【数学帮】七年级上册动角压轴专题

七上数学：动角压轴专题 1 ．若∠A+2∠B ＝90 ° , 我们则称∠B 是∠A 的“绝配角 ”．例如：若∠1 ＝10 ° , ∠2 ＝40 ° , 则∠2 是∠1 的“绝配角 ”，请注意：此时∠1 不是∠2 的“绝配角 ”． （1）如图 1 ，已知∠AOB ＝60 ° , 在∠AOB 内存在一条射线 OC，使得∠AOC 是∠BOC 的“绝配角 ”， 此时∠AOC ＝ ．（直接填写答案） （2）如图 2 ，已知∠AOB ＝60 ° , 若平面内存在射线 OC、OD（OD 在直线 OB 的上方），使得∠AOC 是 ∠BOC 的“绝配角 ”，∠BOC 与∠BOD 互补，求∠AOD 大小． （3）如图 3 ，若∠AOB ＝10 ° , 射线 OC 从 OA 出发绕点 O 以每秒 20 ° 的速度逆时针旋转，射线 OD 绕 点 O 从 OB 出发以每秒 10 ° 的速度顺时针旋转，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD ，运动时间为 t 秒（0 <t ≤20）． ①当0＜t＜17 时， ∠AOB 是∠MON的“绝配角 ”，求出此时 t 的值． ②当 17＜t ≤20 时，t ＝ 时， ∠AOB 是∠MON 的“绝配角 ”（直接填写答案）． 第 1页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 2 ．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这 两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图 1 ，若射线 OC，OD 在∠AOB 的内部，且∠COD+∠AOB =90 ° , 则∠COD 是∠AOB 的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： （1）如图 1 ， ∠AOB ＝72 ° , ∠AOC ＝20 ° , 若∠COD 是∠AOB 的内余角，则∠BOD = ; （2）如图 2 ．已知∠AOB ＝60 °将 OA 绕点 O 顺时针方向旋转一个角度α（0 ° < α <60 ° ) 得到 OC．同 时将 OB 绕点 O 顺时针方向旋转一个角度 α得到 OD ．若∠COB 是∠AOD 的内余角，求α 的值； （3）把一块含有 30 °角的三角板 COD 按图 3 方式放置，使 OC 边与 OA 边重合，OD 边与 OB 边重合， 如图 4 将三角板 COD 绕顶点 O 以 6 度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为 t 秒，在旋转一周的时 间内，当射线 OA ，OB ，OC，OD 构成内余角时，请求出 t 的值． 第 2页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 3．如图，长方形纸片ABCD ，点 E，M，N 分别是边 AB，AD，BC 上的动点，将∠AEM，∠BEN 分别沿 EM， EN 折叠，点 A ，B 的对应点分别是点 F，点 G． （1）如图 1 ，若∠MEF＝30 ° , ∠GEN＝20 ° , 求∠FEG 的度数． （2）如图 2 ，若点 E ，F，G 在同一直线上，探索∠MEF 与∠NEG 的关系，并说明理由． （3）若∠MEN＝x ° , 直接写出折叠后∠FEG 的度数（用含 x 的代数式表示）． 第 3页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 4 ．【材料阅读】 “数缺形时少直观，形少数时难入微 ”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图 1 ，数轴上的点 A 表示的数为 a ，B 表示的数为 b ，且|a+2|+（b - 8）2 ＝0 ．点 C 是线段 AB 的中点． （1）点 C 表示的数是 ； （2）若动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点 N 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 M，N 同时出发，当点 N 到达点A 时，两动点的运动同时停止．设 运动时间为 t 秒，则： ①点 M、N 表示的数分别是 、 （用含 t 的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在 CM＝3CN，请求出 t 的值． 【方法迁移】 （3）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图 2 ，∠AOB ＝80 ° , OC 平分∠AOB ．射线 OM 从 OA 出发， 以每秒 1 ° 的速度绕点 O 顺时针旋转，射线 ON 从 OB 出发， 以每秒 2 ° 的速度绕点 O 逆时针旋 转．射线 OM，ON 同时出发，当 ON 到达 OA 时，运动同时停止．设旋转时间为 t 秒，若在运动过程中， 存在某些时刻，使得∠COM 和∠CON 两个角中，其中一个角是另一个角的 3 倍，请求出所有符合题意 的 t 的值． 第 4页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 5 ．