微专题 “1.1 有理数的引入”的理解与拓展（含21种题型） 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级上学期数学教材解读与拓展

该初中数学讲义以“有理数的引入”为核心，通过知识树、分类表格系统梳理有理数概念、数轴、相反数、绝对值等知识，按“概念-性质-应用”递进呈现，突出相反意义的量、非负性等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如数轴规律探究（正六边形翻转对应数）、绝对值非负性应用（已知|a+2|+|b-3|=0求a,b），培养抽象能力与几何直观。基础题巩固概念，综合题提升推理能力，助力学生自主复习，教师可精准实施分层教学。

【原卷版】 微专题 《第1章 有理数》之“1.1 有理数的引入”的理解与拓展 【沪教版】六年级的有理数，是在整数、分数基础上引入负数后形成的数系；有理数包含整数与分数，整数分为正整数、零、负整数；分数分为正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此也属于有理数。 引入负数是为了表示具有相反意义的量，比如温度升降、收支盈亏；数轴是理解有理数的重要工具，每一个有理数都能在数轴上找到对应点，借助数轴可以认识相反数、绝对值：互为相反数的两个数到原点距离相等；绝对值表示数轴上点到原点的距离，结果是非负数。 拓展方面，要掌握有理数比较大小的方法：正数大于零，零大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。有理数拓展了四则运算，新增负数参与运算，要重点注意符号确定；需要区分有理数和后续接触的无理数，无限不循环小数不是有理数；学习有理数，建立正负意识，是小学算术过渡到初中代数的关键，为整式、方程的学习打下基础。 1.1 有理数的引入 1、正数与负数 （1）负数的由来 生活中有许多相反意义的量，如：零上温度与零下温度；高于海平面与低于海平面；向东行走与向西行走。为了表示相反意义的量，仅用正数是不够的；为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数； （2）正数和负数 正数：大于0的数叫做正数，根据需要有时候在正数前面加上“”（正）【注：正数前面的符号“”通常可以省略不写】； 负数：把另一种与“正数”相反的量规定为负，在正数前面加上“”号的数叫做负数； （3）0的特殊性 0既不是正数也不是负数； （4）非负数 非负数：0既不是正数，也不是负数；0和正数统称非负数【注：0和正整数统称非负整数】； （5）相反意义的量 相反意义的量：一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义的量； （6）整数 整数：我们把正整数、负整数和零统称为整数； （7）有理数 有理数：能够写成分数（、是整数，）的数叫做有理数。 【说明】1、 具有相反意义的量必须满足三个条件：①意义相反 ②都是数量 ③要有参照基准； 2、负号 “”只表示性质，不代表运算意义上的减号，单独的“”读作“负五”； 3、0的作用——表示基准或分界，是唯一既非正也非负的数； 4、判断一个数的正负关键看符号，与大小无关（比 大，但是负数）。 2、数轴 数轴：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； 数轴上的点与有理数：每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示； 【说明】1、数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2、用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边．原点（表示0的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点； 3、 动点问题：点向左移个单位→数值减；向右移个单位→数值加； 4、求数轴上到某点距离为的点：设该点表示，原点用表示，则，解得； 3、相反数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0； 用字母表示相反数：数和数互为相反数，即的相反数是； 相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上关于原点对称； 【说明】1、相反数表示的是成对关系，单独一个数不能说它就是相反数； 2、的相反数是；的相反数是（含字母的相反数要保留性质符号）； 3、化简多重符号：奇数个“”号结果为负，偶数个“”号结果为正； 4、判断互为相反数的核心是符号不同、绝对值相同，跟数本身的大小无关。 4、绝对值 数的绝对值；一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作：； 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小； 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么； 可整理为：，或，或； 【说明】1、任何有理数的绝对值都是非负数（），即非负性，这是常考性质。 2、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； 3、互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值相等的两个数不一定相等（可能互为相反数）； 4、化简含绝对值的式子：先根据符号判断绝对值内表达式的正负，再去掉绝对值号； 5、有理数的大小比较 利用数轴比较有理数的大小：每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示； （1） 比较规律：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； 利用绝对值比较有理数的大小：（1）两个正数：两个正数比较大小，绝对值大的数大；（2）两个负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；【附：两个负数大小比较的步骤：（1）求两个数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定原数的大小；】 【说明】1、正数大于一切负数和0；负数小于0；两个负数比较时，绝对值大的反而小； 2、 异号两数比较不必比较绝对值，直接由正数>0>负数判断； 3、多负数比较：先看符号（正>0>负），同号时再比绝对值（同正取大、同负取小）； 4、口诀：正大于零，零大于负；同号相异，比绝对值——同正取大，同负取小。 题型1、对正负数的定义的理解 例1、在中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　 ｝ 分数集合：｛　 ｝ 正数集合：｛　 ｝ 负数集合：｛　 ｝ 题型2、对相反意义的量的理解与表示 例3、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：记为，记为1，依此类推，上午记为（     ） A． B． C． D．6.15 例4、微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 题型3、有关求相反意义的量 例5、规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动4，记作（     ） A． B． C． D． 例6、中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损35元记为______元． 题型4、有关正负数的实际应用 例7、如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（      ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 例8、解答下列问题： （1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 题型5、对有理数的定义的理解 例9、下列说法正确的是（　 　） A．不是有理数 B．如果一个有理数的绝对值是2，那么这个数一定是2 C．整数包括正整数，负整数和0 D．存在最小的有理数 例10、在（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有_________个． 