江苏省镇江第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.《哪吒2》、 《封神2》、《侠之大者》三部贺岁片引爆了2025年春节电影市场.某电影院同时 段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有() A.4种 B.3种 C.A种 D.C种 答案【B】 2.已知(1+2x)的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则(1+2x)”的展开式的各项系数之和 为() A.2 B.2 C.3 D.3 答案【C】 3.在平行六面体ABCD-AB,C,D中，M为AC与BD的交点，若AB=ā， AD=6,AA=c,则下列向量中与BM相等的向量是(). A.-a+b+c 11 B. a+-b+c 22 2 2 C. 3a-3b+c 1-1 22 D.-70-b+d 2 答案【A】 4.已知数据x1,2,,x的平均数为x,标准差为s,则数据21,22，，2xn的平均数和标准 差分别为() A.2x,25 B.2x,4s C.2x2s D.X,4s 答案【A】 5.若函数f)满足f()=-f")x-x,则f"(2)的值为（) A.0 B.1 C.3 D.-1 答案【c】 6.已知a=(1,-l,0),6=(0,l),c=(1,2,m),若a,6,c共面，则实数m=() A.-1 B.3 C.1 D.-2 答案【B】 7.若曲线y=(x-ae有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 A.(-∞，0)U(4,+o)B.（-o,0]U[4,+o）C.(-0,0]U(4,+∞) D.(-0,0)U[4,+o) 答案【A】 &.已知实数a,b,CeR,满足2@）-的=-匹<0则abe的大小关系M) a bc A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 答案【D】 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符 合题目要求的.余部选对的得.6分，.部分选对得部分分. 9.下列命题中正确的是() A.数据-1,1,2,4,5,6,8,9的第25百分位数是1 B.事件M、N的概率满足P(M∈(O,),P(N)∈(O,),P(MM)+P(N)=1,则M、N相互独立 C已知随机变量X~0》,若D收X+=5,则m=5 D.若随机变量X~N(3,o2),P(X>2)=0.62,则P(3<X<4)=0.12 答案【BCD】 10.已知(x+2了=a+a(x+1)+a,x+)2+a,(x+1)+…+a,(x+1+a,x+1了，则正确的是() A.4=21 B.∑(-lyg=0 C.2ia=48 D.a0,a,2,,马这8个数中a最大 答案【ABC】 IL.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P满足AP=AB+xAA+yAD,x∈[0， ye[0,,则() A.当X=y时，有且仅有一点P满足DB⊥A,P: B.若AP与平面CC8B所成角的大小为子，则x+2y的最大值为，5： C.当x+y=I时，满足到直线AB,的距离与到平面ABCD的距离相等的点P有两个： D.E、F分别为AA,AD的中点，若存在，H∈R,使D,P=元BE+HBF成立，则点P的轨迹长 度为 2 答案【BD】 三、填空题（本大题共3小题，共15分.第14题，第一空2分，第二空3分.) 12.已知x,y取表中的数值，若x,y具有线性相关关系，线性回归方程为y=0.95x+2.6,则a= 0 a 4.3 4.8 6.7 答案【a=2.2】 13. 随机变量X,y相互独立，且X~N4,4,y~B,》则P(X≤4Y≤到- 1 答案【4】 14.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数， 则集合A中元素为偶数的个数最大值为 ,集合A中元素个数的最大值为一 答案【328,329】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f(x)=x3+ax+b在点P(L,f0)处的切线方程为y=-1. (1)求实数a,b的值： (2)求函数(x)在[-3,3]上的最大值. a=3x+a,且962g胸36分 (2)由(1)得f(x)=x3-3x+1,f"(x)=3x2-3,令f'(x)=0,解得x=±1， 当-3<x<-1时，"(x)>0,当1<x<3时，"(x)>0,所以函数f(x)在(-3，-1)和(3)单调递增： 当-1<x<1时，(x)<0,所以函数f(x)在(1，)单调递减： 所以x=-1,f(x)取到极大值，极大值为f(-1)=3,∫(3)=19>f八-)， 所以函数∫(x)在[-3,3]上的最大值为19…13分 16.(本小题15分) 某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中 抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 50 30 80 数学成绩 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据α=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不 优秀”请利用样本数据，估计P(B吲4)的值. 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.05 0.01 0.001 a 3.841 6.635 10.828 解：（1)零假设为H。：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得 20(50×80-30×40_4900 ≈16.498>6.635 90×110×120×80 297 根据=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，认为数学成绩与语文成绩有关…7分 (2)A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据， 则有P品PW-品 .11分 所以P利得0品答告针P(6的值为 P(4B-80-8 .15分 17.