第二章 第4课时 函数的奇偶性、周期性-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第4课时　函数的奇偶性、周期性 [考试要求]　1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用． 考点一　函数奇偶性的判断 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于__对称 奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且_____________，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于__对称 提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域． [常用结论]　奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． [典例1]　(人教A版必修第一册P84例6改编)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x3－； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝ (4)f (x)＝loga(mx＋)(m≠0)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，否则既不是奇函数也不是偶函数． (2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立． 巩固迁移1　(1)(多选)下列命题正确的是(　　) A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数y＝x sin x是偶函数 C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D．函数y＝是奇函数 (2)已知f (x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)＋g(x)为R上的奇函数 B．f (x)－g(x)为R上的偶函数 C．为R上的偶函数 D．|f (x)g(x)|为R上的偶函数 考点二　函数奇偶性的应用 [典例2]　(1)(2024·邯郸期末)已知f (x)为奇函数，当x＞3时，f (x)＝x2－，则f (－4)＝(　　) A．－9　　 B．9 C．－17 D．17 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0 C． D．1 (3)(2024·海淀区二模)设f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f (x)＝x2＋1，则f (x)的解析式为____________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)先求出f (4)，再借助奇函数f (－x)＝－f (x)来解决；本例(2)先求出定义域(定义域优先)，再利用奇函数×奇函数＝偶函数，将f (x)分成两个函数相乘，分别讨论其奇偶性，或用特殊值求a；本例(3)求解析式，先将待求区间(－∞，0)的自变量转化到已知解析式x>0时，f (x)＝x2＋1上，再利用f (－x)＝－f (x)求解． 巩固迁移2　(1)已知奇函数f (x)的定义域为R，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝－－m，若f (－2 024)＋f (0)＝2，则实数m＝________． (2)已知函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f (x)＋g(x)＝2·3x，则函数f (x)＝________． 考点三　函数的周期性及应用 1．周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____________，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个__的正数，那么这个____就叫做f (x)的最小正周期． [常用结论] 对f (x)定义域内任一自变量的值x： (1)f (x＋a)＝f (x－a)，则函数的周期为2a； (2)f (x＋a)＝－f (x)，则函数的周期为2a； (3)f (x＋a)＝－(f (x)≠0)，则函数的周期为2a． [典例3]　(1)(2024·安康统考)设f (x)是定义域为R的偶函数，且f (2＋x)＝f (－x)，f ＝，则f 等于(　　) A．－　　 B．－ C． D． (2)(2025·泸州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值为(　　) A．2 024　　 B．2 023 C．1 D．0 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)的解题关键是根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；本例(2)的解题关键是利用函数的周期性，求出f (1)，f (2)，f (3)的值，进而解决问题． 巩固迁移3　(1)已知f (x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，若当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋a)，则f (－7)＝(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．2 (2)若f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，且f (1)＝－5，则f (f (5))＝________． 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x　　 B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝2x 2．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝－f (x)，则f (2 024)＝(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．2 3．已知函数f (x)＝2x－2－x＋5，若f (m)＝4，则f (－m)等于(　　) A．4　　 B．6 C．－4 D．－6 4．