第二章 第5课时 函数的对称性及应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第5课时 函数的对称性及应用 [考试要求]1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论，2. 会利用对称公式解决问题. 日考点一轴对称问题 若函数y=fw)满足fa十x)=fb一x),则y=fx)的图象关于直线x=岁对称.特 别地，当a=b时，fa十x)=f(a一x)片f(2a十x)=f(一x)y=fw)的图象关于x= a对称台y=f(r十a)是偶函数 [典例1](2025·株洲模拟)已知fx)是定义在R上的奇函数，且函数f(x+1)为 偶函数，当-1≤x≤0时，f)=3,则f(号)等于() A.吉 B.一诗 c. D.- [听课记录] 反思领悟f(x十1)为偶函数台函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称台f(1十x) =f(1一x)台fx)=f(2一x). 巩固迁移1(2023·全国乙卷节选)已知函数f)=（是+a)n(1十x),是否存在 a,b,使得曲线y=f（是)关于直线x=b对称？若存在，求a,b的值；若不存 在，说明理由 回考点二中心对称问题 若函数y=fx)满足fx)十f2a一x)=2b,则y=fx)的图象关于点(@，b)对称.特 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 别地，当b=0时，f(a十x)+f(a一x)=0→fx)+f(2a一x)=0→y=f(x)的图象关 于点(a,0)对称台y=f(x十a是奇函数. [典例2](1)（多选）若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列 说法正确的是() A.f(x)=f(-x) B.f(2+x)+f(2-x)=0 C.f(-x)=-fc+4) D.f(x+2)=f(x-2) (2)已知函数f(x)满足f(x)+f(一x)=2,gx)=是+1，y=f(x)与y=g(x)的图象有4 个交点，则这4个交点的纵坐标之和为 [听课记录]. 反思领悟本例(1)中，函数y=f(x)图象关于点(2,0)对称台f(4一x)+f()=0 台f(2一x)+f(2十x)=0.本例(2)中，f(x)十f(一x)=2台函数y=f(x)的图象关于点 (0,1)对称 巩固迁移2若函数f(x)满足f(2一x)十f(x)=一2，则下列函数中为奇函数的是 () A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 可考点三两个函数图象的对称 函数y=f(a十x)的图象与函数y=f仍一)的图象关于直线x=学对称. 特别地， (1)函数y=f(x)图象与y=f(一x)图象关于y轴对称： (2)函数y=f(x)图象与y=一f(x)图象关于x轴对称； (3)函数y=f(x)图象与y=一f(一x)图象关于原点对称. [典例3】已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)的图象与y *独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =f(4一x)的图象( A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 [听课记录] 反思领悟函数y=fx十2)的图象与y=f4-x)的图象关于直线x=号=1对称。 巩固迁移3下列函数图象与y=e的图象关于直线x=1对称的是() A.y=er-l B.y=el C.y=e2x D.y=Inx 微点突破3]抽象函数 1.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函 数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法， 2.常见的抽象函数模型： (1)/(y)=fxfy)可看作f)=x的抽象表达式. (2r6)=fY减f(倍)=得0≠0，且f0)≠0可看作幂函数f=x的抽 象表达式 f(x (3f(cx+)=f(cf0)或f(x-)=f0y)≠0)可看作指数函数fx)=a(a0,且a ≠1)的抽象表达式 (4f(y)=f)十f0y或f(多)=f)-f00≠0)可看作对数函数f)=log(a>0, 且a≠1)的抽象表达式。 >考向1抽象函数求值 [典例1]定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十fy)+2(x,y∈R),f(1) =2,则f(一2)等于 [听课记录1. 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 反思领悟本题解答关键是选取适当的特殊值进行求解， 应用体验1已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x十y)=f(x)+fy) +1,则f(4)= >考向2 抽象函数的性质 [典例2]若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1,2∈R,都有f(1十x) =f(m)+f2),且当>0时，f(x)0,则( A.f(x)是奇函数，且在R上是增函数 B.f()是奇函数，且在R上是减函数 C.f(x)是奇函数，但在R上不是单调函数 D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性 [听课记录1. 反思领悟对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调 性、奇偶性的定义进行求解. 应用体验2定义在R上的偶函数f(x)满足f(1一x)=f(1+x),且在[一1,0]上单 调递增.设a=f3),b=f(y2),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( ) A.ab>c B.a-c-b C.b-c-a D.c>b-a 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ””””””9”+++””””””””””” ** 随堂练习 1.函数f)=装图象的对称中心为 A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) 2.已知定义在R上的函数f(x)在（一∞，2）上单调递增，且f(x+2)=f(2一x)对 任意x∈R恒成立，则() A.f(-1)f(3) B.f(0)Pf(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) 3.己知函数y=f(x十2)一3是奇函数，且f(4)=2,则f0)= 4.