上海市大同中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考 2025.5 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.2和8的等比中项的值是 . 2.复数的虚部是 . 3.已知,点满足,则点的坐标为 . 4.化简 .(要求将结果写成某个 角的三角比) 5.已知,则的值是 . 6.已知扇形的圆心角,扇形的面积为,则该扇形的弧长的值是 . 7.数列满足,则 . 8.循环小数化为分数: . 9.已知单位向量的夹角为为原点,,则的面积为 . 10.已知函数(常数),若当且仅当时,函数取得最大值1,则实数的数值是 . 11.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波,每一个音都是有纯音合成的,纯音的数学模型是函数.技术人员获取了某种声波,其数学模型记为,部分图像如图所示,图像过点.对该声波进行逆向分析,发现它是由两种不同的纯音合成的,满足函数,其中,则 . 12.已知集合是由函数的图像上两两不同的点构成的点集.集合,其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列,符合条件的点集的个数为 . 二、选择题(每题4分,共16分) 13.设复数在复平面上对应的向量分别为,以下等式一定成立的是( ). A. B. C. D. 14.若四边形满足在方向上的数量投影为0,则该四边形一定是( ). A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 15.已知函数的部分图像如图所示,则的一组数值可以是( ). A. B. C. D. 16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家,托勒密定理就是由其名字命名.该定理指出:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上,是其两条对角线,,且为正三角形,则四边形的面积为( ). A. B. C. D. 三、简答题 17.(本题满分8分,第1小题4分,第2小题4分) 已知是等差数列的前项和,且. (1)求通项公式; (2)若,求正整数的值. 18.(本题满分10分,第1小题4分,第2小题6分) 已知角的顶点在平面直角坐标系的原点,始边与轴的正半轴重合,且角的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1的圆,叫单位圆)的交点位于第二象限;角的终边与单位圆的交点位于第三象限.若点的横坐标为,点的纵坐标为. (1)求的值; (2)若,求的值.(结果用反三角函数值表示) 19.(本题满分10分,第1小题5分,第2小题5分) 已知复数,其中为虚数单位,. (1)当是实系数一元二次方程的两个虚根时,求实数的值. (2)求的取值范围. 20.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题4分,第3小题6分) 对于一组向量且,令,如果存在满足,那么称是该向量组的"向量". (1)设,若是向量组的"向量",求实数的取值范围; (2)若,向量组是否存在"向量"?若存在,求出所有的"向量"的和;若不存在,请说明理由; (3)已知均是向量组的"向量",其中 .设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点,,且与关于点对称,与关于点对称,求的最值. 大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考 2025.5 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.2和8的等比中项的值是 . 【答案】 2.复数的虚部是 . 【答案】 3.已知,点满足,则点的坐标为 . 【答案】 4.化简 .(要求将结果写成某个 角的三角比) 【答案】 5.已知,则的值是 . 【答案】 6.已知扇形的圆心角,扇形的面积为,则该扇形的弧长的值是 . 【答案】 7.数列满足,则 . 【答案】 8.循环小数化为分数: . 【答案】 9.已知单位向量的夹角为为原点,,则的面积为 . 【答案】 10.已知函数(常数),若当且仅当时,函数取得最大值1,则实数的数值是 . 【答案】 11.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波,每一个音都是有纯音合成的,纯音的数学模型是函数.技术人员获取了某种声波,其数学模型记为,部分图像如图所示,图像过点.对该声波进行逆向分析,发现它是由两种不同的纯音合成的,满足函数,其中,则 . 【答案】 12.已知集合是由函数的图像上两两不同的点构成的点集.集合,其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列,符合条件的点集的个数为 . 【答案】 二、选择题(每题4分,共16分) 13.设复数在复平面上对应的向量分别为,以下等式一定成立的是( ). A. B. C. D. 【答案】C 14.若四边形满足在方向上的数量投影为0,则该四边形一定是( ). A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】C 15.已知函数的部分图像如图所示,则的一组数值可以是( ). A. B. C. D. 【答案】A 16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家,托勒密定理就是由其名字命名.该定理指出:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上,是其两条对角线,,且为正三角形,则四边形的面积为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设 由托勒密定理知,,所以. 又因为,所以 另解,考虑等腰三角形 三、简答题 17.(本题满分8分,第1小题4分,第2小题4分) 已知是等差数列的前项和,且. (1)求通项公式; (2)若,求正整数的值. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)∵是等差数列,且,设公差为. ∴解得∴通项公式 另解:, (2)∵等差数列的求和公式, ∴,解得. 18.(本题满分10分,第1小题4分,第2小题6分) 已知角的顶点在平面直角坐标系的原点,始边与轴的正半轴重合,且角的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1的圆,叫单位圆)的交点位于第二象限;角的终边与单位圆的交点位于第三象限.若点的横坐标为,点的纵坐标为. (1)求的值; (2)若,求的值.(结果用反三角函数值表示) 【答案】(1) (2) 【解析】(1)∵的终边与单位圆交于第二象限的点,且, , (2)∵的终边与单位圆交于第三象限的点,且, 19.(本题满分10分,第1小题5分,第2小题5分) 已知复数,其中为虚数单位,. (1)当是实系数一元二次方程的两个虚根时,求实数的值. (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)是方程的两个虚根,所以,即, 由韦达定理可得; (2),令, 则, 设∴. 20.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题4分,第3小题6分) 对于一组向量且,令,如果存在满足,那么称是该向量组的"向量". (1)设,若是向量组的"向量",求实数的取值范围; (2)若,向量组是否存在"向量"?若存在,求出所有的"向量"的和;若不存在,请说明理由; (3)已知均是向量组的"向量",其中 .设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点,,且与关于点对称,与关于点对称,求的最值. 【答案】(1) (2) (3), 【解析】(1)即坐标向量代入 整理得∴ (2),, , 即周期为4,且满足∴ ,, , 整理得,即,∴ ∴是"向量",共个,"向量",其和为 另解:不符; 符合; 不符; 不符; (3)均是向量组的"向量", 即满足 相加, 整理得即, ∴,则, 设即 与关于点对称,与关于点对称 横坐标满足即成等差数列 同理,纵坐标满足得 当时,即有 当时,即有 另解:考虑数形结合 学科网(北京)股份有限公司 $$