专题11 有理数的减法与加减混合运算-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题11 有理数的减法及加减法混合运算 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、有理数的减法运算 3 题型2、有理数减法法则的辨析 10 题型3、省略加法和括号的形式 13 题型4、有理数的加减混合运算 15 题型5、有理数加减混合运算中的简便计算 24 题型6、有理数加减法混合运算与数轴结合 36 题型7、有理数加减法混合运算的实际应用 45 题型8、有理数加减混合运算的新定义 52 基础通关 59 拓展提优 77 1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，正确进行有理数减法运算； 2. 会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 3．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 4．在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意识。 【思考】下列四天中哪一天的温差最大？ 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1. 有理数减法的定义 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即有：。 注意： 1）将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 2）减法法则的运用，体现了数学中最重要的转化思想，即将未知问题转化为已知问题． 3. 差的符号与被减数，减数之间的关系 1）较大的数 - 较小的数 = 正数；2）较小的数 - 较大的数 = 负数；3）相等的两个数的差为0。 4. 有理数的加减混合运算步骤 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 5．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”，或读作“负2加3减5加4”。 注意：在有理数运算中，“+”“-”有两种含义：①表示运算符号∶加号与减号；②表示运算性质：正号与负号；性质符号中的“+”号可以省略，但运算符号中的必须保留． 题型1、有理数的减法运算 【解题技巧】几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 例1．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 【答案】 0 16 8 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数加法和减法运算法则成为解题的关键。 分别运用有理数的加法法则和减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 故答案为：；；；；；；；；；． 例2．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例3．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，要使差最大，则要选择最大的数和最小的数，据此确定选取的数，再用最大的数减去最小的数即可得到答案． 【详解】解：∵要使两个数字的差最大， ∴选择的两个数为最大的数和最小的数，即要选择和， ∴差的最大值为， 故选：B． 例4．（2025七年级下·全国·专题练习）如果数轴上的、两点表示的有理数分别为、，且，，，那么的值为（   ） A． B．或 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据，可得：的和为正数，再根据，，可得，或，这2种情况满足的和为正数，然后即可求解的值； 【详解】解：∵， ∴的和为正数， ∵，， ∴，， 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 综上所述，存在2种情况，即，或，这2种情况满足的和为正数， ∴当，时，，当，时，， 故选：B； 例5．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：当时，，，，故A不符合题意； 当时，，，，故B不符合题意； 当时，，，，故C不符合题意； 当时，，，，故D符合题意； 故选：D． 例6．（2025·辽宁大连·一模）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用有理数的概念、有理数加减运算、有理数的大小比较等知识点，掌握有理数的加减运算法则成为解题的关键． 根据有理数的概念与运算法则进行比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴中最大的一个数是． 故选：A． 变式1．（2025·河北·模拟预测）下面是小李计算的过程： 第一步 第二步 第三步 第四步 下列说法不正确的是（   ） A．第一步正确，这一步进行了分数的通分 B．第一步到第二步正确，这一步进行了去括号 C．第二步到第三步正确，这一步进行了同分母分数的减法 D．第三步到第四步正确，这一步运用了有理数的减法法则 【答案】B 【分析】本题考查了去括号以及有理数的减法，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据分数的加减运算法则以及去括号法则解答即可． 【详解】解： ， 故第一步到第二步错误，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 故选：B． 变式2．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 变式4．（2025·河北沧州·一模）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及有理数的大小比较，准确运用法则计算是正确解答此题的关键． 运用有理数的加减法法则逐选项计算再比较大小即可判断． 【详解】解： ，，，， ， 故选项A正确； 故答案为：A． 变式5．（24-25七年级上·广东中山·期末）若，， 且，则的值是（    ） A． B．15 C．1或15 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算和绝对值，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和绝对值的性质．先根据绝对值的性质求出p，q，再结合，选取满足条件的p，q的值，再分别代入，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，；，； 当，时，； 当，时，； 综上可知：的值为或， 故选：D． 变式6．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 题型2、有理数减法法则的辨析 【解题技巧】有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 例1．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和”，即可求解． 【详解】解：由题意可得能体现“异名相益”这句话含义的算式是 故选：C． 例2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面几种说法，正确的是（   ） A．两个数的和一定比这两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比这两个数中任何一个都小 C．两个数的和是负数，这两个数一定都是负数 D．两个数的差是负数，被减数一定小于减数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据加减运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个数的和不一定比这两个数中任何一个都大，比如任何数加上0都等于本身，故原说法错误，不符合题意； B、两个数的差不一定比这两个数中任何一个都小，比如任何数减去0都等于本身，故原说法错误，不符合题意； C、两个数的和是负数，这两个数不一定都是负数，比如一个负数和0的和还是负数，故原说法错误，不符合题意； D、两个数的差是负数，被减数一定小于减数，故原说法正确，符合题意； 故选D． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下面说法中，正确的是（    ） A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数； C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零． 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则可判断A项，根据有理数的减法法则可判断B、C两项，根据相反数的性质举出反例可判断D项，进而可得答案． 【详解】解：A、两个有理数的和不一定比这两个有理数的差大，故本选项说法错误，不符合题意； B、两个有理数的差一定不小于被减数，故本选项说法错误，不符合题意； C、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数，故本选项说法正确，符合题意； D、绝对值相等的两数之差不一定为零，如3与﹣3的绝对值相等，但3－（﹣3）=6，故本选项说法错误，不符合题意 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法与减法以及相反数的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握有理数的基本知识是解题关键． 变式1．（23-24七年级上·浙江·课后作业）下列说法中，正确的是(　　　) A．0减去一个数，仍得这个数． B．两个相反数相减得0． C．若减数比被减数大，则差为负数． D．两个负数相减，差为负数． 【答案】C 【分析】根据有理数减法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、0减去一个数，仍得这个数，错，例如：0-2=-2； B、两个相反数相减得0，错，例如：3-（-3）=6； C、若减数比被减数大，则差为负数，对； D、两个负数相减，差为负数，错，例如：-2-（-3）=1； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数减法的运算法则，掌握知识点是解题关键． 变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零 C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减 【答案】C 【分析】根据有理数的减法逐项判断． 【详解】解：A、两个负数相减，不一定等式绝对值相减，错误，例如：-2-（-1）=-2+1=-1；|-2|-|-1|=2-1=1； B、两个负数的差不一定大于零，错误，例如：（-3）-（-1）=-3+1=-2； C、负数减去正数，等于负数加上这个正数的相反数，即加上一个负数，正确； D、正数减去负数，等于两个正数相减，错误； 故选C． 【点睛】本题是对有理数减法的考查，要知道减去一个数等于加上这个数的相反数． 变式3．（23-24六年级下·全国·假期作业）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了有理数减法法则，解题关键是熟记法则，准确进行判断即可． 【详解】解：①，所以，则，①正确； ②若，所以，则，②正确； ③若，所以，则，③错误； ④若，且，所以，则，，④正确． 故答案为：①②④． 题型3、省略加法和括号的形式 【解题技巧】省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式：可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式。 例1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 例2．（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可． 【详解】解：对于式子， 可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减， ∴两种读法都正确． 故选：D． 例3．