第19章 实数（单元测试）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第19章 实数（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的值是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．0没有算术平方根 B．9是3的算术平方根 C．3是9的算术平方根 D．是9的算术平方根 3．下列说法中，正确的是（   ） A． B．的平方根是 C．1的立方根是±1 D．的算术平方根是3 4．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．若，则的值（    ） A． B．0 C．1 D．2024 6．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．8的立方根是 ． 8．的相反数是 ． 9．16的平方根是 ． 10．计算： 11．若，则的值为 ． 12．比较大小： 2．（填““”或“”） 13．有一个数值转换器原理如下：当输入时，输出的数是 ． 14．已知，，则 ． 15．若，则 ， ． 16．已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 17．已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 18．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 三、解答题（本大题共7小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．求下列各式中实数x的值： (1)； (2)． 21．已知a的两个平方根分别是4和，b的立方根是的相反数． (1)求m，b的值； (2)求的平方根． 22．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 23．如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 24．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 25．观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的运算，根据，直接作答即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．0没有算术平方根 B．9是3的算术平方根 C．3是9的算术平方根 D．是9的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义．根据一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、0的算术平方根是0，A选项错误； B、是的算术平方根，B选项错误； C、是的算术平方根，C选项正确； D、是的算术平方根，D选项错误． 故选：C． 3．下列说法中，正确的是（   ） A． B．的平方根是 C．1的立方根是±1 D．的算术平方根是3 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，求一个数的立方根，解题关键是理解算术平方根、平方根、立方根的概念． 根据算术平方根的求法可判断A与D，根据平方根的求法可判断B，根据立方根的求法可判断C． 【详解】解：A．，故A错误； B．，的平方根是，故B正确； C．1的立方根是1，故C错误； D．，负数没有的算术平方根，故D错误． 故选：B． 4．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值，先估算出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 5．若，则的值（    ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a、b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 6．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 8的立方根是2． 故答案为：2． 8．的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数定义，只有符号不同的两个数叫做相反数，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 9．16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据，从而可得答案． 【详解】解：16的平方根为． 故答案为： 10．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查实数的混合运算，进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 11．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的应用、代数式求值，根据算术平方根和绝对值的非负性求得x、y值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．比较大小： 2．（填““”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方数大的这个数也大．根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 13．有一个数值转换器原理如下：当输入时，输出的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根，能够根据图片正确列出算式是解题的关键．直接根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 4是有理数， ， 2是有理数， 的算术平方根是， 是无理数， 输出的y是， 故答案为：． 14．已知，，则 ． 【答案】9.649 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：根据可得， 根号下的数扩大了100倍，则结果扩大10倍， 故， 故答案为：9.649． 15．若，则 ， ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，进行运算，即可求解． 本题考查了立方根的性质，解题的关键是：熟练掌握立方根的性质． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：12；． 16．已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题关键．先估算出的范围，得到，进而得到，求出，即可求解． 【详解】解：， ， 为正整数，， ， ， ， ， ， 为正整数， 的最大值为， 故答案为：． 17．已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、平方根，先估算出，再结合题意得出，，求出的值，再根据平方根的定义求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵x的整数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 18．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 【答案】32 【分析】本题考查了立方根，理解题目所提供的方法是解决问题的关键． 根据题目提供的方法，类推确定． 【详解】解：由，确定是两位数． 由32768的个位上的数是8，能确定的个位上的数是2． 如果划去32768后面的三位768得到数32，而，由此确定的十位上的数是3． 因此，32768的立方根是32． 故答案为：32． 三、解答题（本大题共7小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值和乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 20．求下列各式中实数x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用立方根和平方根的性质解方程，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义及运算法则． （1）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据立方根的定义求解； （2）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据平方根的定义求出的值，进而求出的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 或． 21．已知a的两个平方根分别是4和，b的立方根是的相反数． (1)求m，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)的平方根． 【分析】本题考查了平方根和立方根，相反数，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义求解即可； （2）由（1）知，，，根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵a的两个平方根分别是4和， ∴， 解得：， ∵b的立方根是的相反数， ∴b的立方根是2， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴， 25的平方根为， ∴的平方根． 22．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根以及实数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意得到，，，即可得到答案； （2）求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分c为3， 一个数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分， ，，， 解得：，，； （2）解：由（1）可知：，，， ， 的平方根为：． 23．如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)的平方根为 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，平方根的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴， （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的平方根为． 24．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 25．观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； (2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$