【数学帮】新定义计算易错专题（含答案解析）

七年级上册—定义新计算专题 一．选择题（共 13 小题） 1 ．现规定一中新运算“※” ：a※b ＝ba ，如 3※2 ＝23 ＝8 ，则 2※（ -5） -3※2 = ( ) A ．10 B ．17 C ．18 D ．25 2 ．在实数范围内定义一种新运算“*” ，其规则是 a*b ＝a2 -b2 ，如果（x+2）*5 ＝（x -5）（5+x），那么 x 的 值是 ( ) A ．x ＝ -1 B ．x ＝1 C ．x ＝46 D ．x ＝ -46 3 ．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数 a 和b ，a☆b ＝ab -b2． 例如：（ -1）☆2 ＝（ -1）2 -22 ＝ -3 ，则（ -3）☆（2☆1）的值为 ( ) A ． -4 B ．1 C ．4 D ． 4 ．在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：a★b ＝（a+b）（a -b），例如： 5★3 ＝（5+3） ×（5 -3） ＝8×2 ＝16 ，下面给出了关于这种新运算的几个结论： ①3★（ -2） ＝5； ②a★b ＝b★a；③若 b ＝0，则 a★b ＝a2；④若 a★b ＝0，则 a ＝b 或 a ＝ -b．其中正确的结论个数有( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 5 ．定义 a*b ＝3a+b ，a⊕b ＝b -a2 ，则下列结论正确的有 ( ) ①2 ⊕（ -1）＝ -5 ； ②（ -3）*（ -2）＝ -7； ③若 a*b ＝b*a ，则 a ＝b； ④（2*3） ⊕（2⊕3）＝ -80． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 6 ．定义运算“*”如下：对任意有理数 x，y 和 z 都有 x*x ＝0 ，x*（y*z）＝（x*y）+z ，这里“+”号表示数的加 法，则 2023*2022 的值是 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 7 ．如图表示 3×3 的数表，数表每个位置所对应的数都是 1 ，2 或 3 ．定义 a*b 为数表中第 a 行第 b 列的数， 例如，数表第 3 行第 1 列所对应的数是 2 ，所以 3*1 ＝2． 若 2*3 ＝（2x+1）*2 ，则 x 的值为 ( ) ( A ． 1 ， 2 B ． 1 ， 3 C ． 0 ， 2 D ． 1 ， 0 ) 第 1页（共 36页） 8 ．规定：f（x） ＝|x -2| ，g（y） ＝|y+3| ．例如f（ -4） ＝| -4 -2| ，g（ -4） ＝| -4+3| ．下列结论中， ①若f（x）+g（y）＝0 ，则 2x -3y ＝13； ②若 x＜ -3 ，则f（x）+g（x）＝ -1 -2x； ③能使f（x）＝g（x）成立的 x 的值不存在； ④式子f（x -1）+g（x+1）的最小值是 7． 其中正确的所有结论是 ( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 9 ．定义：使等式 成立的一对有理数 a ，b 称为“伴随数对” ，记为（ a ，b），如：数对 （2 ， 都是“伴随数对”．若 5 是“伴随数对”中的一个有理数，则这个“伴随数对”是 ( ) A ． B ． C ． 或 D ． 或 5） 10 ．小明是一个聪明又富有想象力的学生．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识 脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为 0）的除法运算叫 做除方，如 5÷5÷ 5 ，（ -2）÷（ -2）÷（ -2）÷（ -2）等，类比有理数的乘方，把 5÷5÷5 记作 53 ，把 （ -2）÷（ -2）÷（ -2）÷（ -2）记作（ -2）4 ．在混合运算中，先算除方，再算乘除，最后算加减， 则 的值为 ( ) A ． B ． C ． D ． 11．定义：一种对于三位数 abc（其中在 abc 中，a 在百位，b 在十位，c 在个位，a 、b 、c 不完全相同）的 “F 运算”：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）， 例如 abc ＝463 时，则 经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到： 任意一个四位数经过若干次这样的“F 运算”也会得到一个定值，这个定值为 ( ) A ．4159 B ．6419 C ．5179 D ．6174 第 2页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 12 ．关于 x 的多项式： A n ＝a n xn +a n -1xn -1+a n -2x n -2+ …+a2x2+a1x+a0 ，其中 n 为正整数． 各项系数各不相同且均不为 0 ．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“亲缘多项 式” ．当 n ＝3 时，A3 ＝a3x3+a2x2+a1x+a0． ①多项式 A3共有 6 个不同的“亲缘多项式”； ②多项式 An 共有个不同的“亲缘多项式”； ③若多项式 An ＝（ 1 -2x）n ，则 An 的所有系数之和为 1； ④若多项式 A4 ＝（2x -1）4 ，则 a4+a2+a0 ＝41． 以上说法正确的有（ ）个． A ．l B ．2 C ．3 D ．4 13 ．为了求 1+2+22+23+ … +22022 的值，可令 S ＝1+2+22+23+ … +22022 ，则 2S ＝2+22+23+ …+22023 ， 因此 2S -S ＝22023 -1 ，所以 1+2+22+23+ …+22022 ＝22023 -1 ．仿照以上推理计算出 1+5+52+53+ …+52022 的值 是 ( ) A ．52022 -1 B ．52023 -1 C ． D ． 二．填空题（共 12 小题） 14．我们定义一种新运算 例如 5 田 的值为 ． 15 ． 我们规定一种新运算 等式右边是通常 的加法 、减法及乘法运算 ． 例如 则 的值为 ． 16 ．新定义一种运算“⊕” ：a⊕b ＝ab+b3 ，则（ -3） ⊕（ -1）的值为 ． 17 ．新定义“△”为一种运算符号，若 a△ 则 2001△ . 18 ．按如图所示的程序计算，（1）当输入的 x 的值为 6 时，输出的结果为 ． （2）当输入的 x 的值为 31 时，输出的结果为 .（3）已知输入的一个正整数为 x ，输出的结果 为 656 ，则满足条件的 x 的值为 ． 第 3页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 19 ．新定义：对非负数 x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当 n 为非负整数时，若 n一 则（x）＝n ．如（0.46）＝0 ，（3.67）＝4 ．给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）＝1； ②（2x）＝2（x）； ③当x≥0 ，m 为非负整数时，有（m+2020x）＝m+（2020x）； 其中正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 20．新定义：若 a n ＝b（a＞0 且 a≠1，b＞0），则 n 叫作以 a 为底 b 的对数，记为 loga b（即 loga b ＝n）．按 此法则计算 log381 = . 21 ．定义一种新运算“ ® ” , 规则如下：a ® b ＝a2 -ab ，例如：3 ® 1 ＝32 -3×1 ＝6 ，则 4® [2® （ -5）]的 值为 ． 22 ．定义一种新运算：a*b ＝a2 ×b -（b -a），如 2*3 ＝22×3 -（3 -2）＝11 ，则 8*2 = . 23 ．对于有理数 a ，b 规定一种新运算：a☆b ＝ab -b2 ，例如：（ - 1 ） ☆6 ＝（ - 1 ） ×6 -62 ＝ -42， 则：5☆[（ -2）☆3] = . 24 ．若定义一种新的运算 则下列结论 ③（ -m ）Δn ＝mΔ（ -n），上述结论正确的有（写出番号）： ． 25．新定义：已知射线 OP、OQ 为∠AOB 内部的两条射线，如果 那么把∠POQ 叫作∠AOB 的幸运角． 已知∠AOB ＝40° , 射线 OC 与射线 OA 重合，并绕点 O 以每秒 5°的速度顺时针旋转，射线 OD 与射线 OB 重合，并绕点 O 以每秒 3°的速度逆时针旋转，当射线 OC 旋转一周时运动停止．在旋转 过程中，射线 OA ，OB ，OC，OD 中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， t ＝ 秒．（本题所有角都指的是小于 180°的角） 三．解答题（共 12 小题） 26 ．如果用符号“*”规定一种新运算： （1）求 5*4 的值； （2）求[2*（ -3）]*4 的值． 第 4页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 27 ．设 a ，x，y 为有理数，定义新运算：a×x ＝a×|x| ．例如：2×3 ＝2×|3| ＝6 ，4×（a+1）＝4×|a+1|． （1）直接写出计算结果：7※0 ＝ ，（ -1） ※（ -10）= ; （2）如果 a＞0 ，那么 a※（x+y）＝a※x+a※y 是否一定成立？请说明理由． 28 ．关于 x 的代数式，当 x 取任意一组相反数 a 与 -a 时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代 数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式” ，例如代数式 x2是“偶代数式” ，x3 是“奇代数式”． （1） 以下代数式中，是“偶代数式”的有 ，是“奇代数式”的有 ；（将正确选项的序号 填写在横线上． ①|x|+2； ②x3 -x； ③2x2 -1． （2）某个奇代数式，当 x 取 2 时，代数式的值为 3 ，问：当 x 取 -2 时，代数式的值为多少？ （3）对于整式 x5 -x3+x2+x+1 ，当 x 分别取 -4 ， -3 ， -2 ， -1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 时，这九个整式的值之 和是 ． 29 ．填空题：（请将结果直接写在横线上） 定义新运算“⊕” , 对于任意有理数 a ，b 有 （1）4（2⊕5）= . （2）若 A ＝x2+2xy+y2 ，B ＝ -2xy+y2 ，则（A⊕B）+（B⊕A）= . 第 5页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 30 ．我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算： a ®b ＝ ．定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题： 1 ® 3 ＝1×4+3 ＝7； 3 ® （ -1）＝3×4 -1 ＝11； （ -8） ® 5 ＝（ -8） ×4+5 ＝ -27； （ -4） ® （ -3）＝（ -4） ×4 -3 ＝ -19． （1）请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子： ； （2）补全定义内容：a ® b ＝ ；（用含 a 、b 的代数式表示） （3）当 a≠b 时，这种新定义的运算是否满足交换律，即 a ® b ＝b ® a 是否成立，请说明理由． 31．2022 年 12 月 4 日，神舟十四号载人飞船成功返回地球结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出 一个新定义：A ，B 是两个整式，如果 2A+3B ＝124 ，那么 A 叫做 B 的“神舟式”． （1）若 A ＝ -3x+5 ，B ＝ -5x -4 ，当 x ＝ -6 时，求 A ，B 的值，请你判断此时 A 是否为 B 的“神舟式”； （2）若 A ＝ -x2 -3x+5 ，A 是 B 的“神舟式” ，求整式 B； 若 是 B 的“神舟式” ，求 x 的值． 第 6页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 32 ．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： f（ -2）＝ -2 -1 ＝ -3， f（ -1）＝ -1 -1 ＝ -2， f（0）＝0 -1 ＝ -1， f（1）＝1 -1 ＝0， f（2）＝2 -1 ＝1， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如： 利用以上规律计算： 计算 第 7页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 3 3 ．概念学习： 规定： 求若干个相同的有理数（均不等于 0 ） 的除法运算叫做 除方 ， 如 2 ÷ 2 ÷ 2 ， ③ （ -3）÷（ -3）÷（ -3）÷（ -3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2 ，读作“2 的圈 3 次 ④ 方 ” ，（ -3 ） ÷ （ -3 ） ÷ （ -3 ） ÷ （ -3 ）记作（ -3 ） ，读作 “ -3 的圈 4 次方 ” ， 一般地， 第 8页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 把 n个a a÷a÷a÷…÷a ︸ （a≠0）记作 aⓝ , aⓝ读作“a 的圈 n 次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：3③ = ; ; （2）关于除方，下列说法错误的是 ； A ．任何非零数的圈 2 次方都等于 1； B ．对于任何正整数 n ，当 n＞2 时，1 n ＝1； ④ ③ C．3 ＝4 ； D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数 的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ； ⑥ 5 = ; ② ③ （4）算一算：3 +27÷（ -3）3+（ -8） ×2 ． 34 ．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的 n 倍，则∠α叫做∠β的 n 倍角． （1）若∠M＝10°21′ ，请直接写出∠M 的 4 倍角的度数； （2）如图 1 所示，若∠AOB = ∠BOC = ∠COD ，请直接写出图中∠COD 的 2 倍角； （3）如图 2 所示，若∠AOC 是∠AOB 的 3 倍角，∠COD 是∠AOB 的 4 倍角，且∠BOD ＝90° , 求∠BOC 的度数． 第 9页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 35．新定义：如图① , 已知∠AOB，在∠AOB 内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若 这三个角中有一个角是另外一个角的 2 倍，则称射线 OC 为∠AOB 的“幸运线”．（本题中所研究的角都是 大于 0°而小于 180°的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图① , ∠AOB ＝48° , 射线 OC 为∠AOB 的“幸运线” ，则∠AOC 的度数为 ； （直接写出答案） 【解决问题】 （3）如图② , 已知∠AOB ＝50° , 射线 OM．从 OA 出发，以每秒 10°的速度绕 O 点顺时针旋转，同时， 射线 ON 从 OB 出发，以每秒 15°的速度绕 O 点顺时针旋转，设运动的时间为 t 秒（0＜t＜5）．若 OM、 ON、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线” ，求运动的时间 t 的值． 第 10页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 36 ．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原 来角的“新生线”． （1）如图 1 ， ∠MOP ＝2∠PON，射线 OP ∠MON 的“新生线”（填“是”或“不是”）； （2）点 M、O 、N 在同一直线上， ①如图 2 ， ∠AON＝72° , 射线 OC 在∠AOM 的内部，并且是∠AOM 的“新生线” ，OD 平分∠COM，求 ∠AOD 的大小； ②如图 3 ，OA⊥MN， ∠AOB ＝40° , 射线 OC 从 OM 出发绕点 O 以每秒 6°的速度逆时针旋转，运动时间 为 t 秒，若在射线 OC 旋转的同时， ∠AOB 绕点 O 以每秒 2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线 OD 平分∠AOB ．当射线 OC 与射线 ON 重合时，运动都停止．当射线 OC 是∠MOD 的“新生线”时，直 接写出 t 的值为 ． 第 11页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题解析 一．选择题（共 13 小题） 1 ．现规定一中新运算“※” ：a※b ＝ba ，如 3※2 ＝23 ＝8 ，则 2※（ -5） -3※2 = ( ) A ．10 B ．17 C ．18 D ．25 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解： 由题意得：2※（ -5） -3※2 =（ -5）2 -23 =25 -8 = 17， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 2 ．在实数范围内定义一种新运算“*” ，其规则是 a*b ＝a2 -b2 ，如果（x+2）*5 ＝（x -5）（5+x），那么 x 的 值是 ( ) A ．x ＝ -1 B ．x ＝1 C ．x ＝46 D ．x ＝ -46 【分析】按照定义的新运算可得（x+2）2 -25 ＝x2 -25 ，然后进行计算即可解答． 【解答】解： 由题意得：（x+2）*5 ＝（x -5）（5+x）， （x+2）2 -25 ＝x2 -25， x2+4x+4 -25 ＝x2 -25， x2+4x -x2 ＝ -25+25 -4， 4x ＝ -4， x ＝ -1， 故选：A． 【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． 3 ．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数 a 和 b ，a☆b ＝ab -b2 ．例如：（ -1） ☆2 ＝（ -1）2 -22 ＝ -3 ，则（ -3）☆（2☆1）的值为 ( ) A ． -4 B ．1 C ．4 D ． 【分析】根据 a☆b ＝ab -b2 ，可以求出所求式子的值． 【解答】解： ∵a☆b ＝ab -b2， ∴（ -3）☆（2☆1） =（ -3）☆（21 -12） =（ -3）☆（2 -1） =（ -3）☆1 第 12页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 =（ -3）1 -12 = -3 -1 = -4， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 4 ．在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：a★b ＝（a+b）（a -b），例如：5★3 =（5+3） ×（5 -3）＝8×2 ＝16 ，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①3★（ -2）＝5 ；②a★b = b★a；③若 b ＝0 ，则 a★b ＝a2 ；④若 a★b ＝0 ，则 a ＝b 或 a ＝ -b ．其中正确的结论个数有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【分析】根据新定义，可以判断各个小题中的结论是否成立． 【解答】解： ∵a★b ＝（a+b）（a -b）， ∴3★（ -2） = [3+（ -2）]×[3 -（ -2）] = 1 ×（3+2） = 1×5 =5 ，故①正确，符合题意； b★a ＝（b+a）（b -a）， 当 a≠b 时，a★b≠b★a ，故②错误，不符合题意； 若 b ＝0 ，则 a★b ＝（a+0）（a -0）＝a2 ，故③正确，符合题意； 若 a★b ＝0 ，则 a ＝b 或 a ＝ -b ，故④正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 5 ．定义 a*b ＝3a+b ，a⊕b ＝b -a2 ，则下列结论正确的有 ( ) ①2 ⊕（ -1）＝ -5 ； ②（ -3）*（ -2）＝ -7； ③若 a*b ＝b*a ，则 a ＝b； ④（2*3） ⊕（2⊕3）＝ -80． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【分析】根据 a*b ＝3a+b ，a⊕b ＝b -a2 ，可以分别计算出各个小题中的式子是否正确，从而可以解答本 题． 【解答】解： 由题意可得， 2⊕（ -1）＝（ -1） -22 ＝ -5 ，故①正确，符合题意； （ -3）*（ -2）＝3 ×（ -3）+（ -2）＝ -11 ，故②错误，不符合题意； 若 a*b ＝b*a ，则 3a+b ＝3b+a ，可得 a ＝b ，故③正确，符合题意； （2*3） ⊕（2⊕3） 第 13页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 =（3×2+3） ⊕（3 -22） =（6+3） ⊕（3 -4） =9 ⊕（ -1） =（ -1） -92 =（ -1） -81 = -82 ，故④错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 6 ．定义运算“*”如下：对任意有理数 x，y 和 z 都有 x*x ＝0 ，x*（y*z）＝（x*y）+z ，这里“+”号表示数的加 法，则 2023*2022 的值是 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】根据 x*x ＝0 ，x*（y*z）＝（x*y）+z ，可以计算出所求式子的值 【解答】解： ∵x*x ＝0 ，x*（y*z）＝（x*y）+z， ∴2023*2022 =2023*2022+2022 -2022 =2023*（2022*2022） -2022 =2023*0 -2022 =2023*（2023*2023） -2022 =（2023*2023）+2023 -2022 =0+2023 -2022 = 1， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 7 ．如图表示 3×3 的数表，数表每个位置所对应的数都是 1 ，2 或 3 ．定义 a*b 为数表中第 a 行第 b 列的数， 例如，数表第 3 行第 1 列所对应的数是 2 ，所以 3*1 ＝2 ．若 2*3 ＝（2x+1）*2 ，则 x 的值为 ( ) A ． 1 ，2 B ． 1 ，3 C ．0 ，2 D ． 1 ，0 【分析】首先根据题意， 由 2*3 ＝（2x+1）*2 ，可得：（2x+1）*2 ＝3 ，然后根据数表，可得：2x+1 ＝3 或 2x+1 ＝1 ，据此求出 x 的值为多少即可． 【解答】解： ∵2*3 ＝（2x+1）*2， ∴（2x+1）*2 ＝3， 第 14页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 根据数表，可得：2x+1 ＝3 或 2x+1 ＝1， 解得：x ＝1 或 x ＝0． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、 去括号、移项、合并同类项、系数化为 1． 8 ．规定：f（x）＝|x -2| ，g（y）＝|y+3| ．例如f（ -4）＝| -4 -2| ，g（ -4）＝| -4+3| ．下列结论中，①若 f（x）+g（y） ＝0 ，则 2x -3y ＝13；②若 x＜ -3 ，则f（x）+g（x） ＝ -1 -2x；③能使f（x） ＝g（x） 成立的 x 的值不存在；④式子f（x -1）+g（x+1）的最小值是 7 ．其中正确的所有结论是 ( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 【分析】根据定义对各语句进行计算、讨论、辨别． 【解答】解： ∵f（x）+g（y）＝0 ，即|x -2|+|y+3| ＝0 时， 解得 x ＝2，y ＝ -3， ∴2x -3y ＝2×2 -3 ×（ -3）＝13， ∴语句①表述符合题意； ∵若 x＜ -3， 则f（x）+g（x）＝|x -2|+|x+3| ＝ -x+2 -x -3 ＝ -1 -2x ∴语句②表述符合题意； ∵当x＜ -3 时，若f（x）＝g（x），即 -x+2 ＝ -x -3 ，此时无解， 当 -3≤x＜2 时，若f（x）＝g（x），即 -x+2 ＝x+3 ，解得 当 x≥2 时，若f（x）＝g（x），即 x -2 ＝x+3 ，此时无解， ∴语句③表述不符合题意； ∵由题意得，f（x -1）+g（x+1）＝|x -1 -2|+|x+1+3| ＝|x -3|+|x+4|， 当 x＜ -4 时，f（x -1）+g（x+1）＝ -x+3 -x -4 ＝ -2x -1＞7， 当 -4≤x≤3 时，f（x -1）+g（x+1）＝ -x+3+x+4 ＝7 ， 当 x＞3 时，f（x -1）+g（x+1）＝x -3+x+4 ＝2x+1＞7， ∴语句④表述符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了运用绝对值的运算解决新定义方面的问题，关键是能准确理解题意，并能进行正确 地列式、讨论和计算． 9 ．定义：使等式 成立的一对有理数 a ，b 称为“伴随数对” ，记为（a ，b），如：数对 （2 ，− ), 都是“伴随数对”．若 5 是“伴随数对”中的一个有理数，则这个“伴随数对”是 ( ) A ． B ． 第 15页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 C ．（ 5 ， 或 5） D ．（5 ，）或 5） 【分析】分两种情况， 由“伴随数对”的定义，即可解决问题． 解：当 a ＝5 时 当 b ＝5 时 ∴这个“伴随数对”是（5 ，）或 故选：C． 【点评】本题考查定义“伴随数对” ，关键是掌握“伴随数对”的定义． 10 ．小明是一个聪明又富有想象力的学生．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识 脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为 0）的除法运算叫 做除方，如 5÷5÷5 ，（ -2）÷（ -2）÷（ -2）÷（ -2）等，类比有理数的乘方，把 5÷5÷5 记作 53 ，把 （ -2）÷（ -2）÷（ -2）÷（ -2）记作（ -2）4 ．在混合运算中，先算除方，再算乘除，最后算加减， 则 的值为 ( ) A ． B ． D ． 【分析】根据新定义可以得到 然后即可求出所求式子的值． 【解答】解： 由题意可得， 故选：C． 第 16页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 11．定义：一种对于三位数 abc（其中在 abc 中，a 在百位，b 在十位，c 在个位，a 、b 、c 不完全相同）的 “F 运算”：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）， 例如 abc ＝463 时，则 经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到： 任意一个四位数经过若干次这样的“F 运算”也会得到一个定值，这个定值为 ( ) A ．4159 B ．6419 C ．5179 D ．6174 【分析】 由任意一个四位数经过若干次这样的“F 运算”也会得到一个定值，且只要四个数字不完全相同 就符合题意，可设这个任意四位数为 1000 ，依次进行“F 运算”得出定值即可． 【解答】解： ∵任意一个四位数经过若干次这样的“F 运算”也会得到一个定值，且只要四个数字不完全 相同就符合题意， ∴设这个四位数字为 1000 ，依次进行“F 运算”得： ①1000 -0001 ＝0999； ②9990 -0999 ＝8991； ③9981 -1899 ＝8082； ④8820 -0288 ＝8532； ⑤8532 -2358 ＝6174； ⑥7641 -1467 ＝6174． … , ∴这个定值为 6174． 故选：D． 【点评】本题考查了新定义在有理数的混合运算中的应用，读懂题中的规则并选取相对简单的任意四位 数是解题的关键． 12 ．关于 x 的多项式： An ＝an xn +an -1 xn -1+an -2 xn -2+ …+a2 x2+a1 x+a0 ，其中 n 为正整数． 各项系数各不相同且均不为 0 ．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“亲缘多项 式” ．当 n ＝3 时，A3 ＝a3x3+a2x2+a1x+a0． ①多项式 A3共有 6 个不同的“亲缘多项式”； ②多项式 An 共有个不同的“亲缘多项式”； ③若多项式 An ＝（ 1 -2x）n ，则 An 的所有系数之和为 1； ④若多项式 A4 ＝（2x -1）4 ，则 a4+a2+a0 ＝41． 第 17页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 以上说法正确的有（ ）个． A ．l B ．2 C ．3 D ．4 【分析】 由“亲缘多项式” ，多项式 A n 展开式，可以解决问题． 【解答】解：①多项式 A3共有 6 个不同的“亲缘多项式” ，正确，故①符合题意； ②多项式 An 共有个不同的“亲缘多项式” ，正确，故②符合题意； ③若多项式 An ＝（1 -2x）n ，则 An 的所有系数之和为（1 -2×1）n ＝（ -1）n = ±1 ，故③不符合题意； ④多项式 A4 ＝（2x -1）4 ＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 ，当 x ＝1 时，a4+a3+a2+a1+a0 ＝1 ， 当 x ＝ -1 时，a4 -a3+a2 -a1+a0 ，＝81 ，由此得 a4+a2+a0 ＝41 ，正确，故④符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查“亲缘多项式”的概念，关键是明白“亲缘多项式”的定义，以及多项式 A n 的展开形式． 13 ．为了求 1+2+22+23+ … +22022 的值，可令 S ＝1+2+22+23+ … +22022 ，则 2S ＝2+22+23+ …+22023 ， 因此 2S -S ＝22023 -1 ，所以 1+2+22+23+ …+22022 ＝22023 -1 ．仿照以上推理计算出 1+5+52+53+ …+52022 的 值是 ( ) A ．52022 -1 B ．52023 -1 C ． D ． 【分析】本题通过题干给出的方法，可以设 M＝1+5+52+53+ …+52022 ，然后用 5M -M，得到 M 的解． 【解答】解：设 M＝1+5+52+53+ …+52022， 5M＝5+52+53+54+ …+52023， 5M-M＝5+52+53+54+ …+52023 -（1+5+52+53+ …+52022）， 4M＝52023 -1， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，和基于题干给出的方法来进行类似的运算． 二．填空题（共 12 小题） 14 ．我们定义一种新运算 例如 的值为 ． 【分析】根据定义的新运算列式计算即可． 解：原式 故答案为： 【点评】本题考查有理数的运算，根据新定义列得正确的算式是解题的关键． 15 ．我们规定一种新运算 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如 第 18页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 则*（ -3）的值为 【分析】把相应的值代入到新运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 16 ．新定义一种运算“⊕” ：a⊕b ＝ab+b3 ，则（ -3） ⊕（ -1）的值为 2 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解： 由题意得：（ -3） ⊕（ -1） =（ -3） ×（ -1）+（ -1）3 =3+（ -1） =2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 17 ．新定义“△”为一种运算符号，若 a△ 则 2001△ 根据a△ 可以求得所求式子的值，本题得以解决． 解： ∵a△ ∴2001△（2001△2001） 故答案为 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 18 ．按如图所示的程序计算，（1）当输入的 x 的值为 6 时，输出的结果为 781 ．（2）当输入的 x 的值为 第 19页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 31 时，输出的结果为 781 .（3）已知输入的一个正整数为 x ，输出的结果为 656 ，则满足条件的 x 的 值为 131 或 26 或 5 ． 【分析】根据运算程序列出方程，然后求解即可解答 【解答】解：（1） 由题意得：5×6+1 ＝31＜500， 5×31+1 ＝156＜500 ， 5×156+1 ＝781＞500， 故答案为：781； （2）5×31+1 ＝156＜500， 5×156+1 ＝781＞500， 故答案为：781； （3）5x+1 ＝656， 解得：x ＝131， 5x+1 ＝131， 解得：x ＝26， 5x+1 ＝26， 解得：x ＝5， 5x+1 ＝5， 解得：不符合题意）， 所以，满足条件的 x 的值可以为：131 或 26 或 5， 故答案为：131 或 26 或 5， 【点评】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，读懂图表信息并理解运算程序是解题的关键． 19 ．新定义：对非负数 x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当 n 为非负整数时，若 则 （x）＝n ．如（0.46）＝0 ，（3.67）＝4 ．给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）＝1； ②（2x）＝2（x）； ③当x≥0 ，m 为非负整数时，有（m+2020x）＝m+（2020x）； 其中正确的结论有 ①③ （填写所有正确的序号）． 【分析】对于①③可直接判断，②可用举反例法判断． 【解答】解：①（1.493）＝1 ，故①符合题意； ②（2x）≠2（x），例如当 x ＝0.3 时，（2x）＝1 ，2（x）＝0 ，故②不符合题意； 第 20页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 ③m 为非负整数，故（m+2020x）＝m+（2020x），故③符合题意； 综上可得①③正确． 故答案为：①③. 【点评】本题考查了解一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后 的值，问题可得解． 20 ．新定义：若 an ＝b（a＞0 且 a≠1 ，b＞0），则 n 叫作以 a 为底 b 的对数，记为 logab（即 logab ＝n）．按 此法则计算 log381 ＝ 4 ． 【分析】根据 34 ＝81 可求得此题答案为 4． 【解答】解： ∵34 ＝81， log381 ＝4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了有理数乘方方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解新定义内容，并能进行 乘方的准确计算． 21 ．定义一种新运算“ ® ” , 规则如下：a ® b ＝a2 -ab ，例如：3 ® 1 ＝32 -3×1 ＝6 ，则 4® [2® （ -5）]的 为 -40 ． 【分析】利用新运算的规定列出算式解答即可． 【解答】解：4 ® [2® （ -5）] =4 ® [22 -2×（ -5）] =4 ® 14 =42 -4×14 = 16 -56 = -40． 故答案为： -40． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练运用是解题的 关键． 22 ．定义一种新运算：a*b ＝a2 ×b -（b -a），如 2*3 ＝22×3 -（3 -2）＝11 ，则 8*2 ＝ 134 ． 【分析】根据 a*b ＝a2 ×b -（b -a），可以求得所求式子的值． 【解答】解： ∵a*b ＝a2 ×b -（b -a）， ∴8*2 = 82×2 -（2 -8） =64×2 -（ -6） = 128+6 = 134， 第 21页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：134． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 23 ．对于有理数 a ，b 规定一种新运算：a☆b ＝ab -b2 ，例如：（ -1）☆6 ＝（ -1） ×6 -62 ＝ -42 ，则： 5☆[（ -2）☆3] ＝ -300 ． 【分析】根据 a☆b ＝ab -b2 ，可以计算出所求式子的值． 【解答】解： ∵a☆b ＝ab -b2， ∴5☆[（ -2）☆3] =5☆[（ -2） ×3 -32] =5☆（ -6 -9） =5☆（ -15） =5×（ -15） -（ -15）2 = -75 -225 = -300， 故答案为： -300． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 24 ．若定义一种新的运算 则下列结论 ③（ -m ）Δn ＝mΔ（ -n），上述结论正确的有（写出番号）： ①② . 【分析】根据已知条件中的新定义，求出各个等式的左右两边的值，然后进行判断即可． 解 ∴①（ -22）Δ4 = -4Δ4 =0， 故①正确； ②∵ Δ + = 1+× 7 12 = 13 12 7 = 13， 第 22页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 3Δ4 故②正确； ③∵（ -m ）Δn mΔ（ -n） ∴（ -m ）Δn≠mΔ（ -n）， 故③错误， 综上可知：正确的是① , 故答案为：①②. 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． 25．新定义：已知射线 OP、OQ 为∠AOB 内部的两条射线，如果 那么把∠POQ 叫作∠AOB 的幸运角． 已知∠AOB ＝40° , 射线 OC 与射线 OA 重合，并绕点 O 以每秒 5°的速度顺时针旋转，射线 OD 与射线 OB 重合，并绕点 O 以每秒 3°的速度逆时针旋转，当射线 OC 旋转一周时运动停止．在旋转 过程中，射线 OA ，OB ，OC ，OD 中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 本题所有角都指的是小于 180°的角） 【分析】根据边的运动分三种情形，画出图形，分别构建方程求解． 【解答】解：①如图 第 23页（共 36页 学科网（北京）股份有限公司 则 20° =40° -5°t -3°t， 解得： ②如图 则 20° =3°t -（40° -5°t）， 解得： ． ③如图 解得：t ＝15． 故答案为 或． 【点评】本题考查了新定义，相关知识点有：角的计算、分类讨论思想等，分情况讨论是解题关键． 三．解答题（共 12 小题） 26 ．如果用符号“*”规定一种新运算： （1）求 5*4 的值； （2）求[2*（ -3）]*4 的值． 【分析】（1）根据新定义，把 a ＝5 ，b ＝4 代入定义进行计算即可； （2）先根据新定义求出 2*（ -3）的值，再把所得结果代入[2*（ -3）]*4 ，利用新定义，进行计算即可． 解 ∴5*4 （2） ∵2*（ -3） 第 24页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴[2*（ -3）]*4 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 27 ．设 a ，x，y 为有理数，定义新运算：a×x ＝a×|x| ．例如：2×3 ＝2×|3| ＝6 ，4×（a+1）＝4×|a+1|． （1）直接写出计算结果：7※0 ＝ 0 ，（ -1） ※（ -10）＝ -10 ； （2）如果 a＞0 ，那么 a※（x+y）＝a※x+a※y 是否一定成立？请说明理由． 【分析】（1）根据新定义列出算式，再计算即可； （2）假设 a ＝1 ，x ＝2，y ＝1 和 a ＝1 ，x ＝2，y ＝ -1 分别计算即可得出答案． 【解答】解：（1）7※0 ＝7×|0| ＝7×0 ＝0， （ -1） ※（ -10）＝（ -1） ×| -10| = -1×10 = -10， 故答案为：0 ， -10； （2）不一定成立．理由如下： ①假设 a ＝1 ，x ＝2，y ＝1 ，则 a※（x+y）＝a×|x+y| ＝1 ×（2+1）＝3， a※x+a※y ＝a×|x|+a×|y| ＝1×|2|+1×|1| ＝3． 因为 3 ＝3 ，所以此时 a※（x+y）＝a※x+a※y． ②假设 a ＝1 ，x ＝2，y ＝ -1 ，则 a※（x+y）＝a×|x+y| ＝1×|2+（ -1）| ＝1， a※x+a※y ＝a×|x|+a×|y| ＝1×|2|+1×| -1| ＝3． 因为 1≠3 ，所以此时 a※（x+y）≠a※x+a※y ．所以不一定成立． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 28 ．关于 x 的代数式，当 x 取任意一组相反数 a 与 -a 时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代 数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式” ，例如代数式 x2是“偶代数式” ，x3 是“奇代数式”． （1） 以下代数式中，是“偶代数式”的有 ①③ , 是“奇代数式”的有 ② ；（将正确选项的序号填 写在横线上． ①|x|+2；②x3 -x；③2x2 -1． （2）某个奇代数式，当 x 取 2 时，代数式的值为 3 ，问：当 x 取 -2 时，代数式的值为多少？ 第 25页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 （3）对于整式 x5 -x3+x2+x+1 ，当 x 分别取 -4 ， -3 ， -2 ， -1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 时，这九个整式的值之 和是 69 ． 【分析】（1）根据题干中的新定义判断； （2）根据“奇代数式” ，的定义求解； （3）先把整式分解成一个“奇代数式”和一个“偶代数式” ，再分别求和． 【解答】解：（1）“偶代数式”的有①③ , “奇代数式”的有② , 故答案为：①③ , ②; （2） ∵代数式是“奇代数式“， ∴当 x 取 2 时，代数式的值为 3 ，当 x 取 -2 时，代数式的值为 -3； （3） ∵x5 -x3+x2+x+1 ＝（x5 -x3+x）+（x2+1）， ∵x5 -x3+x 是“奇代数式” ，x2+1 为“偶代数式”， ∴当 x 分别取 -4 ， -3 ， -2 ， -1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 时， ∵x5 -x3+x 的值的和为 0， x2+1 的值的和为：[(-4)2+1+(-3)2+1+(-2)2+1+(-1)2+1]×2+02+1 ＝69， 故答案为：69． 【点评】本题考查了整式的加减、求值及绝对值，理解新定义是解题的关键． 29 ．填空题：（请将结果直接写在横线上） 定义新运算“⊕” , 对于任意有理数 a ，b 有 （1）4（2⊕5）＝ 34 ． 若 A ＝x2+2xy+y2 ，B ＝ -2xy+y2 ，则 ． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，整理即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得 则原式 故答案为：34； （2） ∵A ＝x2+2xy+y2 ，B ＝ -2xy+y2， 则（A⊕B）+（B⊕A）＝2x2+4y2． 故答案为：2x2+4y2 【点评】此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 30 ．我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算： 第 26页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 a⊗ b ＝ ．定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题： 1⊗ 3 ＝1×4+3 ＝7； 3⊗ （ -1）＝3×4 -1 ＝11； （ -8）⊗ 5 ＝（ -8） ×4+5 ＝ -27； （ -4）⊗ （ -3）＝（ -4） ×4 -3 ＝ -19． （1）请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子： 5⊗ 6 ＝5×4+6 ＝26（答案不唯一）． ； （2）补全定义内容：a⊗ b ＝ 4a+b ． ；（用含 a 、b 的代数式表示） （3）当 a≠b 时，这种新定义的运算是否满足交换律，即 a⊗ b ＝b⊗ a 是否成立，请说明理由． 【分析】（1）根据题目中所给出的算式，找出规律即可得出答案； （2）根据（1）中的规律可得出答案； （3）根据（2）中补全的新运算定义可得出 a⊗ b ＝4a+b ，b⊗ a ＝4b+a ，然后再根据 a≠b 即可得出结论． 【解答】解：（1）5⊗ 6 ＝5×4+6 ＝26（答案不唯一）， 故答案为：5⊗ 6 ＝5×4+6 ＝26（答案不唯一）． （2）a⊗ b ＝4a+b； 故答案为：4a+b． （3）不成立，理由如下： ∵a⊗ b ＝4a+b ，b⊗ a ＝4b+a， ∵a≠b， ∴4a+b≠4b+a． ∴a⊗ b ＝b⊗ a 不成立． 【点评】此题主要考查了列代数式，有理数的运算，理解题意，熟练掌握题目中给出的新运算定义和有 理数的运算法则是解决问题的关键． 31．2022 年 12 月 4 日，神舟十四号载人飞船成功返回地球结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出 一个新定义：A ，B 是两个整式，如果 2A+3B ＝124 ，那么 A 叫做 B 的“神舟式”． （1）若 A ＝ -3x+5 ，B ＝ -5x -4 ，当 x ＝ -6 时，求 A ，B 的值，请你判断此时 A 是否为 B 的“神舟式”； （2）若 A ＝ -x2 -3x+5 ，A 是 B 的“神舟式” ，求整式 B； 若 是 B 的“神舟式” ，求 x 的值． 【分析】（1）将 x ＝ -6 ，代入代数式求值，根据神舟式的定义，进行判断即可； （2）利用神舟式的定义，列式计算即可； （3）根据神舟式的定义，列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）当 x ＝ -6 时：A ＝ -3x+5 ＝ -3×（ -6）+5 ＝23 ，B ＝ -5x -4 ＝ -5×（ -6） -4 ＝26； ∴2A+3B ＝2×23+3×26 ＝124， 第 27页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴A 是 B 的“神舟式”； （2） ∵A 是 B 的“神舟式” ， ∴2A+3B ＝2×23+3×26 ＝124， ∴3B ＝124 -2A， （3） ∵A 是 B 的“神舟式”， 整理得：35x+44 ＝744， 解得：x ＝20． 【点评】本题考查整式的加减运算，掌握一元一次方程的应用，理解“神舟式”的定义是解题的关键． 32 ．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： f（ -2）＝ -2 -1 ＝ -3， f（ -1）＝ -1 -1 ＝ -2， f（0）＝0 -1 ＝ -1， f（1）＝1 -1 ＝0， f（2）＝2 -1 ＝1， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如： …… 利用以上规律计算： 计算 【分析】（1）根据题中给出的例子进行计算即可； （2）先计算出f（ -2015）及 g 的值，再进行计算即可； （3）先计算出各式的值，再进行计算即可． 第 28页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 解 故答案为： -11 ， -10； （2）原式＝ -2015 -1+2016 ＝0． 故答案为：0； （3）原式＝x2 -1 -（xy -y2 -1）+xy -x2+2 -y2 =x2 -1 -xy+y2+1+xy -x2+2 -y2 =2． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 3 3 ．概念学习： 规定： 求若干个相同的有理数（均不等于 0 ） 的除法运算叫做 除方 ， 如 2 ÷ 2 ÷ 2 ， （ -3）÷（ -3）÷（ -3）÷（ -3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③ , 读作“2 的圈 3 次 方 ” ，（ -3 ） ÷ （ -3 ） ÷ （ -3 ） ÷ （ -3 ）记作（ -3 ） ④ , 读作 “ -3 的圈 4 次方 ” ， 一般地， 把 n个a （a≠0）记作 aⓝ , aⓝ读作“a 的圈 n 次方”． a÷a÷a÷…÷a ︸ 初步探究： （1）直接写出计算结果 （2）关于除方，下列说法错误的是 C ； A ．任何非零数的圈 2 次方都等于 1； B ．对于任何正整数 n ，当 n＞2 时，1 n ＝1； C．3④ =4③ ; D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数 的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：( )⑧ = 36 ； （4）算一算：3②+27÷（ -3）3+（ -8） ×2③ . 【分析】（1）根据题中对除方的定义即可解决问题． （2）对所给选项依次判断即可． （3）依据题中所给示范即可解决问题． 第 29页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 （4）根据除方的定义，进行计算即可． 【解答】解：（1）3③表示 3 个 3 相除， 即 表示 5 个相除， 故答案为： ， − 8． （2）a② =a÷a ＝1（a≠0）， 故 A 选项正确． 1n 表示 n 个 1 相乘， 所以 1n ＝1（n＞2 ，且 n 为正整数）． 故 B 选项正确． 因为 所以 3④≠4③ . 故 C 选项错误． 因为奇数个负数相除结果为负数， 偶数个负数相除结果为正数， 所以负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 故 D 选项正确． 故答案为：C． （3） 由题知， =36． 5⑥ = 5÷5÷5÷5÷5÷5 第 30页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 故答案为 （4）原式＝3÷3+27÷ [（ -3）÷（ -3）÷（ -3）]+（ -8） ×（2÷2÷2） = 1+27×（ -3）+（ -8） × = 1+（ -81）+（ -4） = -84． 【点评】本题考查有理数的混合运算及数字变化的规律，理解题中所给的除方的定义是解题的关键． 34 ．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的 n 倍，则∠α叫做∠β的 n 倍角． （1）若∠M＝10°21′ ，请直接写出∠M 的 4 倍角的度数； （2）如图 1 所示，若∠AOB = ∠BOC = ∠COD ，请直接写出图中∠COD 的 2 倍角； （3）如图 2 所示，若∠AOC 是∠AOB 的 3 倍角，∠COD 是∠AOB 的 4 倍角，且∠BOD ＝90° , 求∠BOC 的度数． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出∠AOC ＝2∠AOB ， ∠BOD ＝2∠AOB 即可； （3）设∠AOB = α , 则∠AOC ＝3α , ∠COD ＝4α , 得到∠BOD ＝6α , ∠BOC ＝2α；根据∠BOD ＝90° , 求得α = 15° , 于是结论可得． 【解答】解：（1） ∵ ∠M＝10°21′， ∴4∠M＝4×10°21′ ＝41°24′； （2） ∵ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD， ∴ ∠AOC ＝2∠COD ， ∠BOD ＝2∠COD； ∴图中∠COD 的所有 2 倍角有： ∠AOC， ∠BOD； （3） ∵∠AOC 是∠AOB 的 3 倍角， ∠COD 是∠AOB 的 4 倍角， 设∠AOB = α , 则∠AOC ＝3α , ∠COD ＝4α , ∴ ∠AOD = ∠AOC+∠COD ＝7α , ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB ＝2α , ∴ ∠BOD = ∠AOD - ∠AOB ＝6α , ∵ ∠BOD ＝90° , ∴6α =90° , 第 31页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴α = 15° , ∴ ∠BOC ＝2α =30° . 【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键． 35．新定义：如图① , 已知∠AOB，在∠AOB 内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若 这三个角中有一个角是另外一个角的 2 倍，则称射线 OC 为∠AOB 的“幸运线”．（本题中所研究的角都是 大于 0°而小于 180°的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线 是 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图① , ∠AOB ＝48° , 射线 OC 为∠AOB 的“幸运线” ，则∠AOC 的度数为 16°或 24°或 32° ; （直接写出答案） 【解决问题】 （3）如图② , 已知∠AOB ＝50° , 射线 OM．从 OA 出发，以每秒 10°的速度绕 O 点顺时针旋转，同时， 射线 ON 从 OB 出发，以每秒 15°的速度绕 O 点顺时针旋转，设运动的时间为 t 秒（0＜t＜5）．若 OM、 ON、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线” ，求运动的时间 t 的值． 【分析】（1）根据“幸运线”定义即可求解； （2）分 3 种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可； （3）分 4 种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可． 【解答】解：（1）设 OC 是∠AOB 的平分线， 则∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠BOC， ∴一个角的平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是； （2）①若∠BOC ＝2AOC， 设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝2x， 由题意得，x+2x ＝48° , 解得 x ＝16° , ②若∠AOB ＝2AOC， 设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝x， 第 32页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 由题意得，x+x ＝48° , 解得 x ＝24° , ③若∠AOC ＝2BOC， 设∠AOC ＝x ，则匕 由题意得 解得 x ＝32° , 故答案为：16°或 24°或 32° ; （3）当 0＜t＜5 时，射线 OB 在∠MON 内部，此时∠MON＝15t+50° -10t ＝50°+5t ， ∠BON＝15t， 当∠MON＝2∠BON 时，则匕匕MON，即 解得 t ＝2； 当∠MON＝2∠BOM 时，则 即 解得 t ＝2； 当∠BOM＝2∠BON 时，则 50 -10t ＝2×15t ，解得 当∠BON＝2∠BOM 时，则 15t ＝2（50 -10t），解得 故 t 的值是 2 或或 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，新定义类问题，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理 解“幸运线”的定义是解题的关键．也考查了钟面角，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 36 ．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原 来角的“新生线”． （1）如图 1 ， ∠MOP ＝2∠PON，射线 OP 是 ∠MON 的“新生线”（填“是”或“不是”）； （2）点 M、O 、N 在同一直线上， ①如图 2 ， ∠AON＝72° , 射线 OC 在∠AOM 的内部，并且是∠AOM 的“新生线” ，OD 平分∠COM，求 ∠AOD 的大小； ②如图 3 ，OA⊥MN， ∠AOB ＝40° , 射线 OC 从 OM 出发绕点 O 以每秒 6°的速度逆时针旋转，运动时间 为 t 秒，若在射线 OC 旋转的同时， ∠AOB 绕点 O 以每秒 2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线 OD 平分∠AOB ．当射线 OC 与射线 ON 重合时，运动都停止．当射线 OC 是∠MOD 的“新生线”时，直 接写出 t 的值为 ． 【分析】（1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； 第 33页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 （2） ①射线 OC 在∠AOM 的内部，并且是∠AOM 的“新生线” ，分类讨论，当匕匕AOM时，当 匕匕AOM，根据角平分线即可求解；②OC 到 ON 的时间范围为 30s ，当 OC 追上 OB 的时间为 t ＝ 12 . 5s ， 当 OC 追上 OA 的时间为 t ＝22 . 5s ，分类讨论 ， 当 0＜ t ＜ 12 . 5 ； 当 12 . 5 ＜t＜22 . 5 时 ； 当 22.5＜t＜30 时，结合图形分析即可求解． 【解答】解：（1） ∵ ∠MOP ＝2∠PON，设∠PON＝x ，则∠MOP ＝2x， ∴ ∠MON= ∠MOP+∠PON＝2x+x ＝3x， ∴∠PON 是∠MON 的 ∴OP 是∠MON的新生线， 故答案为：是． （2）①射线 OC 在∠AOM 的内部，并且是∠AOM的“新生线”， 当匕匕AOM时，如图所示， ∵点 M、O 、N 在同一直线上， ∠AON＝72° , ∴ ∠AOM＝180° - ∠AON＝180 -72° = 108° , ∵匕匕AOM， ∴ ∠COM= ∠AOM - ∠AOC ＝108° -36° =72， ∵OD 平分∠COM， ∴ ∠AOD = ∠AOC+∠COD ＝36°+36° =72° ; 当匕匕AOM时，如图所示， 同理， ∠AOM＝180° - ∠AON＝180 -72° = 108° , 则∠AOC ＝108° -36° =72° , ∵OD 平分∠COM， ∴ ∠AOD = ∠AOC+∠COD ＝72°+18° =90° ; 综上所述， ∠AOD 的大小为 72°或 90° ; ②射线 OC 从 OM 出发绕点 O 以每秒 6°的速度逆时针旋转，∠AOB 绕点 O 以每秒 2°的速度逆时针旋转， ∴OC 到 ON 的时间范围为：180°÷6° =30（s）， 第 34页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 “OA丄MN， ∠AOB ＝40° , : ∠BOM＝90° -40° =50° , :当 OC 追上 OB 的时间为，50°+2°t ＝6°t ，即 t ＝12.5（s）， 当 OC 追上 OA 的时间为，90°+2°t ＝6°t ，即 t ＝22.5（s）， 第一种情况，当 OC 在 OB 的右边，即 0＜t＜12.5 ，如图所示， 当 OC 是∠MOD 的“新生线”是，即匕 匕MOD， 则∠COM＝6°t ， ∠MOA ＝90°+2°t， ∠BOM＝90° -40°+2°t -6°t ＝50° -4°t “OD 平分∠AOB ， ∠AOB ＝40° , “ ∠MOD = ∠AOM - ∠AOD ＝90°+2°t -20° =70°+2°t ，且匕 匕MOD， :6°t ＝70°+2°t ，解得 当匕 匕MOD时， ∠COD = ∠BOD+∠BOC = ∠BOD+∠BOM - ∠COM， :20°+50°+2°t -6°t ＝70° -4°t， 解得，t ＝10 第二种情况，当 OC 在 OA 的左侧，即 22.5＜t＜30 ，如图所示， 当匕 匕MOD时， “ ∠MOD = ∠BOM+∠BOD =（90° -40°) +2°t+20° =70°+2°t， ∠COD = ∠COM - ∠MOD =6°t -（70°+2°t） =4°t -70° , 解得，t ＝28 第三种情况，当 OC 在∠AOB 内部，且在 OD 左侧，即 12.5＜t＜22.5 ，如图所示， 当匕 匕MOD时， “ ∠MOD = ∠BOM+∠BOD ＝（90° -40°) +2°t+20° =70°+2°t， 第 35页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 ∠COD = ∠COM - ∠MOD ＝6°t -（70°+2°t ）＝4°t -70° , 解得，t ＝28（s），与 12.5＜t＜22.5 不符，舍去； 第四种情况，当 OC 在∠AOB 内部，且在 OD 右侧，如图所示， 当匕 匕MOD时， ∵ ∠COD = ∠MOD - ∠COM = ∠BOM+∠BOD - ∠COM =50°+2°t+20°+6°t =70° -4°t， ∠MOD = ∠BOM+∠BOD ＝50°+2°t+20° =70°+2°t， 解得，t ＝10（s），与 12.5＜t＜22.5 不符，舍去； 当匕 匕MOD时 解得， 与 12.5＜t＜22.5 不符，舍去； 综上所述，当射线 OC 是∠MOD 的“新生线”时，t 的值为或 10s 或 28s， 故答案为：t 的值为或 10s 或 28s． 【点评】本题主要考查线段的位置与角的数量关系，理解“新生新”的定义，线段运动的规律，图形结合 分析角的和、差、倍、分的数量关系是解题的关键． 第 36页（共 36页） 学科网（北京）股份有限公司 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