(本小题15分) 某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小 组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮 比赛时甲、乙两组通过的概率分别是 42 第二轮比赛时甲、乙两组通过的概率分别是手·弓 33 两轮比赛过程相互独立 (1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X,求X的概率分布与数学期望： (2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若 4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组".该部门对通过初赛 的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为P(0<P<1)且相互独立，设 该参赛小组被评为“优秀小组的概率为f(P),当p=P时，f(p)最大，试求P的值. 解：(1)设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件A,4, 则Pa)-×P)-号-号 2分 由题意X的取值可能为0,1,2，则 P(x=0--}-引-名PK=--}+-引-号 P=2号- X 0 1 2 那么X的概率分布表为： P 25 6 13 E(X)=0x+1× 6 +2× 2525 =1 25 答：数学期望为1 ……….7分 (2)由题意，小组中2人答对的概率为C(1-p)p2,3人答对的概率C(1-p)p, 则f(p)=6(1-p)p2+4(1-p)p3=2p°-8p3+6p,p∈(0,1)，11分 f"(p）=8p2-24p2+12p=4p(2p2-6p+3), 令p)=0得A=0,A3-5,-3+5 2 所在上.儿例单壁在小创举满腾说 答：=35时，fp)最大. 2 ….…15分 18.(本题17分) 已知直三棱柱ABC-AB,C中，侧面AAB,B为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CC的 中点，D为棱AB上的点.BF⊥AB, (1)证明：AB⊥平面BB,C,C (2)证明：BF⊥DE (3)当B,D为何值时，面BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并 求此最小值， 证明：()因为三棱柱ABC-AB,C是直三棱柱，所以BB⊥底面ABC,所以 BB⊥AB 因为AB,∥AB,BF⊥A,B,所以BF⊥AB,又BBBF=B,BFC平面BB,CC, BBC平面BB,CC,所以AB⊥平面BBC,C..4分 (2)由(1)知BA,BC,BB两两垂直. B 以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB}为单位正交基底，建立如图所示 的空间直角坐标系B一z,所以 B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(0,0,2),A(2,0,2),C(0,2,2), E(1,1,0),F(0,2,1).设D(a,0,2)(0≤a≤2). 因为BF=(0,2,),DE=(1-a,l,-2) 所以BF.DE=0x(-a)+2×1+1×(-2)=0,所以BF⊥DE.10分： (3)设平面DFE的法向量为n=(x,y,),因为EF=（-1,l1),DE=(1-al,-2), 所以 n-EF=0m-x+y+:=0 7-DE=0'即{(1-ax+y-2:=0令：=2-a,则万=(3,1+a,2-a) 即 且平面BCC,B的法向量为BA=(2,0,0), 12分 设平面BCC,B,与平面DEF的二面角的平面角为0， .BA 6 3 则cos0= 2×V2d2-2a+14V2a2-2a+14 当a=2时，2a2-2a+4取最小值为 7 3V6 V2 此时B,D= 1 ……17分 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)在x处有极值，且f(x卢x,则称x为函数f(x)的F点” (I)判断函数y=x-sinx是否存在F点： (2)设函数f(x)=ex2-2lnx(k∈R),当f(x)存在F点，求k的值： (3)设函数g(x)=ax+bx2+cx(a≠0)，存在两个不相等的“F点”x,x2,且lg(x)-g(:2≥1， 求a取值范围。 解：(1)y=1-cosx之0恒成立，故函数单调递增，函数无极值，所以不存在F点3分 (2)解设无>0是函数f)的一个F点，f的=2-卫(c>0). 当k≤0时，f(x)≤0，函数f(x)无极值： 当k>0时，令f(x)=0 圈：名=>0叭.由/)=6得：名+2血6，-1=0 设t(x)=x+2血x-1,则t(x)在(0，+o)单调递增， 且1(1)=0，得6=1，所以k=1.8分 当？=1时，x=1是极小值点，所以x=1是函数的一个F点.综上，素=19分 (3)g'(x)=3am2+2br+c(a≠0)，则x,5是g(x)=0的两根.所以： -2b △=402-12ac>0,x+6=305=30 11分 由g(:)=,g(x2)=为，则g(:)-g(x2)=x-为，所以化简得： d[(:+x)》2-x]+b(x+x)+c=1. .13分 期a0-总3+a治+c=1,:240c-的=如. 所以s)-86片-5=V-2ac Bal 221,得ae[-2,0)2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.《哪吒2》、 《封神2》、《侠之大者》三部贺岁片引爆了2025年春节电影市场.某电影院同时 段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有() A.4种 B.3种 C.A种 D.C种 2.已知(1+2x)的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则(1+2x)”的展开式的各项系数之和 为() A.25 B.2 C.3 D.3 3.在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，M为AC与BD的交点，若AB=ā， AD=b,AA=c,则下列向量中与B,M相等的向量是(). 