如图① , 在直角三角形 ABC 中， ∠B ＝90 ° , AB ＝6 ，BC ＝8 ，AC ＝10． （1）动点 E、F 同时从 A 出发，E 以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 A →B →C 方向运动，F 以每秒 2 个 单位长度的速度沿折线A →C→B 方向运动，经过 秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 个 单位长度； （2）如图② , 动点 K 从 B 出发，沿折线 B →C→A（含端点 B 和 A）运动，速度为每秒 2 个单位长度， 到达 A 点停止运动，已知点 B 到AC 的距离为个单位长度，设点 K 的运动时间为 t 秒，当△ABK 的面 积为时，求 t 的值； （3）如图③ , 将三角形 ABC 的顶点A 与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿 A →B →C 折叠在三角形 ABC 的两边 AB 、BC 上，得到一条“折线数轴 ”，在“折线数轴 ”上，把两点所对应的两数之差的绝对 值叫这两点间的距离．例如，点 M 和点 N 在折线数轴上的距离为|20 - （ - 8）| ＝28 个单位长度．动点 P 从点 M 出发， 以 4 个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A 运动到点 C 期间速度变为原来 的一半，过点 C 后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，点 Q 从点 N 出发， 以 2 个单位/ 秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点 C 运动到点 A 期间速度变为 3.5 个单位/秒，过点 A 后继续以 原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为 m 秒．在此运动过程中，P、A 两点的距离与 Q 、C 两点 的距离是否会相等？若相等，请直接写出 m 的值；若不相等，请说明理由． 第 5页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 6 ．如图 1 ，已知两条直线AB ，CD 被直线 MN 所截，交点分别为 M、N，MP 交 CD 于点 P ，且 AB∥CD， ∠PMN= ∠MPN． （1）判断 MP 是否平分∠AMN，并说明理由． （2）如图 2 ，点 E 是射线 PD 上一动点（不与点 P 、N 重合），MF 平分∠EMN 交 CD 于点 F，过点 F 作 FQ∥MP ，交 AB 于点 Q． ①当点 E 在线段 PN 上时，若∠MEN＝80 ° , 求∠MFQ 的度数； ②当点 E 在运动过程中，设∠MEN= α , ∠MFQ = β , α和β之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 第 6页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 7 ．【问题背景】 若∠AOB ＝130 ° , OD 在∠AOB 内部， ∠COD ＝80 ° , OM，ON 分别平分∠AOB 和∠COD． 【问题特殊化】（1）如图 1 ，当 OA ，OC 重合时，则∠MON= ° ; 【问题一般化】（2）如图 2 ，在（1）的情形下，如果将∠COD 绕点 O 顺时针旋转 n °（0＜n＜155），求 ∠MON的度数（用含 n 的式子表示）； 【问题拓展化】（3）如图 3 ，在（1）的情形下，若∠AOB 和∠COD 的边 OA 、OD 的位置不变．将 OC 绕着 O 点， 以每秒 12 ° 的速度沿顺时针方向旋转，同时将 OB 绕着 O 点， 以每秒 15 ° 的速度沿逆时针 方向旋转，设旋转时间为 t s ，当 t 为何值时， ∠MON＝90 ° , 请直接写出两个 t 的值． 第 7页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 8 ．已知 AB∥CD ，点 P 是平面内一点，过点 P 作射线 PN、PM，PM 与 AB 相交于点 B． （1）如图 1 ，若点 P 为直线 CD 上一点， ∠ABM＝45 ° , ∠CPN＝30 ° , 求∠MPN 的度数； （2）如图 2 ，若点 P 为直线AB 、CD 之间区域的一点，射线 PN 交 CD 于点 E ，∠ABM 和∠CEP 的角平 分线交于点 F．请说明：2∠BFE+∠MPN＝180 ° ; （3）如图 3 ，若点 P 、H 是直线 CD 上的点，连接 HB 并延长交∠MPN的角平分线于点 Q ，射线 PN 交 AB 于点 G ，设∠BGP = α . 当∠PHB = ∠PBH 时，请直接用含α 的代数式表示∠PQH． 第 8页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 9 ．如图 1 所示，三角板 OCD 的直角边 OC 靠在直线 AB 上，其中∠DCO 为直角，∠COD 为 30 ° , 将三角 板 OCD 以 O 为中心顺时针旋转 x ° , 射线 OE ，射线 OF 分别为∠AOC， ∠BOD 的角平分线． （1）如图 2 所示，当 0＜x＜150 ° , ∠AOE+∠BOF= ; （2）如图 3 所示，在第（1）问的基础上，OG ，OP 分别为∠AOE ，∠EOC 内的射线，且∠POG ＝50 ° , 试证明 （3）当 0＜x＜360 ° , 试猜想∠AOE 与∠BOF 的数量关系（直接写出所有情况）． 