第二章 第11课时 函数模型及其应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第11课时　函数模型及其应用 [考试要求]　1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 考点一　用函数图象刻画变化过程 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法： (1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况． [典例1]　(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标 B．在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等 C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值 D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中，解题关键是根据题目中两企业图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案． 巩固迁移1　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 考点二　已知函数模型的实际问题 1．三种函数模型的性质 　　函数 性质　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x的增大 逐渐表现 为与__ 平行 随x的增大 逐渐表现为 与__ 平行 随α值的 变化而各 有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0) 与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 与幂函数 相关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b为常数，n≠0，a≠0) 提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． (3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． [典例2]　(1)(2024·北京通州潞河中学校考阶段练习)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C＝Wlog2，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当＝99，W＝2 000 Hz时，最大数据传输速率记为C1；当＝9 999，W＝3 000 Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为(　　) A． B． C． D．3 (2)(2024·云南昆明高三统考期中)工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为P＝P0e-0.02t(P0为污染物的初始含量)，则污染物减少到初始含量的20%大约需要(参考数据：ln 5≈1.6)(　　) A．60 h　　 B．70 h C．80 h D．90 h (3)燃放烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用． ①若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ ②若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求a的最小值． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)中，将已知条件代入模型中，求C2与C1比值即可，需注意的是要熟练掌握对数的运算；本例(2)中，先将已知条件代入模型中，结合指、对数转化及参考数据求得时间即可；本例(3)中，解题的关键是对题意的准确理解，依题意列出不等关系求解即可． 巩固迁移2　(1)(2025·广东新会区模拟)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系y＝ekx＋b(y为保鲜时间，x为储存温度)，若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时，在常温20 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是(　　) A．16小时　　 B．18小时 C．20小时 D．24小时 (2)(2024·桂林、崇左调研)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，那么经过t分钟后的温度T满足T－Ta＝ (T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．如果Ta＝25 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据：lg 2≈0.30，lg 11≈1.04)(　　) A．10分钟　　 B．9分钟 C．8分钟 D．7分钟 考点三　构建函数模型解决实际问题 [典例3]　(2025·重庆模拟)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝．测得的部分数据如表所示． x 0 2 6 10 … y －4 8 8 … (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　构建函数模型求解时应关注的三点 (1)认清构造函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 巩固迁移3　(1)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)(　　) A．0.58米　　 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米 (2)(2024·陕西安康高三校联考阶段练习)某公园池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系如下表所示： 时间t 1 2 3 4 浮萍的面积y 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①y＝kt＋b，②y＝p·at＋q，③y＝m·logat＋n，其中k，b，p，q，m，n，a均为常数，a>0且a≠1． (ⅰ)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y关于t的函数解析式； (ⅱ)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，211 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，写出一种t1，t2，t3满足的等量关系式，并说明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13．则函数h＝f (x)的图象为(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 2．(2024·渭南二模)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.922 7x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至60 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 7≈1.95，ln 0.922 7≈－0.08) A．6 min　　 B．7 min C．8 min D．9 min 3．(2024·贵阳南明区一模)纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．1.12　　 B．1.13 C．1.14 D．1.15 4．(2025·上海虹口区模拟)已知某产品的总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000．设该产品年产量为Q时的平均成本为f (Q)(单位：元/件)，则f (Q)的最小值是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11课时　函数模型及其应用 考点一 典例1　BD　[由题图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误； 在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确； 甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误； 在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确．] 巩固迁移1　ABC　[从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．] 考点二 1．y轴　x轴 典例2　(1)D　(2)C　[(1)根据题意，将＝99，W＝2 000代入可得C1＝2 000log2(1＋99)＝2 000log2100＝2 000×2log210＝4 000log210； 将＝9 999，W＝3 000代入可得C2＝3 000×log2(1＋9 999)＝3 000log210 000＝3 000×4log210＝12 000log210； 所以可知＝＝3． 故选D． (2)设污染物减少到最初含量的20%需要经过t小时，则P0＝P0e-0.02t， 两边取自然对数得ln ＝－0.02t，ln 5＝0.02t，1.6≈0.02t，解得t≈80， 所以大约需要经过80个小时的时间才能使污染物减少到最初含量的20%．故选C．] (3)解：①释放的去污剂浓度为f (x)＝ 当0<x≤4时，4≥4，解得x≥0， 所以0<x≤4； 当4<x≤10时，4≥4， 解得x≤7，即4<x≤7． 故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天． ②设从第一次喷洒起，经x(6<x≤9)天，去污剂的浓度为g(x)＝2×＋a＝≥2＝3≥4， 所以a≥，当且仅当＝，即x＝7时等号成立． 所以a的最小值为． 巩固迁移2　(1)A　(2)A　[(1)由题意， 即 于是当x＝40时，y＝e40k＋b＝(e20k)2·eb＝×144＝16，故选A． (2)将所给数据代入T－Ta＝ (T0－Ta)得，75－25＝ (80－25)， 即＝＝， 所以＝＝＝≈＝， 当水温从75 ℃降至45 ℃时， 满足45－25＝(75－25)， 可得t＝＝＝≈＝， 故t≈10．故选A．] 考点三 典例3　解：(1)当0≤x<7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由x＝0，y＝－4可得c＝－4， 由x＝2，y＝8可得4a＋2b＝12，① 由x＝6，y＝8可得36a＋6b＝12，② 由①②解得a＝－1，b＝8， 即y＝－x2＋8x－4(0≤x<7)． 当x≥7时，y＝，由x＝10，y＝可得m＝8， 即y＝(x≥7)． 综上可得，y＝ (2)当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12， 即当x＝4时，y取得最大值12； 当x≥7时，y＝单调递减，可得y≤3，即当x＝7时，y取得最大值3． 综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳． 巩固迁移3　(1)B　[如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，BE⊥CD于E， ∠BAD＝∠ABC＝120°， 要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完， 则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000， 解得AB＋BC＋AD＝3， 设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝x，CE＝x，故CD＝3－x，且0<x<， 梯形ABCD的面积 S＝ ＝(－x2＋2x)， 当x＝1时， Smax＝， 此时BE＝≈0.87， 即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米．] (2)解：(ⅰ)由表中数据可知，y随t的增长速度越来越快，故应选择函数模型②y＝p·at＋q． 依题意，得解得 所以y关于t的函数解析式为y＝2t＋1． (ⅱ)t1＋t2＝t3＋1． 理由：依题意，得＋1＝＋1＝＋1＝211， 所以＝＝＝210， 所以＝420， 所以＝＝420＝＝2t3＋1， 所以t1＋t2＝t3＋1． 随堂练习 1．C　2．B　3．D 4．60　[根据题意，总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000， 所以f (Q)＝＝＝Q＋≥2＝2×30＝60，当且仅当Q＝，即Q＝100时，等号成立．故f (Q)的最小值是60．] 学科网（北京）股份有限公司 $$