1-1- A.--a+-b+c B. a+-b+c 22 2 2 C. 0-+ 1-1 D.-2a-2b+c 2 4.已知数据x1,x2,…,x的平均数为x,标准差为3，则数据2,22，，2xm的平均数和标准 差分别为() A.2x,2s B.2x,4s C.2x2s D.X,4s 5.若函数f()满足f)=-f"0)x2-x,则"(2)的值为（) A.0 B.1 C.3D.-1 6.已知a=(1,-l,0),b=(0,l,),c=(1,2,m),若a,6,c共面，则实数m=() A.-1 B.3 C.1 D.-2 7.若曲线y=(x-a)e有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为) A.(-o,0)U(4,∞)B.（-0,0]U[4,+∞）C.(-0,0]U(4,+o) D.(-0,0U[4,+o） &已知实数a,b,cER,满足(2☑_他=-c<0则ae的大小关系) a bc A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符 合题目要求的.余部选对的得.6分，部分选对得部分分. 9.下列命题中正确的是() A.数据-1,1,2,4,5,6,8,9的第25百分位数是1 B.事件M、N的概率满足P(M∈(O,),P(N)∈(O,),P(MM)+P(N)=l,则M、N相互独立 C已随机变最X~》, 若D(2X+l)=5,则n=5 D.若随机变量X~N(3,o2),P(X>2)=0.62,则P(3<X<4)=0.12 10.已知(x+2y=a+a(x+1)+a(x+)2+a,(x+1)3+…+a,(x+1°+a,x+17,则正确的是（) A.4=21 B.∑(-lya=0 C. 2a=48 D.a6,a,42,,马这8个数中a6最大 1L.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，点P满足AP=AB+xAA+yAD,x∈0，， y∈[0，，则() A.当X=y时，有且仅有一点P满足DB⊥A,P: B.若4P与平面CC8B所成角的大小为牙，则x+2y的最大值为5： C.当x+y=I时，满足到直线AB,的距离与到平面ABCD的距离相等的点P有两个： D.E、F分别为AA,AD的中点，若存在，H∈R,使D,P=元BE+HBF成立，则点P的轨迹长 度为 2 三、填空题（本大题共3小题，共15分.第14题，第一空2分，第二空3分.) 12.已知x,y取表中的数值，若x,y具有线性相关关系，线性回归方程为少=0.5x+2.6,则a=一 0 4 y a 4.3 4.8 6.7 13. 随机变量X,y相互独立，且X~N4,,y~B)则P(K≤4，Y≤3到-— 14.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数， 则集合A中元素为偶数的个数最大值为 ,集合A中元素个数的最大值为一， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f(x)=x3+ax+b在点P(L,f0)处的切线方程为y=-1. (1)求实数a,b的值： (2)求函数(x)在[-3,3]上的最大值. 16.(本小题15分) 某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中 抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 50 30 80 数学成绩 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据α=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不 优秀”请利用样本数据，估计P(B吲4)的值. 附：x2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 17.(本小题15分) 某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小 组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮 比赛时甲、乙两组通过的概率分别是；，子， 第二轮比赛时甲、乙两组通过的概率分别是亏” 33 两轮比赛过程相互独立。 (1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X,求X的概率分布与数学期望： (2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若 4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组".该部门对通过初赛 的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为P(0<p<1)且相互独立，设 该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为f(p),当p=Po时，f(p)最大，试求P的值. 18.(本题17分) 已知直三棱柱ABC-AB,C中，侧面A4B,B为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CC的 中点，D为棱AB,上的点.BF⊥AB, D B (1)证明：AB⊥平面BB,C,C C (2)证明：BF⊥DE (3)当BD为何值时，面BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并 A 求此最小值 E 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)在x处有极值，且f(x卢x。,则称x为函数f(x)的F点” (I)判断函数y=x-sinx是否存在F点： (2)设函数f(x)=x2-2lnx(keR),当f(x)存在F点，求k的值： （3)设函数g(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)，存在两个不相等的“F点”x,x2,且lg(x)-g,)≥1， 求a取值范围