题型6、对于0的特殊性的理解 例11、下列说法正确的是（     ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 例12、四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（     ）个 小红：0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明：读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽：因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚：除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．1 B．2 C．3 D．4 题型7、涉及有理数的分类 例13、下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 例14、下面是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把下列有理数填在它所属的划线上． 题型8、关于数轴的三要素及其画法 例15、关于规范的数轴，下列说法正确的是（     ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 例16、下列数轴画法正确的是（      ） A． B． C． D． 题型9、用数轴上的点表示有理数 例17、解答下列各题 （1）如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ （2）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 例18、“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： （1）填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； （2）画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； （3）计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 题型10、相反数的定义 例19、在数轴上表示下列各数：，，，，及它们的相反数． 例20、在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． （1）在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ （2）如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ （3）如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 题型11、相反数的应用 例21、如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（     ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 例22、用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 题型12、绝对值的几何意义 例23、阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）_________，_________； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 例24、某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）： ．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 题型13、求一个数的绝对值 例25、当______时，的最小值是______． 例26、回答下列问题： （1）绝对值是的数有几个？是什么？ （2）绝对值是的数有几个？是什么？ （3）有没有绝对值是的数？为什么？ 题型14、利用数轴比较有理数的大小 例27、若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 例28、如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（      ） A． B． C． D． 题型15、有理数大小比较的实际应用 例29、大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（      ） A． B． C． D． 例30、如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（      ） A． B．20 C． D． 题型16、数轴上两点之间的距离 例31、数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 例32、数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为 ______． 题型17、数轴上找原点 例33、有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（      ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 例34、如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． （1）在数轴上用0标出原点； （2）写出点B表示的数； （3）在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 题型18、数轴上整点覆盖问题 例35、如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 例36、如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 题型19、数轴上的规律探究 例37、正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 例38、如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 题型20、绝对值非负性 例39、已知 ， （1）求的值． （2）画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 例40、若与互为相反数，求的值． 题型21、绝对值的其他应用 例41、试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm （1）表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ （2）在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 例42、检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ （1）几号篮球最接近标准质量？ （2）如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 1、学习“有理数引入”的相关知识 （1）自然数：像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： 计数的需要；测量的需要；标号的需要；排序的需要； （2）分数、小数 ①分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要；②分数与整数的关系：分数可以看作两个整数相除， 例如：；③分数与小数的关系：分数都可以化成有限小数或无限循环小数；反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 2、正数与负数 正数：大于0的数；负数：小于0的数；0既不是正数也不是负数。引入负数是为了表示具有相反意义的量。 具有相反意义的量 （1）具有相反意义的量的含义 两个量意义相反，并且是同一类量，称这两个量是具有相反意义的量；具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量； （2）具有相反意义的量的表示 为了区分具有相反意义的量，我们把其中的一个量前面添加符号＂+ ＂（读作＂正＂）表示，则另一个量前面添加符号＂- ＂（读作＂负＂）表示．具有相反意义的量，哪个量为正，哪个量为负，并没有严格的规定，可以视情况选择； 3、有理数的概念及分类 （1）整数分类： （2）分数分类： （3）有理数：能够写成分数（、是整数，） 的数叫作有理数． ①整数可以写成分母是 1 的分数形式，但整数不是分数． ②所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数。 