第一章 第3课时 等式性质与不等式性质-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第3课时　等式性质与不等式性质 [考试要求]　1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用． 考点一　数(式)的大小比较 (1)作差法(a，b∈R) (2)作商法(a∈R，b>0) (3)特值法，此方法可在选择题中使用． [典例1]　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．<(b>a>0，m>0) (2)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y　　 B．x＝y C．x<y D．随c而定 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)采用作差法，其步骤是：作差—变形—定号(判断差与“0”的大小)—得出结论．关键是变形，通常“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．本例(2)采用作商法，其步骤是：作商—变形—判断商与1的大小关系—得出结论．关键是变形，常用的变形是分母有理化或变为幂的形式． 巩固迁移1　(1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q　　 B．p≤q C．p>q D．p≥q (2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________． 考点二　不等式的基本性质 性质1　对称性：a>b⇔___； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒___； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒_____；a>b，c<0⇒_____； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒_______； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒_____； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8　同正可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． [常用结论] (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<；②a<b<0⇒>； (2)若a>b>0，m>0，则 ①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小； ②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大． [典例2]　(1)(2025·上海杨浦区模拟)设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是(　　) A．若a＞b，则a＋c＞b＋c B．若a＞b，则ac＞bc C．若<，则a＞b D．若a2＞b2，则a＞b (2)(2025·上海浦东新区模拟)已知a＋b＞0，且b＜0，则(　　) A．>－1　　 B．ab＞－b2 C．>－ D．a2＞b2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　特值法(如本例(1))结合不等式性质是解本题的关键． 巩固迁移2　(1)(2025·淮北模拟)已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若<，则a＞b C．若a＞b，则ln (a－b)＞0 D．若a＞b＞0，则a＋>b＋ (2)(2024·上海崇明区二模)若a＞b，c＜0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2＞bc2　　 B．> C．a＋c＜b＋c D．a＞b－c 考点三　不等式性质的综合应用 [典例3]　(1)已知2≤2x＋3y≤6，－3≤5x－6y≤9，则z＝11x＋3y的取值范围是(　　) A． B． C． D．{z|3≤z≤27} (2)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． (3)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　多次运用不等式的性质易造成扩大变量范围的错误结果，如本例(1)，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 巩固迁移3　(多选)(2025·重庆模拟)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是(　　) A．0<a<4　　 B．0<b<2 C．－6<a＋2b<6 D．0<a＋2b<8 1．设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　　 B．s>t C．s≤t D．s<t 2．若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋d＞b＋c　　 B．a＋c＞b＋d C．ac＞bd D．ad＞bc 3．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　) A．＜ B．＞ C．＜ D．＜ 4．已知－2<x－y<0，1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第3课时 等式性质与不等式性质 考点一 (1)>=<(2)>= 典例1(1)AD(2)C[(1).x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0， x2-2>一3，故A正确： a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b3=(a-b)2(a+b). ,(a一b)2≥0，a十b的将号不确定， ∴.a3+b3与ab+ab2的大小不确定，故B错误： ,a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， .a2+b2≥2(a-b-1),故C错误： mb-a) 品-一=+品， mb-a) b>a>0,m>0,.+m>0, ∴骨铝 故D正确.故选AD. (2)由题设，易知x0,>0, +1-E 又等- te-i yoto1 Votitc <1, xy.故选C.] 巩固迁移1(1)B (2rba加Ip-g=号+号-a-b=+字 (-a的·（生-） _(b'b-2(b-2i(bta ab ab 因为a0,b<0,所以a+b<0,ab>0. 若a=b,则p一q=0,故p=g: 若a≠b,则p一q0,故pq: 综上，p≤g.故选B。 2因为$==（居）， ·独家授权侵权必究。 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又ab>0,故>1，a-b>0, 所以()1，即骆1， 又abb0,所以abab.] 考点二 b<a a-c ac-be ac<be a+c-b+d ac-bd 典例2(1)A(2)D[(1)由不等式的性质可知，当a>b时，a+c>b+c成立， A正确： 当c=0时，B显然错误：当a=一2，b=1时，C,D显然错误.故选A (2)由a+b>0,且b<0知a>-b>0,则号<-1，故A错误： ab<-b2,故B错误： 由-高0得a·（-品)>(-b)·(-击)，即<-，故C错误： a2>(-b)2,即a2>b2,故D正确. 故选D,] 巩固迁移2(1)D(2)A[(1)当a<0,b<0时，A显然错误； 当a=一1，b=1时，B显然错误； 当a=2,b=1时，C显然错误： 若a>b>0,则>日，所以a十言>b十告，D正确.故选D. (2).a>b,c<0, ∴.ac2>bc2,∴.<0，是<是，a十c>b+c,a与b-c的大小关系不确定. 则不等式成立的是A.故选A.】 考点三 典例3(1)D(2-4,2)1,18)(⊙)（号，2）【(1）设11x+3y=m2x+3)十n (5x-6y), 则11x+3y=(2m+5n)x十(3m一6ny, (2m+5n=11, （m=3, 所以{3m-6n=3,解得{n=1, 于是11x+3y=3(2x+3y)+(5x-6y). 又因为6≤3(2x+3y)≤18，一3≤5x-6y≤9， 所以3≤3(2x+3y)+(5x-6y)≤27， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 即3≤11x+3y≤27. 故z的取值范围为{z3≤z≤27. 故选D. (2)因为-1x<4,2y3,所以-3<-y-2,所以一4<x-y2.由-14,2 y3,得-3<3x<12,42y6,所以13x+2y18. (3)因为4<b9,所以<，又3<a8,所以×3<8×8，即}君2.1 巩固迁移3BD[对于A,-2<a十b<4,2<2a一b<8, ∴.-2+2<a+b+2a-b<4+8, ∴.0<3a<12,.0<a<4,故A正确： 对于B,.2<2a-b<8,∴.-8b-2<-2, -2<a+b4,∴.-4<2a+2b<8, 〔-8<b-2a<-2, 由{-4<2a+2b<8,.-123b6, .一4<b2,故B错误： 对于CD,设a十2b=m(a十b)十n(2a一b), 则a十2b=(m+2n)a+(m一n)b, (1=m+2n, m=号， {2=m-n,n=-, ∴a+2b=3(a+b)-3(2a-b), -2<a+b4,·.-号<3(a+b9, :22a-b8,-号<-(2a-b-号 .-6<a十2b=号(a十b)-(2a-b)6,故C正确、D错误.故选BD.】 随堂练习 1.A2.B3.A 4.(-1,9)[设8.x+y=m(x-y)十n(2x十y)=(m+2n)x+(-m+n)y, （m+2m=8, .m=2, 则{-m+n=1,解得{n=3. .8.x+y=2(x-y)+3(2x十y) 又-4<2(x-y0,3<3(2x+y)9, ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 .8x+y的取值范图为（一1,9）.】 ·独家授权侵权必究·