浙江省宁波市九校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

宁波市2024学年期末九校联考高一数学参考答案 第二学期 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题号 1 2 3 4 6 7 8 选项 D C A B D B c D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 选项 AC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.16 B 14.2422 3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)解： (1)由题意10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03;…3分 (2)由直方图知，x∈[60,80)的频率为10×(0.02+0.03)=0.5… …6分 设至少有2份试卷及格为事件A,有2份试卷及格为事件B,有3份试卷及格为事件C, P()-0sx05x3-PC)-.P()=P(B+C)-P()+P(C)- …10分 (3)样本数据在区间[50,60]的个数为0.1×100=10，在区间[60,70]上的个数为0.2×100=20， 所以x=,10×54+,20×63=60, 10+20 10+20 总方差为00如[6+(64-60j]+0”n[3+(@-o0j]22.13分 10+20L 16.(15分)解： (1)由腮设得5-22=1，解得a=1. …3分 a+2 (2)由1：(a+2)y+(2a-5)x-6a+6=0,即(y+2x-6)a+2y-5x+6=0 …5分 2-5x+6=0'解得=2 y+2x-6=0 y=2 .直线过定点(22)… 4……7分 (3)当a=-11时，1：-9y-27x+72=0,即1：3x+y-8=0,设P(xy) 2阳与P,)关于直线1的对称，：P1,P中点e号 在1上， 宁波市九校联考高一数学参考答第1页共5页 -3.4业=-1 8 1-x0 。= ,解得 3.+1++4 8=0 21 2 所以点P(1,4)关于直线1的对称点P'的坐标为 821 ……15分 55 17.(15分)解： (1)设AC=x, 由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC,coS∠BAC, 即10=16+x2-42x,解得x=2或32，…4分 当x=√2时，√2<V10<4,∠ACB为△ABC中最大角， cs∠ACB-4C+BCA8。-5<0,满足镜角， 2·AC.BC 5 此时cos∠ABC=AB+BC-AC_310 2·AB.AC 10 当x=35时，0<4<32，∠ABC为△4BC中最大角， c∠ABC4B+BC4C而，0，不满足纯角 2.AB.AC 10 综上所述，cos∠ABC= 3W10 …8分 10 As (2)由对称性，不妨设A为钝角， 2 ,得花<4<2如 …10分 0<B= A 2π 2 3 2 AB+BC+AC=4+ AB sin A+- AB ·sinB sinC sinC 8 (sin A+sinB)+4=- 8 3 sinA+sin 2π 3 ]4=4m+4B分 2 π5π 3 <A+66 B+sC+Ac=44+4e®4+4同. …15分 18.(17分)解： (1)法一：延长AB,DE交于点H,延长AC, DF交于点G,连结GH, :AD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC, .ADI∥BE,△HBE∽△HAD, 、H迟=BE=2,即E是线段HD上靠近 HD AD 3 H D的三等分点， 同理可得F是线段GD上靠近G的三等 分点， 宁波市九校联考高一数学参考答第2页共5页 M为DF中点， M是线段GD上靠近D的三等分点， DM DE 1 DG DH3' △DEM∽△DHG,∴.EM∥HG, 又··EM文平面ABC,HGC平面ABC, .EM∥平面ABC. 法二：作MH⊥AC,连结BH .·AD⊥平面ABC,CF⊥平面ABC, ∴.ADI∥BEI∥CFI∥MH,MH=BF=2, ∴.BEH为平行四边形， .EM∥BH, 又·EMt平面ABC,BHC平面ABC, EM∥平面ABC,…5分 （2）在直角棉形CBE中，CP-1,C=2,B=2,∠F0B=BC-行 EF=√5，同理可得ED=√5=ED,即△DEF为等腰三角形， ·M为DF中点，，∴EM⊥DF,即HG⊥DG. 