有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数。如 是无限不循环小数，因此 不是有理数． （3）有理数2种分类： （5）填写数集的两种方法 ①依次分析所给的数，把它写入某个或某几个数集中． ②从给出的数中找出属于每个分类的所有数． 4、数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； （2）数轴定义三层含义 ①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸； ②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可； ③原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向； （3）数轴的画法 ①画：先画一条直线（一般画成水平的直线）； ②取：在直线的适当位置任取一点作为原点，并用这点表示数 0； ③定：规定正方向（一般规定从原点向右为正方向），画上箭头； ④标：选取适当长度作为单位长度，在直线上标出对应数字； 【注意】在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一。 （4）数轴上的点与有理数的关系 ①每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示． ②用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边。原点（表示 0 的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点． 5、相反数 （1）相反数的概念 只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数； 0 的相反数是 0，它是唯一一个相反数与本身相同的数； 一般地，和互为相反数，这里表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； （2）相反数的几何意义 互为相反数的两个数（0除外）可以用数轴上的两个点表示，这两个点分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等；数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数一定互为相反数． （3）相反数的性质 ①数的相反数是； ②若、互为相反数，则； ③若，则、互为相反数； ④正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． （4）相反数的求法 求一个数的相反数，只需要在其前面加上＂-＂即可； （5）多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义。 化简规律： 化简结果由＂- ＂号的个数决定。当＂- ＂号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当＂- ＂号的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称＂奇负偶正＂． ①结果的“”、“”与“”号的个数无关，只与“”号的个数有关； ②化简的结果为正数时，“”号通常省略不写； 6、绝对值 （1）绝对值的几何意义 一般地，数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数的绝对值，记作：，读作＂绝对值＂或＂的绝对值＂； ①一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小； ②从绝对值的几何意义上来理解，一个数的绝对值可以认为是两点间的距离（其中一点是原点），所以绝对值不可能是负数，也就是说一个数的绝对值不是正数就是0，即：，它是一个非负数，只有当时，距离为零，即：； （2）绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0．绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数。 （3）求一个数的绝对值的两种方法 ①可以根据绝对值的几何意义求解，的代数意义确定结果； ②求一个数的绝对值时，应先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值； （4）有理数的大小比较 ①利用数轴比较有理数的大小 用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数； ②利用法则比较有理数的大小 （a）正数大于零，零大于负数，正数大于负数； （b）比较两个负数的大小，绝对值大的那个数反而小； （5）利用数轴比较有理数大小的步骤 一是在数轴上描出表示各数的点；二是观察各点在数轴上的位置；三是根据在数轴上右边的数大于左边的数的规律进行比较； 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启了人形机器人智造的黄金时代，国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻，若人形机器人向前进行12次空翻记作次，则人形机器人向后进行9次空翻记作（      ） A．次 B．次 C．次 D．次 2．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出， 单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 3．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为65±5g，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　） A．58g B．60g C．64g D．68g 4．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 5．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转45°记作，那么逆时针旋转60°记作 6．我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数．若水库水位上升米记作米，则水位下降米应记作________． 7．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 8．如图，小明不小心将墨水滴在一条数轴上，根据图中标出的数据，被墨水盖住的整数共有______个． 9．下列说法中，正确的是 （1）整数就是正整数和负整数； （2）分数就是正分数和负分数； （3）一个数不是正有理数就是负有理数； （4）非负数就是正数； （5）若一个数是整数，则它一定是有理数； （6）若一个数不是有理数，则它一定不是整数； （7）存在最大的非正数； （8）零是最大的非正整数． 10．设，其中，则的最小值为 _______． 11．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 12．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 （2）用合适的方法计算：_________________． （3）请利用你探究的结论计算： 第20页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 微专题 《第1章 有理数》之“1.1 有理数的引入”的理解与拓展 【沪教版】六年级的有理数，是在整数、分数基础上引入负数后形成的数系；有理数包含整数与分数，整数分为正整数、零、负整数；分数分为正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此也属于有理数。 引入负数是为了表示具有相反意义的量，比如温度升降、收支盈亏；数轴是理解有理数的重要工具，每一个有理数都能在数轴上找到对应点，借助数轴可以认识相反数、绝对值：互为相反数的两个数到原点距离相等；绝对值表示数轴上点到原点的距离，结果是非负数。 拓展方面，要掌握有理数比较大小的方法：正数大于零，零大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。有理数拓展了四则运算，新增负数参与运算，要重点注意符号确定；需要区分有理数和后续接触的无理数，无限不循环小数不是有理数；学习有理数，建立正负意识，是小学算术过渡到初中代数的关键，为整式、方程的学习打下基础。 