精品解析：内蒙古巴彦淖尔市多校联考2024-2025学年九年级下学期初中学业水平考试模拟（二）数学试题

2025年中考模拟测试题数学（二） 一、单选题：（每小题3分，共24分） 1. 下列为正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数的识别，绝对值等知识点，大于0的数即为正数，据此进行判断即可． 【详解】解：A.，是负数，不符合题意； B. ，是负数，不符合题意； C. 0既不是正数也不是负数，不符合题意； D.，是正数，符合题意； 故选：D． 2. 下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中三角形，圆，正方形所处的位置关系即可直接选出答案． 【详解】三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A与此不符，所以错误； 三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符， 三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B． 故选B． 【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，同学们可以动手折叠一下，有助于空间想象力的培养． 3. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式的定义是解题的关键．由得到，进而求解即可． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 4. 如图为甲、乙两地2024年12月1日日这5天每天最高气温的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 甲地5天最高气温的中位数是8 B. 甲地5天最高气温的众数是6 C. 乙地5天最高气温的平均数是6 D. 乙地5天最高气温的方差比较小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数，根据中位数、众数、方差、平均数的定义列式计算并逐项分析即可得解，熟练掌握中位数、众数、方差、平均数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：甲地5天气温分别为：、、、、， 乙地5天气温分别为：、、、、， 故甲地5天最高气温的中位数是，甲地5天最高气温的众数为和，故AB错误； 甲地5天最高气温的平均数是， 乙地5天最高气温的平均数是，故C正确； 乙地5天最高气温的方差是， 甲地5天最高气温的方差是， 故乙地5天最高气温的方差比较大，故D错误； 故选：C． 5. 点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故选：A． 6. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为，则像到小孔的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解. 【详解】解：设像到小孔的距离为， ∵ ∴， 长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为， ， ． 故选：B． 7. 若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题． 先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象在二、四象限， ， ∴点，在第四象限， ∵函数图象在第四象限内随的增大而增大， ， ， ∴在第二象限， ， ∴、、的大小关系是， 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，，E、F分别是、上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题关键．连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由三角形中位线定理可得，时，有最小值，有最小值，此时点与重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，， ， 在中，， ， M、N分别为、的中点， 是的中位线， ， 时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为， 的最小值是， 故选：A 二、填空题：（每小题3分，共12分） 9. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第10个图形共有_______个★． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出★的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中★的个数为：； 第2个图形中★的个数为：； 第3个图形中★的个数为：； …， 所以第n个图形中★的个数为（2n+4）个． 当时，（个）， 即第10个图形中★的个数为24个． 故答案为：24． 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解： 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称， ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得 ∴ ∵反比例函数的图形位于二、四象限 故答案为：． 12. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 ________．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长与分别交直线交于G、H，分别利用解三角形求出、、，即可． 【详解】解：延长与分别交直线交于G、H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴楼与之间的距离的长约为． 故答案为： 三、解答题：（共64分） 13. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1） ． 解：（2） ， 当时，原式． 14. 寒假期间，数学实践活动小组对九年级班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线上调查，每位同学在《哪吒》《唐探》《熊出没》《封神》《美国队长》这5部电影中选择部，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 电影 人数 百分数 （哪吒） 《唐探》 《熊出没》 《封神》 《美国队长》 （1）九年级班共有学生________名：________； （2）若该年级有学生名，请估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数； （3）已知在选择最喜欢电影《封神》的人中有名男生，名女生，现随机抽取人赠送电影票，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1），； （2）名； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表、用样本估计总体、画树状图求概率． 根据喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的，人数是名，可以求出九年级班共有学生名；根据喜欢《美国队长》的有名，求出的值即可； 根据九年级班喜欢《哪吒》的人数占全班人数的，用样本估计总体求出该年级喜欢《哪吒》的人数； 画树状图可知共有种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有种，利用概率公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：由统计表可知：喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的， 由条形统计图可知：喜欢《熊出没》的人数是名， 九年级班共有学生(名)， 由统计表可知：喜欢《美国队长》的有名， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由统计表可知：九年级班喜欢《唐探》的有名，喜欢《熊出没》的有名，喜欢《封神》的有名，喜欢《美国队长》的有名， 喜欢《哪吒》的人数是名， 喜欢《哪吒》的人数占全班人数的， 用样本估计总体， 可知该年级有学生名，估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数为名； 【小问3详解】 解：画树状图如下， 从图中可知共有种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有种， 恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 15. 如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表： 弹簧被压缩的长度 0 1.5 2 2.5 4 6 小球的速度 3 4 3 0 根据上述数据回答下列问题： （1）小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ； （2）求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式； （3）小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）10，6 （2） （3） 解：小航的说法不正确，理由如下： 由（2）得， 由题意得：令， 则， 解得，， ∴当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为或． 小航的说法不正确 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察表格数据，且结合抛物线的性质，得对称轴为直线，所对应的，故该抛物线的开口方向向下，小球的速度最大时，即，此时，小球下落至最低点时，即，此时结合弹簧的初始长度为，即可作答． （2）先得出函数的顶点坐标为，则函数的表达式为，再把代入，进行计算，即可作答． （3）依题意，得，解得，，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，且观察当时，分别对应的的值有两个，分别是和4， 则这个抛物线的对称轴为直线， 当时，对应的， 即该抛物线的开口方向向下， ∴小球的速度最大时，即，此时， ∵弹簧的初始长度为， 则； 则小球下落至最低点时，即，此时 ∴， 故答案为：10，6； 【小问2详解】 解：由（1）得这个抛物线的对称轴为直线，所对应的， 即函数的顶点坐标为， ∴设函数的表达式为， ∴把代入， 得， 解得， ∴函数的表达式为． 【小问3详解】 略 16. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 17. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立， 证明：由图可知，，， ， ， 由图可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：； 略 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 18. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】（1） （2）①点的坐标为或；②的值为或5 【解析】 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． 【小问2详解】 解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或5． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟测试题数学（二） 一、单选题：（每小题3分，共24分） 1. 下列为正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 如图为甲、乙两地2024年12月1日日这5天每天最高气温的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 甲地5天最高气温的中位数是8 B. 甲地5天最高气温的众数是6 C. 乙地5天最高气温的平均数是6 D. 乙地5天最高气温的方差比较小 5. 点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为，则像到小孔的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，E、F分别是、上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题：（每小题3分，共12分） 9. 的平方根是_______． 10. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第10个图形共有_______个★． 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则__． 12. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 ________．（结果精确到．参考数据：，） 三、解答题：（共64分） 13. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 寒假期间，数学实践活动小组对九年级班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线上调查，每位同学在《哪吒》《唐探》《熊出没》《封神》《美国队长》这5部电影中选择部，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 电影 人数 百分数 （哪吒） 《唐探》 《熊出没》 《封神》 《美国队长》 （1）九年级班共有学生________名：________； （2）若该年级有学生名，请估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数； （3）已知在选择最喜欢电影《封神》的人中有名男生，名女生，现随机抽取人赠送电影票，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 15. 如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表： 弹簧被压缩的长度 0 1.5 2 2.5 4 6 小球的速度 3 4 3 0 根据上述数据回答下列问题： （1）小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ； （2）求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式； （3）小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 16. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 17. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 18. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $