第二章 思维进阶2 指数、对数、幂值的大小比较-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

　指数、对数、幂值的大小比较 　指数、对数、幂值的大小比较是高考的热点之一．主要考查指数、对数的运算性质，以及幂函数、指数函数、对数函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 题型一　利用函数性质 [典例1]　(1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b　　 B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a (2)(2024·苏州实验学校月考)已知函数f (x)＝－x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5-0.5，则(　　) A．f (b)<f (a)<f (c)　　 B．f (c)<f (b)<f (a) C．f (b)<f (c)<f (a) D．f (a)<f (b)<f (c) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)中与底数相同，指数不同，利用指数函数y＝的单调性比较；与指数相同、底数不同，利用幂函数y＝xα的单调性比较大小．本例(2)利用函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性比较大小． 题型二　临界值法(插值法)比较大小 [典例2]　(1)已知a＝log53，b＝，c＝7-0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c　　 B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a (2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b　　 B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例比较大小的关键是寻找合适的中间值或其他能判断大小关系的中间量．常考虑a，b，c与数字“0”“1”“”的大小关系． 题型三　含变量问题的大小比较 [典例3]　已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．2x<3y<5z　　 B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例这类涉及三个指数式连等(或三个对数式连等)的含参变量比较大小问题，可利用特值法求解，也可在设元变形的基础上，通过作差或作商求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 思维进阶2　指数、对数、幂值的大小比较 典例1　(1)C　(2)C　[(1)因为函数y＝为增函数，所以，即a<b， 又因为函数y＝为增函数， 所以，即b<c，故c>b>a．故选C． (2)由a＝log52<log55＝1，且a＝log52>log51＝0，故0<a<1； b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，c＝0.5-0.5＝，故b>c>a， 又因为函数f (x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (b)<f (c)<f (a)．故选C．] 典例2　(1)C　(2)A　[(1)因为1＝log55>log53>log5，即<a<1，b＝>20＝1，c＝7-0.5＝， 即0<c<，所以b>a>c． (2)因为log51<log52<log5，所以0<a<， 因为b＝＝log0.70.1>log0.70.7＝1， 所以b>1，因为0.71<0.70.3<0.70， 所以0.7<c<1，所以a<c<b．] 典例3　D　[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z，3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y． 综上可得，3y<2x<5z． 法二(作差法)： 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1， 则x＝， 因为k>1，所以lg k>0， 所以2x－3y＝＝ >0， 故2x>3y，2x－5z＝ ＝<0， 故2x<5z． 所以3y<2x<5z． 法三(作商法)： 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1． 则x＝． 所以·>1，即2x>3y， ·>1，即5z>2x． 所以5z>2x>3y．] 学科网（北京）股份有限公司 $$