第四讲 函数不等式的通解讲义-2025-2026学年高一上学期数学初高衔接

第四讲 函数不等式的通解 初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与二次函数之间的关系： 一元二次方程是二次函数与 x 轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与 x 轴交点的横坐标。 今天我们将继续探寻二次函数、二次方程与一元二次不等式的关系。 我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系：kx + n > 0 的解集表示的是一次函数 y = kx + n 图象在 x 轴上方时所对应自变量的取值范围。 由此，我们可以知道：对于任意一个一元函数不等式，其含义是： 1. 不等式> 0 对应的是函数图象在 x 轴上方的情况，不等式解集为函数在 x 轴上方时对应自变量的取值范围； 2. 不等式 < 0 对应的是函数图象在 x 轴上方的情况，不等式解集为函数在 x 轴上方时对应自变量的取值范围； 一、一元二次不等式 形如：ax2 + bx + c > 0(a ≠ 0)的不等式称为一元二次不等式。 函数零点：函数与 x 轴的交点横坐标称为函数零点。函数零点为对应函数方程的根。 【例1-1】解不等式：3 + 2x -x2 ≥ 0 解： 将不等式化为 x2 - 2x - 3 ≤ 0 因式分解：(x + 1) (x - 3) ≤ 0 令 (x + 1) (x - 3) = 0 ⇒ x1 = -1，x2 = 3 令 y = x2 - 2x - 3， ∴ 可得不等式的解集是 -1 ≤ x ≤ 3 解下列不等式 (1)x2 -x - 12 > 0 (2) -x2 - 2x + 8 ≥ 0 解： x2 -x - 12 > 0 (x + 3) (x - 4) > 0 得 x< -3 或x > 4 -x2 - 2x + 8 ≥ 0 x2 + 2x - 8 ≤ 0 (x + 4) (x - 2) ≤ 0 解得 -4 ≤ x ≤ 2 (3) -x2 - 2x + 3 ≥ 0 (4)4x2 + 4x + 1 ≤ 0 解： -x2 - 2x + 3 ≥ 0 x2 + 2x - 3 ≤ 0 即 (x + 3) (x - 1) ≤ 0 解得 -3 ≤ x ≤ 1 4x2 + 4x + 1 ≤ 0 (2x + 1)2 ≤ 0 x = - 解得 无解 (7)2x2 - 9x + 10 ≥ 0 (8) - 2x2 + 5x + 7 ≥ 0 解： 2x2 - 9x + 10 ≥ 0 (x - 2) (2x - 5) ≥ 0 -2x2 + 5x + 7 ≥ 0 2x2 - 5x - 7 ≤ 0 解得 高中阶段与我们始终形影不离的就是含参数的问题，下面我们将学习不等式含有参数时所产生的影响。 一个含参的一元二次不等式，在判别式 ∆ >0（方程可因式分解）的情况下，所对应的一元二次方程一定有解，但是由于方程(不等式)含参，其对应的解中也会带有参数，我们要解出不等式就需要知道根的大小。由此我 们可知：含参的一元二次不等式在求解过程中需要对根的大小排布做一定的分类讨论。 【例2-1】若 a > 0，解关于 x 的不等式 ax2 - (1 + a)x + 1 < 0． (ax - 1) (x - 1) < 0 ∵ (ax - 1) (x - 1) = 0 的两根为x1 = 1 ，x2 = 我们要得到不等式具体的解集，需知道两根的大小排布。 ∵ a > 0 → 二次函数开口向上 当 0 < a < 1 时，不等式解集为 1 < x < ； 当 a = 1 时，不等式无解； 当 a > 1 时，不等式解集为 < x < 1 【练习2-1】a > 0，解不等式 ax2 - (2a + 1)x + 2 < 0 解：若 a > 0，则不等式化为 (x - ， 当 a = 时， = 2，不等式化为 (x - 2)2 < 0，无解． 当 0 < a < 时， > 2，解得 2 < x < ． 当 a > 时， < 2，解得 < x < 2． 综上可得： 当 a = 时，不等式无解． 当 0 < a < 时，不等式的解集为 2 < x < ． 