【数学帮】七年级上册数学：直线、射线、线段专题训练

七上数学：直线、射线、线段专题训练 一．选择题（共 12 小题） 1 ．下列语句中正确的是 ( ) A ．画直线 AB ＝6cm B ．延长射线 OA 到 B C ．画射线 OB ＝3 厘米 D ．延长线段 AB 到 C，使得 BC ＝AB 2 ．观察图形，下列说法正确的个数是 ( ) （1）直线 BA 和直线 AB 是同一条直线 （2）射线 AC 和射线 AD 是同一条射线 （3）AB+BD＞AD （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 3 ．如果线段 AB ＝13 厘米，MA+MB ＝17 厘米，那么下面说法正确的是 ( ) A ．M 点在线段 AB 上 B ．M 点在直线 AB 上 C ．M 点在直线 AB 外 D ．M 点可能在直线 AB 上，也可能在直线 AB 外 4 ．已知点 C 在线段 AB 上，下列各式中： ①AC = ②AC ＝CB； ③AB ＝2AC； ④AC+CB ＝AB ，能说明点 C 是线段 AB 中点的有 ( ) A ． ① B ． ①② C ． ①②③ D ． ①②③④ 5 ．如图，C 为线段 AD 上一点，点 B 为 CD 的中点，且 AD ＝9 ，BD ＝2 ．若点 E 在直线 AD 上，且 EA ＝1， 则 BE 的长为 ( ) A ．4 B ．6 或 8 C ．6 D ．8 第 1页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 6 ．如图，C、D 是线段 AB 上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为 29 ，则线段 AB 的长度 是 ( ) A ．8 B ．9 C ．8 或 9 D ．无法确定 7 ．如图，将一根绳子对折以后用线段 AB 表示，现从 P 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为 60cm ，若 AP ＝ 则这条绳子的原长为 ( ) A ．100cm B ．150cm C ．100cm 或 150cm D ．120cm 或 150cm 8 ．已知：线段 AB ，点 P 是直线 AB 上一点，直线上共有 3 条线段：AB，PA 和 PB ．若其中有一条线段的长 度是另一条线段长度的两倍，则称点 P 是线段 AB 的“巧分点 ”，线段 AB 的“巧分点 ”的个数是 ( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 9 ．如图，线段 AF 中，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d，EF＝e ．则以A ，B ，C，D ，E ，F 为端点的所有 线段长度的和为 ( ) A ．5a+8b+9c+8d+5e B ．5a+8b+10c+8d+5e C ．5a+9b+9c+9d+5e D ．10a+16b+18c+16d+10e 10 ．如图，一条街道旁有 A，B ，C，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数 量如下表： 楼号 A B C D E 大桶水数/桶 38 55 50 72 85 他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程 之和最小，可以选择的地点应在 ( ) A ．B 楼 B ．C 楼 C ．D 楼 D ．E 楼 11．如图，点 G 是 AB 的中点，点 M 是 AC 的中点，点 N 是 BC 的中点，则下列式子不成立的是 ( ) A ．MN＝GB B ． C ． D． 第 2页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 12 ．如图，点 A 、B 、C 在同一直线上，H 为 AC 的中点，M 为 AB 的中点，N 为 BC 的中点，则下列说法： ①MN＝HC； ②MH＝（AH - HB）； ③MN＝（AC+HB）； ④HN＝（HC+HB），其中正确的是 ( ) A ． ①② B ． ①②④ C ． ②③④ D ． ①②③④ 二．填空题（共 4 小题） 13 ． 观察 下列 图形 ， 并 阅读 图形下面 的相关文字： 像这样 ， 十条直线相交 ， 最 多有 个交 点． 14 ．如图，B 、D 在线段 AC 上，BD ＝CD ，线段 AB 、CD 的中点 E 、F 之间距离是 10cm ，则 AB = cm． 15 ．如图，有公共端点 P 的两条线段 MP ，NP 组成一条折线 M - P - N，若该折线 M - P - N 上一点 Q 把这 条折线分成相等的两部分，我们把这个点 Q 叫做这条折线的“折中点 ”．已知点 D 是折线A - C - B 的“折 中点 ”，点 E 为线段 AC 的中点，CD ＝3 ，CE ＝5 ，则线段 BC 的长为 ． 16．已知线段 AB，点 C、点 D 在直线 AB 上，并且 CD ＝8，AC：CB ＝1：2，BD：AB ＝2：3，则 AB = . 三．解答题（共 4 小题） 17．如图（1），线段上有 3 个点时，线段共有 3 条；如图（2）线段上有 4 个点时，线段共有 6 条；如图（3） 线段上有 5 个点时，线段共有 10 条． （1）当线段上有 6 个点时，线段共有 条； （2）当线段上有 n 个点时，线段共有 条；（用 n 的代数式表示） 第 3页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 （3）当 n ＝100 时，线段共有 条． 18 ．如图，P 是线段 AB 上任一点，AB ＝12cm ，C、D 两点分别从 P 、B 同时向 A 点运动，且 C 点的运动速 度为 2cm/s ，D 点的运动速度为 3cm/s ，运动的时间为 ts． （1）若 AP ＝8cm， ①运动 1s 后，求 CD 的长； ②当 D 在线段 PB 上运动时，试说明 AC ＝2CD； （2）如果 t ＝2s 时，CD ＝1cm ，试探索 AP 的值． 19 ．【新知理解】 如图① , 点 C 在线段 AB 上，图中共有三条线段 AB 、AC 和 BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条 线段长度的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点 ”． （1）线段的中点 这条线段的“巧点 ”（填“是 ”或“不是 ”）； （2）若 AB ＝12cm ，点 C 是线段 AB 的巧点，则 AC ＝ cm； 【解决问题】 （3）如图② , 已知 AB ＝12cm ．动点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动：点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动，点 P、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止， 设移动的时间为 t（s）．当 t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？ 说明理由 第 4页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 20 ．如图，P 是定长线段 AB 上一点，C、D 两点分别从 P、B 出发以 1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线 AB 向左运 动（C 在线段 AP 上，D 在线段 BP 上） （1）若 C、D 运动到任一时刻时，总有 PD ＝2AC，请说明 P 点在线段 AB 上的位置； 市市 （2）在（1）的条件下，Q 是直线 AB 上一点，且 AQ - BQ ＝PQ ，求的值． （3）在（1）的条件下，若 C、D 运动 5 秒后，恰好有 ，此时 C 点停止运动，D 点继续运动（D 点在线段 PB 上），M、N 分别是 CD 、PD 的中点，下列结论： ①PM - PN 的值不变； ②的值不变， 可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 第 5页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 七上数学：直线、射线、线段专题训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1 ．下列语句中正确的是 ( ) A ．画直线 AB ＝6cm B ．延长射线 OA 到 B C ．画射线 OB ＝3 厘米 D ．延长线段 AB 到 C，使得 BC ＝AB 【分析】根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解： ∵直线无法测量，故选项 A 错误； 射线 OA 本身是以点 O 为端点，向着 OA 方向延伸，故选项 B 错误； 射线无法测量，故选项 C 错误； 延长线断 AB 到 C，使得 BC ＝AB 是正确的，故选项 D 正确． 故选：D． 【点评】本题考查作图 - 尺规作图的定义，解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪 些不可以测量． 2 ．观察图形，下列说法正确的个数是 ( ) （1）直线 BA 和直线 AB 是同一条直线 （2）射线 AC 和射线 AD 是同一条射线 （3）AB+BD＞AD （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【分析】结合图形，区别各概念之间的联系． 【解答】解：（1）直线 BA 和直线 AB 是同一条直线，直线没有端点，此说法正确； （2）射线 AC 和射线 AD 是同一条射线，都是以A 为端点，同一方向的射线，正确； 第 6页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 （3）AB+BD＞AD ，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有 1 个交点的情况． 所以共有 3 个正确． 故选：C． 【点评】在图形中，找出正确的说法，一定要注意对几何问题各种情况的讨论． 3 ．如果线段 AB ＝13 厘米，MA+MB ＝17 厘米，那么下面说法正确的是 ( ) A ．M 点在线段 AB 上 B ．M 点在直线 AB 上 C ．M 点在直线 AB 外 D ．M 点可能在直线 AB 上，也可能在直线 AB 外 【分析】解决此题，要注意对多种可能情况的讨论． 【解答】解：（1）当 M 点在直线外时，M，A ，B 构成三角形，两边之和大于第三边，能出现 MA+MB = 17； （2）当 M 点在线段 AB 延长线上，也可能出现 MA+MB ＝17． 故选：D． 【点评】注意对各个情况的分类，讨论可能出现的情况． 4 ．已知点 C 在线段 AB 上，下列各式中： ①AC = ②AC ＝CB； ③AB ＝2AC； ④AC+CB ＝AB ，能说明点 C 是线段 AB 中点的有 ( ) A ． ① B ． ①② C ． ①②③ D ． ①②③④ 【分析】如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，依据线段中点 的概念进行判断即可． 【解答】解： ∵点 C 在线段 AB 上， ∴当①AC ＝ 或②AC ＝CB 或③AB ＝2AC 时，点 C 是线段 AB 中点； 当④AC+CB ＝AB 时，点 C 不一定是线段 AB 中点； 故选：C． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做 这条线段的中点． 5 ．如图，C 为线段 AD 上一点，点 B 为 CD 的中点，且 AD ＝9 ，BD ＝2 ．若点 E 在直线 AD 上，且 EA ＝1， 则 BE 的长为 ( ) 第 7页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 A ．4 B ．6 或 8 C ．6 D ．8 【分析】 由于 E 在直线 AD 上位置不明定，可分 E 在线段 DA 的延长线和线段 AD 上两种情况求解． 【解答】解：若 E 在线段 DA 的延长线，如图 1， ∵EA ＝1 ，AD ＝9， ∴ED ＝EA+AD ＝1+9 ＝10， ∵BD ＝2， ∴BE ＝ED - BD ＝10 - 2 ＝8， 若 E 线段 AD 上，如图 2， EA ＝1 ，AD ＝9， ∴ED ＝AD - EA ＝9 - 1 ＝8， ∵BD ＝2， ∴BE ＝ED - BD ＝8 - 2 ＝6 ， 综上所述，BE 的长为 8 或 6． 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的中点、线段的和差计算，对题目进行分类讨论是解题的关键． 6 ．如图，C、D 是线段 AB 上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为 29 ，则线段 AB 的长度 是 ( ) A ．8 B ．9 C ．8 或 9 D ．无法确定 【分析】将所有线段加起来可得 3AB+CD ＝29 ，从而根据题意可判断出AB 的取值． 【解答】解：根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB ＝29， 即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）＝29， 3AB+CD ＝29， ∵图中所有线段的长度都是正整数， 第 8页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴当 CD ＝1 时，AB 不是整数， 当 CD ＝2 时，AB ＝9， 当 CD ＝3 时，AB 不是整数， 当 CD ＝4 时，AB 不是整数， 当 CD ＝5 时，AB ＝8， … 当 CD ＝8 时，AB ＝7， 又∵AB＞CD， ∴AB 只有为 9 或 8． 故选：C． 【点评】本题考查求解线段长度的知识，有一定难度，注意列出表达式根据题意及实际意义判断 AB 的 取值． 7 ．如图，将一根绳子对折以后用线段 AB 表示，现从 P 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为 60cm ，若 AP ＝ 则这条绳子的原长为 ( ) A ．100cm B ．150cm C ．100cm 或 150cm D ．120cm 或 150cm 【分析】根据绳子对折以后用线段 AB 表示，可得绳长是 AB 的 2 倍，分类讨论，PB 的 2 倍最长，可得 PB ，AP 的 2 倍最长，可得 AP 的长，再根据线段间的比例关系，可得答案． 【解答】解：当 PB 的 2 倍最长时，得 PB ＝30cm， AB ＝AP+PB ＝50cm， 这条绳子的原长为 2AB ＝100cm； 当 AP 的 2 倍最长时，得 AP ＝30cm ，AP = AB ＝AP+PB ＝75cm， 第 9页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 这条绳子的原长为 2AB ＝150cm． 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键． 8 ．已知：线段 AB ，点 P 是直线 AB 上一点，直线上共有 3 条线段：AB，PA 和 PB ．若其中有一条线段的长 度是另一条线段长度的两倍，则称点 P 是线段 AB 的“巧分点 ”，线段 AB 的“巧分点 ”的个数是 ( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 【分析】根据“巧点 ”的定义即可求解． 【解答】解：线段 AB 的 3 个等分点都是线段 AB 的“巧分点 ”．同理，在线段 AB 延长线和反向延长线 也分别有 3 个“巧分点 ”． ∴线段 AB 的“巧分点 ”的个数是 9 个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了线段的定义，正确理解题意是解答本题的关键． 9 ．如图，线段 AF 中，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d，EF＝e ．则以A ，B ，C，D ，E ，F 为端点的所有 线段长度的和为 ( ) A ．5a+8b+9c+8d+5e B ．5a+8b+10c+8d+5e C ．5a+9b+9c+9d+5e D ．10a+16b+18c+16d+10e 【分析】首先求出以A 为端点线段的长度，类比依次求出 B 、C、D 、E 为端点的线段的长度，然后求出 这些线段的长度总和． 【解答】解： 以 A 为端点线段有 AB 、AC、AD 、AE 、AF，这些线段长度之和为 5a+4b+3c+2d+e， 以 B 为端点线段有 BC、BD 、BE、BF，这些线段长度之和为 4b+3c+2d+e， 以 C 为端点线段有 CD 、CE 、CF，这些线段长度之和为 3c+2d+e， 以 D 为端点线段有 DE 、DF，这些线段长度之和为 2d+e， 以 E 为端点线段有 EF，线段的长度为 e， 故这些线段的长度之和为 5a+8b+9c+8d+5e， 故选：A． 【点评】本题主要考查比较线段的长短的知识点，解答本题的关键是求出 A ，B ，C，D ，E ，F 为端点的 所有线段的条数，本题不是很难． 10 ．如图，一条街道旁有 A，B ，C，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数 第 10页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 量如下表： 楼号 A B C D E 大桶水数/桶 38 55 50 72 85 他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程 之和最小，可以选择的地点应在 ( ) A ．B 楼 B ．C 楼 C ．D 楼 D ．E 楼 【分析】此题为数学知识的应用， 由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取水所走路程之间的 里程，即需应用两点间线段最短定理来求解． 【解答】解：设 AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d．每户居民每次取一桶水． 以 点 A 为 取 水 点 ， 则 五 幢 楼 内 的 居 民 取 水 所 走 路 程 之 和 ＝ 55AB+50AC+72AD+85AE = 262a+207b+157c+85d， 以 点 B 为 取 水 点 ， 则 五 幢 楼 内 的 居 民 取 水 所 走 路 程 之 和 ＝ 38AB+50BC+72BD+85BE = 38a+207b+157c+85d， 以点 C 为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AC+55BC+72CD+85CE ＝38a+93b+157c+85d， 以 点 D 为 取 水 点 ， 则 五 幢 楼 内 的 居 民 取 水 所 走 路 程 之 和 ＝ 38AD+55BD+50CD+85DE = 38a+93b+143c+85d， 以 点 E 为 取 水 点 ， 则 五 幢 楼 内 的 居 民 取 水 所 走 路 程 之 和 ＝ 38AE+55BE+50CE+72DE = 38a+93b+143c+215d， 以点 D 为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小． 故选：C． 【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短． 11．如图，点 G 是 AB 的中点，点 M 是 AC 的中点，点 N 是 BC 的中点，则下列式子不成立的是 ( ) A ．MN＝GB B ． C ． D ． 【分析】 由中点的定义综合讨论，一一验证得出结论． 【解答】解：A 、 ∵点 G 是 AB 的中点，点 M 是 AC 的中点，点 N 是 BC 的中点， 第 11页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴MN＝GB ，故 A 选项不符合题意； B 、 ∵点 G 是 AB 的中点， ∴AG ＝BG， ∴AG - GC ＝BG - GC ＝BC， ∵NC = ∴NC ＝（AG - GC），故 B 选项不符合题意； C、 ∵BG+GC ＝BN+NC+CG+GC ＝2CN+2CG ＝2GN， ∴GN＝选项不符合题意； D 、 ∵MN＝AB ，AB ＝AC+CB， ∵题中没有信息说明 GC ＝BC， ∴MN＝（AC+GC）不一定成立，故 D 选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了线段的数量关系和线段中点的定义，要求学生灵活掌握线段之间的计算和应用 整体思想解题． 12 ．如图，点 A 、B 、C 在同一直线上，H 为 AC 的中点，M 为 AB 的中点，N 为 BC 的中点，则下列说法： ①MN＝HC； ②MH= ; ③MN= ; ④HN＝ 其中正确的是 ( ) A ． ①② B ． ①②④ C ． ②③④ D ． ①②③④ 【分析】根据线段中点的性质、结合图形计算即可判断． 【解答】解： ∵H 为 AC 的中点，M 为 AB 的中点，N 为 BC 的中点， 第 12页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴MN＝HC， ①正确； =MB - HB ＝MH， ②正确； AC， ③错误； =BN+HB ＝HN， ④正确， 故选：B． 【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解 题的关键． 二．填空题（共 4 小题） 13 ． 观察 下 列 图 形 ， 并 阅读 图 形 下面 的相 关文字： 像这样 ， 十 条直 线相 交 ， 最 多有 45 个 交 点． 【分析】要使的交点最多，必须交点不重合； 由此可知：设原有 n 条直线，最多有 m 个交点，此时增加 一条直线，交点个数最多增加 n 个．故可猜想，n 条直线相交，最多有 1+2+3+…+（n - 1）= 个交点． 【解答】解：将 n ＝10 代入得：m ＝45． 【点评】本题考查直线的相交情况，要细心，查找是要不重不漏；同时要借助规律，细心分析． 14 ．如图，B 、D 在线段 AC 上，BD ＝CD ，线段 AB 、CD 的中点 E 、F 之间距离是 10cm ，则 AB = 12 cm． 【分析】先设 BD ＝xcm ，由题意得 AB ＝3xcm ，CD ＝4xcm，AC ＝6xcm ，再根据中点的定义，用含 x 的式 子表示出 AE 和 CF，再根据 EF＝AC - AE - CF＝2.5x ，且 E、F 之间距离是 10cm ，所以 2.5x ＝10 ，解方 程求得 x 的值，即可求 AB ，CD 的长． 【解答】解：设 BD ＝xcm ，则 AB ＝3xcm ，CD ＝4xcm ，AC ＝6xcm． ∵点 E 、点 F 分别为 AB 、CD 的中点， ∴AE ＝AB ＝1.5xcm ，CF＝CD ＝2xcm． 第 13页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴EF＝AC - AE - CF＝2.5xcm ． ∵EF＝10cm ， ∴2.5x ＝10 ，解得：x ＝4． ∴AB ＝12cm． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想． 15 ．如图，有公共端点 P 的两条线段 MP ，NP 组成一条折线 M - P - N，若该折线 M - P - N 上一点 Q 把这 条折线分成相等的两部分，我们把这个点 Q 叫做这条折线的“折中点 ”．已知点 D 是折线A - C - B 的“折 中点 ”，点 E 为线段 AC 的中点，CD ＝3 ，CE ＝5 ，则线段 BC 的长为 4 或 16 ． 【分析】根据题意分两种情况画图解答即可． 【解答】解： ①如图， CD ＝3 ，CE ＝5， ∵点 D 是折线 A - C - B 的“折中点 ”， ∴AD ＝DC+CB ∵点 E 为线段 AC 的中点， ∴AC ＝10 ∴AD ＝AC - DC ＝7 ∴DC+CB ＝7 ∴BC ＝4； ②如图， CD ＝3 ，CE ＝5， 第 14页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵点 D 是折线 A - C - B 的“折中点 ”， ∴BD ＝DC+CA ∵点 E 为线段 AC 的中点， ∴AC ＝10 ∴AC+DC ＝13 ∴BD ＝13 ∴BC ＝BD+DC ＝16． 综上所述，BC 的长为 4 或 16． 故答案为 4 或 16． 【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答． 16 ．已知线段 AB ，点 C、点 D 在直线 AB 上，并且 CD ＝8 ，AC：CB ＝1 ：2 ，BD：AB ＝2 ：3 ，则 AB ＝ 6 或 3 ． 【分析】要分三种情况进行讨论： ①当 C 在线段 AB 上时，点 D 在线段 AB 的延长线上； ②当点 C 在 线段 AB 的反向延长线时，点 D 在 AB 上时； ③当点 C 在线段 AB 的反向延长线，点 D 在线段 AB 的延 长线时． 【解答】解：分三种情况进行讨论： ①当 C 在线段 AB 上时，点 D 在线段 AB 的延长线上， ∵AC：CB ＝1 ：2， ∴BC = ∵BD：AB ＝2 ：3， ∴BD = ∴AB ＝6； ②当点 C 在线段 AB 的反向延长线时， ∵BD：AB ＝2 ：3， 第 15页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴AB ＝3AD， ∵AC：CB ＝1 ：2， ∴AC ＝AB， ∴CD ＝AC+AD ＝4AD ＝8， ∴AD ＝2， ∴AB ＝6； ③当点 C 在线段 AB 的反向延长线，点 D 在线段 AB 的延长线时， ∵AC：CB ＝1 ：2 ，BD：AB ＝2 ：3， ∴AB = , 故 AB ＝6 或 3． 故答案为：6 或 3． 【点评】本题主要考查线段的和差，注意分类讨论． 三．解答题（共 4 小题） 17．如图（1），线段上有 3 个点时，线段共有 3 条；如图（2）线段上有 4 个点时，线段共有 6 条；如图（3） 线段上有 5 个点时，线段共有 10 条． （1）当线段上有 6 个点时，线段共有 15 条； （2）当线段上有 n 个点时，线段共有 条；（用 n 的代数式表示） （3）当 n ＝100 时，线段共有 4950 条． 【分析】根据每一个点与另外的一个点有一条线段，n 个点中每一个点可组成（n - 1）条线段，n 个点可 组成 ，可得答案． 【解答】解：（1）当线段上有 6 个点时，线段共有 ＝15 条； （2）当线段上有 n 个点时，线段共有 条； （3）当 n ＝100 时，线段共有 ＝4950 条； 故答案为：15 ， ，4950． 第 16页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，根据规律是解题关键． 18 ．如图，P 是线段 AB 上任一点，AB ＝12cm ，C、D 两点分别从 P 、B 同时向 A 点运动，且 C 点的运动速 度为 2cm/s ，D 点的运动速度为 3cm/s ，运动的时间为 ts． （1）若 AP ＝8cm， ①运动 1s 后，求 CD 的长； ②当 D 在线段 PB 上运动时，试说明 AC ＝2CD； （2）如果 t ＝2s 时，CD ＝1cm ，试探索 AP 的值． 【分析】（1）①先求出 PB 、CP 与 DB 的长度，然后利用 CD ＝CP+PB - DB 即可求出答案．②用 t 表示 出 AC、DP 、CD 的长度即可求证 AC ＝2CD； （2）当 t ＝2 时，求出 CP、DB 的长度，由于没有说明 D 点在 C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【解答】解：（1） ①由题意可知：CP ＝2×1 ＝2cm ，DB ＝3 × 1 ＝3cm ∵AP ＝8cm ，AB ＝12cm ∴PB ＝AB - AP ＝4cm ∴CD ＝CP+PB - DB ＝2+4 - 3 ＝3cm ②∵AP ＝8 ，AB ＝12， ∴BP ＝4 ，AC ＝8 - 2t， ∴DP ＝4 - 3t， ∴CD ＝DP+CP ＝2t+4 - 3t ＝4 - t， ∴AC ＝2CD； （2）当 t ＝2 时， CP ＝2×2 ＝4cm ，DB ＝3×2 ＝6cm， 当点 D 在 C 的右边时，如图所示： 由于 CD ＝1cm， ∴CB ＝CD+DB ＝7cm ， ∴AC ＝AB - CB ＝5cm， ∴AP ＝AC+CP ＝9cm， 当点 D 在 C 的左边时，如图所示： ∴AD ＝AB - DB ＝6cm， 第 17页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴AP ＝AD+CD+CP ＝11cm 综上所述，AP ＝9cm 或 11cm 【点评】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型． 19 ．【新知理解】 如图① , 点 C 在线段 AB 上，图中共有三条线段 AB 、AC 和 BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条 线段长度的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点 ”． （1）线段的中点 是 这条线段的“巧点 ”（填“是 ”或“不是 ”）； （2）若 AB ＝12cm ，点 C 是线段 AB 的巧点，则 AC ＝ 4 或 6 或 8 cm； 【解决问题】 （3）如图② , 已知 AB ＝12cm ．动点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动：点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动，点 P、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止， 设移动的时间为 t（s）．当 t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？ 说明理由 【分析】（1）根据“巧点 ”的定义即可求解； （2）分点 C 在中点的左边，点 C 在中点，点 C 在中点的右边，进行讨论求解即可； （3）分①由题意可知 A 不可能为 P 、Q 两点的巧点，此情况排除；②当 P 为 A 、Q 的巧点时；③当 Q 为 A 、P 的巧点时；进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）如图，当 C 是线段 AB 的中点，则 AB ＝2AC， ——— ∴线段的中点是这条线段的“巧点 ”． 故答案为：是； （2） ∵AB ＝12cm ，点 C 是线段 AB 的巧点， ∴AC ＝12× =4cm 或 AC ＝12× =6cm 或 AC ＝12× = 8cm； 第 18页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：4 或 6 或 8； （3）t 秒后，AP ＝2t ，AQ ＝12 - t（0≤t ≤6） ①由题意可知A 不可能为 P 、Q 两点的巧点，此情况排除． 第 19页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ②当 P 为 A 、Q 的巧点时， Ⅰ. 即 Ⅱ. 即 Ⅲ. 即 ③当 Q 为 A 、P 的巧点时， Ⅰ. 即 Ⅱ. 即 Ⅲ. 即 , 解得 , 解得 , 解得 t ＝3s； , 解得 , 解得 t ＝6s； , 解得 【点评】考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的 条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 20 ．如图，P 是定长线段 AB 上一点，C、D 两点分别从 P、B 出发以 1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线 AB 向左运 动（C 在线段 AP 上，D 在线段 BP 上） （1）若 C、D 运动到任一时刻时，总有 PD ＝2AC，请说明 P 点在线段 AB 上的位置； 市市 （2）在（1）的条件下，Q 是直线 AB 上一点，且 AQ - BQ ＝PQ ，求的值． （3）在（1）的条件下，若 C、D 运动 5 秒后，恰好有 ，此时 C 点停止运动，D 点继续运动（D 点在线段 PB 上），M、N 分别是 CD 、PD 的中点，下列结论： ①PM - PN 的值不变； ②的值不变， 可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【分析】（1）根据 C、D 的运动速度知 BD ＝2PC，再由已知条件 PD ＝2AC 求得 PB ＝2AP ，所以点 P 在 线段 AB 上距离 A 的处； （2） 由题设画出图示，根据 AQ - BQ ＝PQ 求得 AQ ＝PQ+BQ；然后求得 AP ＝BQ ，从而求得 PQ 与AB 的关系； （3）当点 C 停止运动时，有 ，从而求得 CM 与AB 的数量关系；然后求得以 AB 表示的 PM 与 PN 的值，所以． 【解答】解：（1）根据 C、D 的运动速度知：BD ＝2PC ∵PD ＝2AC， ∴BD+PD ＝2（PC+AC），即 PB ＝2AP， ∴点 P 在线段 AB 上的处； （2）如图： ∵AQ - BQ ＝PQ， ∴AQ ＝PQ+BQ； 又 AQ ＝AP+PQ ， ∴AP ＝BQ， ∴ , ∴ . 当点 Q'在 AB 的延长线上时 AQ' - AP ＝PQ' 所以 AQ' - BQ' ＝PQ ＝AB 所以 ＝1； （3） ② . 理由：当 CD ＝ 时，点 C 停止运动，此时 CP ＝5 ，AB ＝30 ①如图，当 M，N 在点 P 的同侧时 第 20页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 ②如图，当 M，N 在点 P 的异侧时 ∴ = = ( . )当点 C 停止运动，D 点继续运动时，MN 的值不变，所以， = 【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的 情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化 线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 第 21页（共 21页） 学科网（北京）股份有限公司 $$