（23-24七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握去括号法则及正确去括号是解题关键． 变式2．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 【答案】 负、、负、、负的和(或负加减加减) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： ， 读作：、、、、的和或加减加减， 故答案为：；负、、负、、负的和(或负加减加减） 变式3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 题型4、有理数的加减混合运算 【解题技巧】有理数的混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键． （1）先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得； （2）先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （3）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 例3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和即可得． 【详解】解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和． 即 ， 即这个运算结果最大值是21， 故选：C． 例4．（24-25七年级上·江西九江·期中）已知，，，且，则 ． 【答案】6或10或 【分析】本题考查了去绝对值及有理数的加减运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据去绝对值的方法求出，，再分四种情况讨论是否符合，然后再代入求值计算即可． 【详解】解：，，， ，， 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，，不符合题意； 综上所述，的值为：6或10或； 故答案为：6或10或． 变式1．（24-25七年级上·四川广元·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可； （2）根据同号两数相加，取相同的符号，通分后把绝对值相加即可； （3）根据小数减大数，差为负数计算即可； （4）先去括号将减法转化为加法计算即可； （5）先根据加法交换律运算同分母的数，最后依次计算即可； （6）先去括号通分后依次计算即可； （7）先将化成，然后根据运算法则依次计算即可； （8）先根据加法交换律运算同分母的数，最后依次计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 （7）解：原式 （8）解：原式 变式2．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用实数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）若，且． (1)填空： 0， 0；（填“”或“”） (2)求的值． 【答案】(1)， (2)或1 【分析】本题考查绝对值的意义，非负性，有理数的加减运算： （1）根据绝对值的非负性，进行判断即可； （2）求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （2）由（1）可知：， ∴或． 变式4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则、相反数、减法法则．首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：A选项：，不一定是正数，故A选项错误； B选项：，，一定是正数，故B选项错误； C选项：，，，不一定是负数，故C选项错误； D选项：，，，又，，，一定是正数，故D选项正确． 故选：D． 题型5、有理数加减混合运算中的简便计算 【解题技巧】运用运算律简化计算常见方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律 (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算即可； （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【详解】（1）去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律； （2） 例2．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用有理数的加减混合运算法则以及加法结合律，即可计算求值； （2）先去绝对值符号，再利用有理数的加减混合运算法则以及加法结合律，即可计算求值； （3）利用有理数的加减混合运算法则以及加法结合律，即可计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 例3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把各数统一为小数，即可求解； （2）利用加法交换律和结合律进行适当简便运算； （3）利用加法交换律和结合律进行简便运算； （4）先求绝对值，再将各数统一为小数，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例4．（2024七年级上·广西·专题练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1011 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，找到各加数的规律是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有338组；进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例5．（2024七年级上·吉林·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．将原式变形后利用有理数的加减法法则及运算律计算即可． 【详解】解：原式 ． 例6．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加减法则． （1）①根据负数的绝对值是其相反数可得答案；②根据负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简后计算可得答案． 【详解】解：（1）由题目规律可得：负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值等于本身； ①； ②； （2） ． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的交换律与结合律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：. 故选：B ． 变式2．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）原式， ， ， ． （2）原式， ， ， ． （3）原式， ， ， ． （4）原式， ， ． 【点睛】本题考查有理数的加减简便运算，掌握去括号规则，熟练有理数的加减简便运算中应遵循的规则是解题关键． 变式3．（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算， （1）先去括号，运用简便计算方法，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可求解； （2）先去括号，把能化成分数的小数化成分数，再分母相同的结合起来，最后根据有理数的加减运算法则进行计算即可求解； （3）根据有理数的加减运算法则进行计算即可求解； （4）先去括号，把能化成分数的小数化成分数，再分母相同的结合起来，最后根据有理数的加减运算法则进行计算即可求解； （5）先去括号，把能化成小数的分数化成小数，再分母相同的结合起来，最后根据有理数的加减运算法则进行计算即可求解； （6）先化简绝对值，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握运算法则、运算技巧是解题关键．将各代分数进行变形，然后利用加法结合律，进行计算即可． 【详解】原式 ． 变式5．（2024七年级上·广西·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，观察得到每个加数的规律是解题的关键． 从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相加，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可． 【详解】解： ． 变式6．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 题型6、有理数加减法混合运算与数轴结合 例1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，设，那么x，y，z计算结果最小的是（   ） A．x B．y C．z D．根据a，b，c的值才能确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示数的大小和绝对值的意义、有理数的加减法法则． 根据有理数，，在数轴上的对应点的位置，确定出，即可得到，，比较x，y，z大小即可． 【详解】解：根据，，在数轴上的对应点的位置可知， ， ∴，， ∴， 那么x，y，z计算结果最小的是z， 故选：C． 例2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）（1）已知有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，且a与b互为相反数； ① 0， 0， 0； ②若，求的值； （2）已知，，，且a，b异号，b，c同号，求的值． 【答案】（1）①；②8；（2） 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，相反数，有理数的加减运算等知识点， （1）①根据相反数的意义可得，再根据数轴可得，然后利用有理数的减法进行计算，即可解答； ②由可知，然后把的值代入式子中进行计算即可解答； （2）根据绝对值的意义可得，，，然后再根据已知异号，同号，从而可得，，或，，，最后进行计算即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）①∵a与b互为相反数， ∴， ∵， ∴，，， 故答案为：；；； ②∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2）∵，，， ∴，，， ∵异号，同号， ∴，，或，，， 当，，时，； 当，，时，； 综上所述，的值为． 例3．（2025·河北石家庄·二模）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的减法运算，读懂题意是解题的关键． 由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4，据此再利用有理数的减法计算即可． 【详解】解：由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4， ∴刻度尺上的“”对应数轴上的数为， 故选：D． 例4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）数轴上A点表示，B、C两点表示的数互为相反数，点B到点A的距离是5，则点C表示的数是（    ） A． B． C．或9 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数、数轴上的两点距离及有理数的运算，熟练掌握相反数、数轴上的两点距离及有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据题意分当点B在点A的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：当点B在点A的左侧时，则点B表示的数为，此时点C表示的数为9；当点B在点A的右侧时，则点B表示的数为，此时点C表示的数为； 故选C． 例5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 例6．