当 a > 时，不等式的解集为 < x < 2． 【练习2-2】解不等式 x2 - (m + 1)x + 2(m - 1) >0 解：∵ x2 - (m + 1)x + 2(m - 1) >0 ∴ (x - 2) [x - (m - 1)] > 0， ①当 m - 1 = 2 即 m = 3 时，(x - 2) [x - (m - 1)] = (x - 2)2 > 0，此时解集为 x ≠ 2； ②当 m - 1 > 2 即 m > 3 时，此时解集为 x < 2 或x > m - 1； ③当 m - 1 < 2 即 m < 3 时，解集为x < m - 1 或x > 2； 综上：当 m = 3 时，解集为x ≠ 2； 当 m > 3 时，解集为x < 2 或x > m - 1； 当 m < 3 时，解集为x < m - 1 或x > 2 2、 分式不等式 初中阶段我们学习了分式方程的基本解法，高中阶段我们将延续分式的内容。 形如 的不等式称为分式不等式。 分式不等式 分式不等式的解法 设两实数 a,b(a,b ≠ 0). 若 a,b 同号，则有如下等价不等式： > 0 ⇔ a·b > 0 若 a,b 异号，则有如下等价不等式： < 0 ⇔ a·b < 0 由上述知识，我们可以得到分式不等式的通用解法：利用同号和异号的等价原则将分式型不等式转化为整 式型不等式处理。但在变形的过程中需要注意分式有意义的条件约束。 < 0 ⇔ (ax + b) (cx + d) < 0 > 0 ⇔ (ax + b) (cx + d) >0 ≤ 0 ⇔ {(x (a)b≠)(0 (cx) + d) ≤ 0 ≥ 0 ⇔ {(x (a)b≠)(0 (cx) + d) ≥ 0 【例3-1】解不等式： ≤ 0 解集：- 7 < x ≤ 3 【练习3-1】解下列不等式 -1 < x < x < -2 或x ≥ - 0 < x < 5 -7 ≤ x < -2 3、 初识成立与恒成立 变量数学主要研究的是某些实际问题的最值或某一状态的量值，而不等式正是最值（范围）的一种体现。在 数学上我们用成立和恒成立来描述某条件（例如不等式）成立时的状态。 恒成立：在研究范围内，自变量的所有取值都能使某一条件 (方程、不等式) 成立，这样的状态称为“恒成立”。 成立：在研究范围内，自变量的部分 (至少一个) 取值使某一条件 (方程、不等式) 成立，这样的状态称为“成立”。 根据所学的一元二次不等式的解法与含义方法，我们可得： ax2 + bx + c > 0 恒成立的条件是 ax2 + bx + c < 0 恒成立的条件是 【例4-1】任意实数 x，不等式 kx2 - 2x + k > 0 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ( A ) A． k > 1 B ． k = 1 C． k ≤ 1 D． k < 1 【练习4-1】无论 x 取何值时，不等式x2 - 2kx + 4 > 0恒成立，则 k 的取值范围是( D ) A. (-∞ , -2) B. (-∞ , -4) C. (-4，4) D. (-2，2) 解：由题意得，Δ = (-2k)2 - 4 × 1 × 4 < 0， 解得 -2 < k < 2，故选：D． 【练习4-2】对任意实数 x，不等式 2kx2 + kx - 3 < 0恒成立，则实数 k 的取值范围是 ( B ) A. (-24，0) B. (-24，0] C. (0，24] D. [24，+∞) 解：因为对任意实数 x，不等式 2kx2 + kx - 3 < 0 恒成立， 当 k = 0 时，不等式化为-3 < 0 恒成立， 当 k ≠ 0 时，只需 { k2 + 24k < 0 ，解得 -24 < k < 0， 综上，实数 k 的范围为 (-24，0]，故选：B．(k < 0 【练习4-3】不等式 (a - 2)x2 + 2(a - 2)x - 4 < 0 对一切实数恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( D ) A. [-2，2] B. (-∞ , 2) C. (-∞ , -2) D. (-2，2] 解：当 a = 2 时，原不等式即为-4 < 0，恒成立，即 a = 2 满足条 件；当 a ≠ 2 时，要使不等式 (a - 2)x2 + 2(a - 2)x - 4 < 0 对 一 切 实数 恒 成 立 ，必 须 解 得，-2 < a < 2．综上所述，a 的取值范围是 -2 < a ≤ 2， 【练习4-4】不等式 x2 + (k - 1)x + 4 > 0 对一切实数x恒成立，则实数 k 的取值范围是 (-3，5) ． 解：∵ x2 + (k - 1)x + 4 > 0 对一切实数 x 恒成立， ∴ Δ = (k - 1)2 - 16 < 0， 解得：k ∈ (-3，5)，故答案为：(-3，5)． 4、 简单高次不等式 形如 (x -x1) (x -x2) ... (x -xn) > 0(< 0) 形式的不等式称之为高次不等式。 由前面函数不等式的通解方法可知：我们要求解一个不等式，首先要读出不等式在解析图上的含义。对于高次不等式，仍然可以利用二次不等式的思路求解。下面我们将学习高次不等式所对应函数图象草图的画法。 【例5-11】解不等式：(x - 1) (x + 2) (x - 3) >0 ① (x - 1) (x + 2) (x - 3) = 0 的根是 -2，1，3， ②令 x = 0，y = (0 - 1) (0 + 2) (0 - 3) > 0，即 x = 0 时函数值为正，图象在 x 轴上方，由奇穿偶不穿知：在 x= -2 时，(x + 2( 次数为 1 次 是奇数，∴ 图象会穿过根 x= -2，同理图象也会穿过 x = 1 和x = 3 由图可不等式解集 -2 < x < 1 或x > 3 【练习5-1】解下列不等式 (1) (x - 2)2 (x - 3)3 (x + 1) < 0 (2)解不等式：(x - 3) (x + 1) (x2 + 4x + 4) ≤ 0 解集为：-1 < x < 2 或2 < x < 3. 解集是 -1 ≤ x ≤ 3或 x = -2． 【练习5-2】解下列不等式 (1)x - 2 < (2) ≥ 0 解集为 x < -1 或0 < x < 3． 解集为 -2 < x ≤ 1 或 x > 3． 练习一： 1. 解下列不等式： (1) x2 - 2x - 8 < 0 (2) x2 - 4x + 4 ≤ 0 解： x2 - 2x - 8 < 0 ⇒ (x + 2) (x - 4) < 0 ⇒ -2 < x < 4 x2 - 4x + 4 < 0 ⇒ (x - 2)2 ≤ 0 ⇒ x = 2 (3) x2 -x + 2 < 0 (4)x2 -x - 6 ≥ 0 解： x2 -x + 2 < 0 ⇒ (x - )2 + < 0 ⇒ 无解 x2 -x - 6 ≥ 0 ⇒ (x + 2) (x - 3) ≥ 0 ⇒ x ≤ -2 或x ≥ 3 (5) < 0 (6) ≤ 0 2. 若关于 x 的不等式 -2x2 + 5x - m > 0 的解 集为 1 < x < ，则实数 m 的值是( D ) A. m = -3 B. m = - C. m = D. m = 3 解： 由题意：x1 = 1 和x2 = 是方程 -2x2 + 5x -m = 0 的两个根，由 韦达定理可知：1 × = ，解得 m = 3．故选：D． 3. 已知关于 x 的不等式 ≥ b 的解集是 [-1，0) 则 a + b = ( C ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 3 4. 若 x2 - (a + 1)x + b < 0 的解集是 {x|-5< x < 2}，则 a + b 等于 ( A ) A. - 14 B. - 6 C. 6 D. 14 5. 已 知 不 等 式 ax 2 + bx + c > 0 解 集 为 - < x < 2，下列结论正确的是 ( A ) A. a + b + c > 0 B. a > 0 C. b < 0 D. c < 0 6. 不等式 x2 - 2x + 5 ≥ a2 - 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( A ) A. [-1，4] B. (-∞ , -2] ∪ [5，+∞) C. (-∞ , -1] ∪ [4，+∞) D. [-2，5] 解：令 y = x2 - 2x + 5 = (x - 1)2 + 4，∴ y最小值 = 4， 若不等式 x2 - 2x + 5 ≥ a2 - 3a 对任意实数 x 恒成立， 只需 a2 - 3a ≤ 4，解得：-1 ≤ a ≤ 4，故选：A 7. 已知不等式 x2 + (4 - k)x < k - 2 对x ∈ [1，2] 恒成立，则 k 的取值范围为 ( D ) A. (-∞ , C. (-∞ , 8. (多选)★★已知关于x 的不等式 ax2 + bx + c> 0 的解集为 (-∞ , -2) ∪ (3，+∞)，则 ( BC ) A. a < 0 B. 不等式 bx - c > 0 的解集为 x < 6 C. 4a + 2b + c < 0 D. 不等式 ax2 -bx + a ≥ 0 的解集为 - ， 9. 不等式 (1 - a)x2 - 4x + 6 > 0 解集是 -3 < x < 1 (1) 求常数 a 的值； (2) 若关于x 的不等式 ax2 + mx + 3 ≥ 0 的解集 为全体实数，求 m 的取值范围。 解 ：(1) ∵不等式 (1 - a)x2 - 4x + 6 > 0 的解集是 -3 < x < 1， ∴ -3 和 1 是方程 (1 - a)x2 - 4x + 6 = 0 的解，把 x = 1 代入方程得 (1 - a) - 4 + 6 = 0，解得 a = 3． (2)若关于 x 的不等式 ax2 + mx + 3 ≥ 0 的解集为全体实 数， ∴ △ =m2 - 36 ≤ 0，解得 -6 ≤ m ≤ 6 ∴ m 的取值范围是 [-6，6]． 10. 已知二次函数 y = 2x2 - 2ax + 1． (1) 若 y <b 的解集为 -1 < x < 2，求 a，b 的值； (2) 解关于 x 的不等式 y >a + 1 -x． 解 ：(1) ∵ 2x2 - 2ax + 1 -b < 0 的解集 -1 < x < 2 (2) 关于 x 的不等式y >a + 1 -x ⇔ 2x2 - 2ax + 1 ⇔ 2x2 - (2a - 1)x - a > 0 ， 令 2x2 - (2a - 1)x - a = 0，则 x = a 或x = - ， ①当 a = - 时，则 x ≠ - ， ②当 a > - 时，则 x > a 或x < - ， ③当 a < - 时，则 x > - 或 x < a， 综上，当 a = - 时，解集为 x ≠ - ， 当 a > - 时，解集为 x > a 或x < - ， 当 a < - 时，解集为 x > - 或 x < a． 11. 已知二次函数 y = x2 + (3 + a)x + 3a． (1) 求不等式 y ≤0 的解集； (3) 若上述二次函数的图像恒在直线 y = x + a - 1 的上方，求 a 的取值范围． 解 ：(1) 不等式y ≤0 ⇒ x2 + (3 + a)x + 3a ≤ 0 ⇒ (x + a) (x + 3) ≤ 0 当 -a< -3，即 a > 3 时，不等式的解集为-a < x < -3 当 -a= -3，即 a = 3 时，不等式的解集为3 当 -a> -3，即 a < 3 时，不等式的解集为-3 < x < -a 综上：当 a > 3 时，不等式的解集为-a < x < -3 当 a = 3 时，不等式的解集为3 当 a < 3 时，不等式的解集为-3 < x < -a (2) 若二次函数的图像恒在直线 y = x + a - 1 的上方， 则 y >x + a - 1 恒成立，即 x2 + (2 + a)x + 2a + 1 > 0 恒成 立， ∴ Δ = (2 + a)2 - 4(2a + 1) < 0，解得 0 < a < 4， 故 a 的取值范围为 (0，4) 练习二： 1. 解下列不等式． (1)x2 - 3x + 2 ≤ 0 (2) - 2x2 + 5x + 7 ≥ 0 1 ≤ x ≤ 2 -1 ≤ x ≤ (3) ≥ 1 (4) > 0 ⇒ x < -2 或x ≥ 3 ⇒ < x < 1 (5) > 0 (6)2 + 3x - 2x2 > 0 ⇒ -1 < x < - ⇒ - 2 (1) < x < 2 (7) -x2 -x + 2 ≥ 0 (8) - 4x2 + 4x - 1 < 0 解： -x2 -x + 2 ≥ 0 ⇒ x2 + x - 2 ≤ 0 ⇒ (x - 1) (x + 2) ≤ 0 ⇒ -2 ≤ x ≤ 1 -4x2 + 4x - 1 < 0 ⇒ 4x2 - 4x + 1 > 0 ⇒ (2x - 1)2 > 0 ⇒ x ≠ 2. 若不等式 x2 - 8x + a ≤ 0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 a 的取值范围是 (12，15] ． 解 ：设函数 y = x2 - 8x + a，图象开口向上，对称轴x = 4 若不等式 x2 - 8x + a ≤ 0 的解集中有且仅有 3 个整数， 则这 3 个整数解为3、4、5， 3 4 5 x 由函数图象知 {9 (4)-- 24 (16)a (a)0 (0) ， 解得 12 < a ≤ 15． ∴实数 a 的取值范围是 (12，15]． 3. 已知不等式ax2 - 5x + 2 < 0． (1) 若 1 是不等式的一个解，求 a 的取值范围； (2) 若 ax2 - 5x + 2 < 0 的解集是 < x < 2，求不 等式 -ax2 + (2a + 3)x - 6 < 0 的解集。 解 ：(1) 由题意可知：a . 12 - 5 . 1 + 2 < 0，解得 a < 3； ∴ a 的取值范围是 (-∞,3)． (2) 不等式解集 < x < 2 ⇒ 和 2 是 ax2 - 5x + 2 = 0 的两个根， 由根与系数的关系知 ，解得 a = 2， ∴不等式 -ax2 + (2a + 3)x - 6 < 0， 即为：-2x2 + 7x - 6 < 0， ∴ 2x2 - 7x + 6 > 0，解得x < 或 x > 2， ∴不等式的解集为 {x|x < 或 x > 2}． 4. 已知函数 y = x2 + (a + b)x + a． (1) 若关于 x 的不等式 y <0 的解集为2 < x < 3， 求 a，b 的值； (2) 当 b = 1 时，解不等式 x2 + (a + b)x + a > 0． 解 ：(1) 由题知：关于 x 的方程 x2 + (a + b)x + a = 0 的两个根为2 和 3， ∴ { a-=(a6+ b) = 5 ，得 { b (a) -611 ， (2) 当 b = 1 时，x2 + (a + 1)x + a > 0，即 (x + a) (x + 1) > 0， 当 -a< -1 时，即 a > 1 时，解得 x< -a 或x > -1； 当 -a= -1 时，即 a = 1 时，解得x ≠ -1； 当 -a> -1 时，即 α <1 时，解得 x< -1 或x > -a． 综上可知，当 a < 1 时，不等式的解集为(-∞ , -1) ∪ (-a，+∞)； 当 a ≥ 1 时，不等式的解集为(-∞ , -a) ∪ (-1，+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 函数不等式的通解 初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与二次函数之间的关系： 一元二次方程是二次函数与 x 轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与 x 轴交点的横坐标。 今天我们将继续探寻二次函数、二次方程与一元二次不等式的关系。 我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系：kx + n > 0 的解集表示的是一次函数 y = kx + n 图象在 x 轴上方时所对应自变量的取值范围。 由此，我们可以知道：对于任意一个一元函数不等式，其含义是： 1. 不等式> 0 对应的是函数图象在 x 轴上方的情况，不等式解集为函数在 x 轴上方时对应自变量的取值范围； 2. 不等式 < 0 对应的是函数图象在 x 轴上方的情况，不等式解集为函数在 x 轴上方时对应自变量的取值范围； 一、一元二次不等式 形如：ax2 + bx + c > 0(a ≠ 0)的不等式称为一元二次不等式。 函数零点：函数与 x 轴的交点横坐标称为函数零点。函数零点为对应函数方程的根。 【例1-1】解不等式：3 + 2x -x2 ≥ 0 【练习1-1】解下列不等式 （1） x2 -x - 12 > 0 (2) -x2 - 2x + 8 ≥ 0 (3) -x2 - 2x + 3 ≥ 0 (4)4x2 + 4x + 1 ≤ 0 (7)2x2 - 9x + 10 ≥ 0 (8) - 2x2 + 5x + 7 ≥ 0 高中阶段与我们始终形影不离的就是含参数的问题，下面我们将学习不等式含有参数时所产生的影响。一个含参的一元二次不等式，在判别式 ∆ >0（方程可因式分解）的情况下，所对应的一元二次方程一定有解，但是由于方程(不等式)含参，其对应的解中也会带有参数，我们要解出不等式就需要知道根的大小。由此我们可知：含参的一元二次不等式在求解过程中需要对根的大小排布做一定的分类讨论。 【例2-1】若 a > 0，解关于 x 的不等式 ax2 - (1 + a)x + 1 < 0． 【练习2-1】a > 0，解不等式 ax2 - (2a + 1)x + 2 < 0 【练习2-2】解不等式 x2 - (m + 1)x + 2(m - 1) >0 2、 分式不等式 初中阶段我们学习了分式方程的基本解法，高中阶段我们将延续分式的内容。 形如 的不等式称为分式不等式。 分式不等式 分式不等式的解法 设两实数 a,b(a,b ≠ 0). 若 a,b 同号，则有如下等价不等式： > 0 ⇔ a·b > 0 若 a,b 异号，则有如下等价不等式： < 0 ⇔ a·b < 0 由上述知识，我们可以得到分式不等式的通用解法：利用同号和异号的等价原则将分式型不等式转化为整 式型不等式处理。但在变形的过程中需要注意分式有意义的条件约束。 < 0 ⇔ (ax + b) (cx + d) < 0 > 0 ⇔ (ax + b) (cx + d) >0 ≤ 0 ⇔ {(x (a)b≠)(0 (cx) + d) ≤ 0 ≥ 0 ⇔ {(x (a)b≠)(0 (cx) + d) ≥ 0 【例3-1】解不等式： ≤ 0 【练习3-1】解下列不等式 3、 初识成立与恒成立 变量数学主要研究的是某些实际问题的最值或某一状态的量值，而不等式正是最值（范围）的一种体现。在 数学上我们用成立和恒成立来描述某条件（例如不等式）成立时的状态。 恒成立：在研究范围内，自变量的所有取值都能使某一条件 (方程、不等式) 成立，这样的状态称为“恒成立”。 成立：在研究范围内，自变量的部分 (至少一个) 取值使某一条件 (方程、不等式) 成立，这样的状态称为“成立”。 根据所学的一元二次不等式的解法与含义方法，我们可得： ax2 + bx + c > 0 恒成立的条件是 ax2 + bx + c < 0 恒成立的条件是 【例4-1】任意实数 x，不等式 kx2 - 2x + k > 0 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ( ) A． k > 1 B ． k = 1 C． k ≤ 1 D． k < 1 【练习4-1】无论 x 取何值时，不等式x2 - 2kx + 4 > 0恒成立，则 k 的取值范围是( ) A. (-∞ , -2) B. (-∞ , -4) C. (-4，4) D. (-2，2) 【练习4-2】对任意实数x，不等式2kx2 + kx - 3 < 0恒成立，实数k的取值范围是（ ） A. (-24，0) B. (-24，0] C. (0，24] D. [24，+∞) 【练习4-3】不等式 (a - 2)x2 + 2(a - 2)x - 4 < 0 对一切实数恒成立，实数 a 的取值范围( ) A. [-2，2] B. (-∞ , 2) C. (-∞ , -2) D. (-2，2] 【练习4-4】不等式 x2 + (k - 1)x + 4 > 0 对一切实数x恒成立，则实数 k 的取值范围是 ． 4、 简单高次不等式 形如 (x -x1) (x -x2) ... (x -xn) > 0(< 0) 形式的不等式称之为高次不等式。 由前面函数不等式的通解方法可知：我们要求解一个不等式，首先要读出不等式在解析图上的含义。对于高次不等式，仍然可以利用二次不等式的思路求解。下面我们将学习高次不等式所对应函数图象草图的画法。 【例5-11】解不等式：(x - 1) (x + 2) (x - 3) >0 【练习5-1】解下列不等式 (1) (x - 2)2 (x - 3)3 (x + 1) < 0 (2)解不等式：(x - 3) (x + 1) (x2 + 4x + 4) ≤ 0 【练习5-2】解下列不等式 (1)x - 2 < (2) ≥ 0 练习一： 1. 解下列不等式： (1) x2 - 2x - 8 < 0 (2) x2 - 4x + 4 ≤ 0 (3) x2 -x + 2 < 0 (4)x2 -x - 6 ≥ 0 (5) < 0 (6) ≤ 0 2. 若关于 x 的不等式 -2x2 + 5x - m > 0 的解 集为 1 < x < ，则实数 m 的值是( ) A. m = -3 B. m = - C. m = D. m = 3 3. 已知关于 x 的不等式 ≥ b 的解集是 [-1，0) 则 a + b = ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 3 4. 若 x2 - (a + 1)x + b < 0 的解集是 {x|-5< x < 2}，则 a + b 等于 ( ) A. - 14 B. - 6 C. 6 D. 14 5. 已 知 不 等 式 ax 2 + bx + c > 0 解 集 为 - < x < 2，下列结论正确的是 ( ) A. a + b + c > 0 B. a > 0 C. b < 0 D. c < 0 6. 不等式 x2 - 2x + 5 ≥ a2 - 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. [-1，4] B. (-∞ , -2] ∪ [5，+∞) C. (-∞ , -1] ∪ [4，+∞) D. [-2，5] 7. 已知不等式 x2 + (4 - k)x < k - 2 对x ∈ [1，2] 恒成立，则 k 的取值范围为 ( ) A. (-∞ , C. (-∞ , 8. (多选)★★已知关于x 的不等式 ax2 + bx + c> 0 的解集为 (-∞ , -2) ∪ (3，+∞)，则 ( ) A. a < 0 B. 不等式 bx - c > 0 的解集为 x < 6 C. 4a + 2b + c < 0 D. 不等式 ax2 -bx + a ≥ 0 的解集为 - ， 9. 不等式 (1 - a)x2 - 4x + 6 > 0 解集是 -3 < x < 1 (1) 求常数 a 的值； (2) 若关于x 的不等式 ax2 + mx + 3 ≥ 0 的解集 为全体实数，求 m 的取值范围。 10. 已知二次函数 y = 2x2 - 2ax + 1． (1) 若 y <b 的解集为 -1 < x < 2，求 a，b 的值； (2) 解关于 x 的不等式 y >a + 1 -x． 11. 已知二次函数 y = x2 + (3 + a)x + 3a． (1) 求不等式 y ≤0 的解集； (2) 若上述二次函数的图像恒在直线 y = x + a -1 的上方，求 a 的取值范围． 练习二： 1. 解下列不等式． (1)x2 - 3x + 2 ≤ 0 (2) - 2x2 + 5x + 7 ≥ 0 (3) ≥ 1 (4) > 0 (5) > 0 (6)2 + 3x - 2x2 > 0 (7) -x2 -x + 2 ≥ 0 (8) - 4x2 + 4x - 1 < 0 2. 若不等式 x2 - 8x + a ≤ 0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 a 的取值范围是 ． 3. 已知不等式ax2 - 5x + 2 < 0． (1) 若 1 是不等式的一个解，求 a 的取值范围； (2) 若 ax2 - 5x + 2 < 0 的解集是 < x < 2，求不等式 -ax2 + (2a + 3)x - 6 < 0 的解集。 4. 已知函数 y = x2 + (a + b)x + a． (1) 若关于 x 的不等式 y <0 的解集为2 < x < 3， 求 a，b 的值； (2) 当 b = 1 时，解不等式 x2 + (a + b)x + a > 0． 学科网（北京）股份有限公司 $$