2025年中考数学真题完全解读（河南卷）

2025年中考数学真题完全解读（河南卷） 本份试题共分，在整体继承了2022——2024年河南中考数学试卷成功经验的基础上，在大体稳定的前提下又有所创新，适度创新而不标新立异，梯度设计，布局合理，贯彻新课标准精神，落实“四基”“四能”，突出核心素养，立足省情，注重数学与生活实际的结合，注重数学命题和河南地域文化相结合。整体结构延续了河南省历年中考的基本题型布局：道单项选择题、道填空题以及道综合解答题。题量适中，形式多样，涵盖了代数、几何、函数与统计初步等关键内容，能够较好地体现对学生综合素养与数学思维的考查。 与往年试卷相比，该测试卷在题型丰富度与情境应用方面有所提升：一方面选择题与填空题兼顾基础与拓展，设置了有理数、函数图象、三视图与立体图形等综合知识点；另一方面解答题紧扣社会热点与现实情境。整张试卷既注重突出对基础知识和基本技能的考查，又兼顾对基本数学思想和基本活动经验的考查，很好体现了中考具有的学业水平测试和选拔的双重功能。 从《义务教育数学课程标准》的要求来看，本卷涵盖了初中阶段的主要知识板块，包括数与代数、图形与几何、统计与概率、函数及其图象等，覆盖面较广。其中数与代数部分重点考查了有理数、分式求解、科学记数法以、不等式及其解法及一元二次方程的根的判别与应用；图形与几何部分考查了圆的切线、菱形、平行四边形、特殊三角形（如等腰直角三角形和“反直角三角形”）等；函数部分涉及一次函数和反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质；统计与概率部分则穿插了方差、众数与中位数，以及随机抽样概率的基本计算。 在难易程度上，试卷遵循“基础题—中档题—综合题”逐步递进的梯度设计，既能保证对基础知识的全面检测，也在综合题和部分填空题中加入了一定的思维挑战。例如，对几何专题的折叠问题、圆的性质以及函数平移的综合考查，都要求学生具备较强的逻辑推演能力和空间想象力。在计算量方面，整卷的运算量控制合理，既需要学生做出基本运算，如的几何计算，也需要在分式化简、方程求解等环节中保持细心和准确，对学生的演算速度与精确度提出了一定要求。 河南地域学情与教学实际互相交融，整体来看，这份试题在题型设置上兼顾多元、循序渐进；在知识点覆盖上全面系统；在难易度分布上层次分明、兼顾不同水平学生的综合能力培养；在教学目标达成度上能有效检验初中毕业生对核心知识与核心素养（如数学抽象、逻辑推理、运算能力、数据分析与数学建模等）的掌握。它对于教师更好地把握教学进度、深化对新课标理念的理解、开展针对性的培优补差教学，具有较强的指导意义。可以预见，本卷将很好地发挥“指挥棒”作用，引导初中数学教学更加注重对学生实践意识和综合思维能力的培养，帮助学生为后续高中阶段的学习与发展打下坚实的基础。 试卷覆盖数与代数、图形与几何、函数与统计等核心知识。所需计算量适中，既考核学生的运算熟练度，也关注其对关键数学思想方法的理解，如解直角三角形、方程（组）与不等式（组）、数据统计分析等。在逻辑思维方面，解答题多为综合类问题，涉及多步推导和多种知识的整合，凸显对学生归纳、演绎和分析能力的考查。 1. 考查考向更具情境性 部分选择题和填空题增加了对现实情境的描述，强调数学与生活实际的关联，要求学生具备更强的阅读理解和信息提取能力。 1. 考查深度与知识融合度提升 解答题中综合运用几何折叠、函数图象等知识点，融合三角形、平行四边形、反比例函数、二次函数等内容，考查学生多方面的思维迁移与综合解题能力。 1. 情境设置更灵活、多样 试题背景从传统几何、代数过渡到工程测量、历史文化等，鼓励学生关注数学价值，拓宽学科视野。 总的来看，本次试卷紧扣《课程标准》的核心理念，兼顾了河南省初中教学的实际情况；题型、难度及内容分布合理，既关注绝大多数学生的基础达成，也适度强调拔尖学生的思维深度。整卷导向明确，强调数学的实用性与思维逻辑性，对培养学生的数学素养、激发学习兴趣与提升问题解决能力具有较好的导向价值。本套试卷切实考查了初中数学的核心素养与综合应用能力，知识覆盖面较广，题目设置兼顾基础性与灵活性。以下从重点知识、易错易混点、备考策略、心理调整和命题趋势预测五大方面，为同学们提供后续复习与应考建议。 · 第Ⅰ卷：选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） · 题号： · 题型：单选题 · 分值：每小题 分，共 分 · 特点：覆盖面广，主要考查基础运算、基础知识与简单应用。 · 第Ⅱ卷：填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） · 题号： · 题型：填空题 · 分值：每小题 分，共 分 · 特点：题型灵活，既考查基础运算与概念，也涉及几何、方差、规律总结等。 · 第Ⅲ卷：解答题（共 8 小题，共 75 分） · 题号： · 题型：解答题 · 分值分布示例： · 第 题： 分 · 第 题： 分 · 第 题： 分 · 第 题： 分 · 第 题： 分 · 第 题： 分 · 第 题： 分 · 第 题： 分 · 特点：以综合与应用为主，强调对函数、几何、统计、二次方程等知识的综合运用与深度思考。 ❆从足球比赛到学校劳动实践基地，从汽车轮胎摩擦系数到西部山区苹果销售，从普法活动到测了焦裕禄纪念碑，从甲骨文到《九章算术》，整张试卷选材生活实际的结合，强调数学知识与生活实践的结合，引导学生关注社会、关注生活，学以致用。 ❆与上届真题相比，题目素材更新颖，情境设置更丰富。 ❆二次函数、几何与数形结合的交汇题目增多，综合运用函数与几何性质解题的要求更高。 ❆证明题与计算题结合紧密，对学生几何思维与代数运算的综合能力要求加深。 · 阅读表达：需要精确解读新颖情境，梳理数学模型，语言表达与逻辑思维并重。 · 综合运用：对几何推理论证、函数图象性质、统计与概率知识等要求提高；解题需跨章节调动知识，体现思维的灵活性和深度。 · 实践意识：题目侧重现实应用与信息获取，鼓励学生结合测量、折叠实验、图表分析等方法，培养探究与动手能力。 ❆建议学生强化数学建模与多学科联动意识，尤其是对新情境下的量化分析与几何构造思路。 ❆注重过程规范性和结论的合理性表达，综合应用函数、几何、数论等多方面知识。借助数形结合与数据信息处理提升问题求解效率。 以下根据本试卷的具体题目和解答，对试卷整体结构和考查情况进行分析，并附以表格形式的“考情分析”一览。为便于区分，本分析将试卷分为选择题、填空题、解答题三个部分，分别统计各题的分值与考查内容，并根据难度给予相应评价 1. 试卷考情分析（表格） 下面以表格方式列出本套试卷中每道题的分值、题型、考查内容及难易分析，供同学和老师参考。 选择题 正数与负数的意义 较易 选择题 几何体展开与还原（圆锥展开图） 较易 选择题 科学计数法 较易 选择题 量角器使用、对顶角 较易 选择题 一元二次方程根判别式 较易 选择题 平行线分线段成比例、三角形中位线应用 中等 选择题 分式的通分、约分、平方差公式 中等 选择题 概率（列表法或树状图） 中等 选择题 菱形的性质、折叠性质 中等 选择题 函数图象与性质、数形结合 中等偏难 填空题 二次根式的有意义条件 较易 填空题 方差及其应用（比较数据离散程度） 中等 填空题 类比探究找规律的发现与推广 较易 填空题 圆切线性质、矩形性质、扇形等几何综合 中等偏难 填空题 “反直角三角形”的定义及三角几何综合 中等偏难 解答题 基本代数运算（整式、二次根式运算） 较易 解答题 统计（平均数、中位数、众数、优秀率），结合条形统计图 中等 解答题 坐标系与几何（反比例函数、三角板旋转、等腰直角三角形） 中等 解答题 圆的性质（以直径为条件）与平行四边形综合 中等 解答题 二元一次方程的应用（甲乙两种苹果售价问题） 中等 解答题 几何与测量（标杆与影子、相似三角形、矩形性质） 中等偏难 解答题 二次函数图象与性质（顶点式、平移、最值差） 较难 解答题 综合几何（角平分线、全等or相似、矩形判定），拓展与分类讨论 较难 易：约占 中：约占 难：约占 1.整体难度评估 本套试卷难度适中，兼顾基础与综合。前 题选择题整体较易，用于区分基础掌握情况。中后部分题目逐渐增强综合性和思维要求，如第、、、、 等几何综合与函数题，难度较大。 2.易、中、难各占比 依据上表中“难易分析”初步评估， · 易（较易）题目约占 ，如第 、、、、、、、 等题。 · 中（中等）题目约占 ，如第 、、、、、、、、 等题。 · 难（中等偏难及较难）题目约占 ，如第 、、、、、 等题。 3.不同难度层级题目特点 易：考查基础概念、基本运算或直接应用，如第 题的科学记数法、第 题二次根式有意义范围等，运算量小、思维门槛低。 中：需要一定程度的知识综合或技巧应用，如概率、方差、坐标几何等，所需思路虽不复杂，但要注意步骤完整。 难：往往是综合题或几何大题，如第 题需要对二次函数平移与最大最小值进行深层分析，第 题涉及角平分线、矩形与相似/全等的综合推理，需要较强的综合能力和严谨的几何思维。 从整体来看，本试卷覆盖面广，兼顾基础与综合，既能考查学生对基本知识与技能的掌握程度，也能考查学生综合分析与应用数学知识解决问题的能力，适合作为中考选拔与水平检测的题型范例。试题整体难度适中，区分度较好。