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    (1)若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； (2)若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； (3)若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 【答案】(1)3或7 (2)3，7 (3)98 【分析】（1）根据数轴上点A、B、C的位置可解答，注意两种情况； （2）分移动B、C；移动A、C；移动A、B三种情况，分别求解即可； （3）先根据前几次跳的步数和方向探究出规律，再根据有理数的运算求和即可； 【详解】（1）解：由数轴可知，当将点C向左移动3或7个单位时，C、B两点的距离与A、B两点距离相等， 故答案为：3或7； （2）解：当移动B、C时，把点B向左移动2个单位，把C向左移动7个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、C时，把点A向右移动2个单位，把C向左移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、B时，把点A向右移动7个单位，把B向右移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位， 综上，移动所走的距离之和最小的是7个单位， 故答案为：3，7； （3）解：∵第一次先向左跳1步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……， ∴按此规律继续下去，第n次跳步，其中，n为奇数时，向左；n为偶数时，向右； ∴第100次向右跳步， 此时，落脚点所表示的数为 ， 故答案为：98； 【点睛】本题考查有理数加减法的应用、数轴、绝对值方程、数字类规律探究等知识，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 变式1．（2024八年级上·全国·专题练习）已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则 0， 0， 0， 0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查整式的化简，涉及绝对值的意义，利用数轴比较数的大小，根据数轴可知：，且，由有理数的加减法法则可得答案． 【详解】解：由题图可知，，且， ，，，， 故答案为：，，，． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则结论①；②；③；④中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数以及有理数加减法法则的应用，解题的关键是利用数轴判断的符号以及灵活应用有理数加减法法则． 利用在数轴上表示实数，在原点左侧的是负数，在原点右侧的是正数，再利用有理数的加减法法则进行解答． 【详解】解：由题意，得：，故①正确；②错误； ∴，故③错误； ，， ∴，故④正确； 综上，①④正确； 故选：B． 变式3．（24-25七年级上·北京·阶段练习）如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后求出的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解． 【详解】解：由图可知：， 所以可得， 故答案为：． 变式4．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法运算，相反数．根据数轴确定有理数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴D正确，符合题意；A、B、C均错误，不符合题意， 故选：D． 变式5．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知数轴上的、两点表示的数分别为与5，且，则的值为（   ） A．或6 B．2或11 C．6或11 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离得到，求解即可解答． 【详解】解：∵数轴上的、两点表示的数分别为与5，且， ∴， ∴， 解得或． 故选：D． 变式6．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 【答案】(1)3； (2)，0，1，2； (3)1； (4)有最小值，最小值为7，x的整数解，0，1 【分析】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义求解； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示和两点之间的距离是3， 故答案为：3； （2）解：根据绝对值的定义，可表示为x到与2两点距离的和， 根据绝对值的几何意义知， 当x在的左边时，x到2的距离大于，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， 当x在与2之间时，x到与2两点距离的和为3， 当x在2的右边时，x到的距离大于3，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， ∴当x在与2之间时，有最小值3，x的整数解为：，0，1，2， 故答案为：，0，1，2； （3）解：∵ ∴可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， 由（2）知：当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，的最小值为0， ∴当时，有最小值为3， 故答案为：1； （4）解：表示x到，，1，2这四个点的距离之和． 令， 时，， 时，， 时，， 时，， 观察数轴， 当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上： 即有最小值，最小值为7．x在和1之间时取最小值，x的整数解是：，0，1． 题型7、有理数加减法混合运算的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（　　） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键．依次进行计算判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰， 故选项A不正确， ∵， ∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项B不正确， ∵， ∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，故选项C不正确， ∵， ∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项D正确， 故选：D． 例2．（2025·辽宁铁岭·二模）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 例3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 【答案】225 【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数，正确理解题意是解题关键．根据题意，（米），为90米表示观测点A比观测点C高90米，所以（米），所以（米），即观测点A比观测点D高170米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点E高230米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点F高180米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点G高265米，因为（米），所以（米）． 【详解】解：因为（米），（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）． 故答案为：225． 例4．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）国庆期间，某纪念品商店8天内纪念品进出的变化情况如下：，，，，，，，．（“”表示进货，“”表示售卖，单位：套）． (1)经过这8天，纪念品套数是增多还是减少了？增多或减少了多少套？ (2)发放管理员经过8天后，发现库房仅存30套纪念品，那么8天前库房里存有多少套纪念品？ (3)这8天纪念品商店一共进出了多少套纪念品？ 【答案】(1)纪念品减少，减少了20套 (2)库房里有50套纪念品 (3)这8天纪念品商店一共进出了270套纪念品 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加减法的应用，绝对值的意义，理解正负数的意义是解题关键． （1）将8天内纪念品进出的变化数量相加，即可得到答案； （2）由（1）可知，经过这8天，纪念品减少了20套，再用现存数量加上减少的数量，即可得到原来的数量； （3）将8天内纪念品进出的变化数量的绝对值相加，即可得到答案． 【详解】（1）解：（套）． 答：纪念品减少，减少了20套． （2）解：（套）． 答：库房里有50套纪念品． （3）解：（套）． 答：这8天纪念品商店一共进出了270套纪念品． 例5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）某灯具厂计划一天生产300盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯盏数与计划每天生产景观灯盏数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 (1)求该厂这周实际生产景观灯的盏数； (2)求该厂这周产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数；该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得60元．若超额完成任务，则超过部分每盏另奖20元；若未能完成任务，则少生产一盏扣25元．该厂工人这周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)2107盏 (2)19盏，126475元 【分析】本题主要考查正负数的意义，以及有理数混合运算在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的减法，用最多的一天比产量减去最少的一天多生产即可；根据这一周的工资总额是基本工资加奖金减去扣费，可得答案． 【详解】（1）解：（盏）； 所以，该厂这周实际生产景观灯2107盏; （2）解：产量最多的一天是星期六，比计划多生产12盏，产量最少的一天是星期三，比计划少生产7盏， 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数为（盏）； 元， 所以，该厂工人这一周的工资总额是126475元． 变式1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元。 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 甲厂 乙厂 A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4 【答案】B 【分析】先分别求出这5个月甲厂、乙厂的盈利或亏损，再作差即可得． 【详解】解：这5个月甲厂的盈利为（万元）， 这5个月乙厂的盈利为（万元）， 则这5个月甲厂比乙厂多盈利（万元）， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，正确列出运算式子是解题关键． 变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）我国新疆境内，有海拔约为的乔戈里峰，还有海拔约为的吐鲁番艾丁湖，乔戈里峰比吐鲁番艾丁湖高 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用即可求解，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意可得： ， 故答案为：． 变式3．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ． 【答案】年月 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁， 即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月， ∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月， ∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月， ∵李斌比王强小个月， ∴李斌的出生年月是年月， 故答案为：年月． 变式4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． (1)上表中__________，__________，__________； (2)《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； (3)据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 【答案】(1)；；0 (2)熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年 (3)亿元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用： （1）根据票房差等于对应年份《熊出没》的票房减去对应年份动画票房冠军的票房列式计算即可； （2）根据表格可得2024年为熊出没》系列电影最高票房的年份，票房差为0的年份即为《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的年份； （3）用这十部《熊出没》电影总票房加上所有票房差的绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：由表格中的数据可知，《熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年； （3）解：亿元， ∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ． 变式5．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股元 (2)赚了元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义求得每天的实际股价，从而得出答案； （2）结合（1）中所求及已知条件列式计算即可． 【详解】（1）解：星期一的股价：元， 星期二的股价：元， 星期三的股价：元， 星期四的股价：元， 星期五的股价：元， 则本周内最高价是每股元，最低价是每股元； （2） 元， 即他的收益情况为赚了元． 题型8、有理数加减混合运算的新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念。这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 例2．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）设表示不超过的最大整数，例如，， (1)求的值 (2)令，求的值 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了新定义的理解应用问题以及有理数的混合计算、有理数的大小比较，明确不超过就是小于或等于，即“”，认真领会新定义，并能根据新定义化成一般的有理数混合计算的式子，再计算． （1）根据新定义得：，，，再代入计算即可； （2）根据新定义得：，，，再代入原式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（24-25七年级上·重庆梁平·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“绝对数”．例如：，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为6，5，1，那么的“绝对数”n为651．则645的“绝对数”为 ；若一个三位正整数x的“绝对数”431，则满足条件的所有x中最大为 ． 【答案】 211 985 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据题意求出符合题意的数值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 根据题意，计算出对应的“绝对数”即可． 【详解】解：∵，，， ∴645的“绝对数”为211； 欲使得x最大，则百位数最大，其次十位数， ∵x的“绝对数”为431， ∴不妨取百位数为9，十位数为8，个位数为5， ∴985的“绝对数”为431，是满足条件的所有x中最大的数． 故答案为：211；985． 例4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然，但是在钟表盘上看到的是2时．如果用符号表示钟表上的加法，则．若问现在是3时，5小时之前是几时？就得到钟表上的减法概念，用符号表示钟表上的减法．而且在钟表上也沿用有理数运算中“相加得0的两个数互为相反数”．（注：此处用0时代替12时）根据上述材料，有下列几个判断：甲：；乙：；丙：3的相反数是9．其中判断正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．只有乙不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，相反数的定义：按照钟表上的加法和减法概念，进行计算即可解答；再根据钟面上用0点钟代替12点钟，可得3的相反数． 【详解】解：由题意得，，， ∵，0点钟代替12点钟， ∴， ∴3的相反数是9， ∴甲、乙、丙都正确， 故选：C 例5．（24-25七年级上·浙江·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【答案】(1)；1；0 (2) (3)都符合，举例见解析 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据新定义分别求出向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的结果即可得到答案； （2）根据任意口令立正该任意口令即可得到答案； （3）只需要证明向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）即可． 【详解】（1）解：∵向后转向右转向左转， ∴； ∵向后转向左转向右转， ∴ ∵向后转向后转立正， ∴； （2）解：∵任意口令立正该任意口令， ∴； （3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正， ∴符合加法的交换律； ∵向右转向左转立正，立正向后转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转， ∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）， ∴符合加法交换律． 变式1．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）a为有理数，定义运算符号：当时，，当时，；当时，．根据这种运算，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，根据题中的新定义化简原式，计算即可得到结果，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 变式2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则，若，则.计算的结果为 . 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则． 根据新定义，即可求出的值． 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，运用新定义的运算将原式化为，再去括号，运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 变式4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【用数学的眼光观察】观察下列等式，定义运算：   ，，，，，， （1）【用数学的语言表达】思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时，同号两数运算 ，异号两数运算 ，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍 ． 【用数学的思维思考】 （2）计算： ，= ． （3）若，则 ，若，则 ． 【答案】（1）结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；仍得这个数；（2） 43；；（3）， 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是根据已知算式总结出运算法则． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出a和b的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】解：（1）两数进行运算时，同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数； （2），； （3）因为中，结果不为负，且， 所以； 因为中，结果为负，且， 所以 变式5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为 ； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为 ． 【答案】 5 55 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，数字类的规律探索，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算即可求解； （2）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得：和4关于3的“和谐关联数”为：； 故答案为：5； （2）解：∵和关于2的“和谐关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ， ， 当时，则，即， ， ； 当时，则，即， ∴的最小值为3； 同理的最小值为， 以此类推，可得的最小值为， ∴的最小值； 的最小值； 的最小值； 的最小值是， ∴的最小值为． 故答案为：55． 1．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）孔子出生于公元前551年，可用年表示，若小云出生于公元2019年，则孔子比小明早出生的年数为（    ） A． B． C．1468 D．2570 【答案】D 【分析】根据题意可以求得孔子比小明大多少，从而可以解答本题． 【详解】解：2019-（-551） =2019+551 =2570， 故选：D． 【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵、横两种方式，并使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推，数字0要空位．如：614用算筹表示出来是“”；则两位数“”与三位数“”的差是（　　） A． B．19 C． D．18 【答案】A 【分析】本题考查了用数字表示事件，有理数的减法，正确读懂题意是解题关键．根据题意用算筹计数法计数即可． 【详解】解：由题意可知，三位数为107，两位数为88， 故两位数“”与三位数“”的差是：． 故选：A． 3．（24-25七年级上·重庆大足·阶段练习）若，且，那么的值是 （     ） A． B． C．或 D．或 5 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法，有理数的减法，绝对值，由绝对值的定义可得，结合，可确定x，y的取值，再利用有理数减法法则计算可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 4．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，根据绝对值的意义先确定的值，再代入求值，根据绝对值的意义确定的值是解决本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴当，或，时，满足， 当，时，， 当，时，， ∴的值是或， 故选：D． 5．（23-24六年级上·山东泰安·期中）下面说法中正确的有（    ） （1）一个数与它的绝对值和一定不是负数；（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原来的2倍；（3）零减去一个数一定是负数；（4）正数减负数一定是负数；（5）数轴上原点两侧的数互为相反数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据绝对值、相反数以及有理数的加减法运算法则逐个排查即可解答． 【详解】解：（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数，正确； （2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍，正确； （3）零减去一个负数数一定是正数．故原说法不正确； （4）正数减负数一定是正数．故原说法不正确； （5）数轴上原点两侧且绝对值相等的数互为相反数，故原说法不正确． 即正确的只有2个 故选A． 【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数以有理数的加法和减法，灵活利用有理数的加法及减法法则是解答本题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．零减去一个数，仍得这个数 B．减去一个数，等于加上这个数 C．两个相反数相减得0 D．在有理数的减法中，差不一定比被减数小 【答案】D 【分析】根据有理数的减法法则对四个选项依次分析即可． 【详解】解：A、零减去一个数，得这个数的相反数，零减去零仍得零，故本选项错误； B、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．故本选项错误； C、两个相反数相加得0，故本选项错误； D、有理数减法中，被减数不一定比减数大，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法，有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．零减去一个数，得这个数的相反数，零减去零仍得零． 7．（24-25七年级上·广西钦州·阶段练习）把写成省略加号和括号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算法则，掌握去括号和添括号法则成为解答本题的关键． 8．（24-25七年级上·内蒙古·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则． （1）先化简绝对值，再算减法即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）先将分数化为小数，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （5）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （6）先分别计算同分母分数，最后再相加即可； （7）先分别计算同分母分数，最后再相加即可； （8）先化简绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律及简便运算等知识，掌握运算法则是解题的关键；常见的加减法简便方法有：相加得整数的先相加，正数与负数分别相加，同分母或易于通分的先相加等； （1）第一、四项相加，第二、三项相加，最后再相加即可； （2）正数与负数分别相加，即可求解； （3）同分母的分数分别相加即可求解； （4）两个小数、两个分数分别相加即可，最后再相加； （5）互为相反数的两个数、同分母两个数及两个小数分别结合相加，最后再相加即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则．由有理数的加减的运算法则和加法交换律进行计算，即可进行判断． 【详解】解： ，故甲正确； ，故乙正确． 故选A． 11．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)6 (4) 【分析】（1）根据加法结合律先把互为相反数的两数相加，再依次计算； （2）首先利用符号法则对式子进行化简，然后进行加减运算即可； （3）首先进行同分母的分式的加减，然后对所得结果进行运算即可； （4）将带分数分为整数和分数分别进行计算，将分数进行变形，简化计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用． 12．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）对于一个算式存在下面的运算规律：若，可得，若，可得，例如，． (1)______；（不必计算结果） (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值意义； （1）根据绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简，然后利用有理数的加减运算法则求解即可； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 13．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值，有理数的减法． 利用数轴知识可得a，b，c的大小，再根据绝对值，相反数，有理数的减法逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，，， ∴只有B选项正确，符合题意． 故选：B 14．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，有理数的加减以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围． 【详解】解：根据图示，可得，， ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确； ⑤，故⑤正确． ∴正确的是①②④⑤． 故选：B． 15．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数在原点的左侧，距离原点5个单位长度，，点C到点B和原点的距离相等，则点C表示的数为（    ） A．4或 B．4或 C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，根据题意得出点A表示的数为，结合，进行分类讨论，得或，再因为点C到点B和原点的距离相等，进而求解． 【详解】解：∵点A表示的数在原点的左侧，距离原点5个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵， ∴或， ∵点C到点B和原点的距离相等， ∴点C表示的数为3或 故选：D． 16．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点A，B，C，其中A，B两点之间的距离是2，B，C两点之间的距离是1，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并求出p的值； (2)若A，C表示的数互为相反数，则原点在点B的___________（填“左”或“右”）侧； ， (3)若，原点是A，B，C三点中的一个，则原点是点___________； (4)若原点在数轴上距A点1个单位长度，求p． 【答案】(1)A对应的数是，C对应的数是1，和为 (2)左 (3)C (4)8或2 【分析】本题考查的是相反数的含义，数轴上两点之间的距离，有理数的加减运算； （1）由B为原点，A，B两点之间的距离是2，B，C两点之间的距离是1，可得A对应的数是，C对应的数是1，再列式计算即可； （2）由A，C两点之间的距离是，结合A，C表示的数互为相反数，再进一步解答即可； （3）由A，C两点之间的距离是，分情况讨论：当A为原点时，当B为原点时，当C为原点时，再进一步解答即可； （4）分两种情况讨论：当原点在A左侧时，当原点在A右侧时，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵B为原点，A，B两点之间的距离是2，B，C两点之间的距离是1， ∴A对应的数是，C对应的数是1， ∴； （2）解：∵A，B两点之间的距离是2，B，C两点之间的距离是1， ∴A，C两点之间的距离是， 又A，C表示的数互为相反数， ∴表示，表示， ∴对应的数为， ∴原点在点B的左侧． （3）解：∵A，B两点之间的距离是2，B，C两点之间的距离是1， ∴A，C两点之间的距离是， 当A为原点时，A表示的数是0，B表示的数是2，C表示的数是3， 此时，不符合题意，舍去； 当B为原点时，A表示的数是，B表示的数是0，C表示的数是1， 此时，不符合题意，舍去； 当C为原点时，A表示的数是，B表示的数是，C表示的数是0， 此时，符合题意， 综上，若，则原点是A，B，C三点中的点C． （4）解：当原点在A左侧时， ∵原点在数轴上距A点1个单位长， ∴点A，B，C表示的数依次是：1，3，4， 则； 当原点在A右侧时， ∵原点在数轴上距A点1个单位长， ∴点A，B，C表示的数依次是：，1，2， 则； 所以点p的值为8或2． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 正确的列出算式，依次进行计算判断即可得到答案． 【详解】解：A、， 可知甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； B、； 可知乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； C、这七天内，乙地的水位变化比甲地的水位变化小，故该选项错误； D、在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，正确，该项符合题意； 故选：D 18．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数加减混合运算，根据正负数的意义列式，再计算即可． 【详解】解： 元， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某地的国际标准时间（）是指该地与格林尼治（）的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数） 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 北京时间早晨8点时，纽约的当地时间是（　　）点． A．前一天晚上7点 B．当天晚上7点 C．当天凌晨1点 D．前一天下午5点 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数及有理数运算，结合已知条件列出正确的算式是解答本题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：，则北京时间早晨8点时，格林尼治时间为前一天的晚上24点， （时）， 此时是纽约的前一天晚上7点． 故选：A． 20．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：-1，+9，-5，+4，-8． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油0.2升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车司机在公司的西方，距离公司1千米 (2)共需32.4元油费 (3)该司机这天下午运营是盈利，盈利了35.6元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可求解； （2）根据计算出总的里程数，乘以每千米耗油及油价即可求解； （3）根据收费标准计算出乘客所给的总车费即可求解； 【详解】（1）解：（千米）． 答：出租车司机在公司的西方，距离公司1千米． （2）解：（千米）， （元）． 答：共需32.4元油费． （3）解：根据题意，因为，所以第一单营业额元， 因为，所以第二单营业额元， 因为，所以第三单营业额元， 因为，所以第四单营业额元， 因为，所以第五单营业额元， 总营业额为元， 所以总收入元． 该司机这天下午运营是盈利，盈利了35.6元． 21．（24-25七年级上·广东东莞·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ． 【答案】11.7 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及有理数的加减混合运算， 根据，化简列式计算即可． 【详解】解： 故答案为：11.7． 22．（23-24七年级上·广东惠州·期中）设表示不大于的最大整数，为正整数除以3的余数计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【分析】根据题意可求出、的值，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）由题意可知：表示不大于的最大整数，为正整数除以3的余数计算 ∴ ． （2）由题意可知： ． 【点睛】本题考查了实数新定义运算，正确理解题意进行运算是解题的关键． 23．（23-24七年级上·浙江温州·期中）众所周知，六点五十五分可以说成七点差五分，有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；270写成，；7683写成，．按这个方法请计算= ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义并熟练加以运用．先根据新定义计算出，，再相减即可． 【详解】解：根据新的加减记数法可得，， ， ∴． 故答案为：2022． 24．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，求出，再进行减法运算即可； （2）根据新运算的法则，求出，再根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：4； （2）， 由绝对值的意义，可知：表示数轴上表示数的点到数的距离之和， ∴当在之间（包括两个端点）时，的值最小为：； 故答案为：1． 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法运算，读懂题意，根据“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法求出第六行数是 ；进而求出第七行数是 ；即可得到答案，理解“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， 第六行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是， 第六行数是 ； 第七行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是，第七个数是； 第七行数是 ； 第7行第3个数字为， 故选：D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）是有理数，如果，那么对于结论：（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（    ）． A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）、（2）都正确 D．（1）、（2）都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的减法．根据绝对值的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，， 当时，， ∴一定不是负数；可能是负数． 故选：C． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数、甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为189，297，365，561，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，新的三位数的十位数字与原来三位数的十位数字相同，那么根据减法计算法则可得所得的结果的十位数字那么为0，要么为9，据此可得答案． 【详解】解：由题意得新的三位数的十位数字与原来三位数的十位数字相同， 则新的三位数减去原来的三位数时，所得的结果的十位数字那么为0，要么为9， ∴四人中，只有乙的结果符合题意， 故选：B． 4．（2024七年级上·全国·专题练习） 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的加减运算及简便运算，掌握实数的各种简便运算是解决本题的关键，将每个分数变成两个分数和的形式，然后进行简便运算． 【详解】解： ． 5．（2024七年级上·北京·专题练习）． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，掌握“分数的加减运算中通过裂项相消进行简便运算”是解题的关键．根据有理数的加减混合运算法则，把每项都裂成具有相同特点的算式，再去括号进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为2和4，表示的点在线段上，表示6和10的点在线段上，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解新定义的含义，运用数形结合和分类讨论思想；由题意可知，线段b两个端点表示的数分别为6、10，再讨论表示的点是线段a的左，右端点，进而求出和，再计算求解即可． 【详解】解：表示6和10的点在线段上，的长度为4，， 线段b两个端点表示的数分别为6、10， 当表示的点是线段a的右端点时，则线段a的左端点为：， ， 当表示的点是线段a的左端点时，则线段a的右端点为：， ， ， 故答案为：20． 7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）定义关于有理数，的新运算：，其中，为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据可推出，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 8．（24-25七年级上·重庆江津·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）．下列说法： ①； ②在有理数运算中，相加得0的两数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个说法，那么4的相反数是8； ③有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立； ④规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，则． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握钟表上的运算方法是解题的关键． 根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可判定①； 根据钟表运算中相反数的定义进行计算即可判定②； 运用钟表中加减运算方法进行验证即可判定③； 根据钟表运算的定义，举出反例即可验证④． 【详解】解：①根据题意可知， ，故①符合题意； ②在钟表中，相加得12的两个数互为相反数，所以4的相反数是8，故②符合题意； ③设，分别表示钟表中的数字， 的相反数为， ∴， 如的相反数为，， ∴．故③符合题意； ④当，，时， ， ， 则， 当时， 不一定成立，故④不符合题意． 综上，符合题意的有①②③共3个． 故选：B． 9．（24-25七年级上·北京·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算． （1）先根据题意得到推出，据此求解即可； （2）将所求式子变形为，得出，得到，据此计算可得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在“趣味数学”社团活动上，陈老师策划了一个“猜数”游戏，她准备了50张同样的卡牌，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则：先将卡牌顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡牌分别记为A，B，C，D，E．陈老师依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡牌上的数字最大．小明同学参与了该游戏，他将抽取的五张卡牌如图放置，并将陈老师告诉他的相邻两张卡牌上的数的和记录如下表，则他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是 ．（填A，B，C，D，E） 卡牌编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 74 70 71 67 72 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用表格数据列出算式进行比较即可得出结论，利用表格数据将各数排列是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：①， ②， ③， ④， ⑤， 由①④可得：，由②可得，由⑤可得：， ∴， ∴他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是， 故答案为：． 11．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．根据题意可分析出这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，据此即可确定答案． 【详解】解：， 这20数的和的个位数为0， 经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数， 或， 另一个数是或6． 故选：C． 12．（23-24七年级上·福建三明·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 【答案】20 【分析】先求出没有写错时的正确答案，再比较错误答案与正确答案相差多少，从而即可推出是哪一个数字前面的符号错了． 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是21前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第20个运算符号写错了， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算，根据计算得出是奇数前面的“”错写成了“”是解题的关键． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1) (2)①是，；②的值为2或4 【分析】（1）按照题中操作一与操作二分别画图即可完成； （2）①由题意得点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；由题意表示出点D及点E表示的数，再计算出即可；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理可计算出，从而可作出判断； ②由①得，点B表示的数为，由题意得：，由此即可求得a的值． 【详解】（1）解：由图3知，；由图4知，；    故答案为：； （2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4； 理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或； 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e； 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧； ∵， ∴A为的中点， ∴， 即； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧； 同理得：； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点C表示的数是， ∴由①得， ∴； ∵点B表示的数为， ∴由题意得：， 即， ∴或， 解得：或． 故的值为2或4． 【点睛】本题是新概念问题，有一定的综合性，考查了数轴的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的计算，有理数加减运算等知识，理解新概念是解题的关键． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 有理数的减法及加减法混合运算 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、有理数的减法运算 3 题型2、有理数减法法则的辨析 5 题型3、省略加法和括号的形式 6 题型4、有理数的加减混合运算 7 题型5、有理数加减混合运算中的简便计算 9 题型6、有理数加减法混合运算与数轴结合 12 题型7、有理数加减法混合运算的实际应用 14 题型8、有理数加减混合运算的新定义 17 基础通关 19 拓展提优 24 1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，正确进行有理数减法运算； 2. 会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 3．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 4．在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意识。 【思考】下列四天中哪一天的温差最大？ 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1. 有理数减法的定义 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即有：。 注意： 1）将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 2）减法法则的运用，体现了数学中最重要的转化思想，即将未知问题转化为已知问题． 3. 差的符号与被减数，减数之间的关系 1）较大的数 - 较小的数 = 正数；2）较小的数 - 较大的数 = 负数；3）相等的两个数的差为0。 4. 有理数的加减混合运算步骤 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 5．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”，或读作“负2加3减5加4”。 注意：在有理数运算中，“+”“-”有两种含义：①表示运算符号∶加号与减号；②表示运算性质：正号与负号；性质符号中的“+”号可以省略，但运算符号中的必须保留． 题型1、有理数的减法运算 【解题技巧】几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 例1．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 例2．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 例3．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 例4．（2025七年级下·全国·专题练习）如果数轴上的、两点表示的有理数分别为、，且，，，那么的值为（   ） A． B．或 C．2 D． 例5．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 例6．（2025·辽宁大连·一模）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 变式1．（2025·河北·模拟预测）下面是小李计算的过程： 第一步 第二步 第三步 第四步 下列说法不正确的是（   ） A．第一步正确，这一步进行了分数的通分 B．第一步到第二步正确，这一步进行了去括号 C．第二步到第三步正确，这一步进行了同分母分数的减法 D．第三步到第四步正确，这一步运用了有理数的减法法则 变式2．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 变式4．（2025·河北沧州·一模）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 变式5．（24-25七年级上·广东中山·期末）若，， 且，则的值是（    ） A． B．15 C．1或15 D．或 变式6．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 题型2、有理数减法法则的辨析 【解题技巧】有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 例1．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面几种说法，正确的是（   ） A．两个数的和一定比这两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比这两个数中任何一个都小 C．两个数的和是负数，这两个数一定都是负数 D．两个数的差是负数，被减数一定小于减数 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下面说法中，正确的是（    ） A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数； C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零． 变式1．（23-24七年级上·浙江·课后作业）下列说法中，正确的是(　　　) A．0减去一个数，仍得这个数． B．两个相反数相减得0． C．若减数比被减数大，则差为负数． D．两个负数相减，差为负数． 变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零 C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减 变式3．（23-24六年级下·全国·假期作业）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号） 题型3、省略加法和括号的形式 【解题技巧】省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式：可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式。 例1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 例3．（23-24七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 变式1．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 变式3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 题型4、有理数的加减混合运算 【解题技巧】有理数的混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 例3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 例4．（24-25七年级上·江西九江·期中）已知，，，且，则 ． 变式1．（24-25七年级上·四川广元·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 变式2．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）若，且． (1)填空： 0， 0；（填“”或“”） (2)求的值． 变式4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 题型5、有理数加减混合运算中的简便计算 【解题技巧】运用运算律简化计算常见方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 例2．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 例3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 例4．（2024七年级上·广西·专题练习）计算． (1) (2) 例5．（2024七年级上·吉林·专题练习）计算： ． 例6．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题 变式5．（2024七年级上·广西·专题练习）计算： 变式6．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 题型6、有理数加减法混合运算与数轴结合 例1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，设，那么x，y，z计算结果最小的是（   ） A．x B．y C．z D．根据a，b，c的值才能确定 例2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）（1）已知有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，且a与b互为相反数； ① 0， 0， 0； ②若，求的值； （2）已知，，，且a，b异号，b，c同号，求的值． 例3．（2025·河北石家庄·二模）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）数轴上A点表示，B、C两点表示的数互为相反数，点B到点A的距离是5，则点C表示的数是（    ） A． B． C．或9 D．1或 例5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 例6．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    (1)若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； (2)若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； (3)若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 变式1．（2024八年级上·全国·专题练习）已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则 0， 0， 0， 0．（填“”或“”） 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则结论①；②；③；④中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（24-25七年级上·北京·阶段练习）如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 变式4．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的（   ） A． B． C． D． 变式5．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知数轴上的、两点表示的数分别为与5，且，则的值为（   ） A．或6 B．2或11 C．6或11 D．2或6 变式6．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 题型7、有理数加减法混合运算的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（　　） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 例2．（2025·辽宁铁岭·二模）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 例3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 例4．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）国庆期间，某纪念品商店8天内纪念品进出的变化情况如下：，，，，，，，．（“”表示进货，“”表示售卖，单位：套）． (1)经过这8天，纪念品套数是增多还是减少了？增多或减少了多少套？ (2)发放管理员经过8天后，发现库房仅存30套纪念品，那么8天前库房里存有多少套纪念品？ (3)这8天纪念品商店一共进出了多少套纪念品？ 例5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）某灯具厂计划一天生产300盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯盏数与计划每天生产景观灯盏数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 (1)求该厂这周实际生产景观灯的盏数； (2)求该厂这周产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数；该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得60元．若超额完成任务，则超过部分每盏另奖20元；若未能完成任务，则少生产一盏扣25元．该厂工人这周的工资总额是多少元？ 变式1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元。 