专题12 有理数的乘法-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题12 有理数的乘法 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 3 题型探究 4 题型1、有理数的乘法运算 4 题型2、有理数乘法法则的辨析 7 题型3、利用有理数乘法辨别符号问题 8 题型4、有理数乘法运算律及简算 10 题型5、有理数乘法的实际应用 13 题型6、有理数乘法的新定义问题 15 题型7、倒数的概念与运用 16 基础通关 17 拓展提优 22 1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便，培养运算能力及良好的习惯； 5. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度。 【思考1】 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会。为了备战运动会，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】 （1）计算下列各式的值∶ ① ② ③ ④ （2）由上例请猜想下列各式的值∶ ① ② ③ ④ 【思考3】思考并填空∶ (1) (2) (3) (4) 【思考4】计算和猜想∶ (1) (2) 【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。 在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。 1.有理数的乘法法则（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 2.有理数乘法的运算步骤 先确定积的符号，再确定积的绝对值。 3.多个有理数相乘 几个非0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 4.多个有理数相乘的运算步骤 先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 注意：1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数． 2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘． 5.有理数乘法运算律 1）乘法交换律：。一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 2）乘法结合律：。一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 3）乘法分配律：。一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 注意：（1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； （2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 （3）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项； （4）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换； （5）公式的正用与逆用的结合使用。 6.倒数 1）倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数．即若，则和互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。 2）倒数的性质： （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。 （2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数：把它的分子和分母颠倒位置即可；带分数一定要先化成假分数后再求倒数。 ①非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；②带分数一定要先化成假分数之后再求倒数． 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； （2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； （3）倒数等于本身的数有：1、-1。 题型1、有理数的乘法运算 【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0． 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个非0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。多个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 例6．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，，且，则的值为（   ） A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1 例7．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如果4个不等的整数m，n，p，q满足，那么 ． 变式1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ； ； ； ． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（   ） A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10 变式4．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）绝对值大于2而不大于5的所有负整数的积是 ． 变式5．（24-25七年级上·全国·期末）已知 且，则 的值为（   ） A．2 B． C． D． 变式6．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）从，，，2，3这五个数中取其中3个不同的数作为因数，则积的最大值和积的最小值的差为 . 变式7．（2024七年级上·全国·专题练习）学习生活情境·游戏在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2024这个数说给第一位同学，第一位同学将听到的结果减去它的的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三位同学，第三位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四位同学，…，照这样的方法直到全班40人全部传完，最后一位同学将听到的结果告诉李老师，你知道最后的结果吗？ 题型2、有理数乘法法则的辨析 【解题技巧】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得0； 多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 例1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（23-24七年级上·山东·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．两个数的积大于每一个因数 B．两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积 C．两个数的积是0，则这两个数都是0 D．一个数与它的相反数的积是负数 例3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 例4．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 变式3．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期中）两个互为相反数的有理数相乘，积为（　　） A．正数 B．负数 C．零 D．负数或零 变式4．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列结论中，错误的是（　　） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若五数相乘的积为负，则这五数都为负 题型3、利用有理数乘法辨别符号问题 【解题技巧】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 例1．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）若，，则（   ） A．， B．， C．，两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．，两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值 例2．（2025·山东潍坊·一模）如图，数轴上标注了实数a，b，c对应点的位置，，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·海南三亚·期中）如图，a ，b ，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（        ） A． B． C． D． 例5．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式1．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 变式2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，则下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·重庆江津·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，．根据图中各点位置，下列各式大于的是（   ） A． B． C． D． 变式5．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如果，，，那么这四个数中有 个负数． 题型4、有理数乘法运算律及简算 【解题技巧】运用运算律的一些技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式。如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。 例1．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 例2．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）；         （2）； （3）；      （4）． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 例5．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 例6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 例7．（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 变式1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 变式2．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 变式3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 变式4．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 变式5．（2024七年级上·全国·专题练习）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 变式6．（24-25七年级上·山西晋中·期末）阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 题型5、有理数乘法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变．能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧． 例1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场． 例2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）樱桃是邹城特色农产品之一，现有30箱樱桃，以每箱为标准，重量超过标准的千克数用正数表示，重量不足标准的千克数用负数表示，具体数据见下表： 与标准重量的差值 0 0.1 0.2 0.3 箱数 3 4 6 9 5 2 1 (1)在30箱樱桃中，最重的一箱比最轻的一箱多_____； (2)与标准重量相比，30箱樱桃超出或不足的重量为多少？ (3)若每千克樱桃20元，则这30箱樱桃可卖多少钱？ 例3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元． (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元； 方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 变式1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（24-25八年级上·重庆·期末）某校七年级一个综合实践小组今天到食堂进行实践活动，帮助食堂管理人员记账，食堂今天购进了筐萝卜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若萝卜每千克元，购买这筐萝卜总共应付款多少元？（结果保留整数） 变式3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）随着2024年1月哈尔滨旅游的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好地服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒，每天售出礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的实际游园人数以及售出礼盒数量的变化情况． 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际游园人数相对于标准人数/万人 +0.5 +0.8 -0.3 +0.7 -0.1 +0.6 +0.3 售出礼盒的数量相对于实际游园人数/万盒 -0.3 +0.4 0 +1.5 +0.8 +1.1 +1.8 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人100元，那么本周内门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)在（2）的条件下，如果礼盒每盒50元，那么这一周冰雪大世界在门票和礼盒上的总收入是多少钱？ 题型6、有理数乘法的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念．这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题． 例1．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25六年级上·山东泰安·期末）现定义两种运算“”和“※”，对于任意两个整数，，，那么 ． 例3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 例4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． 变式1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定，则 ． 变式2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 变式3．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 变式4．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 题型7、倒数的概念与运用 【解题技巧】乘积是的两个数互为倒数。 （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 例1．（2025·广东清远·一模）的倒数是（　　） A． B． C．-20 D．20 例2．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 例3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．不是每一个有理数都可以在数轴上表示出来 C．小于的数的倒数一定大于其本身 D．一个数的倒数不可能等于它本身 例4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）若，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3，则的值为（） A． B．2 C．或2 D．或 例5．（2024七年级上·江苏·专题练习）的负倒数等于19，则 ． 变式1．（2025·河北保定·一模）若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 变式2．（24-25七年级上·广东湛江·阶段练习）的倒数的绝对值的相反数为 ． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）若一个数的倒数与这个数的相反数的和为0，则这个数是（　　） A．1 B． C．0 D．1或 变式4．（23-24七年级上·北京·期中）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1﹣a2＋a3＋a4﹣a5＋a6…＋a34﹣a35＋a36的值是 ． 变式5．（24-25七年级上·江西九江·期中）下列结论：①一个数跟它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 4．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远；⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，对于下列各式的判断，正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙对丙对 7．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如果四个不同的整数a，b，c，d满足，求的值． 9．（24-25七年级上·广西柳州·期中）下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便． 例如： 的计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得： ， 这样计算就简便得多． 请你逆用乘法分配律计算： (1) (2) 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习了有理数的乘法后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1  ； 例2  ． (1)任务一：例1，例2都用到的运算律是___________； (2)任务二：请你参照上述例1，例2，用运算律简便计算下列式子：； (3)计算：． 11．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）“秋风起，蟹脚痒”，金秋十月，正是大闸蟹上市的季节．现有8筐大闸蟹，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下： 第一筐 第二筐 第三筐 第四筐 第五筐 第六筐 第七筐 第八筐 1.2 0.8 1 回答下列问题： (1)这8筐大闸蟹中，最接近标准重量的这筐大闸蟹重________千克； (2)这8筐大闸蟹中，有两筐大闸蟹的重量相差最大，这两筐大闸蟹的重量相差千克； (3)若这批大闸蟹以150元/千克全部售出，可售得多少元？ 13．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 14．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 15．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：，例：当，时，．若，，则的最大值为 ． 17．（24-25七年级上·云南玉溪·期中）我们把符号“”读作“n的阶乘”， 规定：其中n为自然数， 当时，；当时，．例如：．又规定：在含有阶乘和加减乘除运算时，应先计算阶乘，再乘除，最后加减，有括号就先算括号里面的．按照上面的定义和运算顺序，计算： (1) (2) (3)用具体数试验一下， 看看等式是否恒成立？ 18．（2025·广东·模拟预测）的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D．5 19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列各说法中，正确的个数有（   ） ①若，则x一定是负数； ②一个正数一定大于它的倒数； ③任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示； ④若，则； ⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（24-25七年级上·辽宁·单元测试）下列选项判断正确的是（    ） A． B．是有理数，它的倒数是 C．若，则 D．若，则 21．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若a与3互为相反数，b与互为倒数，c的相反数等于它本身，d的绝对值是4，请求出的值． 22．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）问题情境：下列，，，四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）：                       A           B           C         D (1)求四张卡片上数的绝对值的和． (2)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为． ①求，，，的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 23．（23-24七年级上·湖南株洲·期中）阅读下列材料： ， ， ， 由以上三个等式相加，可得： ． 根据以上材料，请你完成下列各题： (1)；（写出过程） (2)________________；（用含n的代数式表示） (3)根据以上学习经验，猜想____________．（写出最后结果） 1．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为 ，乙拿的两张卡片上的数字之积为 ．    2．（23-24七年级上·全国·期中）如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知数轴上M，N，P，Q四点所表示的数分别为m，n，p，q且，其中有两个数的和为0，且满足．若．则这四个数中可能互为相反数的是 ． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排成方阵，做了一个游戏，起初全体学生面向教官，教官每次任意点个学生，被点到的学生向后转，且学生都能正确完成指令，同一名学生可以多次被点到，则次点名后（，均为正整数），下列说法正确的是（    ） A．当为偶数时，无论何值，背对教官的人数一定为偶数个 B．当为偶数时，无论何值，背对教官的人数一定为奇数个 C．当为奇数时，无论何值，背对教官的人数一定为偶数个 D．当为奇数时，无论何值，背对教官的人数一定为奇数个 5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a，b为实数，下列说法： ①若，则|； ②若，则是正数； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的是 ． 6．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算： ． 7．（24-25七年级上·湖南永州·期末）用表示组成的所有数字的乘积，例如：，．则 ． 8．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）阅读理解：将一个数不等于0和1）作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数．例如：第1次变换得到，记为；第2次变换得到，记为；第次变换得到，记为．延伸拓展：将一个数组均不等于0和1）中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到，；第2次变换得到；第次变换得到．活学活用：若数组确定为，则的值为（    ） A．37 B． C．39 D． 9．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）：当x的值取在______的范围时，的最小值是______； 问题（2）：当______时，的最小值是______； 问题（3）：若的最小值是5，求a的值． 问题（4）：已知，则求出的最大值和最小值． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，．那么，，其中．例如，，．现有，则的值为 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 12．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 有理数的乘法 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 3 题型探究 4 题型1、有理数的乘法运算 4 题型2、有理数乘法法则的辨析 12 题型3、利用有理数乘法辨别符号问题 16 题型4、有理数乘法运算律及简算 22 题型5、有理数乘法的实际应用 31 题型6、有理数乘法的新定义问题 36 题型7、倒数的概念与运用 40 基础通关 45 拓展提优 61 1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便，培养运算能力及良好的习惯； 5. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度。 【思考1】 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会。为了备战运动会，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】 （1）计算下列各式的值∶ ① ② ③ ④ （2）由上例请猜想下列各式的值∶ ① ② ③ ④ 【思考3】思考并填空∶ (1) (2) (3) (4) 【思考4】计算和猜想∶ (1) (2) 【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。 在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。 1.有理数的乘法法则（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 2.有理数乘法的运算步骤 先确定积的符号，再确定积的绝对值。 3.多个有理数相乘 几个非0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 4.多个有理数相乘的运算步骤 先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 注意：1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数． 2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘． 5.有理数乘法运算律 1）乘法交换律：。一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 2）乘法结合律：。一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 3）乘法分配律：。一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 注意：（1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； （2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 （3）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项； （4）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换； （5）公式的正用与逆用的结合使用。 6.倒数 1）倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数．即若，则和互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。 2）倒数的性质： （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。 （2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数：把它的分子和分母颠倒位置即可；带分数一定要先化成假分数后再求倒数。 ①非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；②带分数一定要先化成假分数之后再求倒数． 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； （2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； （3）倒数等于本身的数有：1、-1。 题型1、有理数的乘法运算 【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0． 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个非0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。多个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用有理数的乘法法则，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； （2）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； （3）根据有理数的乘法法则，任何数与相乘都得，计算即可求解； （4）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 例3．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键． 根据数轴和可知，解出的值，相乘即可． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，且， 根据图可知， 解得， ∴， 故选：C． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，多个有理数相乘，熟练掌握多个有理数相乘计算法则是解题的关键； 根据多个有理数相乘计算法则即可求解； 【详解】解：A、，故该选项错误； B、 故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D 例5．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义和有理数的乘法法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据绝对值的定义和有理数的乘法法则解答即可． 【详解】解：绝对值不大于的整数有：、、、、、、， 则绝对值不大于的所有整数的积等于， 故选：B． 例6．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，，且，则的值为（   ） A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1 【答案】A 【分析】本题主要考查的是有理数的减法、有理数的乘法、绝对值，利用分类讨论思想解题是关键． 由可知a、b异号，从而得到或，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵，则a、b异号， ∴或． 当时，； 当时，． 故选：A． 例7．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如果4个不等的整数m，n，p，q满足，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据题意得出四个因数分别是，，，，进而即可求解． 【详解】解：因为，每一个因数都是整数且都不相同，那么只可能是，，，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：12 变式1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ； ； ； ． 【答案】 30 【分析】本题考查多个有理数乘法运算，解答时除了正确运用乘法法则外，还需注意利用运算律进行简便运算．先确定积的符号，再计算绝对值即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ． 故答案为：，，30， 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)24 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法的法则及运算律． （1）先确定符号，再用绝对值相乘即可； （2）先确定符号，再用乘法结合律计算即可； （3）先确定符号，把小数化为分数，再按照法则计算即可； （4）先确定符号，把小数化为分数计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式3．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（   ） A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选C． 变式4．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）绝对值大于2而不大于5的所有负整数的积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得绝对值大于2而不大于5的所有负整数有，，，然后再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘法运算，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较方法，有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：绝对值大于2而不大于5的所有负整数有，，， 它们是积为：． 故答案为：． 变式5．（24-25七年级上·全国·期末）已知 且，则 的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值等知识点，由题意可得：，再由得出或，最后代入求值即可，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决此题的关键． 【详解】， ， ， ∴或， 当时，， 当时，， 故选：B． 变式6．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）从，，，2，3这五个数中取其中3个不同的数作为因数，则积的最大值和积的最小值的差为 . 【答案】168 【分析】本题主要考查有理数的乘法和减法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键，根据有理数的乘法和减法法则解决此题． 【详解】解：根据有理数的乘法法则，从，，，2，3这五个数中， 取其中3个不同的数、、3，此时积最大为， 取其中3个不同的数、2、3，此时积最小为， ， 故答案为：168． 变式7．（2024七年级上·全国·专题练习）学习生活情境·游戏在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2024这个数说给第一位同学，第一位同学将听到的结果减去它的的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三位同学，第三位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四位同学，…，照这样的方法直到全班40人全部传完，最后一位同学将听到的结果告诉李老师，你知道最后的结果吗？ 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘法的应用，解题的关键是理解题意；根据有理数的乘法寻找规律进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得： ； 即最后听到的结果是． 题型2、有理数乘法法则的辨析 【解题技巧】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得0； 多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 例1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法法则，相反数的概念； 根据有理数乘法法则和相反数的概念，进行判断便可． 【详解】解：①同号两数相乘，积为正号，不是符号不变，该说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该说法错误； ④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该说法错误； 故选：A． 例2．（23-24七年级上·山东·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．两个数的积大于每一个因数 B．两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积 C．两个数的积是0，则这两个数都是0 D．一个数与它的相反数的积是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同相乘，都得分别进行分析可得答案. 【详解】、两个数的积大于每一个因数，说法错误，例如：，故此选项错误； 、两个有理数的积的绝对值等于这个两个数的绝对值的积，说法正确，故此选项正确； 、两个数的积是，则这两个数都是，说法错误，例如：，故此选项错误； 、一个数与它的相反数的积是负数，说法错误，例如：，故此选项错误. 故选：. 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，关键是掌握乘法法则. 例3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 例4．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆．根据数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误； ②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误； ③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确； ④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误． ∴正确的有2个； 故选：A． 变式2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法，相反数的定义，根据有理数的乘法运算法则，相反数的定义等知识进行判定即可求解． 【详解】解：①一个数同相乘，仍得这个数，正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，正确； ③互为相反数的两数之积一定是负数或，错误； ④两个数的乘积为，则这两个数至少有一个为，错误． 故选：B． 变式3．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期中）两个互为相反数的有理数相乘，积为（　　） A．正数 B．负数 C．零 D．负数或零 【答案】D 【详解】解：互为相反数的两数，若是异号，则乘积为负数，若是零，则乘积为零，所以两个互为相反数的有理数相乘，积为负数或零． 故选D． 【点睛】本题考查相反数；有理数的乘法． 变式4．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列结论中，错误的是（　　） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若五数相乘的积为负，则这五数都为负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则的应用．根据有理数的乘法法则判断即可． 【详解】解：A、若两数相乘的积为正，则这两数同号，故本选项不符合题意； B、若两数相乘的积为负，则这两数异号，故本选项不符合题意； C、几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故本选项不符合题意； D、若五数相乘的积为负，则负因数的个数有1个或3个或5个，故本选项符合题意； 故选：D． 题型3、利用有理数乘法辨别符号问题 【解题技巧】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 例1．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）若，，则（   ） A．， B．， C．，两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．，两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法、有理数乘法法则，解题的关键是熟练掌握两个法则的内容，并会灵活运用．根据，结合乘法法则，可知a、b异号，由，根据加法法则可知负数的绝对值大于正数的绝对值． 【详解】解：∵， ∴a、b异号， 又∵， ∴负数的绝对值大于正数的绝对值． 故选：D． 例2．（2025·山东潍坊·一模）如图，数轴上标注了实数a，b，c对应点的位置，，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，，进而得，，再由得，由此判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴， 故选项D符合题意； ∵， ∴， 实数b和零的位置关系无法确定， 故选项A、B、C无法确定，不符合题意． 故选：D． 例3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，两点间的距离，绝对值的意义，有理数的运算法则． 利用数轴上点分别表示数，，，利用两点间距离求出，由，利用有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：数轴上点分别表示数，，， ，， ， ，，故选项B、C错误； ， ， ，故选项A错误； ，故选项D正确； 故选：D． 例4．（24-25七年级上·海南三亚·期中）如图，a ，b ，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法和乘法，以及数轴等知识点，首先根据数轴判断出的大小，再根据有理数的减法和乘法法则进行计算可得答案，熟练掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴，，， A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 例5．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 变式1．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法和乘法运算，根据绝对值的意义及有理数的加法和乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若，则，该选项运算错误，不合题意； 、若， ，则或，该选项运算错误，不合题意； 、若， 则为任意有理数，该选项运算正确，符合题意； 、若  则，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 变式2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，则下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、有理数的乘法、绝对值的意义，由数轴可得，从而可得，，，，，逐项分析即可得解． 【详解】解：由数轴可得： ∴，，，，，故A正确； ∴，，，故B D正确，C错误； 故选：C． 变式3．（24-25七年级上·重庆江津·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的乘法， 先根据数轴可知，再根据“两数相乘同号得正，异号得负”分情况讨论，并逐个判断即可. 【详解】解：根据题意，得， 如果，当或时，可知，所以（1）正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（2）正确； 如果，当或时，不能确定的正负性，所以（3）不正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（4）不正确. 正确的有2个. 故选：B. 变式4．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，．根据图中各点位置，下列各式大于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数乘法，从数轴可知：，，，，，，，然后根据有理数的乘法法则逐一判断即可，掌握数轴的特点和有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：从数轴可知：，，，，，，， 则、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 变式5．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如果，，，那么这四个数中有 个负数． 【答案】1/一 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、 b 、c 、d的符号．根据，，得出a、b异号，c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数，再由负因数的个数是1个或3个．即可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b互为相反数，即a、b异号， ∵， ∴c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数， ∴a、b、c、d中最多有2个负数， 又∵， ∴负因数的个数是1个或3个． ∴这四个数中负数有1个． 故答案为：1． 题型4、有理数乘法运算律及简算 【解题技巧】运用运算律的一些技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式。如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。 例1．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 例2．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）；         （2）； （3）；      （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的乘法法则及乘法运算律，掌握有理数的乘法法则是解题的关键。 （1）把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把和，和利用乘法交换、结合律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把与交换结合到一起，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键； 将化为，然后乘以，即可求解； 【详解】解：， ， 故答案为： 例5．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 例6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，先根据小括号的个数确定符号，再根据互为倒数的两个数相乘，乘积为1，进行简便计算，从而得出结果． 【详解】解： ． 例7．（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3)29070 【分析】（1）根据题中规律即可写出； （2）根据（1）中得到规律进行计算即可； （3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可 【详解】（1）， ； （2）解：原式 （3）解：原式 ， 【点睛】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律是解题的关键． 变式1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律即可求得答案； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得遮盖的算式为：， 则； （2）解：原式 ． 变式3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是熟练掌握乘法运算律进行简便计算． （1）先把写成的形式，然后利用乘法分配律进行计算即可； （2）先根据有理数的乘法法则，确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式4．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式5．（2024七年级上·全国·专题练习）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式6．（24-25七年级上·山西晋中·期末）阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用； （1）根据例题的方法设为，为，进而根据分配律进行计算即可求解； （2）根据发现的规律将所求式子变形，同（1）的方法，利用分配律进行运算，即可求解． 【详解】（1）设为，为， 原式 ； （2）设为，为， 原式 . 题型5、有理数乘法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变．能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧． 例1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场． 【答案】66 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．12支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛场，解方程即可求解． 【详解】解：12支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为： ． 故答案为：66． 例2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）樱桃是邹城特色农产品之一，现有30箱樱桃，以每箱为标准，重量超过标准的千克数用正数表示，重量不足标准的千克数用负数表示，具体数据见下表： 与标准重量的差值 0 0.1 0.2 0.3 箱数 3 4 6 9 5 2 1 (1)在30箱樱桃中，最重的一箱比最轻的一箱多_____； (2)与标准重量相比，30箱樱桃超出或不足的重量为多少？ (3)若每千克樱桃20元，则这30箱樱桃可卖多少钱？ 【答案】(1)0.6； (2)不足的重量为；； (3)1478元 【分析】本题考查了有理数加减法和乘法的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）用最重的一箱与最轻的一箱作差即可； （2）将30箱樱桃与标准质量的差值相加即可得解； （3）用30箱樱桃的总质量乘以单价求解即可／． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.6； （2）解：， 即与标准重量相比，30箱樱桃不足的重量为； （3）解：（元）， 答：这30箱樱桃可卖元． 例3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元． (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元； 方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 【答案】(1)六，15 (2)盈利135元 (3)方案二 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据题意列式计算出两种方案的总花费后即可求得答案． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是周六，最高单价是（元）； （2）解：根据题意可得这一周每天每斤百香果的利润分别为3元，0元，5元，1元，4元，7元，元， 则 （元）， 即这一周超市出售此种百香果的收益为盈利135元； （3）解：方案一：（元）； 方案二： （元）； ∵， ∴选择方案二购买更省钱． 变式1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 分类讨论，分别算出所有人的爬楼距离，再比较即可． 【详解】解：若在1层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在2层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在3层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在4层，则所有参会人员爬楼距离之和为， ∵， ∴会议室地点应设在3层， 故选：C． 变式2．（24-25八年级上·重庆·期末）某校七年级一个综合实践小组今天到食堂进行实践活动，帮助食堂管理人员记账，食堂今天购进了筐萝卜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若萝卜每千克元，购买这筐萝卜总共应付款多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重千克； (2)与标准重量相比，筐萝卜总计超过千克； (3)购买这筐萝卜总共应付款元． 【分析】（）根据正、负数的意义，用超出质量最大的减去最小的，然后根据有理数的减法运算进行计算即可； （）用与标准质量的差值乘以对应的筐数，然后相加，根据有理数混合运算的方法计算，如果结果是正数，则超过，是负数，则不足； （）先求出总质量，然后乘以单价即可； 本题考查了正、负数的意义，有理数的混合运算，明确正、负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据表格可知，最轻的是差千克，最重的是超出千克， ∴（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：（千克）， ∵， ∴与标准重量相比，筐萝卜总计超过千克； （3）解：∵筐白萝卜为：（千克）， ∴（元）， ∴购买这筐萝卜总共应付款元． 变式3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）随着2024年1月哈尔滨旅游的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好地服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒，每天售出礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的实际游园人数以及售出礼盒数量的变化情况． 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际游园人数相对于标准人数/万人 +0.5 +0.8 -0.3 +0.7 -0.1 +0.6 +0.3 售出礼盒的数量相对于实际游园人数/万盒 -0.3 +0.4 0 +1.5 +0.8 +1.1 +1.8 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人100元，那么本周内门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)在（2）的条件下，如果礼盒每盒50元，那么这一周冰雪大世界在门票和礼盒上的总收入是多少钱？ 【答案】(1)星期二的游客人数最多为万人 (2)门票收入最高的一天比最低的一天多110万元 (3)总收入为1690万元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数加减法的混合运算的实际应用及乘法运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）由超过标准人数最多的1天可得答案； （2）由星期二门票收入减去星期三的门票收入即可得到答案； （3）由门票收入加上礼盒收入可得总收入． 【详解】（1）解：∵星期二超过标准人数最多， ∴星期二的游客人数最多为：（万人） （2）解：星期二人数最多，收入最高，为：（万元）， 星期三人数最少，收入最低，为：（万元）， ∴门票收入最高的一天比最低的一天多（万元） （3）解：∵游客总人数为：（万人）， ∴门票总收入为：（万元） ∵购买礼盒总数量为： （万盒）， ∴购买礼盒收入为：（万元）， ∴总收入为：（万元）． 题型6、有理数乘法的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念．这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题． 例1．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减法和乘法的混合运算，正确理解新定义运算的含义是解题的关键．根据，选择的情况计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 例2．（24-25六年级上·山东泰安·期末）现定义两种运算“”和“※”，对于任意两个整数，，，那么 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义，认真审题，得出新定义表示的含义是解本题的关键．根据题中的新定义，，根据规律及运算顺序有括号先算括号里边的，化简所求的式子即可求出值． 【详解】 解：，， ， 故答案为：． 例3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据已知可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 例4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算： （1）（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加； （2）根据（加乘）运算的法则计算即可； （3）可知，，原式，进而即可求解． 【详解】（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加． ， 故答案为：， （2） 原式 故答案为： （3）根据题意可知，，即 ， 原式 变式1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义列式计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 变式3．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘除运算，根据题意列出算式，然后通过法则即可求解，解题的关键是明确题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】由题意可得，， 故答案为：． 变式4．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 题型7、倒数的概念与运用 【解题技巧】乘积是的两个数互为倒数。 （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 例1．（2025·广东清远·一模）的倒数是（　　） A． B． C．-20 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法、倒数的定义等知识点，掌握有理数乘法法则是解题的关键． 先根据有理数乘法法则计算，然后再求倒数即可． 【详解】解：，的倒数是． 故选A． 例2．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和是倒数， 故选：B． 例3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．不是每一个有理数都可以在数轴上表示出来 C．小于的数的倒数一定大于其本身 D．一个数的倒数不可能等于它本身 【答案】C 【分析】根据负数的定义，倒数的性质，有理数的性质判断解答即可． 本题考查了负数，倒数，有理数，正确理解定义和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 不一定是负数，错误，不符合题意； B. 每一个有理数都可以在数轴上表示出来，错误，不符合题意； C. 小于的数的倒数一定大于其本身，正确，符合题意， D. 一个数的倒数可能等于它本身，如1的倒数是1，的倒数为，错误，不符合题意 故选：C． 例4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）若，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3，则的值为（） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3，可以得到，，或，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3， ，，或， 当时， ； 当时， ； 故选：D． 例5．（2024七年级上·江苏·专题练习）的负倒数等于19，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键，是一道基础题．根据倒数的定义先列出算式，求出x的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵的负倒数等于19， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式1．（2025·河北保定·一模）若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选B． 变式2．（24-25七年级上·广东湛江·阶段练习）的倒数的绝对值的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、绝对值、相反数，根据倒数、绝对值、相反数的定义解答即可求解，掌握倒数、绝对值、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数为， ∴的倒数的绝对值为， ∴的倒数的绝对值的相反数为， 故答案为：． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）若一个数的倒数与这个数的相反数的和为0，则这个数是（　　） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了倒数和相反数的定义．熟练掌握相反数和倒数的定义是解题的关键； 根据倒数的定义得一个数的倒数等于它本身的有1或，再根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵1的倒数是1，的倒数是． 对于1，它的相反数是， 1的倒数1，加上它的相反数，； 对于，它的相反数是1， 的倒数，加上它的相反数1，． 故选：D． 变式4．（23-24七年级上·北京·期中）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1﹣a2＋a3＋a4﹣a5＋a6…＋a34﹣a35＋a36的值是 ． 【答案】-10 【分析】根据差倒数定义分别求出前几个数字，即可发现规律进而得结果． 【详解】解：∵a1＝﹣2， ∴a2＝， a3＝， a4＝＝﹣2， …， ∴这个数列以﹣2，，依次循环， ∵36÷3＝12， ∴a35的值是，a36的值是， ∴a1﹣a2+a3+a4﹣a5+a6+…+a34﹣a35+a36 ＝﹣2﹣++（﹣2﹣+）+…+（﹣2﹣+） ＝×12 ＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 变式5．（24-25七年级上·江西九江·期中）下列结论：①一个数跟它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的知识，正确掌握倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则是解题的关键． 根据倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则分别计算并判断即可． 【详解】解：∵0没有倒数， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确． 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则的应用，根据有理数的乘法法则判断即可，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】．根据同号两数相乘，积为正，因此本选项正确； ．异号两数相乘得负，故本选项正确； ．几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故本选项正确； ．可以是一个负数，两个正数，故本选项错误； 故选：． 4．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远；⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和整数的定义，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的乘法计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，据此可判断①；根据当时，，此时不是负数，可判断②；根据不是正数的数还包括负分数可判断③；根据绝对值的几何意义可判断④；根据有理数的乘法计算法则可判断⑤，然后即可求解； 【详解】解：①只有符号相反的数互为相反数，原说法错误； ②不一定是一个负数，例如当时，，此时不是负数，原说法错误； ③不是正数的数还包括负分数，分数并不属于整数，原说法错误； ④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确； ⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积不一定为正数，例如有乘数为0时，结果为0，不是正数，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则和有理数的乘法运算法则，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴异号， ∵， ∴正数的绝对值大， ∵， ∴，，绝对值较大． 故选：A． 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，对于下列各式的判断，正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙对丙对 【答案】C 【分析】本题考查数轴和数轴上点的大小的比较，两个数相乘，积的符号问题．因为数轴上右边的数总比左边的大，大数减小数差为正，小数减大数差为负，再根据乘法运算同号得正，异号得负． 【详解】解： 甲正确； ，即 乙正确； ， ， 又， ， 丙错误． 故选：C． 7．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 根据题意可得：，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴选项B符合题意； ∵ ∴， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵ ∴， ∴， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 8．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如果四个不同的整数a，b，c，d满足，求的值． 【答案】40 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据、、、是四个不同的整数可知四个括号内的值分别是：，，据此可得出结论． 【详解】解：∵整数a，b，c，d各不相同， ∴整数，，，也各不相同， 又∵， ∴， ∴． 9．（24-25七年级上·广西柳州·期中）下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便． 例如： 的计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得： ， 这样计算就简便得多． 请你逆用乘法分配律计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题考查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键： （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习了有理数的乘法后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1  ； 例2  ． (1)任务一：例1，例2都用到的运算律是___________； (2)任务二：请你参照上述例1，例2，用运算律简便计算下列式子：； (3)计算：． 【答案】(1)分配律 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法分配律及其逆用以简化计算是解题的关键． （1）由题意即可直接得出答案； （2）将分拆成，然后运用乘法分配律即可； （3）逆用乘法分配律，将原式转化为即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 例1，例2都用到的运算律是分配律， 故答案为：分配律； （2）解： ； （3）解： ． 11．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除运算的实际应用，由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛，可得个小组需要进行场比赛，据此即可求解，正确列出算式求出个小组需要进行的比赛场数是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）“秋风起，蟹脚痒”，金秋十月，正是大闸蟹上市的季节．现有8筐大闸蟹，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下： 第一筐 第二筐 第三筐 第四筐 第五筐 第六筐 第七筐 第八筐 1.2 0.8 1 回答下列问题： (1)这8筐大闸蟹中，最接近标准重量的这筐大闸蟹重________千克； (2)这8筐大闸蟹中，有两筐大闸蟹的重量相差最大，这两筐大闸蟹的重量相差千克； (3)若这批大闸蟹以150元/千克全部售出，可售得多少元？ 【答案】(1)24.5 (2)4.2 (3)29250元 【分析】本题考查了有理数的运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）根据与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量即可求解． （2）最重的与最轻的相减即可求解． （3）先求出筐螃蟹的总质量，再根据“总价单价数量”计算即可． 【详解】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准，是第筐， 这筐螃蟹重（千克）， 故答案为：． （2）最重的一筐是第筐，重量是（千克）， 最轻的一筐是第筐，重量是（千克）， 最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 故答案为：． （3）（千克）， （元）． 答：这批螃蟹以150元千克全部售出，可售得元． 13．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【详解】解：由已知得， 故选C． 14．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算．根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解： ； 故选A． 15．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 16．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：，例：当，时，．若，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值的性质．理解新定义运算的法则是解题关键．由题意可得出或，或，再分类讨论，结合新定义运算的法则和有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或． 分类讨论：①当时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当时，． 综上可知若，，则的最大值为4． 故答案为：4． 17．（24-25七年级上·云南玉溪·期中）我们把符号“”读作“n的阶乘”， 规定：其中n为自然数， 当时，；当时，．例如：．又规定：在含有阶乘和加减乘除运算时，应先计算阶乘，再乘除，最后加减，有括号就先算括号里面的．按照上面的定义和运算顺序，计算： (1) (2) (3)用具体数试验一下， 看看等式是否恒成立？ 【答案】(1)120 (2) (3)不恒成立 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法，理解新定义的运算法则是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）根据新定义运算法则计算即可； （3）当和时，根据新定义分别算，即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：不恒成立，理由： 当时， ， ，， 不成立， 当时， ， 成立， 综上所述，不恒成立． 18．（2025·广东·模拟预测）的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数和倒数，掌握倒数和相反数的定义是解题的关键． 先求出的倒数，然后再求其相反数即可． 【详解】的倒数为的相反数为， 的倒数的相反数是， 故选：D． 19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列各说法中，正确的个数有（   ） ①若，则x一定是负数； ②一个正数一定大于它的倒数； ③任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示； ④若，则； ⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法法则逐个判定即可． 【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误； ②小于1的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故②错误； ③任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，正确； ④若，则，正确； ⑤若，则且或且，即⑤错误； 正确的有2个． 故选：B． 20．（24-25七年级上·辽宁·单元测试）下列选项判断正确的是（    ） A． B．是有理数，它的倒数是 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，倒数以及绝对值，根据有理数大小比较，倒数以及绝对值的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，故选项Ａ正确，符合题意； B．当时，没有倒数，故选项B错误，不符合题意； C.若，则或，故选项C错误，不符合题意； D. 若，则，故选项D错误，不符合题意； 故选：A 21．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若a与3互为相反数，b与互为倒数，c的相反数等于它本身，d的绝对值是4，请求出的值． 【答案】或 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值及有理数的运算，根据相反数，倒数，绝对值的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：∵a与3互为相反数，b与互为倒数，c的相反数等于它本身，d的绝对值是4， ∴，，，， 当时， ； 当时， ； 综上，原式的值为或． 22．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）问题情境：下列，，，四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）：                       A           B           C         D (1)求四张卡片上数的绝对值的和． (2)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为． ①求，，，的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求出四个数的绝对值，再求和即可； （2）①只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可；②第一种方法把小括号内的式子通分计算加减法，再计算乘法，第二种方法是先计算括号外面的乘法，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为， ∴； ② ； ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，相反数，绝对值，倒数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 23．