1.1 有理数的引入 1、正数与负数 （1）负数的由来 生活中有许多相反意义的量，如：零上温度与零下温度；高于海平面与低于海平面；向东行走与向西行走。为了表示相反意义的量，仅用正数是不够的；为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数； （2）正数和负数 正数：大于0的数叫做正数，根据需要有时候在正数前面加上“”（正）【注：正数前面的符号“”通常可以省略不写】； 负数：把另一种与“正数”相反的量规定为负，在正数前面加上“”号的数叫做负数； （3）0的特殊性 0既不是正数也不是负数； （4）非负数 非负数：0既不是正数，也不是负数；0和正数统称非负数【注：0和正整数统称非负整数】； （5）相反意义的量 相反意义的量：一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义的量； （6）整数 整数：我们把正整数、负整数和零统称为整数； （7）有理数 有理数：能够写成分数（、是整数，）的数叫做有理数。 【说明】1、 具有相反意义的量必须满足三个条件：①意义相反 ②都是数量 ③要有参照基准； 2、负号 “”只表示性质，不代表运算意义上的减号，单独的“”读作“负五”； 3、0的作用——表示基准或分界，是唯一既非正也非负的数； 4、判断一个数的正负关键看符号，与大小无关（比 大，但是负数）。 2、数轴 数轴：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； 数轴上的点与有理数：每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示； 【说明】1、数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2、用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边．原点（表示0的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点； 3、 动点问题：点向左移个单位→数值减；向右移个单位→数值加； 4、求数轴上到某点距离为的点：设该点表示，原点用表示，则，解得； 3、相反数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0； 用字母表示相反数：数和数互为相反数，即的相反数是； 相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上关于原点对称； 【说明】1、相反数表示的是成对关系，单独一个数不能说它就是相反数； 2、的相反数是；的相反数是（含字母的相反数要保留性质符号）； 3、化简多重符号：奇数个“”号结果为负，偶数个“”号结果为正； 4、判断互为相反数的核心是符号不同、绝对值相同，跟数本身的大小无关。 4、绝对值 数的绝对值；一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作：； 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小； 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么； 可整理为：，或，或； 【说明】1、任何有理数的绝对值都是非负数（），即非负性，这是常考性质。 2、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； 3、互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值相等的两个数不一定相等（可能互为相反数）； 4、化简含绝对值的式子：先根据符号判断绝对值内表达式的正负，再去掉绝对值号； 5、有理数的大小比较 利用数轴比较有理数的大小：每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示； （1） 比较规律：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； 利用绝对值比较有理数的大小：（1）两个正数：两个正数比较大小，绝对值大的数大；（2）两个负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；【附：两个负数大小比较的步骤：（1）求两个数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定原数的大小；】 【说明】1、正数大于一切负数和0；负数小于0；两个负数比较时，绝对值大的反而小； 2、 异号两数比较不必比较绝对值，直接由正数>0>负数判断； 3、多负数比较：先看符号（正>0>负），同号时再比绝对值（同正取大、同负取小）； 4、口诀：正大于零，零大于负；同号相异，比绝对值——同正取大，同负取小。 题型1、对正负数的定义的理解 例1、在中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【提示】本题主要考查了负数的定义、相反数、绝对值等知识点，掌握有理数的相关定义是解题的关键． 先根据相反数、绝对值化简相关数据，然后再根据负数的定义判断即可； 【答案】C； 【解析】，则在中，负数有，共3个． 故选：C； 【说明】本题考查了对正负数的定义的理解、化简多重符号、求一个数的绝对值； 例2、将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　 ｝ 分数集合：｛　 ｝ 正数集合：｛　 ｝ 负数集合：｛　 ｝ 【提示】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可； 【答案】，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，； 【解析】整数集合：｛，，，，…｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 正数集合：｛，，，，…｝ 负数集合：｛，，，…｝ 【说明】本题考查了正负数的定义、有理数的分类； 题型2、对相反意义的量的理解与表示 例3、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：记为，记为1，依此类推，上午记为（     ） A． B． C． D．6.15 【提示】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．先计算出上午到之间有多少分钟，再计算出有多少个45分钟，然后根据“正”和“负”的相对性，即可计算出正确结果； 【答案】B； 【解析】上午距有225分钟，， 由于记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正， 所以上午记为． 故选：B； 【说明】本题考查了根据题意正确与规范表示正负数； 例4、微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 【提示】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若二维码收款用“”表示，那么向商家付款就用“”表示，据此求解即可； 【答案】元； 【解析】若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作元， 故答案为：元． 【说明】本题考查了根据实际问题表示相反意义的量； 题型3、有关求相反意义的量 例5、规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动4，记作（     ） A． B． C． D． 【提示】根据具有相反意义的量求解即可； 【答案】A； 【解析】表示向右移动2，记作，则表示向左移动4，记作， 故选：A 【说明】本题主要考查了正负数的定义与求相反意义的量；解题的关键是理解正负数的意义． 例6、中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损35元记为______元． 【提示】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案； 【答案】； 【解析】盈利100元记作元，那么亏损35元可记作元． 故答案为：． 