第二章 第2课时 函数的单调性与最值(一)-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第2课时　函数的单调性与最值(一) [考试要求]　1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 考点一　函数单调性的判断 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上____或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，___叫做y＝f (x)的单调区间． 提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域． (2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接． [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在区间I上单调递增； (2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在区间I上单调递减． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f (x)(f (x)>0或f (x)<0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． [典例1]　(1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－　　 B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1) (2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)选项A利用常用结论3解答，选项B用图象法解答，选项C用导数法解答，选项D利用常用结论4解答，即外层函数y＝lg t和内层函数t＝x＋1均为增函数，根据“同增异减”的原则，y＝lg (x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．本例(2)提醒同学们，函数在不同区间上单调性相同，一定要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 巩固迁移1　(1)下列函数在R上为增函数的是(　　) A．y＝x2　　 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ (2)函数y＝的单调递减区间是________． 考点二　利用定义证明函数的单调性 [典例2]　(人教A版必修第一册P79例3改编)试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”． 巩固迁移2　已知定义域为(－1，1)的函数f (x)＝，判断函数f (x)的单调性，并证明． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　利用单调性求参数的取值范围 [典例3]　(1)已知函数f (x)＝在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，＋∞)　　 B．(－∞，1] C．(0，1) D．[0，1] (2)若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 巩固迁移3　(1)(2024·广东江门模拟)若函数f (x)＝x2－2kx＋1在[3，5]上单调递增，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，3]　　 B．[3，5] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞) (2)已知函数f (x)＝满足∀x1，x2∈R且x1≠x2，有>0成立，则实数a的取值范围是________． 1．下列函数是增函数的为(　　) A．f (x)＝－x　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝x2 D．f (x)＝ 2．已知函数f (x)＝则f (x)的单调递增区间为(　　) A．(0，1)　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(0，＋∞) 3．函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是________． 4．设函数f (x)＝－2x，证明：函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　函数的单调性与最值(一) 考点一 1．f (x1)<f (x2)　f (x1)>f (x2)　2．单调递增　区间I 典例1　(1)ACD　(2)(－∞，0)，(1，＋∞)　[(1)∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ACD． (2)由题意知g(x)＝ 该函数图象如图中实线部分所示， 其单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．] 巩固迁移1　(1)B　(2)(－∞，－6]　[(1)y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误； y＝x在R上为增函数，故B正确； y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0，解得x≤－6或x≥4， 又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增， 结合复合函数的单调性的判定方法， 可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6]．] 考点二 典例2　解：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， f (x)＝a＝a， 则f (x1)－f (x2)＝a－a＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)， 函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0， 即f (x1)<f (x2)， 函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 巩固迁移2　解：函数f (x)＝在(－1，1)上为增函数．证明如下：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝＝，又－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1x2－1<0，则有f (x1)－f (x2)<0，故f (x)在(－1，1)上为增函数． 考点三 典例3　(1)D　(2)(－∞，－3]　[(1)因为y＝x2－ax＋1＝＋1－的对称轴为x＝，所以y＝x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．因为函数f (x)＝在其定义域上单调递减，所以解得0≤a≤1． (2)y＝＝1＋，由题意知得a≤－3，所以a的取值范围是(－∞，－3]．] 巩固迁移3　(1)A　(2)　[(1)由f (x)＝x2－2kx＋1，知函数f (x)图象开口向上，且对称轴为x＝k， 要使f (x)在[3，5]上单调递增， 则有k≤3，即实数k的取值范围为(－∞，3]． (2)因为∀x1，x2∈R且x1≠x2，有>0成立，所以函数f (x)在R上单调递增，所以 解得0<a≤．] 随堂练习 1．D　2．A 3．[1，2]　[f (x)＝作出f (x)的大致图象如图所示，由图象知f (x)的单调递减区间是[1，2]． ] 4．证明：∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝－2x1＋2x2＝－2(x1－x2) ＝， 因为0≤x1<x2， 所以<1， 所以>0， 所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)， 所以函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $$