第二章 第6课时 幂函数与二次函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第6课时　幂函数与二次函数 考点一 1．y＝xα　2．奇　偶　奇　非奇非偶　奇　3．(2)(1，1)　(0，0)　(3)(1，1)　(4)奇函数　偶函数 典例1　(1)A　(2)C　[(1)设y＝f (x)＝xα，则f＝＝，所以α＝2， 则f (x)＝x2，所以f (3)＝32＝9．故选A． (2)由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”， 所以＜1，故选C．] 巩固迁移1　(1)D　(2)B　[(1)由题知k2＋2k＋2＝1，解得k＝－1，又∵m－3＝0，解得m＝3， ∴f (x)＝x-1＝，∴f (m)＝f (3)＝．故选D． (2)根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知， b＞c＞1＞d＞0＞a，即b＞c＞d＞a．故选B．] 考点二 (1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(2)(m，n)　x＝m 典例2　解：法一(利用二次函数的一般式)：设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7． 法二(利用二次函数的顶点式)： 设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x＝＝． ∴m＝，又根据题意函数有最大值8， ∴n＝8，∴y＝f (x)＝a＋8． ∵f (2)＝－1，∴a＋8＝－1， 解得a＝－4， ∴f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7． 法三(利用二次函数的零点式)： 由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f (x)＝ax2－ax－2a－1． 又函数有最大值8，即＝8． 解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求二次函数解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7． 巩固迁移2　y＝x2－x－4　[设函数解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，则－＝a(1＋2)(1－4) ，解得a＝．故所求函数的解析式为y＝(x＋2)(x－4)，即y＝x2－x－4．] 考点三 R　－　减　增　增　减 典例3　A　[由题意，知a<0，由抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，所以－＝1，2≤c≤3，a－b＋c＝0，函数图象与x轴的另一交点为(3，0)．则x>3时，y<0，A正确；当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，B错误；由－＝1，知2a＋b＝0，又a<0，所以3a＋b<0，D错误；由a－b＋c＝0，b＝－2a，得c＝－3a，又2≤c≤3，所以－1≤a≤－，C错误．故选A．] 巩固迁移3　ABD　[函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝－，与x轴的交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．A中，a<0，－<0，－<0，>0，则a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；B中，a<0，－>0，－>0，<0，则a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；C中，a>0，－<0，－<0，>0，则a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；D中，a>0，－>0，－>0，>0，则a>0，b<0，c>0，∴abc<0，符合题意．故选ABD．] 典例4　(1)A　(2)A　[(1)因为f (x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 依题意3b≤，所以b≤， 所以f (x)在区间[a，b]上单调递增， 所以即 所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4，故选A． (2)函数f (x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b． ①当b>1时，f (x)在[0，1]上单调递减，则M＝f (0)＝3a，m＝f (1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关； ②当b<0时，f (x)在[0，1]上单调递增，则M＝f (1)＝1－2b＋3a，m＝f (0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关； ③当0≤b≤1时，m＝f (b)＝3a－b2，若0≤b≤，则f (1)≥f (0)，有M＝f (1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关， 若b>，则f (1)<f (0)， 有M＝f (0)＝3a， ∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关． 综上，M－m的值与a无关，与b有关．故选A．] 巩固迁移4　解：(1)当a＝2时，f (x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 又x∈，所以f (x)min＝f (－1)＝－4，f (x)max＝f (3)＝12， 所以函数f (x)的最大值为12，最小值为－4． (2)f (x)的对称轴为x＝－，开口向上． ①当－≤1，即a≥－2时， f (x)min＝f (1)＝a－2＝1，即a＝3，符合题意； ②当－≥3，即a≤－6时， f (x)min＝f (3)＝3a＋6＝1， 即a＝－，不符合题意； ③当1<－<3，即－6<a<－2时， f (x)min＝f＝－－3＝1，无解，不符合题意． 综上，实数a的值为3． 随堂练习 1．D　2．D 3．AD　[因为图象与x轴交于两点， 所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确． 对称轴为x＝－1， 即－＝－1，2a－b＝0，B错误． 结合题图，当x＝－1时，y>0， 即a－b＋c>0，C错误． 由对称轴为x＝－1知，b＝2a． 根据抛物线开口向下，知a<0， 所以5a<2a，即5a<b，D正确．] 4．[－3，0]　[当a＝0时，f (x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件； 当a≠0时，f (x)的对称轴为x＝， 由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减知解得－3≤a＜0． 