21.1二次根式（题型专练）数学华东师大版九年级上册

21.1 二次根式 题型一 二次根式的定义 1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数必须是非负数，根指数是，根据二次根式的定义，判断各选项是否满足被开方数为非负数且根指数为即可． 【详解】解：A选项：的被开方数是，二次根式无意义， 不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：是整数，不含根号， 不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：的被开方数是，根指数是， 是二次根式，故C选项符合题意； D选项：的根指数是， 是三次根式，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题关键是掌握二次根式的定义是形如的式子，其中根指数为2（通常省略不写）．根据二次根式的定义，判断各选项是否满足被开方数非负且根指数为2的条件，即可得到答案． 【详解】解：A、，被开方数为（负数），不符合二次根式的条件，选项不符合题意， B、，根指数为3，属于三次根式，而非二次根式，选项不符合题意， C、，被开方数为正数，根指数为2，符合二次根式的定义，选项符合题意， D、，被开方数的符号不确定，若则无意义，因此不一定是二次根式，选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、当时，它不是二次根式，故本选项不符合题意， B、一定是二次根式，故此选项符合题意； C、当时，该式子不是二次根式，故本选项不符合题意； D、，该式子无意义，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 【详解】解：选项A：是分数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意； 选项B：是整数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意； 选项C：中，被开方数，满足非负条件，且根指数为2，符合二次根式的定义，符合题意； 选项D：中，被开方数为，在实数范围内无意义，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、，根式无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型二 二次根式有意义的条件 1．（新疆乌鲁木齐市第七十六中学教育集团2024-2025学年上学期期末考试八年级数学试题）要使有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南许昌·期中）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）二次根式取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次根式以及分式有意义的条件，掌握它们有意义的条件是解题的关键. 根据二次根式和分式有意义的条件可得，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）使二次根式有意义的的值为 （写出一个符合题意的值即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 故答案为：2（答案不唯一，即可）． 5．（2025·福建龙岩·二模）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件得出，然后求出的范围即可，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，则， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如果，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点． 根据二次根式有意义的条件得，解得，则把代入进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 题型三 求二次根式中的参数 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 2．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 3．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 4．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 5．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 7．（2023·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 12．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 题型一 利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，，再结合与的大小关系，判断的符号，进而化简绝对值． 【详解】解：由二次根式的性质，得：． 因为，而， 所以，即为负数． 根据绝对值的定义，得：． 因此， 故选：D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系，二次根式的化简，化简绝对值，正确理解三角形的三边关系：两边和大于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系得到，再化简二次根式及绝对值即可． 【详解】解：∵，，是的三边长， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，整式的加减计算，先把原式变形为，再化简二次根式后，利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解；∵， ∴ ， 故答案为：． 4．（2025·内蒙古包头·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简二次根式，计算零指数幂，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及三角形的三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键． 首先利用三角形三边关系得出a的取值范围，进而根据绝对值及二次根式的性质化简即可求出答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3、a、6， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 【答案】6 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可。 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：6. 8．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 题型二 二次根式的非负性 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 直接根据乘方、二次根式的性质逐步分析即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即③出现错误． 故选：C． 2．（2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一））已知，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，先结合二次根式的性质得，再整理原式为，根据完全平方公式进行变形化简得，再求出x的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把整理得， 则， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， 故答案为： 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若，则 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件得到，解不等式组求出a的值，进而求出b的值即可得到答案． 本题考查二次根式有意义的条件、化简二次根式，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 把代入，解得， 则 故答案为： 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若a，b为实数，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，根据二次根式有意义的条件可求出a的值，进而求出b的值，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·吉林延边·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、二次根式性质等知识，先由二次根式有意义的条件得到，从而得到，由二次根式性质即可得到，熟练掌握二次根式性质与定义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，且， 则， ，解得， ∴， 故答案为：． 题型一 复合二次根式的化简 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 二次根式 题型一 二次根式的定义 1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型二 二次根式有意义的条件 1．（新疆乌鲁木齐市第七十六中学教育集团2024-2025学年上学期期末考试八年级数学试题）要使有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南许昌·期中）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）二次根式取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）使二次根式有意义的的值为 （写出一个符合题意的值即可）． 5．（2025·福建龙岩·二模）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 6．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如果，那么 ． 题型三 求二次根式中的参数 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 3．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 5．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是 ． 7．（2023·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为 ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 12．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 题型一 利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）若，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则 ． 4．（2025·内蒙古包头·一模）计算： ． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期中）化简： ． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简： ． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 8．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 题型二 二次根式的非负性 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一））已知，则x的值为 ． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若，则 ． 5．（24-25八年级下·吉林延边·期中）若，则 ． 题型一 复合二次根式的化简 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$