（23-24七年级上·湖南株洲·期中）阅读下列材料： ， ， ， 由以上三个等式相加，可得： ． 根据以上材料，请你完成下列各题： (1)；（写出过程） (2)________________；（用含n的代数式表示） (3)根据以上学习经验，猜想____________．（写出最后结果） 【答案】(1) (2) (3)35910 【分析】（1）利用已知材料得出原式，进而求出即可； （2）利用（1）中所求，进而求出即可； （3）仿照已知得出原式，进而求出即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 故答案为； （3） ． 故答案为：35910． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用找出的规律解决问题． 1．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为 ，乙拿的两张卡片上的数字之积为 ．    【答案】 20 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先根据10个数字的和为，除甲之外的8张卡片数字之和为，求出甲抽到的两张卡片数字之和为，根据丙抽到的两张卡片上数字之和为，推理得出甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0，根据戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有，得出戊抽到的两张卡片分别为1，3，然后推理得出乙、丁抽到的两张卡片上的数字，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， 又∵除甲以外，其余每位同学拿到的卡片数字之和为： ， ∴甲拿到的两张卡片的数字之和为：， 观察10个数字可知：，， 如果甲拿到的两张卡片为，，那么剩余的8张卡片上不可能存在两张卡片上的数字和为，而丙抽到的两张卡片上的数字的和为， ∴甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0， ∴甲拿的两张卡片上的数字之积为； ∵戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有， ∴戊抽到的两张卡片分别为1，3， ∵，， ∴丁抽到的两张卡片为4，，乙抽到的两张卡片为2，， ∴乙抽到的两张卡片上的数字之积为． 故答案为：20；． 2．（23-24七年级上·全国·期中）如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【答案】B 【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知数轴上M，N，P，Q四点所表示的数分别为m，n，p，q且，其中有两个数的和为0，且满足．若．则这四个数中可能互为相反数的是 ． 【答案】，或， 【分析】本题考查了有理数与数轴的对应关系以及相反数的概念，正确运用分类讨论思想是解决本题的关键． 【详解】解：因为这四个数中有两个数和为0，则一定有一个负数和一个正数， 因为， 则这四个数为两个正数和两个负数，即， 若和互为相反数，因为，则，， 若和互为相反数，因为，， 所以，则，，， 若和互为相反数，因为，， 所以，则，，，（舍去）． 故答案为：，或，． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排成方阵，做了一个游戏，起初全体学生面向教官，教官每次任意点个学生，被点到的学生向后转，且学生都能正确完成指令，同一名学生可以多次被点到，则次点名后（，均为正整数），下列说法正确的是（    ） A．当为偶数时，无论何值，背对教官的人数一定为偶数个 B．当为偶数时，无论何值，背对教官的人数一定为奇数个 C．当为奇数时，无论何值，背对教官的人数一定为偶数个 D．当为奇数时，无论何值，背对教官的人数一定为奇数个 【答案】A 【分析】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 假设面对教官记为“”，则背对教官为“”，开始时有49个“”，其乘积为“”．每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【详解】解：假设面对教官记为“”，则背对教官为“”，开始时有49个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过b次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”，偶数个“”，变为偶数个“”和偶数个“”，最后所有数的积的符号不变； 若有奇数个“”，奇数个“”，变为奇数个“”和奇数个“”， 最后所有数的积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么b次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即背对教官的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”，奇数个“”，变为偶数个“”和奇数个“”， 最后所有数的积的符号改变； 若有奇数个“”，偶数个“”，变为奇数个“”和偶数个“”， 最后所有数的积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么b次点名后，若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即背对教官的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即背对教官的人数为奇数； 综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误； 故选：A． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a，b为实数，下列说法： ①若，则|； ②若，则是正数； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． 【详解】解：①若，a、b同号，由，则，则|；本选项正确； ②若，当，，则，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数，本选项正确； ③若，则，，本选项错误； ④， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确；． 故答案为：①②④． 6．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，把原式转化为，利用拆项法解答即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， ． 7．（24-25七年级上·湖南永州·期末）用表示组成的所有数字的乘积，例如：，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是根据题意，，，……，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 8．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）阅读理解：将一个数不等于0和1）作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数．例如：第1次变换得到，记为；第2次变换得到，记为；第次变换得到，记为．延伸拓展：将一个数组均不等于0和1）中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到，；第2次变换得到；第次变换得到．活学活用：若数组确定为，则的值为（    ） A．37 B． C．39 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索、相反数、倒数，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】解：，由题意得： ， ， ， ， ，， ，， … ，，， ，， ，， 由规律可得每三次变换为一个循环， ， ， 故选：C． 9．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）：当x的值取在______的范围时，的最小值是______； 问题（2）：当______时，的最小值是______； 问题（3）：若的最小值是5，求a的值． 问题（4）：已知，则求出的最大值和最小值． 【答案】问题（1）：；4；问题（2）：2；5；问题（3）：4或；问题（4）：最大值为7，最小值为 【分析】本题主要查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离： 问题（1）：根据题意可得表示数x在数轴上对应的点到数1和表示的点的距离之和，即可求解； 问题（2）：根据题意可得表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和，即可求解； 问题（3）：根据题意可得表示数x在数轴上对应的点到数和a表示的点的距离之和，即可求解； 问题（4）：根据题意可得 ，再由，可得，，，从而得到，，，即可求解． 【详解】解：问题（1）：表示数x在数轴上对应的点到数1和表示的点的距离之和，则当x在数1和之间时，数x在数轴上对应的点到数1和的距离之和最小， 即当时，的最小值是； 故答案为：；4 问题（2）：表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和，则当x与数2重合时，表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和最小， 即当时，的最小值是； 故答案为：2；5 问题（3）：表示数x在数轴上对应的点到数和a表示的点的距离之和，则当x在数和a之间时，数x在数轴上对应的点到数和a的距离之和最小，最小值为， ∵的最小值是5， ∴， 解得：或； 问题（4）：根据题意得：的最小值为， 的最小值为， 的最小值为， ∴， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的最大值为7，最小值为． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，．那么，，其中．例如，，．现有，则的值为 【答案】或或 【分析】本题主要考查了新定义“不超过的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论． 根据把不超过的最大整数记作，且可知为整数，再由可知或或，再由得出，最后将或或的值分别代入求值即可． 【详解】解：∵不超过的最大整数记作， ∴为整数， ∵， 或或， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 或或， 故答案为：或或． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$