第二章 第8课时 对数与对数函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第8课时　对数与对数函数 [考试要求]　1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 考点一　对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______，其中_叫做对数的底数，_叫做真数． 以__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为____． 以_为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为____． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝_，logaa＝_(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝___________； ②loga＝___________； ③logaMn＝______ (n∈R)． (3)对数恒等式 ＝_(a>0，且a≠1，N>0)． (4)对数换底公式：logab＝． [常用结论] 1．logab＝． ．logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R且m≠0)． [典例1]　(1)(2024·梅州五华区期中)下列等式正确的是(　　) A．(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1 B．log35·log32·log59＝3 C．＋eln 2＋＝π D．＝1 (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)的解答关键：①将同底对数的和、差、倍合并，如选项A． ②利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式，如选项B． ③利用对数恒等式求值，如选项C． 本例(2)的关键：利用对数的换底公式，换成同底的对数． 巩固迁移1　(1)lg＝________． (2)(2024·上海高三校联考阶段练习)若12a＝3b＝m，且＝2，则m＝________． (3)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝________． 考点二　对数函数的图象及应用 1．对数函数 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中_是自变量，定义域是______． (2)对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 _ 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y_0； 当0<x<1时，y_0， 当x>1时，y_0； 当0<x<1时，y_0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线___对称． [常用结论]　对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． [典例2]　(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，则函数f (x)＝ax与g(x)＝图象可能是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D (2)方程2 025x＋log2 025x＝0的实根个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．2 025 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)直接利用对数运算性质logaM＋logaN＝loga(MN)得到lg a＋lg b＝lg (ab)，再由对数的性质loga1＝0得到ab＝1，再结合互为反函数的函数图象关于y＝x对称及函数性质得选B．本例(2)是对数型方程，常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 巩固迁移2　(1)函数y＝|lg (x＋1)|的图象大致是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D (2)(多选)(2025·威海模拟)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0　　 B．0<a<1 C．b<－1 D．－1<b<0 考点三　对数函数的性质及应用 　比较对数值的大小 [典例3]　(人教A版必修第一册P141T13(2))比较下列三个值的大小：log23，log34，log45． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　方法一的两种解法是通过转化为同底的对数值，结合比较大小的常规方法(作差法、综合法)进行解答；方法二的关键是利用换底公式将底数、真数取相同的幂，然后插入与其中一个对数值同真数，与另一个对数值同底数的中间量比较大小；方法三插入两个数值，使log23>>log34>>log45成立，从而比较大小．在插值中“0”与“1”是常见两个插入数值． 巩固迁移3　设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a>b>c　　 B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a 　解对数不等式 [典例4]　(2024·安徽江淮十校联考)已知实数a>0，且满足53a+2>54a+1，则不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)的解集为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　(1)指数函数、对数函数的单调性取决于其底数的取值范围(大于1还是大于0且小于1)，底数不定要分类讨论． (2)在涉及指对型函数的有关问题时易忽略对数函数的真数大于0的限制条件． 巩固迁移4　不等式logx(x＋2)>1的解集是(　　) A．(2，＋∞) 　　 B．(1，＋∞) C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞) 　对数函数性质的综合应用 [典例5]　若函数f (x)＝loga(3－2ax)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1)　　 B． C． D．(1，＋∞) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例要弄清楚四个问题：①定义域；②底数与1的大小关系；③复合函数的构成；④复合函数的单调性“同增异减”． 巩固迁移5　(多选)(2024·邯郸一模)已知函数f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　) A．f (x)的定义域是(－6，4) B．f (x)有最大值 C．