【说明】本题考查了理解与会求相反意义的量、正负数的实际应用； 题型4、有关正负数的实际应用 例7、如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（      ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【提示】注意理解题意，明确“正负”的标准； 【答案】B； 【详解】因为，收入万元记作万元，即收入记为正， 所以，支出记为负， 所以，万元表示支出万元； 【说明】本题考查了相反意义的量、正负数的实际应用； 例8、解答下列问题： （1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答； 【答案】（1）沿顺时针方向转了12圈表示为圈； （2）表示乒乓球的质量低于标准质量； （3）“”表示大米的标准净含量为，实际每袋大米的净含量允许的误差范围为上下，即合格净含量范围是到。 【说明】本题考查了相反意义的量、正负数的实际应用； 题型5、对有理数的定义的理解 例9、下列说法正确的是（　 　） A．不是有理数 B．如果一个有理数的绝对值是2，那么这个数一定是2 C．整数包括正整数，负整数和0 D．存在最小的有理数 【提示】本题考查有理数和整数的基本概念，需根据定义判断各选项的正误； 【答案】C； 【解析】因为，有理数是能表示为两个整数之比的数（分母不为零）， 所以，是有理数，故A错误； 因为。绝对值是2的有理数可以是2或， 所以，不一定是2，故B错误； 整数包括正整数、负整数和0，故C正确； 有理数无界，没有最小的有理数，故D错误； 故选：C； 【说明】本题主要考查了有理数的定义与有理数的分类； 例10、在（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有_________个． 【提示】根据有理数的分类分析即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数； 【答案】5； 【解析】在（每两个1之间依次多一个中， 是有理数，共有5个； 故答案为：5； 【说明】本题主要考查了有理数定义与判别； 题型6、对于0的特殊性的理解 例11、下列说法正确的是（     ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【提示】本题考查正负数的基本概念，的意义，根据正负数的定义，0既不是正数也不是负数； 【答案】C； 【解析】因为，正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， 所以，选项C正确. 故选：C； 【说明】本题主要考查了0的意义、正负数的定义； 例12、四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（     ）个 小红：0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明：读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽：因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚：除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可； 【解析】小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项C符合题意； 【说明】本题主要考查了0的意义与对数学常识的理解； 题型7、涉及有理数的分类 例13、下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【提示】本题考查了有理数的分类与定义．根据有理数的相关概念逐一判断选项正误； 【答案】C； 【解析】有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误； 故选：C； 【说明】本题主要考查了有理数的定义、有理数的分类； 例14、下面是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把下列有理数填在它所属的划线上． 【提示】根据有理数的分类进行求解； 【解析】自然数：；负整数：；整数：；分数：； 【说明】本题主要考查了有理数的分类； 题型8、关于数轴的三要素及其画法 例15、关于规范的数轴，下列说法正确的是（     ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【提示】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可； 【答案】C； 【解析】A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误； 【说明】本题考查了数轴的三要素及其画法； 例16、下列数轴画法正确的是（      ） A． B． C． D． 【提示】根据数轴的定义逐项判断即可； 【解析】A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． 【说明】本题考查了数轴的三要素及其画法； 题型9、用数轴上的点表示有理数 例17、解答下列各题 （1）如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ （2）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 【答案】（1）数轴上点A，B，C，D分别表示； （2）数轴上的点表示各数，如图： 【说明】本题主要考查了数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数； 例18、“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： （1）填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； （2）画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； （3）计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【提示】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可； 【答案】（1）原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求： （3）B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【解析】（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求： （3）设，则 因为， 所以， 解得 所以B点表示的数为4. 【说明】本题主要考查了数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上找原点； 题型10、相反数的定义 例19、在数轴上表示下列各数：，，，，及它们的相反数． 【提示】先根据相反数的定义求出所有给定数的相反数，再将原数与相反数按大小对应标注在数轴上即可； 【答案】各数的相反数依次为，，，，，原数与相反数在数轴上的表示如下： 【说明】本题考查了用数轴上的点表示有理数、相反数的定义； 例20、在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． （1）在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ （2）如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ （3）如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【提示】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案； 【答案】（1）在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C； （2）它应该往左爬2个单位长度； （3）当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位； 【解析】（1）因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 【说明】本题综合考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义、数轴上点的平移（动点问题）； 题型11、相反数的应用 例21、如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（     ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【提示】根据互为相反数的两个数的和为0，解答即可； 【答案】B； 【解析】互为相反数的两个数的和为0， 故两个有理数的和为0，这两个数一定是互为相反数． 