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x∈[2,3]时，fx)=2x一1， 则f(一1) 提示}请完成《课后习题（十）》 见第296页 ·独家授权侵权必究· 第5课时　函数的对称性及应用 考点一 典例1　A　[由函数f (x＋1)为偶函数，可得函数f (x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f (2＋x)＝f (－x)， 因为f (x)是定义在R上的奇函数， 所以f (4＋x)＝f (－2－x)＝－f (2＋x)＝－f (－x)＝f (x)， 可得函数f (x)的周期为4， 所以f＝f＝－f ＝－＝．] 巩固迁移1　解：假设存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称． 令g(x)＝f＝(x＋a)ln ＝(x＋a)ln ， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)，即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ， 于是解得 当a＝，b＝－时， g(x)＝ln ， g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意． 故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－． 考点二 典例2　(1)ABC　(2)4　[(1)因为f (x)为偶函数，则f (x)＝f (－x)，故A正确；因为f (x)的图象关于点(2，0)对称，对于f (x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f (4－x)＝－y＝－f (x)，用2＋x替换x得到，f (4－(2＋x))＝－f (2＋x)，即f (2＋x)＋f (2－x)＝0，故B正确；由f (2＋x)＋f (2－x)＝0，用x＋2替换x，可得f (x＋4)＋f (－x)＝0，即f (－x)＝－f (x＋4)，故C正确；由B知，f (2＋x)＝－f (2－x)＝－f (x－2)，故D错误．故选ABC． (2)因为f (x)＋f (－x)＝2，所以y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称，y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0，1)对称，则交点关于(0，1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4．] 巩固迁移2　D　[因为f (2－x)＋f (x)＝－2，所以f (x)的图象关于点(1，－1)对称，所以将f (x)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x＋1)＋1的图象，该函数的图象的对称中心为(0，0)，故y＝f (x＋1)＋1为奇函数．故选D．] 考点三 典例3　A　[设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称．] 巩固迁移3　C　[f (x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是函数f (2－x)＝e2-x的图象．故选C．] 微点突破3　抽象函数 典例1　2　[∵f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2xy(x，y∈R)，f (1)＝2， ∴令x＝y＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＋2＝6， 再令x＝2，y＝－1，得f (2－1)＝f (2)＋f (－1)－4＝2， ∴f (－1)＝0， ∴f (－2)＝f (－1)＋f (－1)＋2＝2．] 应用体验1　7　[令x＝y＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＋1＝3， 令x＝y＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＋1＝7．] 典例2　B　[令x1＝x2＝0，则f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0．令x1＝x，x2＝－x，则f (－x)＋f (x)＝f (x－x)＝f (0)＝0，所以f (－x)＝－f (x)，故函数f (x)是奇函数． 设x1<x2，则f (x2)－f (x1)＝f (x2)＋f (－x1)＝－x1)． 因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)<0，故f (x2)<f (x1)，所以函数f (x)在R上是减函数．故选B．] 应用体验2　D　[因为函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝f (3)＝f (－1)，b＝f ()＝f (2－)，c＝f (2)＝f (0)． 又函数f (x)是偶函数，且在[－1，0]上单调递增，所以a＝f (1)，且函数f (x)在[0，1]上单调递减． 又0<2－<1，所以f (0)>f (2－)>f (1)，即c>b>a．故选D．] 随堂练习 1．B　[因为f (x)＝＝1＋， 由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象， 又y＝的图象关于(0，0)对称， 所以f (x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称．] 2．A　[由f (x＋2)＝f (2－x)知f (x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f (－1)＝f (5)，f (0)＝f (4)，又f (x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f (3)>f (4)>f (5)， 即f (3)>f (0)>f (－1)．故选A．] 3．4　[法一：由y＝f (x＋2)－3是奇函数， ∴f (－x＋2)－3＝－f (x＋2)＋3， 令x＝2，f (0)－3＝－f (4)＋3，得f (0)＝4． 法二：由y＝f (x＋2)－3是奇函数， 得f (x)图象关于(2，3)对称， 故f (0)＋f (4)＝6，即f (0)＝4．] 4．5　[∵f (x)为偶函数，∴f (－1)＝f (1)， 由f (x)的图象关于直线x＝2对称， 可得f (1)＝f (3)＝2×3－1＝5， ∴f (－1)＝5．] 学科网（北京）股份有限公司 $$