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 甲厂 乙厂 A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4 变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）我国新疆境内，有海拔约为的乔戈里峰，还有海拔约为的吐鲁番艾丁湖，乔戈里峰比吐鲁番艾丁湖高 ． 变式3．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ． 变式4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． (1)上表中__________，__________，__________； (2)《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； (3)据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 变式5．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 题型8、有理数加减混合运算的新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念。这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 例2．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）设表示不超过的最大整数，例如，， (1)求的值 (2)令，求的值 例3．（24-25七年级上·重庆梁平·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“绝对数”．例如：，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为6，5，1，那么的“绝对数”n为651．则645的“绝对数”为 ；若一个三位正整数x的“绝对数”431，则满足条件的所有x中最大为 ． 例4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然，但是在钟表盘上看到的是2时．如果用符号表示钟表上的加法，则．若问现在是3时，5小时之前是几时？就得到钟表上的减法概念，用符号表示钟表上的减法．而且在钟表上也沿用有理数运算中“相加得0的两个数互为相反数”．（注：此处用0时代替12时）根据上述材料，有下列几个判断：甲：；乙：；丙：3的相反数是9．其中判断正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．只有乙不正确 例5．（24-25七年级上·浙江·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 变式1．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）a为有理数，定义运算符号：当时，，当时，；当时，．根据这种运算，则的值为 ． 变式2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则，若，则.计算的结果为 . 变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【用数学的眼光观察】观察下列等式，定义运算：   ，，，，，， （1）【用数学的语言表达】思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时，同号两数运算 ，异号两数运算 ，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍 ． 【用数学的思维思考】 （2）计算： ，= ． （3）若，则 ，若，则 ． 变式5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为 ； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为 ． 1．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）孔子出生于公元前551年，可用年表示，若小云出生于公元2019年，则孔子比小明早出生的年数为（    ） A． B． C．1468 D．2570 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵、横两种方式，并使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推，数字0要空位．如：614用算筹表示出来是“”；则两位数“”与三位数“”的差是（　　） A． B．19 C． D．18 3．（24-25七年级上·重庆大足·阶段练习）若，且，那么的值是 （     ） A． B． C．或 D．或 5 4．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 5．（23-24六年级上·山东泰安·期中）下面说法中正确的有（    ） （1）一个数与它的绝对值和一定不是负数；（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原来的2倍；（3）零减去一个数一定是负数；（4）正数减负数一定是负数；（5）数轴上原点两侧的数互为相反数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．零减去一个数，仍得这个数 B．减去一个数，等于加上这个数 C．两个相反数相减得0 D．在有理数的减法中，差不一定比被减数小 7．（24-25七年级上·广西钦州·阶段练习）把写成省略加号和括号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·内蒙古·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 11．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）对于一个算式存在下面的运算规律：若，可得，若，可得，例如，． (1)______；（不必计算结果） (2)计算； (3)计算． 13．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 15．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数在原点的左侧，距离原点5个单位长度，，点C到点B和原点的距离相等，则点C表示的数为（    ） A．4或 B．4或 C．3或 D．3或 16．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点A，B，C，其中A，B两点之间的距离是2，B，C两点之间的距离是1，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并求出p的值； (2)若A，C表示的数互为相反数，则原点在点B的___________（填“左”或“右”）侧； ， (3)若，原点是A，B，C三点中的一个，则原点是点___________； (4)若原点在数轴上距A点1个单位长度，求p． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 18．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 19．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某地的国际标准时间（）是指该地与格林尼治（）的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数） 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 北京时间早晨8点时，纽约的当地时间是（　　）点． A．前一天晚上7点 B．当天晚上7点 C．当天凌晨1点 D．前一天下午5点 20．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：-1，+9，-5，+4，-8． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油0.2升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 21．（24-25七年级上·广东东莞·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ． 22．（23-24七年级上·广东惠州·期中）设表示不大于的最大整数，为正整数除以3的余数计算： (1) (2) 23．（23-24七年级上·浙江温州·期中）众所周知，六点五十五分可以说成七点差五分，有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；270写成，；7683写成，．按这个方法请计算= ． 24．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）是有理数，如果，那么对于结论：（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（    ）． A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）、（2）都正确 D．（1）、（2）都不正确 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数、甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为189，297，365，561，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2024七年级上·全国·专题练习） 5．（2024七年级上·北京·专题练习）． 6．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为2和4，表示的点在线段上，表示6和10的点在线段上，则 ． 7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）定义关于有理数，的新运算：，其中，为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·重庆江津·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）．下列说法： ①； ②在有理数运算中，相加得0的两数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个说法，那么4的相反数是8； ③有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立； ④规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，则． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（24-25七年级上·北京·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在“趣味数学”社团活动上，陈老师策划了一个“猜数”游戏，她准备了50张同样的卡牌，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则：先将卡牌顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡牌分别记为A，B，C，D，E．陈老师依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡牌上的数字最大．小明同学参与了该游戏，他将抽取的五张卡牌如图放置，并将陈老师告诉他的相邻两张卡牌上的数的和记录如下表，则他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是 ．（填A，B，C，D，E） 卡牌编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 74 70 71 67 72 11．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 12．（23-24七年级上·福建三明·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 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