故选：B． 【说明】本题考查了相反数的性质与应用，熟练掌握相反数的性质是解题的关键； 例22、用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【提示】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得， ，进而即可求解，理解新定义是解题的关键； 【答案】； 【解析】由题意得，，， 所以， ， 故答案为：． 【说明】本题考查了相反数的应用； 题型12、绝对值的几何意义 例23、阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）_________，_________； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 【提示】结合数轴，利用绝对值的几何含义求解各小问即可； 【答案】（1）5；7；（2）2或；（3），，，，，； 【解析】（1）解：，； （2）因为， 所以表示在数轴上表示数与的两点之间的距离等于5， 因此整数的值为2或； （3）因为， 所以表示在数轴上表示数的点分别与表示数，的两点之间的距离之和， 因此所有符合条件的整数的值为，，，，，． 【说明】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值； 例24、某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）： ．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【提示】车辆行驶的总路程决定了耗油量，而不仅仅是最终的位移．因此，需要将所有行驶记录的绝对值相加得到总行驶距离，再乘以单位油耗； 【答案】当天巡护车辆耗油升； 【解析】将每个行驶记录的绝对值相加： 总耗油量总路程单位油耗：． 【说明】本题主要考查了绝对值的几何意义； 题型13、求一个数的绝对值 例25、当______时，的最小值是______． 【提示】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果； 【答案】；； 【解析】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 【说明】本题考查了绝对值的几何意义、求一个数的绝对值； 例26、回答下列问题： （1）绝对值是的数有几个？是什么？ （2）绝对值是的数有几个？是什么？ （3）有没有绝对值是的数？为什么？ 【提示】（1）根据绝对值等于同一个正数的两个数互为相反数的规律求解； （2）根据的绝对值是且唯一的特点求解； （3）根据绝对值的非负性判断不存在绝对值为负数的数； 【答案】（1）有个，分别是和； （2）有个，是； （3）没有，因为任意数的绝对值都是非负数，不可能为负数； 【解析】（1）因为， ，， 所以，绝对值是的数有个，为和． （2）因为，，且所有非零数的绝对值都大于， 所以，绝对值是的数有个，为． （3）因为，对任意数，都有， 又因为，， 所以，没有绝对值是的数． 【说明】本题考查了求一个数的绝对值、绝对值非负性； 题型14、利用数轴比较有理数的大小 例27、若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【提示】注意画出数轴与用好数轴； 【答案】C； 【解析】如图所示， 所以，． 【说明】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义； 例28、如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（      ） A． B． C． D． 【提示】注意理解数轴的“三要素”； 【答案】C； 【解析】由数轴可知： 所以，错误． 【说明】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小； 题型15、有理数大小比较的实际应用 例29、大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（      ） A． B． C． D． 【提示】分别求出各项的绝对值，再比较大小，根据绝对值的意义可得绝对值越小的，精确度越高得出答案即可； 【答案】D； 【解析】因为，，，，， 又因为，， 所以，， 所以，精确度最高的是； 【说明】本题主要考查了绝对值的其他应用与有理数大小比较的实际应用； 例30、如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（      ） A． B．20 C． D． 【提示】本题考查了正负数的意义以及绝对值，根据题意得到负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，排除错误选项，再通过比较数值与0的距离来判断即可； 【答案】C； 【解析】因为，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦， 所以，正数表示音调偏高，需放松琴弦， 所以，负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为， 因为，指针指在0处为标准音，且2最小， 所以，最接近标准音的是； 【说明】本题考查了正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数大小比较的实际应用； 题型16、数轴上两点之间的距离 例31、数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【提示】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解； 【答案】； 【解析】， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， 所以，的最小值； 【说明】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义； 例32、数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为 ______． 【提示】根据已知条件：点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数，就可求出点 A 的坐标，再根据点A、C的距离为10，分两种情况讨论：点C在点A的左边时；点C在点A的右边时，分别求出点C表示的数； 【答案】或； 【解析】因为，点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数， 所以，点A表示的数为：， 当点C在点A 的左边时，且点A、C相距10个单位 所以，点C表示的数为：； 当点C在点A的右边时，且点A、C相距10个单位 所以，点C表示的数为：； 所以，点C表示的数为：或； 【说明】本题考查了数轴上两点之间的距离、相反数的定义； 题型17、数轴上找原点 例33、有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（      ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【提示】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答； 【答案】D； 【解析】因为，有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， 所以， ，则， 所以，的中点位置是小于的， 所以，原点一定在中点右侧； 【说明】本题主要考查了在数轴上找原点； 例34、如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． （1）在数轴上用0标出原点； （2）写出点B表示的数； （3）在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【提示】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答； 【答案】（1）用0表示出原点． （2）点表示3； （3）点表示的数为或； 【解析】（1）如图，∵点A表示的数是，所以，原点在点A右侧4个单位长度处； （2）因为，点B在原点右侧3个单位长度处，所以，点B表示的数为3． （3）因为，，点B表示的数为3， 所以，当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或； 【说明】本题综合考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上找原点； 题型18、数轴上整点覆盖问题 例35、如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【提示】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键，把每段的整数写出来即可得到答案； 【答案】B； 【解析】由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B； 【说明】本题考查了数轴上整点覆盖问题； 例36、如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【提示】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解； 【答案】D； 【解析】由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 【说明】本题考查了数轴上整点覆盖问题； 题型19、数轴上的规律探究 例37、正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【提示】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可； 【答案】D； 【解析】由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 所以，顶点对应的数以6为周期循环， 因为，， 所以，数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点； 【说明】本题考查了在数轴上的规律探究； 例38、如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【提示】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可； 【答案】C； 【解析】由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 因为，， 所以，能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【说明】本题考查了数轴上的规律探究问题； 题型20、绝对值非负性 例39、已知 ， （1）求的值． （2）画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【提示】注意绝对值里面的数的正负与绝对值一定是恒正的； 【答案】（1）5；（2）画图见解析 【解析】（1）因为，， 所以，， 所以，，， 所以，． （2）设到a、b两数距离之和为4的数为，则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； 所以，到a、b两数距离之和为4的数为或． 【说明】本题考查了用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、绝对值非负性； 例40、若与互为相反数，求的值． 【提示】根据题意得到，求得，， 然后将原式变形为，然后化简求解即可； 【答案】； 【解析】因为，与互为相反数， 所以，， 所以，，，解得，， 所以，原式 ； 【说明】本题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，正确求解是解决此题的关键； 题型21、绝对值的其他应用 例41、试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm （1）表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ （2）在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【提示】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键； （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可； 【解析】（1）互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧； （2）最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管； 【说明】本题综合考查了正负数的实际应用、相反数的定义、绝对值的其他应用； 例42、检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ （1）几号篮球最接近标准质量？ （2）如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【提示】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解； 【答案】（1）3号篮球最接近标准质量；（2）的篮球的质量好一些； 【解析】（1）因为，， 所以，3号篮球最接近标准质量． （2）因为，， 所以，结果为的篮球的质量好一些； 【说明】本题考查了正负数的实际应用、绝对值的其他应用； 1、学习“有理数引入”的相关知识 （1）自然数：像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： 计数的需要；测量的需要；标号的需要；排序的需要； （2）分数、小数 ①分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要；②分数与整数的关系：分数可以看作两个整数相除， 例如：；③分数与小数的关系：分数都可以化成有限小数或无限循环小数；反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 2、正数与负数 正数：大于0的数；负数：小于0的数；0既不是正数也不是负数。引入负数是为了表示具有相反意义的量。 具有相反意义的量 （1）具有相反意义的量的含义 两个量意义相反，并且是同一类量，称这两个量是具有相反意义的量；具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量； （2）具有相反意义的量的表示 为了区分具有相反意义的量，我们把其中的一个量前面添加符号＂+ ＂（读作＂正＂）表示，则另一个量前面添加符号＂- ＂（读作＂负＂）表示．具有相反意义的量，哪个量为正，哪个量为负，并没有严格的规定，可以视情况选择； 3、有理数的概念及分类 （1）整数分类： （2）分数分类： （3）有理数：能够写成分数（、是整数，） 的数叫作有理数． ①整数可以写成分母是 1 的分数形式，但整数不是分数． ②所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数。 有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数。如 是无限不循环小数，因此 不是有理数． （3）有理数2种分类： （5）填写数集的两种方法 ①依次分析所给的数，把它写入某个或某几个数集中． ②从给出的数中找出属于每个分类的所有数． 4、数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； （2）数轴定义三层含义 ①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸； ②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可； ③原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向； （3）数轴的画法 ①画：先画一条直线（一般画成水平的直线）； ②取：在直线的适当位置任取一点作为原点，并用这点表示数 0； ③定：规定正方向（一般规定从原点向右为正方向），画上箭头； ④标：选取适当长度作为单位长度，在直线上标出对应数字； 【注意】在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一。 （4）数轴上的点与有理数的关系 ①每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示． ②用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边。原点（表示 0 的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点． 