第三章 第1课时 导数的概念及其意义、导数的运算-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

　导数的概念及其几何意义是近几年高考考查的热点，重在考查导数几何意义的应用，即切线问题，既有选择题、填空题，又可以作为解答题的第一问出现，难度适中． 　(2024·新高考Ⅰ卷T13)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． [阅读与思考]　第1步：求导． 由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2． 第2步：求y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程． 故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1． 第3步：求导，设出曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点坐标． 由y＝ln (x＋1)＋a，得y′＝， 设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点坐标为(x0，ln (x0＋1)＋a)． 第4步：利用切线斜率相等，求出x0． 由两曲线有公切线，得＝2， 解得x0＝－， 则切点为． 第5步：由切线重合求a． 切线方程为y－a－ln ＝2， 即y＝2x＋a－ln 2＋1． 由切线重合知a－ln 2＋1＝1，即a＝ln 2． 归纳总结：(1)两曲线y＝f (x)，y＝g(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组解此方程组可得a，进而得b后得出切线方程． (2)求与曲线y＝f (x)，y＝g(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f (x1))，(x2，g(x2))，满足方程组f ′(x1)＝g′(x2)＝，据此解得x1或者x2，即可求得公切线方程． 　本题源自人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13，从条件上看，教材原题与高考真题都归结为“两曲线的公切线问题”，考查导数的几何意义及基本运算，属于课程学习情境；两者载体不同，在基本运算方面，高考真题的难度稍高于教材原题． 试题评价：本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养，难度中等，完美诠释了教材的本位作用． 附：(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值． 第1课时　导数的概念及其意义、导数的运算 [考试要求]　1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数． 考点一　导数的概念 1．导数的概念 函数f (x)在x＝x0处瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或． 2．导数概念的诠释 (1)增量Δx可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要多近有多近，即|Δx→0|可以小于给定的任意小的正数； (2)当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与＝无限____； (3)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即__________．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬时变化率，即f ′(x0)＝＝． [典例1]　(人教A版选择性必修第二册P65例2改编)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)(0≤x≤8)，若＝－6，则在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为(　　) A．－3 ℃/h　　 B．3 ℃/h C．－6 ℃/h D．6 ℃/h [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中，求在第2 h时原油温度的瞬时变化率，实质是求y＝f (x)在x＝2处的导数，即f ′(2)＝，它仅与“x0＝2”有关，与Δx无关．因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (2＋2Δx)－f (2)时，分母也应该是(2＋2Δx)－2＝2Δx，要注意公式的变形． 巩固迁移1　(2024· 眉山仁寿县期末)已知函数f (x)＝sin x＋4x，则＝(　　) A．12　　 B．6 C．3 D． 考点二　导数的运算 1．基本初等函数的导数 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝__________ f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln a f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ex f ′(x)＝____ f (x)＝ln x f ′(x)＝ f (x)＝sin x f ′(x)＝_________ f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x 2．导数的四则运算法则 若f ′(x)，g′(x)存在，则 (1)[f (x)±g(x)]′＝________________________； (2)[f (x)g(x)]′＝__________________________________________； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf (x)]′＝______________(c为常数)． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的____． [典例2]　(1)(2025·福州模拟)下列求导数的运算中正确的是(　　) A．(log2x)′＝ B．′＝cos x－sin C．(3x)′＝x·3x-1 D．[ln (2x－1)]′＝ (2)(2024·沈阳期末)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f (x)＝3xf ′＋2cos x，则f ′＝(　　) A．　　 B．－ C．－ D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)中，A，B，C的判断关键是熟练应用求导公式及其运算法则，D选项是复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时进行换元；本例(2)这种抽象函数求导的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解． 巩固迁移2　(多选)(2024·浙江名校联考)下列求导正确的是(　　) A．(log23)′＝ B．[ln (2x)]′＝ C．(sin2x)′＝sin2x D．′＝ 考点三　导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为__________________________________________． 提醒：(1)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标未知，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． (2)函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f ′(x)|的大小反映了f (x)图象变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 　求切线方程 [典例3]　(1)(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． (2)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为(　　) A．x－y－3＝0　　 B．x－y＋3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同，本例(2)属于“过点处”，解决关键是先设切点，由切点坐标求得切线方程，然后将点(0，3)代入切线方程后化简求值． 巩固迁移3　(1)(2024·深圳质量检测)曲线y＝(x3－3x)·ln x在点(1，0)处的切线方程为(　　) A．2x＋y－2＝0　　 B．x＋2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．4x＋y－4＝0 (2)已知f (x)＝x2－，过原点作曲线y＝f (x)的切线，则切点的横坐标为(　　) A．2　　 B．－2 C．－ D． 　求切点坐标或参数 [典例4]　(1)(2025·榆林模拟)已知函数f (x)＝a ln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．0 D．1 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程． 巩固迁移4　(1)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1　　 B．a＝e，b＝1 C．a＝e-1，b＝1 D．a＝e-1，b＝－1 (2)(2025·宣城模拟)若曲线y＝a ln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝______． 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法． 　共切点的公切线问题 [典例1]　已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f (x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　求共切点的公切线的一般思路 (1)设两曲线的公共切点P0(x0，y0)；(2)列关系式(3)求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f (x)或y＝h(x)，求y0；(4)所求公切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)或y－y0＝h′(x0)(x－x0)． 应用体验1　(2025·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　) A．2　　 B．5 C．1 D．0 　不同切点的公切线问题 [典例2]　若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于(　　) A．－30　　 B．－25 C．26 D．28 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　求两曲线不同切点的公切线的一般思路 (1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)； (2)分别求两曲线的切线方程y1＝h1(x)，y2＝h2(x)； (3)由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程． 应用体验2　已知曲线f (x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________． 1．函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1　　 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 2．曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最短距离是(　　) A．2 B． C． D． 3．若直线y＝1与曲线f (x)＝aex－x2相切，则a＝(　　) A．2e　　 B．e C． D． 4．已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2，4)的切线方程为________． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章　一元函数的导数及其应用 第1课时　导数的概念及其意义、导数的运算 考点一 1． 2．(2)接近　(3)瞬时变化率 典例1　A　[＝－6， 则2＝2f '(2)＝－6， 解得f '(2)＝－3， 故在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为－3 ℃/h．故选A．] 巩固迁移1　B　[∵f '(x)＝cos x＋4， ∴f '(π)＝3， ∴ ＝2＝2f '(π)＝6． 故选B．] 考点二 1．αxα－1　　ex　cos x　2．(1)f '(x)±g'(x)　(2)f '(x)g(x)＋f (x)g'(x)　(4)cf '(x) 3．乘积 典例2　(1)D　(2)D　[(1)对于A，(log2x)′＝，故A错误； 对于B，′＝cos x，故B错误； 对于C，(3x)′＝3x ln 3，故C错误； 对于D，[ln (2x－1)]′＝×2＝，故D正确．故选D． (2)f (x)＝3xf ′＋2cos x，则f ′(x)＝3f ′－2sin x， 故f ′＝3f ′－2sin ，解得f ′＝．故选D．] 巩固迁移2　BC　[对于A，(log23)'＝0，故A错误； 对于B，[ln(2x)]'＝(ln 2＋ln x)'＝(ln 2)'＋(ln x)'＝，故B正确； 对于C，(sin2x)'＝2sin xcos x＝sin 2x，故C正确； 对于D，'＝，故D错误．故选BC．] 考点三 斜率　y－f (x0)＝f '(x0)·(x－x0) 典例3　(1)A　(2)B　[(1)f '(x)＝，所以f '(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×，故选A． (2)由y＝x3－2x＋1，得y'＝3x2－2，设切点坐标为(x0，－2x0＋1)， 则切线的斜率k＝3－2，切线方程为y－(－2x0＋1)＝(3－2)(x－x0)，由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0＝－1，则切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0，故选B．] 巩固迁移3　[(1)因为y′＝(3x2－3)·ln x＋·(x3－3x)，故所求切线斜率k＝y′|x＝1＝－2，故所求切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0． 故选A． (2)由f (x)＝x2－， 得f ′(x)＝x＋， 设切点坐标为， ∴f ′(x0)＝， 则切线方程为＋＝(x－x0)， ∵切线过原点， ∴＋＝＝－， 解得x0＝－．] 典例4　(1)B　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　[(1)因为f (x)＝aln x＋x2，所以f '(x)＝＋2x． 又f (x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f '(1)＝a＋2＝3，解得a＝1， 则f (x)＝ln x＋x2，所以f (1)＝1， 将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0， 解得b＝－2，故a＋b＝－1．故选B． (2)∵y＝(x＋a)ex，∴y'＝(x＋1＋a)ex， 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)，切线斜率k＝(x0＋1＋a)，切线方程为y－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)(x－x0)， ∵切线过原点，∴－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)·(－x0)，整理得＋ax0－a＝0， ∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0， ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．] 巩固迁移4　(1)D　(2)　[(1)由y'＝aex＋ln x＋1，根据导数的几何意义易得y'|x＝1＝ae＋1＝2，解得a＝e－1，从而得到切点坐标为(1，1)，将其代入切线方程y＝2x＋b，得2＋b＝1，解得b＝－1． (2)因为y＝aln x＋x2(a＞0)，所以y'＝＋2x2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k，所以＝2，所以a＝．故答案为．] 微点突破5　两曲线的公切线问题 典例1　5　[依题意，设曲线y＝f (x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．∵f (x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∴f '(x)＝2x，h'(x)＝－4，∴ 即 ∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5．] 应用体验1　C　[设两曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f (x)＝－2x2＋m， 可得f '(x)＝－4x， 则切线的斜率为k＝f '(a)＝－4a， 由g(x)＝－3ln x－x， 可得g'(x)＝－－1， 则切线的斜率为k＝g'(a)＝－－1， 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1， 解得a＝1或a＝－(舍去)， 又由g(1)＝－1， 即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x)＝－2x2＋m， 可得m＝1．] 典例2　C　[设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m)． 对于函数y＝x2－3ln x，y'＝2x－， 则2b－＝－1， 解得b＝1或b＝－(舍去)． 所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2． 对于函数y＝x3＋nx－52，y'＝3x2＋n， 则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2， 整理得a3＝－27，则a＝－3， 所以n＝－3a2－1＝－28， 故m－n＝26．] 应用体验2　－　[由f (x)＝x3＋ax＋，得f '(x)＝3x2＋a．∵f '(0)＝a，f (0)＝，∴曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax．设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g'(x)＝－，∴ 将②代入①得ln x0＝，∴x0＝， ∴a＝－＝－．] 随堂练习 1．B　2．B　3．C 4．y＝4x－4或y＝x＋2　[设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点，y′＝x2，则切线的斜率为k＝＝，所以切线方程为－＝(x－x0)，代入点P(2，4)，可得－＝(2－x0)，即＋4＝0，解得x0＝2或x0＝－1，故所求的切线方程为y＝4x－4或y＝x＋2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$