第一章 第1课时 集合-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

　集合间的关系及集合的交集、并集与补集的运算是高考考查的重点和热点，多以选择题形式出现，属于容易题，多与不等式、定义域、值域等知识结合，重在考查数学运算能力． 　(2024·新高考Ⅰ卷T1)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0}　　　　　　　 B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} [阅读与思考]　法一(直接法)：因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}．故选A． 法二(验证法)：因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}．故选A． 归纳总结：集合的运算一般直接利用交集、并集与补集的定义，或借助数轴、Venn图解答．本例由2∉A，±3∉A，则B，C，D错误，A正确，可快速求解． 　本题源自人教A版必修第一册P14习题1.3T1，2．教材原题和真题都是以列举法和描述法两种常见的表示集合的方法表示集合，并在此基础上求解两个集合的交集．不同之处在于，教材原题需解简单的一元一次不等式然后求交集；而真题可由三次函数的性质解不等式求交集，也可以不解不等式，利用集合的包含关系，通过分析和逻辑推理得到结论，这也是真题设计的巧妙之处． 试题评价：本题以不等式为载体，考查集合的交集运算．集合是历年高考的热点之一，通常位于第1，2题的位置，属于容易题，重在检测学生对集合的有关概念、表示方法及集合运算等知识的掌握情况． 附：1．(人教A版必修第一册P14习题1.3T1)集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(人教A版必修第一册P14习题1.3T2)设A＝{x|x是小于9的正整数}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}．求A∩B，A∩C，A∩(B∪C)，A∪(B∩C)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第1课时　集合 [考试要求]　1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．3．会求两个集合的并集、交集与补集．4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 考点一　集合的基本概念 1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号_和_表示． 3．集合的三种常用表示方法：列举法、描述法、图示法． 4．数学中一些常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R [典例1]　(1)(2024·安徽淮南校考期中)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为(　　) A．1　　 B．5 C．6 D．无数个 (2)(人教B版必修第一册P9练习B T4改编)已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，则a＝______． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)结合x＋y≤2与题干中整数的限制条件，对x，y的值逐项分析判断；本例(2)，在求解中易忽视集合中元素的互异性，导致增解． 巩固迁移1　(1)(2024·西宁湟中区一模)若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x≤y}，则(　　) A．3∈B　　 B．(1，4)∉B C．(3，2)∈B D．(2，2)∈B (2)已知集合A＝{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2，3}}，则集合A中的元素个数为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点二　集合间的基本关系 1．子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中______都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或___)． 2．真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且___，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或___)． 3．相等：若A⊆B，且___，则A＝B． 提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集． [典例2]　(1)(2025·深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－(A－B)的子集个数是(　　) A．2　　 B．4 C．8 D．16 (2)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，若BA，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，＋∞)　　 B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，1) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　(1)解决本例(1)这类新定义问题的关键是读懂新定义的本质含义，紧扣新定义，结合新定义和题目要求恰当转化． (2)本例(2)这类问题常借助数轴、Venn图来直观解决，同时注意空集对题目求解产生的影响． 巩固迁移2　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．MN　　 B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM (2)(2024·南京六合区二模)设集合A＝{1，－a}，B＝{0，3－a，3a－8}，若A⊆B，则a＝(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ _______ _____ A∩B＝ _______ _____ ∁UA＝ _______ _____ [常用结论]　A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A． 　集合的基本运算 [典例3]　(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9}　　 B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中集合的元素是离散的，可借助Venn图求解．若集合的元素是连续的，则用数轴求解，如本例的巩固迁移(2)，但要注意端点值的取舍． 巩固迁移3　(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0}　　 B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} (2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N)　　 B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 　利用集合运算求参数值或范围 [典例4]　(2024·保定期中)已知集合A＝{x|3≤x≤a＋5}，B＝{x|2＜x＜10}． (1)当a＝2时，求∁R(A∪B)，(∁RA)∩B； (2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　与不等式有关的集合，一般用数轴解决，要注意端点值能否取到． 巩固迁移4　已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1]　　 B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 1．(2024·银川兴庆区三模)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，下列式子错误的是(　　) A．1∈A　　 B．∅⊆A C．{－1}∈A D．A＝{－1，1} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2024·安庆迎江区四模)若集合P＝{x|－2≤x＜m－m2，x∈Z}，当m＝时，集合P的非空真子集个数为(　　) A．8　　 B．7 C．6 D．4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．(2025·重庆双桥区模拟)已知集合A＝{x|x＋1＞0}，集合B＝{x||x|≥2}，则(　　) A．A⊆B　　 B．∁UA＝{x|x＜－1} C．A∪B＝{x|x≥2} D．A∩B＝{x|x≥2} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习讲义参考答案与精析 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 第1课时　集合 考点一 2．∈　∉ 典例1　(1)C　(2)－3　[(1)由x＋y≤2，x，y∈N，则(x，y)可为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)， 所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)}，共6个元素．故选C． (2)因为－3∈A，所以－3＝a2＋4a或－3＝a－2．若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3．当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝－3时，集合A＝{12，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，a＝－3．] 巩固迁移1　(1)D　(2)6　[(1)因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x≤y}＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，4)}，结合选项可知，D正确．故选D． (2)x∈{1，2}表示x的取值为1，2两个，y∈{1，2，3}表示y的取值为1，2，3三个，构成有序实数对共有2×3＝6个．] 考点二 1．任意一个元素　B⊇A　2．x∉A　BA　3．B⊆A 典例2　(1)B　(2)B　[(1)因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}， 所以A－(A－B)＝{3，5}，则 A－(A－B)的子集个数是4．故选B． (2)因为A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，且BA，用数轴表示其关系如图．所以实数a的取值范围为a≤1．故选B． ] 巩固迁移2　(1)B　(2)C　[(1)因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM．故选B． (2)由集合A＝{1，－a}，B＝{0，3－a，3a－8}， 因为A⊆B，所以－a＝0或－a＝3a－8，解得a＝0或a＝2， 当a＝0时，A＝{1，0}，B＝{0，3，－8}，不符合题意； 当a＝2时，A＝{1，－2}，B＝{0，1，－2}，符合题意．故选C．] 考点三 {x|x∈A，或x∈B}　{x|x∈A，且x∈B}　{x|x∈U，且x∉A} 典例3　D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D．] 巩固迁移3　(1)C　(2)A　[(1)由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C． (2)如图， 由图可知，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R， 所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}．故选A．] 典例4　解：(1)当a＝2时，A＝{x|3≤x≤7}，所以A∪B＝{x|2＜x＜10}， ∁RA＝(－∞，3)∪(7，＋∞)， 所以∁R(A∪B)＝(－∞，2]∪[10，＋∞)， (∁RA)∩B＝(2，3)∪(7，10)． (2)若A∩B＝A，则A⊆B， 当A＝∅时，3＞a＋5，解得a＜－2； 当A≠∅时，解得－2≤a＜5． 综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜5}． 巩固迁移4　B　[因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，则a－1≤1，解得a≤2．故选B．] 随堂练习 1．C　2．C　3．D　4．(－∞，4) 学科网（北京）股份有限公司 $$