不等式f (x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f (x)在[0，4]上单调递增 1．(2024·安徽期末)计算log54－2log510＝(　　) A．2　　 B．－1 C．－2 D．－5 2．函数f (x)＝＋ln (3－x)的定义域为(　　) A．[0，＋∞)　　 B．(3，＋∞) C．[0，3) D．[0，3] 3．已知函数f (x)＝若a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则abc的取值范围是(　　) A．[10，12]　　 B．(10，12] C．(10，12) D．[10，12) 4．已知log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8课时　对数与对数函数 考点一 1．x＝logaN　a　N　10　lg N　e　ln N 2．(1)0　1　(2)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM　(3)N 典例1　(1)A　(2)64　[(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝(1－lg 2)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1，A正确； log35·log32·log59＝≠3，B错误； ＋eln 2＋＝log78＋2＋5－π≠π，C错误； ×(0.4)-1＝≠1，D错误． 故选A． (2)由题意log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．] 巩固迁移1　(1)4　(2)2　(3)e　[(1)lg＝－2－＋6＝4． (2)∵12a＝3b＝m，且＝2， ∴m>0且m≠1，∴a＝log12m，b＝log3m， ∴＝logm12，＝logm3， ∴＝logm12－logm3＝logm4＝2， ∴m＝2． (3)因为f (ln 2)＝aln 2，f (ln 4)＝aln 4，所以f (ln 2)f (ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e．] 考点二 1．(1)x　(0，＋∞)　(2)R　>　<　<　>　2．y＝x 典例2　(1)B　(2)B　[(1)∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)， ∴ab＝1，∴a＝， ∴g(x)＝＝logax，函数f (x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数， ∴函数f (x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性． (2)2 025x＋log2 025x＝0， 即2 025x＝－log2 025x． 在同一坐标系中作出函数y1＝2 025x， y2＝－log2 025x的示意图，如图所示， 函数y1＝2 025x为增函数，y2＝－log2 025x为减函数，可知两函数图象有且只有一个交点， 所以方程2 025x＋log2 025x＝0有一个实根，故选B．] 巩固迁移2　(1)A　(2)BD　[(1)由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，所以函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的交点是(0，0)．故选A． (2)因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1，B项正确．又因为函数f (x)的图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b>0，即b>－1，又因为函数f (x)的图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0，D项正确．故选BD．] 考点三 典例3　解：方法一(化同底数比较大小) 法一(作差法)：log23－log34＝，因为ln 2·ln 4<＝2<(ln 3)2， 所以log23－log34>0． log34－log45＝， 因为ln 3·ln 5<＝2<(ln 4)2，所以log34－log45>0． 综上有：log23>log34>log45． 法二(综合法)：因为当n>1时，lg n·lg (n＋2)<＝<＝lg2(n＋1)，即lg n·lg (n＋2)<lg2(n＋1)，所以>，即logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)，所以取n＝2和3可得log23>log34>log45． 方法二(化同真数比较大小) 法三：不妨先证：log23>log34⇔证log827>log916，因为log827>log927>log916， 所以log23>log34，再证log34>log45⇔证log2431 024>log256625，因为log2431 024>log2561 024>log256625，所以log34>log45． 综上有：log23>log34>log45． 方法三(插值法比较大小) 法四：因为log23>log22⇔42<33，所以log34<，因为⇔36<45，所以log34>，所以<log34<，因为log45＝⇔25<26，所以log45<． 综上有：log23>log34>log45． 巩固迁移3　A　[a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43>log53>log63，∴a>b>c．故选A．] 典例4　　[由实数a>0，且满足53a+2>54a+1， 根据指数函数的单调性，可得3a＋2>4a＋1， 解得0<a<1， 所以函数y＝logax为减函数， 由不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)， 可得解得<x<， 即不等式的解集为．] 巩固迁移4　B　[logx(x＋2)>1⇔①或② ①无解，②的解为x>1，∴x>1，故选B．] 典例5　C　[设u(x)＝3－2ax(a>0且a≠1)，则u(x)是减函数，要使得函数f (x)＝loga(3－2ax)在[1，2]上单调递增，只需y＝logau为减函数，且满足u(x)＝3－2ax>0在x∈[1，2]上恒成立， 所以解得0<a<．所以实数a的取值范围为．] 巩固迁移5　AB　[由题意可得解得－6<x<4，即f (x)的定义域是(－6，4)，则A正确；f (x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f (x)max＝f (－1)＝2log25，则B正确；因为f (x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f (－4)＝f (2)＝4，所以不等式f (x)<4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；因为f (x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误．] 随堂练习 1．C　2．C　3．C 4．　[由y＝log0.45x在定义域上是减函数和真数大于零得， 解得－2<x<－． 故实数x的取值范围是．] 学科网（北京）股份有限公司 $$