通过此卷，可有效衡量学生在初中阶段对数学学科的学习与掌握程度。以上分析可帮助师生明确哪些知识点是考试重点，以及各题的难度分布与注意要点，便于查漏补缺，提高复习与备考的精准度。 本套试卷切实考查了初中数学的核心素养与综合应用能力，知识覆盖面较广，题目设置兼顾基础性与灵活性。以下从重点知识、易错易混点、备考策略、心理调整和命题趋势预测五大方面，为同学们提供后续复习与应考建议。 1．重点知识板块 1. 数与代数部分 · 充分理解正负数概念，尤其要关注负数在实际问题中的运用。如“进球记正、失球记负”一类的情境题。 · 熟练掌握科学记数法的写法及应用，注意小数点移动和整数次幂的配合。 · 对一元二次方程要熟知判别式 的三种情况，并能结合具体问题快速判定方程根的存在性与个数。 1. 图形与几何部分 · 立体图形展开图与几何体识别：圆锥、圆柱、棱柱等常见立体要熟悉侧面展开图。 · 量角与角度关系：掌握对顶角、邻补角等基本性质，注意读数时量角器内外刻度的区分。 · 平面几何中的三角形、平行四边形、矩形、菱形等基本性质及其典型证明方法（如折叠法、全等与相似三角形、平行线分线段成比例定理、中位线定理等），对题目中常用的辅助线要有敏锐度。 · 圆的性质：切线、弦、圆心连线以及垂径定理、圆周角定理、扇形面积等是常考考点，要在理解基础上灵活运用。 1. 统计与概率部分 · 方差、众数、中位数、平均数等统计量的综合运用，能正确反映数据“波动性”“集中趋势”，且要熟练使用条形图、饼图或折线图从图中快速获取并表达信息。 · 概率题要注意可能性分析、列表法或树状图的运用，关注“等可能性”前提。 1. 函数与图象部分 · 二次函数、反比例函数的解析式确定与图象性质：对称轴、顶点、最大(小)值以及平移变换等联系紧密，需在坐标系中准确画图并读出对应信息。 · 注重应用性：例如行车速度与摩擦系数关系图、太阳光投影测高等，考查从图象中获取数据并解读的能力。 2．易错易混点 1. 负数运用失误 · 部分同学在体现“相反意义”时易出错，例如进失球、亏损盈利等情境下，正负数标记不当会导致结果错误。 1. 量角器读数不仔细 · 对于内外刻度辨识不清或对顶角的度数混淆，容易出现读数偏差，从而影响后续计算。 1. 折叠、旋转类几何题 · 需重视“等距离”与“对称”思想，易漏判相等关系，也可能忽视菱形、矩形等通性，从而造成推理错误。 1. 统计概念理解不到位 · 将方差、极差、标准差等混为一谈，或分不清众数与中位数的定义，导致判断失误。 1. 函数图象平移与最大(小)值 · 忽视平移后对称轴位置的变化，或对求值区间理解不清，会导致求解不完整或二次函数求值错误。 3．复习规划与答题技巧 1. 分阶段、分板块夯实基础 · 第一阶段：系统梳理各章节重点公式、定理与基本题型，特别是几何中的常用性质与代数中的计算技巧。 · 第二阶段：精选典型习题针对易错核心点进行集中攻关，并进行计时训练，提高快速准确解题能力。 · 第三阶段：综合模考与试题回顾，关注自己在图形、函数或统计问题上的薄弱之处，反复总结提升。 1. 选择题解题技巧 · 快速排除：结合数形、特殊值代入或极端情况分析，删去明显错误选项。 · 排序法对比：统计与函数题中，大可直接比对结果大小或单位变化量来筛选答案。 · 注意检验：对于容易出现粗心的计算，花数秒进行复核，避免低级失误。 1. 解答题规范思路 · 几何证明：要“画准图、作好辅助线、写全已知、求证”，分步陈述推理过程，不要跳步或缺少关键论据。 · 代数运算：分步列式、整洁书写，避免中途化简错误。遇到分式、根式相结合时，尽量保持分式通分、根式有理化的准确性。 · 应用题：先关注题意，设合理变量，写清条件方程或函数表达式，再求解并检验答案合理性。 4．心理调适 1. 保持平常心，逐步提升 · 不盲目囤刷难题，重在针对错误归因进行查漏补缺。每天在稳定练习量的同时，小步提高准确率。 1. 考试心态从容 · 考前不做过度记忆与熬夜，睡眠与饮食规律可最大化保证大脑清醒。发挥正常水平比追求偏难题更重要。 5．命题趋势与关注点 1. 情境创新与素养考查 · 命题或将继续结合社会生活实际，如乡村振兴、传统文化、科技元素等，考查数学建模与数形结合能力。 1. 注重基本功和探究 · 在几何推理、函数应用中依旧看重核心主干知识，如三角形相似与全等、二次函数引申等，也可能出现新的探究型小题，需熟悉常见思路。 1. 综合素质延伸 · 结合实验或测量的开放题，强调数据处理及真实场景应用，引导学生学以致用，掌握从问题情境提炼数学模型的思路。 在后续复习中，建议同学们紧扣课本与中考考纲，把握重点知识的内在逻辑，并在及时总结错误中不断进步。