(2024·兰州期中)已知函数f (x)＝是奇函数，则实数a的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4课时 函数的奇偶性、周期性 考点一 f(一x)=f(x)y轴f(一x)=一fx)原点 典例1解：(1)函数的定义域为{xx≠0}，关于原，点对称，且对于定义域内的任 意一个x都有f(一x)=(一x)3-云=一（x3-是)=一f),从而函数f)为奇函 数 (2f(x)的定义域为{一1,1}，关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数。 (3)/(x)的定义域为R,关于原点对称，当0时，f(一x)=一（一x)2-2=一(x2+ 2)=一f(x):当x<0时，f(一x)=(一x)2+2=-(-x2-2)=一f(x):当x=0时，f (0)=0,也满足f(一x)=一f(x).故该函数为奇函数。 (Nx241-m3x3 (4f()的定义域为R,f(-x)=logd-mx+Vm2x2+1)=logamx++m =loga (V(m2x2+1)+mx)1=-logd(mx+vm2x2+1)=-f(), 所以f(x)为奇函数. 巩固迁移1(1)BC(2)D[(1)对于A,只有奇函数在x=0处有定义时，函数的 图象过原，点，所以A不正确： 对于B,因为函数y=x sinx的定义域为R且f(一x)=(一x)sin(一x)=f(x), 所以该函数为偶函数，所以B正确： 对于C,再数y=x十1一x一1的定义域为R, 且f(-x)=|-x+1川--x-1 =-(x+1一x-1)=一f(x), 所以函，数为奇函数，所以C正确： 对于D,函数y=台满足x一10，即x≠L, 所以函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数既不是奇西数也不是偶函数，所以D不正确 (2)因为f(x)为R上的奇函数， g(x)为R上的偶函数， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 所以f(一x)=一f(x),g(一x)=g(x). 对于A,x∈R,设F(x)=f(x)十g(x), 则F(一x)=f(-x)十g(一x)=一f()十gx)≠一fx)一gx)=一F(),故错误： 对于B,x∈R,设N(x)=f(x)一gx), 则N(一x)=f(一x)一g(-x)=一fx)g)≠f:)一gx)=Nx),故错误； i( 对于C,x∈R,g()≠0，设M)=0, M-器=-器=-M)≠M.故错误： 对于D,x∈R,设H(x)=f(x)gx, Hx=x-x=f)gx)=fgx)=), 所以H(x)为偶函数，故正确.] 考点二 1x2+1(x>0) 0(x=0) 典例2(1)A(2)B(3)fx)= -x2-1(x<0) [(1)因为f(x)为奇函数，当 x>3时，f)=2-马，所以f④=9， 则f(-4)=一f(4)=-9.故选A. 2)法-：设g)=血号，易知g)的定义浅为(-0，-)U(传，+∞)， 且g-x=h器号=n器=一h2器=一g,所以g)为奇函数.若f =(x十a)血为偶函数，则y=x十a也应为奇函数，所以a=0,故选B. 法二：国为f)=(c十aln为偶函数，f-1)=(a-1)n3,f1)=(a十1)h者 =一(a+1)ln3,所以(a一1)n3=-(a+1)ln3,解得a=0,经验证，a=0符合题 意.故选B (3)因为f(x)是定义在(-∞，十∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)=x2+1, 所以当x=0时，f(0)=0: 当x<0时，一x>0,则有f(-x)=(一x)2+1=x2+1=一f(x)→fx)=一x2一1， 1x2+1(x>0), 0(8=0), 综上所述，f()= -2-1(x<0).J 巩固迁移2(1)1(2)3x+3x[1)由f(x)为R上的奇函数，得f(一x)=一f(x)且 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f(0)=0,又f(一2024)+f(0)=2,所以1+m+0=2,得m=1. (2)因为f(x)十g(x)=2·3x,所以f(-x)十g(-x)=2·3-x,又fx),g(x)分别是定 义在R上的偶西数和奇函数，所以f(一x)=∫（心），g(一x)=一g(x),所以f(一x) +g(-x)=f(x)一g(x)=2·3-x, ∫f(x)+g(x)=23, 则f(x）-g(x)）=23,两式相加得，2)=23+23，所以f)= 3x+3-x.】 考点三 1.f(x十T)=f(x)2.最小最小正数 典例3(I)C(2)D[(1)因为fx)是定义域为R的偶函数，所以f(一x)=fx, 故f(2+x)=f(一x)=fx), 所以f()的一个周期为2， 故()=（号-4）=() =-)= (2)因为f()的周期为3， f(-1)=1,则f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1, 又f(0)=一2，则f(3)=f(0十3)=f(0)=一2， 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数， 故f(1)=f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f3)=0. 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=675×0=0.1 巩固迁移3(1)C(2)5[1)f)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)=0,得a=1,.当x∈[0,1]时， f(x)=log2x+1),x∈R,都有f(x+4)=fx), f(x)是周期为4的周期函数， f(-7)=f(-7+8)=f(1)=1.故选C (2)因为f(x十2)=一f(x),所以T=4,所以f(5)=f(1)=一5，所以f(f(5)=f (-5)=f(-1) 令x=-1,则f(1)=一f(一1)=一5， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以f(f(5)=f(-1)=5.] 随堂练习 1.B2.B 3.B[由题意知，函数f(x)的定义域为R,关于原点对称， 设g(x)=f(x)-5=2r-2-x, 则g(一x)=2x一2x=一g(x), 即g(x)是奇函数， 故g(m)十g(-m)=0, 即f(m)一5+f(-m)一5=0， 即f(m)+f(一m)=10, 因为f(m)=4, 所以f(一m)=6.】 4.1[由题得其自变量的取值须满足1一x2>0,即为一1<x<1,中间有0， 0--a 又因为奇函数中0)=0，所以f0)=司=1-a=0→a=1.】 ·独家授权侵权必究·