5、相反数 （1）相反数的概念 只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数； 0 的相反数是 0，它是唯一一个相反数与本身相同的数； 一般地，和互为相反数，这里表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； （2）相反数的几何意义 互为相反数的两个数（0除外）可以用数轴上的两个点表示，这两个点分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等；数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数一定互为相反数． （3）相反数的性质 ①数的相反数是； ②若、互为相反数，则； ③若，则、互为相反数； ④正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． （4）相反数的求法 求一个数的相反数，只需要在其前面加上＂-＂即可； （5）多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义。 化简规律： 化简结果由＂- ＂号的个数决定。当＂- ＂号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当＂- ＂号的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称＂奇负偶正＂． ①结果的“”、“”与“”号的个数无关，只与“”号的个数有关； ②化简的结果为正数时，“”号通常省略不写； 6、绝对值 （1）绝对值的几何意义 一般地，数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数的绝对值，记作：，读作＂绝对值＂或＂的绝对值＂； ①一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小； ②从绝对值的几何意义上来理解，一个数的绝对值可以认为是两点间的距离（其中一点是原点），所以绝对值不可能是负数，也就是说一个数的绝对值不是正数就是0，即：，它是一个非负数，只有当时，距离为零，即：； （2）绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0．绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数。 （3）求一个数的绝对值的两种方法 ①可以根据绝对值的几何意义求解，的代数意义确定结果； ②求一个数的绝对值时，应先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值； （4）有理数的大小比较 ①利用数轴比较有理数的大小 用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数； ②利用法则比较有理数的大小 （a）正数大于零，零大于负数，正数大于负数； （b）比较两个负数的大小，绝对值大的那个数反而小； （5）利用数轴比较有理数大小的步骤 一是在数轴上描出表示各数的点；二是观察各点在数轴上的位置；三是根据在数轴上右边的数大于左边的数的规律进行比较； 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启了人形机器人智造的黄金时代，国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻，若人形机器人向前进行12次空翻记作次，则人形机器人向后进行9次空翻记作（      ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】D； 【解析】因为，向前进行12次空翻记作次，向后与向前意义相反， 所以，向后进行9次空翻记作次； 2．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出， 单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 【答案】C； 【解答】+50+（﹣18）＝+32（元）， 即小陈当天微信收支的最终结果是收入32元， 故选：C； 3．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为65±5g，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　） A．58g B．60g C．64g D．68g 【答案】A； 【解答】因为，薯片检测报告上注明净含量为65±5g， 所以，净含量范围为：（65﹣5）g≤净含量≤（65+5）g，即60g≤净含量≤70g，故A不符合标准． 故选：A； 4．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C； 【解析】不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 5．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转45°记作，那么逆时针旋转60°记作 【答案】； 【解析】因为顺时针旋转和逆时针旋转是一对相反意义的量， 所以如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作， 6．我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数．若水库水位上升米记作米，则水位下降米应记作________． 【答案】米； 【解析】因为，水位上升米记作米，即上升记为正， 所以，水位下降米记作米； 7．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6； 【解析】因为，直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， 所以，点A、C在直尺上的距离为， 因为，点、C表示的数互为相反数， 所以，原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又因为，数轴向右为正方向， 所以，原点对应直尺上的刻度为． 8．如图，小明不小心将墨水滴在一条数轴上，根据图中标出的数据，被墨水盖住的整数共有______个． 【答案】； 【解析】左边的墨水覆盖区域大于，小于，其中整数有，，，，，，，共个， 右边的墨水覆盖区域大于，小于，其中整数有，，，，，，共个， 综上，被墨水盖住的整数共有个． 9．下列说法中，正确的是 （1）整数就是正整数和负整数； （2）分数就是正分数和负分数； （3）一个数不是正有理数就是负有理数； （4）非负数就是正数； （5）若一个数是整数，则它一定是有理数； （6）若一个数不是有理数，则它一定不是整数； （7）存在最大的非正数； （8）零是最大的非正整数． 【答案】（2）、（5）、（6）、（7）、（8） 【解析】整数包括正整数、0和负整数；故（1）错误； 分数包括正分数和负分数；故（2）正确； 一个数不是正有理数就是0和负有理数；故（3）错误； 非负数包括正数和0，故（4）错误； 有理数包括整数和分数；故（5）、（6）正确； 最大的非正数是0，0也是最大的非正整数；故(7)、(8)正确 故答案为：（2）、（5）、（6）、（7）、（8） 10．设，其中，则的最小值为 _______． 【提示】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．理解绝对值的定义以及数轴上两点间的距离的计算方法是正确解答的前提； 【答案】20； 【解析】由于，其中， 所以，， 所以，当时，的值最小， 此时， 故答案为：20． 11．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【提示】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄； 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【解析】（1）①，， 所以，这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 12．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 （2）用合适的方法计算：_________________． （3）请利用你探究的结论计算： 【提示】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可； 【答案】（1）①；②；（2）；（3）； 【解析】（1），， 故答案为：①；②； （2）， 故答案为：； （3） 原式 ． 第5页，共21页 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