第二章 第7课时 指数与指数函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第7课时　指数与指数函数 [考试要求]　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 考点一　指数与指数幂的运算 1．根式 (1)如果xn＝a，那么_叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． (2)式子叫做__，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝_． 当n为奇数时，＝_； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂的意义是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 规定：0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 (1)aras＝____； (2)(ar)s＝___； (3)(ab)r＝____． (其中a>0，b>0，r，s∈Q)． [典例1]　(1)化简＝(　　) A．1　　 B．－1 C．7－2π D．2π－7 (2)(人教A版必修第一册P107例4改编)①计算：＋； ②化简． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　(1)当n为偶数时，＝|a|，注意与n为奇数时的区别． (2)必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序不可随意改变． 巩固迁移1　(1)(多选)下列各式正确的是(　　) A．＝ B． C．＝－2 D．若＝3，则a2＋a-2＝47 (2)(2024·渭南一模)－＋2560.75－3-1＋2×70的值是(　　) A．105　　 B．33 C．69 D．－23 考点二　指数函数的图象及应用 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是_，_是底数． 2．指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 ______ 性质 过定点_____，即x＝0时，y＝_ 当x>0时，___； 当x<0时，_____ 当x<0时，___； 当x>0时，_____ 在(－∞，＋∞)上是_函数 在(－∞，＋∞)上是_函数 提醒：(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． (2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1进行研究． 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b． 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． [典例2]　(1)(多选)已知函数f (x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>1 D．0<b<1 (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)这一指数型函数y＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象问题，可以从最基本的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象入手，通过平移变换得到；本例(2)中底数a与1的大小关系不确定，应注意分a>1与0<a<1两类来讨论． 巩固迁移2　(1)函数y＝ax－a-1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)若函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 考点三　指数函数的性质及应用 1．比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或借助1，0等中间量进行比较． 2．简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 　比较指数式的大小 [典例3]　(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　 B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中a与b底数相同，先利用指数函数单调性判断a<b；借助中间量1，判断a，b，c与1的大小，得出结论． 巩固迁移3　(2025·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则(　　) A．c<b<a　　 B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a 　解简单的指数方程或不等式 [典例4]　设函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例中，当a<0时，f (a)<1是指数不等式，其求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 巩固迁移4　若x满足不等式≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) 　指数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)若函数f (x)＝a2x2－ax＋1(a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，2)　　 B．(0，1) C．(1，4] D．(－∞，4] (2)(多选)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于坐标原点对称 B．f (x)的图象关于y轴对称 C．f (x)的最大值为1 D．f (x)在定义域上单调递减 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)中，f (x)＝ (a>0且a≠1)由函数y＝at和t＝2x2－ax＋1复合而成，求a的范围的关键是借助“同增异减”这一性质列不等式组求解；本例(2)中，涉及指数函数综合问题，要熟练应用指数函数的相关性质及函数性质分析判断． 巩固迁移5　(多选)已知函数f (x)＝，则(　　) A．函数f (x)的定义域为R B．函数f (x)的值域为(0，2] C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增 D．f ()>f (4) 1．(2024·长沙月考)计算－(－1)0＋＝(　　) A．－　　 B．－ C．－ D． 2．已知函数f (x)＝－3x，则f (x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 3．函数f (x)＝a2x+1－1(a>0且a≠1)过定点________． 4．已知函数f (x)＝ex－，若f (a－2)＋f (a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课时　指数与指数函数 考点一 1．(1)x　(2)根式　(3)a　a　2．　0　3．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr 典例1　(1)A　[ ＝|π－4|＋π－3＝4－π＋π－3＝1．故选A．] (2)解：　①＋＝＝－1－＋8＝7＋＝． ②＝5×(－4)×． 巩固迁移1　(1)CD　(2)B　[(1)选项A，＝＝，故错误； 选项B，，故错误； 选项C，＝－2，故正确； 选项D，将＝3两边平方，得a＋a-1＋2＝9，所以a＋a-1＝7，将a＋a-1＝7两边平方，得a2＋a-2＋2＝49，所以a2＋a-2＝47．故正确．故选CD． (2)由题意得－＋2560.75－3-1＋2×70 ＝－＋2＝(0.3)-1－36＋26－＋2 ＝－36＋64－＋2＝33． 故选B．] 考点二 1．R　a　2．(0，＋∞)　(0，1)　1　y>1　0<y<1　y>1　0<y<1　增　减 典例2　(1)BD　(2)　[(1)观察题图得，函数f (x)＝ax－b是减函数， 因此0<a<1． 法一：设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1， 当x＝0时，y0＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1． 法二：函数f (x)的图象可看作是y＝ax(0<a<1)的图象向下平移得到的，则0<b<1，故选BD． (2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<．综上可知，a的取值范围为． ] 巩固迁移2　(1)D　(2)(0，2)　[(1)函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C错误．故选D． (2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．所以当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点．所以b的取值范围是(0，2)．] 考点三 典例3　D　[由y＝1.01x在R上单调递增，则1<a＝1.010.5<b＝1.010.6， 由y＝0.6x在R上单调递减，则0.60.5<1．所以b>a>c．故选D．] 巩固迁移3　D　[a＝1.30.6>1.30＝1，b＝＝，c＝， 因为指数函数y＝是减函数， 所以<<＝1， 所以b<c<1，所以b<c<a．] 典例4　(－3，1)　[当a<0时，原不等式化为－7<1， 则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0． 当a≥0时，则<1，0≤a<1． 综上，实数a的取值范围是(－3，1)．] 巩固迁移4　B　[由≤可得≤3-2(x-2)，因为y＝3x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤21，即函数y＝2x的值域是．故选B．] 典例5　(1)C　(2)AD　[(1)令t＝2x2－ax＋1，则y＝at，t＝2x2－ax＋1的对称轴为x＝，则t＝2x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．当0<a<1时，y＝at在定义域内单调递减，所以f (x)在上单调递增，在上单调递减．因为f (x)在(1，3)上单调递增，所以不等式无解．当a>1时，y＝at在定义域内单调递增，所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．因为f (x)在(1，3)上单调递增，所以解得1<a≤4．综上，实数a的取值范围为(1，4]．故选C． (2)因为f (－x)＝＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为f (1)＝＝－，f (－1)＝＝，f (1)≠f (－1)，所以f (x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B不正确；因为f (x)＝－＝－1＋，又3x>0，所以3x＋1>1，所以0<<2，所以f (x)∈(－1，1)，故C不正确；因为f (x)＝－＝－1＋，且y＝3x为增函数，所以f (x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递减，故D正确．] 巩固迁移5　ABD　[令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)．对于选项A，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B，因为y＝，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确；对于选项C、D，因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以C不正确，D正确．故选ABD．] 随堂练习 1．C　2．C 3．　[因为y＝at(a>0且a≠1)过定点(0，1)，令2x＋1＝0，得x＝－， 故f＝1－1＝0，故f (x)过定点．] 4．[－2，1]　[因为f (x)＝ex－，定义域为R，f (－x)＝e－x－－ex＝－f (x)， 所以f (x)＝ex－为奇函数． 又因为f (x)＝ex－在R上为增函数， 所以f (a－2)＋f (a2)≤0⇒f (a－2)≤－f (a2)⇒f (a－2)≤f (－a2)，即a－2≤，则a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1． 所以实数a的取值范围是[－2，1]．] 学科网（北京）股份有限公司 $$