在平面ABC中，AB=AC=BC=2,CG=1,HB=4, A=6=24G,4=写iG14G. ,·HG是平面ABC与平面DEF的交线， ∴、平面ABC与平面DEF夹角的平面角为∠DGA. ,AG=AD=3,AD⊥AG, ·∠DGA=二，即平面ABC与平面DBF的夹角为三 4 10分 (3),·HG⊥AG,HG⊥DG,AG∩DG=G,AGc平面ACFD,DGC平面ACFD, .HG⊥平面ACFD, .EM∥HG,∴EM⊥平面ACFD, ,EMC平面DEF,∴.平面DEF⊥平面ACFD. 在三棱锥P-DEF中，设△DEF的外心为O,△PDF的外心为O, E 0 过点O作直线l⊥平面DEF,过点O,作直线，⊥平面ACDF,4,4,交 于点O, 此时，OE=OD=OF=OP,即三棱锥P-DEF的外接球球心为O, 在△DBF中，ED=EF=√5，EM=√3，DF=2N2,设△DEF外接 圆半径为r, 则(5-八+(2=，解得=55 ..Mo =V3 6 在平面O0,中，M00,为矩形，即M0=O0,= 6 在△PDF中，D=牙，设△PDF外接圆半径为R, 0 宁波市九校联考高一数学参考答第3页共5页 由正弦定理得，2R=即 即R=5P sin- 4 又，Op2=0o;+R'= +FP2, 122 所以要让三棱锥P-DEF的外接球半径OP最小，即只要让FP最小. P在AD上动，肌=AD.sin D=2,OP=55 ,FP=AC=2,CFIL AP,∴，CF=AP=1,此时P为线段AD上靠近A的三等分点，17分 19.(17分)解： )设-x,则- D8)=RRg+R,D3=P职+可=P四+p可=+14. 当且仅当x=√5时取等， .D3)≥2. …4分 (2) 设=，则网=3， 设P2方向单位向量为i,卫，B方向单位向量为j,￡∈红，-1}，i=12,3,…n-1, D⑤=RA=RB+RE+RE+PRE, D6时r-|明+Bg+BA+-5i+6+63i60 =6+x+(6+6是4+号 4、8 当且仅当x=5时取等， D6>26 ……9分 (3)设E方向单位向量为i,卫E方向单位向量为j,6∈红-1}，i=12,3n-1, f四=3fo)=1,f0)=3④=3f=1,f0=3f0=子f8=1, 当k>2时，f()为周期函数，周期为3， 网-，网9·网-得2.网斗名 网8网 w网-%89-网 故PP+是以6为周期的函数， 宁波市九校联考高一数学参考答第4页共5页 V6+26+26,+6++26a广r+(26+6+26+26++6a 20 4x 2026=337×6+4,337=168×2+1, 对于前336个周期中，令第21-1个周期中的ε=1，第2t个周期中的￡=-1,1=1,2,168， 则D(2027)= i+6+a2i+6+2i+62+6+62+62i+a -+2ow+2a+a+26e+0m+m+2a+26+八) 令6017=62019=62020=63023=E024=62026=1,63018=63021=62022=6202s=-1, 此时D(2027)=0,所以D(2027)最小值为0.…17分 宁波市九校联考高一数学参考答第5页共5页绝密★考试结束前 宁波市2024学年期末九校联考高一数学试题 第二学期 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若z=1-i,则以= A月 B.② C.1 D.2 2.已知直线1过点P(2,2)且倾斜角为135°，则点Q(-2,0)到直线1的距离为 A. B.2W2 C.3W2 D.4W2 5.已知非零向量AB=L,0),BC=(x-2,x2-3x+2),若A,B,C三点共线，则x= A.1 B.2 C.1或2 D.无解 4.已知直线1垂直于平面a,直线m,n在平面B内，则“m⊥1且n⊥1”是“&11B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 。甲、乙、丙三人各自独立破解同一密码，成功率分别为0.5,0.6,0.4.现定义事件A为“甲和乙 至少有一人成功”，事件B为“丙未成功”，则P(AB)= A.0.28 B.0.36 C.0.42 D.0.48 (.实心圆锥P0的底面直径为6，高为4，过P0中点0作平行于底面的截 面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为 A.27.75π B.30元 C.32.25π D.34.5元 7.己知d=2,ai=0,c=a+i,ac=46c,则e-2= A.1 B.2 第6题图 C.5 D.25 8.在△MBC中，2025sin2C=sin'A+sin?B,则amA+amB)anC tan A.tan B 1 1 A. 1 B. 2025 2024 C. 2 D. 2025 1012 宁波市九校联考高一数学试题第1页共4页 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分）， 得到如图所示的统计图，则 十分数 A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 9.0 8.78.6 8.4 B.甲得分的极差大于乙得分的极差 8.5 C.甲得分的均值大于乙得分的均值 8.8.4 82 8.0 83-- D.甲得分的方差大于乙得分的方差 8.0^2*。8.0 78 7.9 7.5 10.关于复数z=3-4i,下列说法正确的是 23 456评委编号 A.z2是实数 一甲 B.z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 若复数z满足02=z,则0=2-i 第9题图 D.若1z1-z1,则z∈[4,6] P 11.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD=AD=2, PD⊥平面ABCD,E为PB上动点，过点E作垂直BD的 截面α，则下列说法正确的是 E A.存在点E,使得DE⊥PB B.存在点E,使得二面角E-AC-D为 C.存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为 第11题图 D.存在点E,使得截面α截该四棱锥截得的截面面积为√3 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一艘船由A地向东方向航行12海里到达B地，然后由B地向东偏南60°方向航行了4海里到 达C地，再从C地向南偏西30方向航行12海里到达D地，则此时D地距离A地▲海里. B 第第第 A 列列列 第一行 1 第二行 35 D 第三行 9 第12题图 第13题图 13.如图，九宫格中已填入数字1,3,5,7,9，随机将数字2,4,6,8填入空格中，则第三行与 第三列数字和相等的概率为▲ 14.已知0为△MBC外心，MAG=4,∠BAC=2,若40=+hC,其中元，HeR,则 元+2μ的最小值为▲一 宁波市九校联考高一数学试题第2页共4页 2 络恋★老结市 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷而成绩中随机抽取100份作 为样本数据，将样本答卷中分数x(40≤≤100)的整数分成六段：[40.50)[50,60)，[90,100]， 并作出如图所示的频率分布直方图 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)规定x[60,80)为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试 卷中至少有2份及格的概率： (3)已知样本数据落在[50,60)的平均数是54，方羞是6：落在[60,70)的平均数是63，方差是 3.求这两组数据的总平均数下和总方差s2 注：第一部分有m个数，平均数为下，方差为2，第二部分有n个数，平均数为，方差为， 记样本均值为ā，样本方差为6，则a=+心，6= m2+(-a'+n+(y-a}] 1+刀 m+刀 频率/组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100分数 16.(15分)已知直线1：(a+2)y+(2a-5)x-6a+6=0. (1)若直线1垂直于直线1：x+y-3=0,求a的值： (2)求证：直线1经过定点： (3)当a=-11时，求点P(1.4)关于直线1的对称点P的坐标. 17.(15分)已知钝角△ABC中，AB=4. )若/B1C=牙BC=0.求cos∠ABc (2)若∠ACB=T,求△ABC的周长的取值范围。 3 宁波市九校联考高一数学试题第3页共4页 0 18.(17分)如图，△ABC为边长为2的正三角形，AD,BE和CF都垂直于平面ABC,且AD=3, BE=2,CF=1·M是DF的中点. (1)求证：EM∥平面ABC: (2)求平面ABC与平面DEF的夹角： (3)若动点P在线段AD上，求三棱锥P-DEF的外接球半径的最小值及此时P的位置. D E M F 19.(17分)平面直角坐标系内有2027个点R,B,,o,满足：①RB1R2=0: ②RR·RB.=f(k),ke{12,202s}.设D()=PE (1)若f(k)=2,k∈{1,2，，2025}，求D(3)的最小值： (2)若f(k)=2k-1,k∈{山，2，…，2025}，求D(S)的最小值： （3)若/内m(管-君，keL2,202列，求202)的最小值， 命题：宁海中学潘屹 审题：奉化中学丁少杰 宁波市九校联考高一数学试题第4页共4页 4