第一章 第2课时 常用逻辑用语-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第2课时　常用逻辑用语 [考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 考点一　充分、必要条件的判断与应用 若p⇒q，则p是q的__条件，q是p的__条件 p是q的_____条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 _________ p是q的充要条件 ___ p是q的________条件 pq且qp 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． (1)p是q的充分不必要条件⇔A_B； (2)p是q的必要不充分条件⇔B_A； (3)p是q的充要条件⇔A_B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 　定义法判断充分、必要条件 [典例1]　(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　定义法判断充分、必要条件的关键是推断p⇒q，q⇒p是否成立． 巩固迁移1　(2025·天津北辰区模拟)已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　集合法判断充分、必要条件 [典例2]　(2025·云南昆明模拟)设a∈R，则“2＜a＜3”是“(a＋1)(a－6)＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件． 巩固迁移2　(2025·成都郫都区模拟)可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是 (　　) A．m<　　　　　　　　 B．m< C．m<－ D．m<－ 　充分、必要条件的应用 [典例3]　(2025·芜湖镜湖区模拟)已知集合P＝{x|a－2≤x≤3a＋1}，Q＝{x|－1≤x≤6}． (1)若a＝2，求∁R(P∩Q)； (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　解题时易颠倒充分性与必要性而出错，所以在解答这类问题时，一定要分清条件和结论，选择恰当的方法作出准确判断． 巩固迁移3　已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，3]　　 B．(2，3] C．∅ D．[2，3] 考点二　全称量词与存在量词 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“_”表示． 2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“_”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题及其否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x， p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 _________ _________ 否定 __________ __________ 提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变． (2)命题p与¬p真假性相反． 　含量词的命题的否定 [典例4]　(人教A版必修第一册P31例5改编)命题“∃x≤0，2x2＜5x－1”的否定是(　　) A．∀x＞0，2x2＜5x－1　 B．∃x＞0，2x2≥5x－1 C．∀x≤0，2x2≥5x－1 D．∃x≤0，2x2＞5x－1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，否定结论． 巩固迁移4　(2025·沈阳和平区模拟)命题“∀n∈N，n2＞4n＋3”的否定为(　　) A．∃n∈N，n2＞4n＋3　　 B．∃n∈N，n2≤4n＋3 C．∀n∉N，n2＞4n＋3 D．∀n∈N，n2≤4n＋3 　含量词命题的真假判断 [典例5]　(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题　　 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　判定全称量词命题是假命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)不成立即可；判定存在量词命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．p与¬p真假性相反． 巩固迁移5　(多选)下列命题的否定是真命题的有(　　) A．某些平行四边形是菱形 B．∃x∈R，x2－3x＋3<0 C．∀x∈R，|x|＋x2≥0 D．∀x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解 　含量词的命题的应用 [典例6]　若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　全称量词、存在量词命题为真⇔全称量词、存在量词命题的否定为假． 巩固迁移6　已知命题p：对于任意x∈[1，2]，都有x2－a≥0；命题q：存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0．若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围为________． 1．命题“∃x＞0，x2＋x－1＞0”的否定是(　　) A．∀x＞0，x2＋x－1＞0 B．∀x＞0，x2＋x－1≤0　 C．∃x≤0，x2＋x－1＞0 D．∃x≤0，x2＋x－1≤0 2．“0＜x＜1”是“|x(x－1)|＝x(1－x)”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知p：－3≤x≤1，q：x≤a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　常用逻辑用语 考点一 充分　必要　充分不必要　pq且q⇒p　p⇔q　既不充分也不必要　(1)　(2)　(3)＝ 典例1　B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 巩固迁移1　A　[若a＝b＝0，则|a＋b|＝0；反之，当a＝－1，b＝1时，符合|a＋b|＝0，不能得出a＝b＝0， 即“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的充分不必要条件．故选A．] 典例2　A　[由(a－6)(a＋1)＜0，得－1＜a＜6，因为(2，3)是(－1，6)的真子集， 所以“2＜a＜3”是“－1＜a＜6”的充分不必要条件．故选A．] 巩固迁移2　A　[由题意，Δ＝1－4×1×m≥0， 解得m≤，而m≤可以推出m＜，故选A．] 典例3　解：(1)当a＝2时，P＝{x|0≤x≤7}，Q＝{x|－1≤x≤6}， 所以P∩Q＝{x|0≤x≤6}， 所以∁R(P∩Q)＝{x|x＜0，或x＞6}． (2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以PQ， 当P＝∅时，有3a＋1<a－2，解得a<－； 当P≠∅时，则 或所以1≤a≤， 综上，实数a的取值范围是a<－，或1≤a≤． 巩固迁移3　B　[若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则BA， 所以且等号不能同时取得，解得2<m≤3，即m的取值范围是(2，3]．故选B．] 考点二 1．∀　2．∃　3．∀x∈M，p(x)　∃x∈M，p(x)　∃x∈M，¬p(x)　∀x∈M，¬p(x) 典例4　C　 巩固迁移4　B 典例5　B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 巩固迁移5　BD　[对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为Δ＝9－12＝－3<0，所以原命题是假命题；对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题．根据原命题和它的否定真假性相反的法则判断，选项B，D中，原命题的否定是真命题．故选BD．] 典例6　　[命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题， 等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”， 则Δ＝1＋4a<0，解得a<－， 即实数a的取值范围为．] 巩固迁移6　(－2，1)∪(1，＋∞)　[若命题p为真，则对于任意x∈[1，2]，都有a≤(x2)min＝1，即a≤1；若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2．若p与q都是真命题，则a≤－2或a＝1，所以若p与q中至少有一个是假命题，则a>－2且a≠1．] 随堂练习 1．B　2．A　3．[1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$