第二章 第1课时 函数的概念及其表示-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

　函数的基本性质综合性较强，应用起来灵活多变，且渗透性很高，是高考的热点和难点．高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数性质的应用，常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 　(2024·新高考Ⅰ卷T6)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]　　　　　　　 B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) [阅读与思考]　因为函数f (x)在R 上单调递增，且当x<0时，f (x)＝－x2－2ax－a，所以f (x)＝－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f (x)在R上单调递增，则－a≤f (0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1． 综上，实数a的取值范围是[－1，0]．故选B． 归纳总结：根据函数单调性构建参数满足的不等式(组)是解答本题的关键．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 　本题源自北师大版教材必修第一册P73复习题二C组T3．教材原题与真题实质都是以分段函数为载体，考查利用函数单调性求参数的取值(范围)．求解方法完全一样，都是根据单调性构建参数满足的不等式组，不同之处在于教材原题中当x≥0时，f (x)＝－x＋3a，为一次函数；而真题中，当x≥0时f (x)＝ex＋ln (x＋1)，为指对复合函数，难度稍高于教材． 试题评价：本题以判断函数单调性的方法为素材，考查学生的逻辑推理能力，运算能力．在学习中，我们应遵循教育规律，突出数学本质，夯实基础，回归课标，重视教材和课本基本概念的学习理念． 附：(北师大版必修第一册复习题二P73C组T3)已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第1课时　函数的概念及其表示 [考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 考点一　函数的概念 概念 一般地，设A，B是______，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_______和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 定义域 x的取值范围A 对应 关系 y＝f (x)，x∈A 值域 与x的值相对应的y值的集合___________ 提醒：以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f (x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为． [典例1]　(1)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，如图所示的图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　　) A　　　　　　B C　　　　　　D (2)已知函数f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则f (2x－1)的定义域为(　　) A．(－4，1)　　 B． C．(－9，1) D． (3)(人教A版必修第一册P65例2改编)函数f (x)＝＋(x－1)0的定义域为____________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)考查对函数概念的理解，关键在于集合A中任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y与之对应；本例(2)中，f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则由－5<x<0得到x＋1∈(－4，1)，就是f (x)的定义域；进而由－4<2x－1<1解得x∈即为f (2x－1)的定义域；本例(3)特别要注意(x－1)0中x－1≠0． 巩固迁移1　(1)若函数f (x)＝的定义域为M，则M＝(　　) A．[2，＋∞)　　 B．(3，＋∞) C．[2，3) D．[2，3)∪(3，＋∞) (2)若函数f (x)的定义域为[－2，4]，则y＝的定义域为(　　) A．(1，8]　　 B．[－4，1)∪(1，8] C．(1，2] D．[－1，1)∪(1，2] (3)已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，2]　　 B．[0，8) C．(0，8] D．(0，8) 考点二　同一个函数 如果两个函数的___相同，并且____完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． [典例2]　(2025·深圳坪山区模拟)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x－1 C．y＝与y＝x D．y＝与y＝x [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　只有定义域和对应关系(化简之后的解析式)都相同的两个函数才是同一个函数． 巩固迁移2　下列选项中是同一个函数的是(　　) A．y＝x0－1与y＝0 B．y＝·与y＝ C．y＝x与z＝ D．y＝x2＋x与y＝ 考点三　函数解析式 [典例3]　求下列函数的解析式． (1)已知f ＝ln x，求f (x)； (2)已知f ＝x4＋，求f (x)； (3)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)用的“换元法”，关键令＋1＝t，要注意换元前后自变量范围的变化；本例(2)用的“配凑法”，关键是发现x4＋＝－2；本例(3)用的“待定系数法”，已知函数类型，均可用此法；本例(4)用的“解方程组法”，关键是用－x替换已知式中的x，构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)． 提醒：定义域不要漏写． 巩固迁移3　(1)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________． (2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________． (3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________． 考点四　分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． 提醒：(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． [典例4]　(1)已知函数f (x)＝那么f (3)的值是(　　) A．8　　 B．7 C．6 D．5 (2)已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　由于分段函数在x的不同取值范围内对应的解析式不同，所以做题时应注意函数解析式的选择．本例(1)因为3>0，所以代入f (x)＝2x中；本例(2)在求解时要先内后外，即先求出f ()的值为2，再求f (f ())＝f (2)＝1＋a． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 巩固迁移4　(1)(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是(　　) A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为(－∞，4] C．若f (x)＝2，则x的值是－ D．f (x)<1的解集为(－1，1) (2)已知函数f (x)＝若f (a)＝4，则实数a的值是________；若f (a)≥2，则实数a的取值范围是________________． 1．(2025·长沙雨花区模拟)函数f (x)＝的定义域是(　　) A．[－2，2] 　　 B．(－2，2)　 C．{x|x＜－2，或x＞2} 　　 D．{－2，2} 2．(2024·济南二模)下列四组函数，表示同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x＋1，g(x)＝ B．f (x)＝，g(x)＝x C．f (x)＝|x|，g(x)＝－x D．f (x)＝x＋1，g(t)＝t＋1 3．(2024·聊城一中期中)已知函数f (x)＝则f (3)＋f (4)＝(　　) A．37　　 B．41 C．19 D．23 4．已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，则f (x)的解析式为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数 第1课时　函数的概念及其表示 考点一 非空的实数集　唯一确定的数y　{f (x)|x∈A} 典例1　(1)D　(2)B　(3)∪(1，＋∞)　[(1)对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于B，当2<x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确．故选D． (2)因为函数f (x＋1)的定义域是(－5，0)，设t＝x＋1，所以t∈(－4，1)，则f (t)的定义域为(－4，1)，所以2x－1∈(－4，1)，解得x∈．故选B． (3)要使函数f (x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x>且x≠1，因此，函数f (x)的定义域为∪(1，＋∞)．] 巩固迁移1　(1)D　(2)D　(3)B　[(1)由已知得解得x≥2且x≠±3，即函数f (x)＝的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)．故选D． (2)由题意得解得－1≤x≤2且x≠1．故选D． (3)因为函数定义域为R，所以ax2＋ax＋2≠0在x∈R上恒成立．当a＝0时，ax2＋ax＋2＝2≠0满足要求；当a≠0时，要满足Δ＝a2－8a<0，解得0<a<8．综上，0≤a<8．故选B．] 考点二 定义域　对应关系 典例2　D　[对于选项A：y＝的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为R，故错误； 对于选项B：y＝＝|x－1|和函数y＝x－1的对应关系不同，故错误； 对于选项C：y＝的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为R，故错误； 对于选项D：y＝＝x的定义域为R，函数y＝x的定义域为R，故正确． 故选D．] 巩固迁移2　C　[y＝x0－1的定义域为{x|x≠0}，y＝0的定义域为R，故A错误； y＝·的定义域为{x|x≥2}，y＝的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故B错误； y＝x，z＝＝y，定义域、值域、对应关系均相同，故C正确； y＝x2＋x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠0}，故D错误．故选C．] 考点三 典例3　解：(1)令＋1＝t(t>1)， 则x＝， ∴f (t)＝ln ， ∴f (x)＝ln (x>1)． (2)∵f＝x4＋＝－2， 令t＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号， ∴f (t)＝t2－2(t≥2)， ∴f (x)＝x2－2(x≥2)． (3)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则3f (x＋1)－2f (x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f (x)＝2x＋7． (4)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，① ∴将x用－x替换得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①②解得f (x)＝3x． 巩固迁移3　(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)－x－　(3)4x＋1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2， 代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3， 因为＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)． (2)因为f (x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f (x)＝，② ①＋②×2得－3f (x)＝2x＋， 所以f (x)＝－x－． (3)因为f (x)为单调递增的一次函数，所以设f (x)＝ax＋b，a>0，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5， 所以a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1．因此f (x)＝4x＋1．] 考点四 典例4　(1)A　(2)2　[(1)因为函数f (x)＝ 所以f (3)＝23＝8．故选A． (2)因为>2，所以f ()＝6－4＝2， 所以f (f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．] 巩固迁移4　(1)BC　(2)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞)　[(1)函数f (x)＝ 的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f (x)＝x2的值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2的值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f (x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC． (2)若f (a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5． 若f (a)≥2， 则或 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．] 随堂练习 1．D　2．D　3．B 4．f (x)＝x2－x＋2　[设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f (0)＝2，得c＝2， 又f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即 ∴f (x)＝x2－x＋2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$