．4 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式成立的前提条件为a>0，b>0；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可． 巩固迁移1　(2024·柳州月考)已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为(　　) A．4　　 B．4 C．6 D．8 　配凑法求最值 [典例2]　(2025·安顺模拟)已知0＜x＜2，则3x(2－x)的最大值是(　　) A．－3　　 B．3 C．1 D．6 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　配凑法的关键是配凑出和为常数(积有最值)(如本例)，积为常数(和有最值)的形式，再利用基本不等式求解． 巩固迁移2　(人教A版必修第一册P48习题2.2T1改编)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A． B． C．4 D．6 　常数代换法求最值 [典例3]　已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54　　 B．56 C．72 D．81 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例解题的关键是利用8a＋b与1的积为自身的性质，通过构造为定值，然后利用基本不等式求最值． 巩固迁移3　已知a，b为正实数，且满足a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A．4　　 B．4＋2 C．8 D．6 　消元法求最值 [典例4]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中有两个变量，可利用x＋3y＋xy＝9消去x(或y)凑出“积为常数”，然后利用基本不等式求最值． 巩固迁移4　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9　　 B．6 C．3 D．12 考点二　基本不等式的实际应用 [典例5]　春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满足函数关系y＝(0<v≤120)，已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时． (1)求该车型的平均车长l； (2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 巩固迁移5　某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元． 若a>0，b>0，则．其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．要根据题目需要选择合适的形式． [典例]　(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．有最大值　 B．有最小值3 C．a2＋b2有最小值 D．有最大值 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　利用不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值问题的求解更加简便． 应用体验　当<x<时，函数y＝的最大值为________． 1．已知a＞0，b＞0，＝1，则的最小值为(　　) A．　　 B．2 C． D．6 2．(2025·上海普陀区校级模拟)已知实数x，y满足x＋2y＝5，则2x＋4y的最小值为________． 3．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示)．要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为________m2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $