【数学帮】七年级上册角度的计算专题训练

七上数学：角度的计算专题训练 一．选择题（共 10 小题） 1 ．下列说法正确的个数是 ( ) （1）连接两点之间的线段叫两点间的距离； （2）两点之间，线段最短； （3）若 AB ＝2CB ，则点 C 是 AB 的中点； （4）角的大小与角的两边的长短有关． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 2 ．利用一副三角尺不能画出的角的度数是 ( ) A ．55 ° B ．75 ° C ．105 ° D ．135 ° 3．某人在点A 处看点 B 在北偏东 40 ° 的方向上，看点 C 在北偏西 35 ° 的方向上，则∠BAC 的度数为( ) A ．65 ° B ．75 ° C ．40 ° D ．35 ° 4 ．下列各数中，正确的角度互化是 ( ) A ．63.5 ° =63 °50 ′ B ．23 ° 12 ′36 ″ ＝23.48 ° C ．18 ° 18 ′ 18 ″ ＝18.33 ° D ．22.25 ° =22 ° 15 ′ 5 ．已知锐角α , 钝角β , 赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，分别为 68.5 ° , 22 ° , 51.5 ° , 72 ° , 其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是 ( ) A ．68.5 ° B ．22 ° C ．51.5 ° D ．72 ° 6 ．如图， ∠AOB ＝90 ° , ∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC ＝40 ° , 射线 OM 平分∠BOC，ON 平 分∠AOC，则∠MON的度数为 ( ) A ．45 ° B ．65 ° C ．50 ° D ．25 ° 第 1页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 7 ．已知∠AOB ＝20 ° , ∠AOC ＝4∠AOB ，OD 平分∠AOB ，OM 平分∠AOC，则∠MOD 的度数是 ( ) A ．20 °或 50 ° B ．20 °或 60 ° C ．30 °或 50 ° D ．30 °或 60 ° 8 ．如图，将两块三角尺 AOB 与 COD 的直角顶点 O 重合在一起，若∠AOD ＝4∠BOC，OE 为∠BOC 的平 分线，则∠DOE 的度数为 ( ) A ．36 ° B ．45 ° C ．60 ° D ．72 ° 9 ．如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠后，点 C 落在点 E 处，连接 BE 交 AD 于 F，再将三 角形 DEF 沿 DF 折叠后，点 E 落在点 G 处，若 DG 刚好平分∠ADB ，那么∠ADB 的度数是 ( ) A ．18 ° B ．20 ° C ．36 ° D ．45 ° 10 ．OB 是∠AOC 内部一条射线，OM 是∠AOB 平分线，ON 是∠AOC 平分线，OP 是∠NOA 平分线，OQ 是∠MOA 平分线，则∠POQ： ∠BOC = ( ) A ． 1 ：2 B ． 1 ：3 C ．2 ：5 D ． 1 ：4 第 2页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 二．填空题（共 4 小题） 11．计算： ①1.5 ° = ′ = ″ ; ②450 ″ = ′ = ° ; ③90 ° - 54 °48 ′6 ″ = . 12 ． 如 图 ， ∠ BOC ＝2 ∠AOC ， OD 平分∠AOB ， OE 平分∠AOC ， 则 ∠DOE 与 ∠AOB 的数量关系 为： ． 13 ．如图 1 ，射线 OC 在∠AOB 的内部，图中共有 3 个角： ∠AOB ， ∠AOC 和∠BOC ，若其中有一个角的 度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC 是∠AOB 的“巧分线 ”，如图 2 ，若∠MPN= α , 且射线 PQ 是∠MPN的“巧分线 ”，则∠MPQ ＝ （用含α 的式子表示）． 14 ．如图① , 在长方形 ABCD 中，E 点在 AD 上，并且∠ABE ＝28 ° , 分别以 BE 、CE 为折痕进行折叠并 压平，如图② , 若图②中∠AED ＝n ° , 则∠DEC 的度数为 度． 第 3页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 三．解答题（共 4 小题） 15 ．某学习小组在学习线段中点和角平分线的概念时，发现它们有相同之处． （1）如图 1 ，已知AB ＝10 ，点 C 为线段 AB 上的一个动点，点 D 、E 分别是 AC、BC 的中点． ①若点 C 恰为 AB 的中点，则 DE = ; ②当点 C 的位置发生变化时，DE 的长度是否发生变化？请说明理由． （2）如图 2 ，已知射线 OC 在∠AOB 的内部，若 OD 、OE 分别是∠AOC、 ∠BOC 的平分线．试探究∠ DOE 与∠AOB 的数量关系，并说明理由． 16 ．如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线． （1）如图 1 ，当∠AOB 是直角， ∠BOC ＝60 °时， ∠MON 的度数是多少？ （2）如图 2 ，当∠AOB = α , ∠BOC ＝60 °时，猜想∠MON 与α 的数量关系； （3）如图 3 ，当∠AOB = α , ∠BOC = β时，猜想： ∠MON 与α 、 β有数量关系吗？如果有，指出结论并 说明理由． 第 4页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 17 ．如图所示，已知 OB ，OC 是∠AOD 内部的两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD． （1）若∠BOC ＝25 ° , ∠MOB ＝15 ° , ∠NOD ＝10 ° , 求∠AOD 的大小； （2）若∠AOD ＝75 ° , ∠MON＝55 ° , 求∠BOC 的大小； （3）若∠AOD = α , ∠MON= β , 求∠BOC 的大小（用含α , β的式子表示）． 18 ．如图 1 ， ∠AOB ＝120 ° , ∠COE ＝60 ° , OF 平分∠AOE （1）若∠COF＝20 ° , 则∠BOE = ° （2）将∠COE 绕点 O 旋转至如图 2 位置，求∠BOE 和∠COF 的数量关系 （3）在（2）的条件下，在∠BOE 内部是否存在射线 OD ，使∠DOF＝3∠DOE ，且∠BOD ＝70 ° ? 若存 在，求的值，若不存在，请说明理由． 第 5页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 七上数学：角度的计算专题训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1 ．下列说法正确的个数是 ( ) （1）连接两点之间的线段叫两点间的距离； （2）两点之间，线段最短； （3）若 AB ＝2CB ，则点 C 是 AB 的中点； （4）角的大小与角的两边的长短有关． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【分析】根据两点间的距离，线段性质，线段中点以及角的大小逐项进行判断即可． 【解答】解：（1）连接两点之间线段的长度叫做两点间的距离，因此（1）不符合题意； （2）两点之间，线段最短是正确的，因此（2）符合题意； （3）若 AB ＝2CB ，当点 C 在 AB 上时，点 C 是 AB 的中点，当点 C 在 AB 的延长线上时，点 C 就不是 AB 的中点，因此（3）不符合题意； （4）角的大小与角的两边的长短无关，只与两边叉开的程度有关，因此（4）不符合题意； 因此正确的是（2）， 故选：A． 【点评】本题考查两点间的距离，线段性质，线段中点以及角的大小等知识，理解各个概念的内涵是正 确判断的前提． 2 ．利用一副三角尺不能画出的角的度数是 ( ) A ．55 ° B ．75 ° C ．105 ° D ．135 ° 【分析】一副三角尺中角有：30 °、45 °、60 °、90 ° , 这些度数的和或差，均可以用它画出，否则不 能． 【解答】解：因为一副三角尺中角有：30 °、45 ° 、60 °、90 ° , 因此这些度数的和或差，均可以画出， 如：75 ° =30 °+45 ° , 105 ° =60 °+45 ° , 135 ° =90 °+45 ° , 只有 A 不能写成上述角度的和或差， 故选：A． 第 6页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】考查角的意义，以及角的和与差，把一个角写成三角板中含有的角的和或差是正确判断的前提． 3．某人在点A 处看点 B 在北偏东 40 ° 的方向上，看点 C 在北偏西 35 ° 的方向上，则∠BAC 的度数为( ) A ．65 ° B ．75 ° C ．40 ° D ．35 ° 【分析】根据方位角的概念画出图形，再根据已知结合角的和差关系求解． 【解答】解：如图所示： ∵某人在 A 处看点 B 在北偏东 40 ° 的方向上，看点 C 在北偏西 35 ° 的方向上， ∴ ∠BAD ＝40 ° , ∠CAD ＝35 ° , ∴ ∠BAC = ∠BAD+∠CAD ＝40 °+35 ° =75 ° . 故选：B． 【点评】本题考查了方向角，解答此类题关键是需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合角的和差 关系求解． 4 ．下列各数中，正确的角度互化是 ( ) A ．63.5 ° =63 °50 ′ B ．23 ° 12 ′36 ″ ＝23.48 ° C ．18 ° 18 ′ 18 ″ ＝18.33 ° D ．22.25 ° =22 ° 15 ′ 【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率，可得答案． 【解答】解：A 、63.5 ° =63 °30 ′ ≠63 °50 ′ ，故 A 不符合题意； B 、23.48 ° =23 °28 ′48 ″ ≠23 ° 12 ′36 ″ ，故 B 不符合题意； C、18.33 ° = 18 ° 19 ′48 ″ ≠18 ° 18 ′ 18 ″ ，故 C 不符合题意； D 、22.25 ° =22 ° 15 ′ ，故 D 正确， 故选：D． 【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率是解题关键． 5 ．已知锐角α , 钝角β , 赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，分别为 68.5 ° , 22 ° , 51.5 ° , 72 ° , 其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是 ( ) A ．68.5 ° B ．22 ° C ．51.5 ° D ．72 ° 【分析】根据锐角和钝角的概念进行解答，锐角是大于 0 °小于直角（90 ° ) 的角，大于直角（90 ° ) 第 7页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 小于平角（180 ° ) 的角叫做钝角，求出范围，然后作出正确判断． 【解答】解： ∵锐角是大于 0 °小于 90 ° 的角，大于直角（90 ° ) 小于平角（ 180 ° ) 的角叫做钝角， ∴0< α <90 ° , 90 ° <β<180 ° , ∴22.5 ° < <67.5 ° , ∴满足题意的角只有 51.5 ° , 故选：C． 【点评】此题主要考查了角的计算的知识点，理解锐角和钝角的概念，锐角是大于 0 °小于 90 ° 的角， 大于直角（90 ° ) 小于平角（ 180 ° ) 的角叫做钝角，本题比较基础，需要牢固掌握． 6 ．如图， ∠AOB ＝90 ° , ∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC ＝40 ° , 射线 OM 平分∠BOC，ON 平 分∠AOC，则∠MON的度数为 ( ) A ．45 ° B ．65 ° C ．50 ° D ．25 ° 【分析】根据题意，先求得∠COB 的值；OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC，则可求得∠AOM、 ∠AON 的值； ∠MON= ∠AOM+∠AON，计算得出结果． 【解答】解： ∵ ∠AOB ＝90 ° , 且∠AOC ＝40 ° , ∴ ∠COB = ∠AOB+∠AOC ＝90 °+40 ° = 130 ° , ∵OM 平分∠BOC， ∴ ∠AOM= ∠AOB - ∠BOM＝25 ° , ∵ON 平分∠AOC， ∴ ∠MON= ∠AOM+∠AON＝45 ° . ∴ ∠MON的度数是 45 ° . 第 8页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 故选：A． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所 求角与已知角的关系转化是解题的关键． 7 ．已知∠AOB ＝20 ° , ∠AOC ＝4∠AOB ，OD 平分∠AOB ，OM 平分∠AOC，则∠MOD 的度数是 ( ) A ．20 °或 50 ° B ．20 °或 60 ° C ．30 °或 50 ° D ．30 °或 60 ° 【分析】分为两种情况，当∠AOB 在∠AOC 内部时，当∠AOB 在∠AOC 外部时，分别求出∠AOM 和∠ AOD 度数，即可求出答案． 【解答】 解：分为两种情况：如图 1 ，当∠AOB 在∠AOC 内部时， ∵ ∠AOB ＝20 ° , ∠AOC ＝4∠AOB， ∴ ∠AOC ＝80 ° , ∵OD 平分∠AOB ，OM 平分∠AOC， ∴ ∠DOM= ∠AOM - ∠AOD ＝40 ° - 10 ° =30 ° ; 如图 2 ，当∠AOB 在∠AOC 外部时， ∠DOM= ∠AOM+∠AOD ＝40 °+10 ° = 50 ° ; 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想． 8 ．如图，将两块三角尺 AOB 与 COD 的直角顶点 O 重合在一起，若∠AOD ＝4∠BOC，OE 为∠BOC 的平 分线，则∠DOE 的度数为 ( ) 第 9页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 A ．36 ° B ．45 ° C ．60 ° D ．72 ° 【分析】根据∠AOD+∠BOC ＝180 ° , ∠AOD ＝4∠BOC，求出∠BOC 的度数，再根据角平分线求出∠ COE 的度数，利用∠DOE = ∠COD - ∠COE 即可解答． 【解答】解： ∵ ∠AOB ＝90 ° , ∠COD ＝90 ° , ∴ ∠AOB+∠COD ＝180 ° , ∵ ∠AOB = ∠AOC+∠BOC， ∠COD = ∠BOC+∠BOD， ∴ ∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD ＝180 ° , ∴ ∠AOD+∠BOC ＝180 ° , ∵ ∠AOD ＝4∠BOC， ∴4∠BOC+∠BOC ＝180 ° , ∴ ∠BOC ＝36 ° , ∵OE 为∠BOC 的平分线， ∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE ＝90 ° - 18 ° =72 ° , 故选：D． 【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是明确∠AOD+∠BOC ＝180 ° . 9 ．如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠后，点 C 落在点 E 处，连接 BE 交 AD 于 F，再将三 角形 DEF 沿 DF 折叠后，点 E 落在点 G 处，若 DG 刚好平分∠ADB ，那么∠ADB 的度数是 ( ) A ．18 ° B ．20 ° C ．36 ° D ．45 ° 【分析】根据折叠的性质可得∠BDC = ∠BDE，∠EDF= ∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA = ∠GDF+ ∠BDG ＝2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案． 【解答】解： 由折叠可知， ∠BDC = ∠BDE ， ∠EDF= ∠GDF， ∵DG 平分∠ADB， ∴ ∠BDG = ∠GDF， 第 10页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠EDF= ∠BDG， ∴ ∠BDE = ∠EDF+∠GDF+∠BDG ＝3∠GDF， ∴ ∠BDC = ∠BDE ＝3∠GDF， ∠BDA = ∠GDF+∠BDG ＝2∠GDF， ∵ ∠BDC+∠BDA ＝90 ° =3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF， ∴ ∠GDF＝18 ° , ∴ ∠ADB ＝2∠GDF＝2×18 ° =36 ° . 故选：C． 【点评】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键． 10 ．OB 是∠AOC 内部一条射线，OM 是∠AOB 平分线，ON 是∠AOC 平分线，OP 是∠NOA 平分线，OQ 是∠MOA 平分线，则∠POQ： ∠BOC = ( ) A ． 1 ：2 B ． 1 ：3 C ．2 ：5 D ． 1 ：4 【分析】依据 OM 是∠AOB 平分线，OQ 是∠MOA 平分线，可得∠AOQ = ∠AOM= ∠AOB ，依据 ON 是∠AOC 平分线，OP 是∠NOA 平分线，可得∠AOP = ∠AON= ∠AOC = 进而得出∠POQ： ∠BOC ＝1 ：4． 【解答】解： ∵OM 是∠AOB 平分线，OQ 是∠MOA 平分线， ∵ON 是∠AOC 平分线，OP 是∠NOA 平分线， ∴ ∠AOP = ∠AON= ∠AOC = = ∠BOC， ∴∠POQ： ∠BOC ＝1 ：4， 故选：D． 第 11页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题主要考查了角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算． 二．填空题（共 4 小题） 11．计算： ①1.5 ° = 90 ′ ＝ 5400 ″； ②450 ″ ＝ 7.5 ′ ＝ 0.125 ° ; ③90 ° - 54 °48 ′6 ″ ＝ 35 ° 11 ′54 ″ ． 【分析】 ①根据大单位化小单位乘以进率，可得答案； ②根据小单位化大单位除以进率，可得答案； ③根据度分秒的减法，相同单位相减，不够减时向上一单位借 1 当 60 再减，可得答案． 【解答】解： ①1.5 ° =90 ′ ＝5400 ″； ②450 ″ ＝7.5 ′ ＝0.125 ° ; ③90 ° - 54 °48 ′6 ″ ＝89 °59 ′60 ″ - 54 °48 ′6 ″ ＝35 ° 11 ′54 ″， 故答案为：90 ，5400；7.5 ，0.125；35 ° 11 ′54 ″． 【点评】本题考查了度分秒的换算，大单位化小单位乘以进率，小单位化大的单位除以进率． 12 ．如图， ∠BOC ＝2∠AOC，OD 平分∠AOB ，OE 平分∠AOC，则∠DOE 与∠AOB 的数量关系为： ∠ AOB ＝3∠DOE ． 【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【解答】解： ∵ ∠BOC ＝2∠AOC， ∴设∠AOC = α , ∠BOC ＝2α , ∴ ∠AOB ＝3α , ∵OD 平分∠AOB ，OE 平分∠AOC， 第 12页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = α , ∴ ∠AOB ＝3∠DOE． 故答案为： ∠AOB ＝3∠DOE． 【点评】本题考查角的计算，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题， 属于中考常考题型． 13 ．如图 1 ，射线 OC 在∠AOB 的内部，图中共有 3 个角： ∠AOB ， ∠AOC 和∠BOC ，若其中有一个角的 度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC 是∠AOB 的“巧分线 ”，如图 2 ，若∠MPN= α , 且射线 PQ 是∠MPN的“巧分线 ”，则∠MPQ ＝的式子表示）． 【分析】分 3 种情况，根据巧分线定义即可求解． 【解答】解：如图 2 ，PQ 平分∠MPN， 即∠MPN＝2∠MPQ ＝2∠NPQ， ∵ ∠MPN= α , ∴∠MPQ = 如图 3 ，PQ 是∠MPN的 3 等分线， 即∠NPQ ＝2∠MPQ， ∴∠MPQ = 如图 4 ，PQ 是∠MPN的 3 等分线， 即∠MPQ ＝2∠NPQ， ∴∠MPQ = 故答案为：α或α或α . 第 13页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线 ”．的 定义是解题的关键． 14 ．如图① , 在长方形 ABCD 中，E 点在 AD 上，并且∠ABE ＝28 ° , 分别以 BE 、CE 为折痕进行折叠并 压平，如图② , 若图②中∠AED ＝n ° , 则∠DEC 的度数为 （28+n） 度． 【分析】求∠CED 的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出∠CED 大小即可． 【解答】解：折叠后的图形如下： ∵ ∠ABE ＝28 ° , ∴ ∠BEA' = ∠BEA ＝62 ° , 又∵∠CED' = ∠CED， = （ 180 ° - 124 °+n ° ) =（28+n） ° 故答案为：（28+n）． 第 14页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题综合考查了以长方形、平行线、两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识 为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单． 三．解答题（共 4 小题） 15 ．某学习小组在学习线段中点和角平分线的概念时，发现它们有相同之处． （1）如图 1 ，已知AB ＝10 ，点 C 为线段 AB 上的一个动点，点 D 、E 分别是 AC、BC 的中点． ①若点 C 恰为 AB 的中点，则 DE ＝ 5 ； ②当点 C 的位置发生变化时，DE 的长度是否发生变化？请说明理由． （2）如图 2 ，已知射线 OC 在∠AOB 的内部，若 OD 、OE 分别是∠AOC、 ∠BOC 的平分线．试探究∠ DOE 与∠AOB 的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用中点及线段的和差即可求． （2）利用角平分线的性质及角的和差可求． 【解答】解：（1） ①∵AB ＝10 ，点 C 是 AB 的中点． ∴AC ＝BC ＝5． ∵点 D 、E 分别是线段 AC、BC 的中点． ∴DE ＝DC+CE ＝5， 故答案为：5 ②当点 C 的位置发生变化时，DE 的长度不发生变化，理由如下： ∵点 D 、E 分别是线段 AC、BC 的中点． 第 15页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 = × 10 =5． （2） ∠DOE = ∠AOB 理由如下： ∵OD 、OE 分别是∠AOC、 ∠BOC 的平分线． ( ∠ DOC = )∠AOC， ∠COE = ∠COB． 【点评】本题考查中点和角平分线的性质，线段和角的计算，利用线段和角的和差关系是求解本题的关 键． 16 ．如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线． （1）如图 1 ，当∠AOB 是直角， ∠BOC ＝60 °时， ∠MON 的度数是多少？ （2）如图 2 ，当∠AOB = α , ∠BOC ＝60 °时，猜想∠MON 与α 的数量关系； （3）如图 3 ，当∠AOB = α , ∠BOC = β时，猜想： ∠MON 与α 、 β有数量关系吗？如果有，指出结论并 说明理由． 【分析】（1）求出∠AOC 度数，求出∠MOC 和∠NOC 的度数，代入∠MON= ∠MOC - ∠NOC 求出即 可； （2）求出∠AOC 度数，求出∠MOC 和∠NOC 的度数，代入∠MON= ∠MOC - ∠NOC 求出即可； （3）求出∠AOC 度数，求出∠MOC 和∠NOC 的度数，代入∠MON= ∠MOC - ∠NOC 求出即可． 【解答】解：（1）如图 1 ， ∵ ∠AOB ＝90 ° , ∠BOC ＝60 ° , ∴ ∠AOC ＝90 °+60 ° = 150 ° , ∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC， 第 16页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠MOC = ∠AOC ＝75 ° , ∠NOC = ∠BOC ＝30 ° ∴ ∠MON= ∠MOC﹣ ∠NOC ＝45 ° . 如图 2 ， ∠MON= 理由是： ∵ ∠AOB = α , ∠BOC ＝60 ° , ∴ ∠AOC = α+60 ° , ∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC， ∴ ∠MOC = ∠AOC = α+30 ° , ∠NOC = ∠BOC ＝30 ° 如图 3 ， ∠MON= α , 与β的大小无关． 理由： ∵ ∠AOB = α , ∠BOC = β , ∴∠AOC = α+β . ∵OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线， ∴ ∠MOC = ∠AOC = ( α+β), ∠NOC = ∠BOC = β , ∴ ∠MON= ∠MOC﹣ ∠NOC = ( α+β) ﹣β = α 即∠MON= . 【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC 的度数和得出 第 17页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 ∠MON= ∠MOC - ∠NOC． 17 ．如图所示，已知 OB ，OC 是∠AOD 内部的两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD． （1）若∠BOC ＝25 ° , ∠MOB ＝15 ° , ∠NOD ＝10 ° , 求∠AOD 的大小； （2）若∠AOD ＝75 ° , ∠MON＝55 ° , 求∠BOC 的大小； （3）若∠AOD = α , ∠MON= β , 求∠BOC 的大小（用含α , β的式子表示）． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠AOB ＝2∠MOB ＝30 ° , ∠COD ＝2∠NOD ＝20 ° , 然后利用∠ AOD = ∠AOB+∠BOC+∠COD ，可得结果； （2）由角的加减可得∠AOM+∠DON的度数，从而求得∠BOM+∠CON，再利用∠BOC = ∠MON - (∠ BOM+∠CON）可得结果； （3） 由 OM 与 ON 分别为角平分线，利用角平分线的定义得到两对角相等，根据∠BOC = ∠MON - ∠ BOM - ∠CON，等量代换即可表示出∠BOC 的大小． 【解答】解：（1） ∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ∴ ∠AOB ＝2∠MOB ＝30 ° , ∠COD ＝2∠NOD ＝20 ° ∴ ∠AOD = ∠AOB+∠BOC+∠COD ＝30 °+25 °+20 ° =75 ° （2） ∵ ∠AOD ＝75 ° , ∠MON＝55 ° , ∴ ∠AOM+∠DON= ∠AOD - ∠MON＝20 ° , ∵ ∠BOM+∠CON= ∠AOM+∠DON＝20 ° , ∴ ∠BOC = ∠MON - (∠BOM+∠CON）＝55 ° - 20 ° =35 ° , （3） ∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD， ∵ ∠BOC = ∠MON - ∠BOM - ∠CON 第 18页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 = β - ( α - ∠BOC） = β - α+∠BOC， ∴∠BOC ＝2β - α . 【点评】本题主要考查了角平分线的定义和角的加减，利用角平分线的定义得到∠BOM+∠CON= ∠ AOM+∠DON 是解答此题的关键． 18 ．如图 1 ， ∠AOB ＝120 ° , ∠COE ＝60 ° , OF 平分∠AOE （1）若∠COF＝20 ° , 则∠BOE ＝ 40 ° （2）将∠COE 绕点 O 旋转至如图 2 位置，求∠BOE 和∠COF 的数量关系 （3）在（2）的条件下，在∠BOE 内部是否存在射线 OD ，使∠DOF＝3∠DOE ，且∠BOD ＝70 ° ? 若存 在，求的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据∠BOE = ∠AOB - ∠AOE ，求出∠AOE 即可解决问题； （2） 由题意∠AOE ＝2∠EOF，可得 120 ° - ∠BOE ＝2（60 ° - ∠COF）即可推出∠BOE ＝2∠COF； （3）存在． ∠DOF ＝3∠DOE ，设∠DOE = α , ∠DOF＝3α , 构建方程求出α , 求出∠DOF， ∠COF 即 可； 【解答】解：（1） ∵ ∠COE ＝60 ° , ∠COF＝20 ° , ∴ ∠EOF＝60 ° - 20 ° =40 ° , ∵OF 平分∠AOE， ∴ ∠AOF= ∠EOF＝40 ° , ∴ ∠AOE ＝80 ° , ∴ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE ＝120 ° - 80 ° =40 ° , 故答案为40； （2） ∵ ∠AOE ＝2∠EOF， ∴ 120 ° - ∠BOE ＝2（60 ° - ∠COF） 第 19页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BOE ＝2∠COF； （3）存在．理由如下： ∵ ∠DOF＝3∠DOE， 设∠DOE = α , ∠DOF＝3α , ∴ ∠EOF= ∠AOF＝2α , ∠AOD ＝5α , ∵ ∠AOD+∠BOD ＝120 ° , ∴5α+70 ° = 120 ° , ∴α = 10 ° , ∴ ∠DOF＝30 ° , ∠AOE ＝40 ° , ∠AOC ＝60 ° - 40 ° =20 ° , ∴ ∠COF＝40 ° , ∴ = . 【点评】本题考查角的计算，角平分线等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中 考常考题型． 第 20页（共 20页） 学科网（北京）股份有限公司 $$