遵循以上复习规划与策略，相信能在中考中稳定发挥、提升得分，为冲刺高中阶段的学习奠定坚实基础。祝各位同学备考顺利、旗开得胜！ 综合以上建议，祝同学们在最后的复习阶段能有条不紊、稳步前进。踏实打牢基础、认真反思错题、科学安排练习与休息、保持良好心态，定能在中考中取得满意的成绩！预祝大家顺利发挥，圆梦中考！ 2025年河南省中考题数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可． 【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个， 故选：B． 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 15. 定义：有两个内角差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2）1 【解析】 【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 17. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计图 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的________，________，_________． （2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 【答案】（1）7.5；8； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据众数和中位数做决策． 【小问1详解】 解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数； 八年级得分为8分的人数最多为23人， ∴众数； 八年级的得分优秀率为：， 故答案为：7.5；8；； 【小问2详解】 解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级． 18. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为： （2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 19. 如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见详解 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点， ∴点即为所求点的位置； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 20. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）该公司最少需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 21. 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． （2）求纪念碑的高度． （3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】（1）见解析； （2）纪念碑的高度为． （3）小红的结果误差较大，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【小问1详解】 解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； 【小问2详解】 解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． 【小问3详解】 解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）；见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分两种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，n的值为或． 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）图见解析；不成立，，证明见解析 （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$