综上，a的取值范围为[－3，0]．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6课时　幂函数与二次函数 [考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 考点一　幂函数的图象及性质 1．定义：一般地，函数____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．常见的五种幂函数的图象及性质 项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 _函数 _函数 _函数 ____函数 _函数 单调性 单调 递增 x∈[0，＋∞) 时，单调递增 x∈(－∞，0] 时，单调递减 单调 递增 单调 递增 x∈(0，＋∞) 时，单调递减 x∈(－∞，0) 时，单调递减 公共点 (1，1) 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义． (2)当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调递增． (3)当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减． (4)当α为奇数时，y＝xα为___；当α为偶数时，y＝xα为___． 提醒：(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质． (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． [典例1]　(1)(人教A版必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则f (3)的值为(　　) A．9　　 B．3 C． D． (2)(2024·保定期中)若幂函数y＝(m，n∈N*，且m，n互素)的图象如图所示，则下列说法中正确是(　　) A．m，n是奇数且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m，n是偶数，且>1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)中，应注意幂函数的特征：①形式都是f (x)＝xα，其中α是常数，底数x是自变量；②幂函数式前的系数都是1；③幂函数中只有一个未知数x．所以只需知道幂函数图象上一个点的坐标，就可以利用待定系数法设出函数表达式，进而求出解析式．本例(2)考查幂函数图象及性质的理解，应熟悉常见的五种幂函数的图象． 巩固迁移1　(1)(2024·河南月考)已知f (x)＝(k2＋2k＋2)x2k+1＋m－3是幂函数，则f (m)＝(　　) A．3　　 B． C．6 D． (2)(2025·信阳新县模拟)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则(　　) A．a＞b＞c＞d　　 B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a 考点二　二次函数的解析式 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x)＝_____________． (2)顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；其中，_____为抛物线顶点坐标，___为对称轴方程． (3)零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标． [典例2]　已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 巩固迁移2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点，则函数解析式为____________． 考点三　二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 _ 值域 对称轴 x＝ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递_； 在上单调递_ 在上单调递_； 在上单调递_ 　二次函数的图象 [典例3]　如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在点(0，2)与点(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0 C．－1<a<－ D．3a＋b>0 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，如本例中，顶点(1，n)，A(－1，0)及A关于x＝1的对称点；“一线”指对称轴这条直线，本例中是“x＝1”；“一开口”是指抛物线的开口方向，本例中，开口向下，则a<0． 巩固迁移3　(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 　　　　　 A　　　　　　　　B 　　　　　 C　　　　　　　　D 　二次函数的单调性与最值 [典例4]　(1)已知函数f (x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　) A．－4　　 B． C．2 D． (2)若函数f (x)＝x2－2bx＋3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　) A．与a无关，与b有关 B．与a有关，与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型： ①对称轴、区间都是给定的． ②对称轴动、区间固定． ③对称轴定、区间变动． (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 巩固迁移4　(2024·北京五十五中校考期中)已知函数f (x)＝x2＋ax－3． (1)当a＝2，x∈时，求函数f (x)的最大值和最小值； (2)若函数f (x)在上的最小值为1，求实数a的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知幂函数f (x)的图象经过点，则f (8)的值等于(　　) A．　　 B．4 C．8 D． 2．(2025·青岛模拟)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1　　　　 B．－1＜n＜0＜m C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1 3．(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．下面四个结论正确的为(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 4．函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$