第二章 第10课时 函数的零点与方程的解-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第10课时　函数的零点与方程的解 [考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解． 考点一　判定函数零点所在区间 1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的___叫做函数y＝f (x)的零点． (2)三个等价关系 (3)函数零点存在定理 2．二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 提醒：(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根． (2)由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以“f (a)·f (b)<0”是“y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件． [典例1]　(1)(2025·湖北荆州模拟)若x0是方程的根，则x0属于区间(　　) A． B． C． D． (2)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．0 D．1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)解决的关键是将方程根所在的区间转化为函数f (x)＝的零点所在区间，利用零点存在定理对所给选项一一验证即可．本例(2)根据“三个等价关系”解答：①f (x)＝e－x－2x－5的零点就是e－x－2x－5＝0的根，即y＝e－x与y＝2x＋5图象的交点；②画出函数y＝e－x＝和y＝2x＋5的图象，初步判断图象交点所在区间(定性)；③利用零点存在定理求m(定量)． 巩固迁移1　(1)(2025·湖南长沙模拟)设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 (2)用二分法求函数f (x)＝log3(2x＋4)－在区间(－1，0)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1．(　　) A．2　　 B．3 C．4 D．5 考点二　确定函数零点个数 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点； (2)用零点存在定理再结合函数的单调性确定零点个数； (3)利用函数图象的交点个数判断． [典例2]　(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　) A．3　　 B．2 C．1 D．0 (2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　 在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝ln x图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可． 巩固迁移2　已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 考点三　函数零点的应用 　根据函数零点个数求参数 [典例3]　(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f (x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f (x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　) A．－1　　 B． C．1 D．2 反思领悟　本例中，解决的关键是根据偶函数图象的特征判定y＝f (x)与y＝g(x)何时恰有一个交点．若按原函数的关系来研究曲线的交点，问题会很复杂，可将y＝f (x)和y＝g(x)合并后再重新组合，借助偶函数来求解． 巩固迁移3　(2025·济南模拟)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，2]　　 B．(1，2) C．(0，1) D．[1，＋∞) 　根据函数零点的范围求参数 [典例4]　函数f (x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3　　 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例解题的关键是先判断函数的单调性，再结合零点存在定理，解即得a的取值范围． 巩固迁移4　函数f (x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－　　 B．a<－ C．－<a<－ D．a<－ 形如y＝f (g(x))的复合函数(称此函数为嵌套函数)零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． [典例]　函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数． 应用体验　(1)已知函数f (x)＝则方程f (f (x))＝1的实数根的个数为(　　) A．7　　 B．5 C．3 D．2 (2)已知f (x)＝|3x－1|＋2，若关于x的方程－(2＋a)f (x)＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a<2　　 B．a>2 C．2<a<3 D．a>3 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T4改编)函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　) A．(3，4)　　 B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 2．(2025·重庆模拟)函数f (x)＝ex＋x－3在区间(0，1)上的零点个数是(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 3．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)　　 B． C．(1，＋∞) D．(0，1) 4．已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则实数a的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课时　函数的零点与方程的解 考点一 1．(1)实数x　(3)连续不断　<　f (c)＝0 典例1　(1)C　(2)A　[(1)构造函数f (x)＝， 易知函数f (x)在R上单调递减，且函数f (x)的图象是一条连续不断的曲线， 易知f (0)＝－0＝1>0，f＝－>0， f ＝－<0， 结合选项，因为f ·f <0， 故函数f (x)的零点所在的区间为， 即方程的根x0属于区间． (2)因为函数f (x)＝e－x－2x－5是连续的减函数，f (－2)＝e2－1>0，f (－1)＝e－3<0，所以f (－2)·f (－1)<0，函数f (x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2．] 巩固迁移1　(1)D　(2)C [(1)令f (x)＝0得x＝ln x． 作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图， 显然y＝f (x)在内无零点，在(1，e)内有零点． (2)∵开区间(－1，0)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1．] 考点二 典例2　(1)B　(2)1　[(1)由f (x)＝0得， 或 解得x＝－2或x＝e． 因此函数f (x)共有2个零点． 故选B． (2)令f (x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2， 故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)． 由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点， 故函数f (x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．] 巩固迁移2　C　[当x≤0时，令g(x)＝－＝0，解得x＝1，舍去；当x>0时，令g(x)＝|log2x|－＝0，解得x＝或x＝，满足x>0，所以x＝或x＝． 综上，函数g(x)＝f (x)－的零点个数为2．] 考点三 典例3　D　[法一：令f (x)＝g(x)， 即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令F (x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x， 原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F (x)与y＝G(x)恰有一个交点， 注意到F (x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F (0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2． 若a＝2，令F (x)＝G(x)，可得2x2＋1－cos x＝0， 因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立， 可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F (x)与y＝G(x)恰有一个交点， 所以a＝2符合题意． 综上所述，a＝2． 法二：令h(x)＝f (x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2． 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)， 又因为2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D．] 巩固迁移3　A　[因为函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，所以函数y＝f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f (x)的图象如图所示．由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1，2]．] 典例4　A　[因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f (x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，得解得0<a<3．] 巩固迁移4　D　[当a＝0时，f (x)＝3，不符合题意； 当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增，此时函数f (x)在上单调递增； 当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减，此时函数f (x)在上单调递减． 因为函数f (x)在区间上有零点，所以ff (1)<0， 即3(4a＋3)<0，解得a<－．] 微点突破4　嵌套函数的零点 典例　[－1，＋∞)　[设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)． 在同一坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)． 当a<－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有一个交点，不符合题意； 当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1． 当t1<－1时，t1＝f (x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解． 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点．] 应用体验　(1)B　(2)C　[(1)令f (x)＝t，则f (t)＝1． ①当t≤2时，2|t|－1＝1，∴2|t|＝2，∴|t|＝1，即t＝±1． ②当t>2时，＝1，∴t＝3． 画出函数f (x)的图象，如图所示，若t＝－1，即f (x)＝－1，无解； 若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f (x)的图象有3个交点，即f (f (x))＝1有3个不同实根； 若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f (x)的图象有2个交点，即f (f (x))＝1有2个不同实根． 综上所述，方程f (f (x))＝1的实数根的个数为5．故选B． (2)因为[f (x)]2－(2＋a)f (x)＋2a＝0，所以f (x)＝2或f (x)＝a，作出函数f (x)的图象如图所示，由图可得f (x)＝2有一个实根0，所以要使f (x)＝a有两个不同非零实根，只需2<a<3．故选C．] 随堂练习 1．B　2．B 3．D　[令g(x)＝f (x)－m＝0，得f (x)＝m，根据分段函数f (x)的解析式，作出函数f (x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f (x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1)．] 4．　[函数g(x)＝f (x)－x＋a存在3个零点，等价于函数f (x)的图象与y＝x－a的图象有3个交点．画出函数f (x)和y＝x－a的图象如图所示．根据图象易知，要使函数f (x)和y＝x－a的图象有3个交点，则－<－a≤0，即0≤a<．] 学科网（北京）股份有限公司 $$