第 9页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 10 ．如图，将一副三角板摆放在一起， ∠DAB ＝m ° . （1）当 0＜m＜45 时， ①若 m ＝20 ，则∠CAD = ° , ∠BAE = ° ; ②猜想∠CAD 与∠BAE 有何数量关系，并说明理由； （2）当 0＜m＜120 且∠BAE ＝6∠CAD 时，求 m 的值． 第 10页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 11 ．学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较．C、D 为一个量角器在 AB 上方边缘上的两个动点，连接 CO 、DO． （1）当 C，D 两点运动到如图 1 所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB = ° , ∠DOA = ° ; （2）若 OD 从 OA 出发以每秒 8 ° 的速度向终边 OB 运动，同时 OC 从 OB 出发， 以每秒 10 ° 的速度向 终边 OA 运动，运动时间为 t ，当 CO⊥DO 时，运动时间 t 是多少？ （3）如图 2 ，过点 O 作 AB 的垂线与量角器的边缘交于点 E ，若∠COD ＝60 ° , OF 是∠COE 的平分线， OD 从 OA 出发，当 C 与 B 重合时停止运动，请探究这个运动过程中， ∠DOE 与∠COF 的数量关系． 第 11页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 12 ．一副直角三角板 ACB 和 DCE 如图 1 摆放，顶点 C 重合，点 C，B ，E 在一条直线上， ∠ACB = ∠CDE =90 ° , ∠DCE ＝30 ° , ∠A ＝45 ° . 将三角板 DCE 绕点 C 以每秒 4 ° 的速度逆时针旋转 t 秒（0＜t＜30）， 边 CA 恰好平分∠DCE（如图2）． （1）求 t 的值； （2）若三角板 ACB 也开始绕点 C 以每秒 9 ° 的速度逆时针旋转，当边 CB ，CE 第一次重合时，求三角 板 ACB 旋转的时间； （3）若三角板 ACB 也开始绕点 C 以每秒 1 ° 的速度逆时针旋转，当∠ECB ＝2∠DCA+∠ECA 时，求三 角板 ACB 旋转的时间，并判断此时 CD 与 AB 的位置关系． 第 12页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 13 ．已知∠AOB ＝90 ° , ∠COD ＝60 ° , 按如图①所示摆放，将 OA ，OC 边重合在直线 MN 上，OB ，OD 边在直线 MN 的两侧． （1）保持∠AOB 不动，将∠COD 绕点 O 旋转至如图②所示的位置，则∠AOC+∠BOD = , ∠BOC - ∠AOD = ; （2）若∠COD 按每分钟 5 ° 的速度绕点 O 逆时针方向旋转， ∠AOB 按每分钟 2 ° 的速度也绕点 O 逆时 针方向旋转，OC 旋转到射线 ON 上时都停止运动，设旋转时间为 t 分钟，求∠MOC - ∠AOD 的大小（用 t 的代数式表示）； （3）保持∠AOB 不动，将∠COD 绕点 O 逆时针方向旋转 n °（n≤180 ° ) , 若射线 OE 平分∠AOC，射 线 OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的大小． 第 13页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 14 ．【阅读理解】 射线 OC 是∠AOB 内部的一条射线，若 则我们称射线 OC 是射线 OA 的“友好线 ”．例 如，如图 1 ， ∠AOB ＝60 ° , ∠AOC = ∠COD = ∠BOD ＝20 ° , 则 称射线 OC 是射线 OA 的友好线；同时， 由于 称射线 OD 是射线 OB 的友好线． 【知识运用】 （1）如图 2 ， ∠AOB ＝120 ° , 射线 OM 是射线 OA 的友好线，则∠AOM= ° ; （2）如图 3 ， ∠AOB ＝180 ° , 射线 OC 与射线 OA 重合，并绕点 O 以每秒 2 ° 的速度逆时针旋转，射线 OD 与射线 OB 重合，并绕点 O 以每秒 3 ° 的速度顺时针旋转，当射线 OD 与射线 OA 重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻 t（秒），使得∠COD 的度数是 40 ° , 若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理 由； ②当射线 OC、OD 相遇后，射线 OC、OD 中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时 t 的值． 第 14页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 15 ．【问题初探】 （1）数学课上，李老师给出如下问题：如图 1 ，点 C 在线段 AB 上，点 D 在线段 AB 的延长线上，若 AB = 12cm ，CD ＝6cm ，点 E 是线段 AD 的中点．探究 EC 与 BD 之间的数量关系，并说明理由． ①小聪同学先用刻度尺测量 EC 与 BD 的长度，猜测两线段的关系是 BD ＝2EC，然后举一个具体数值验 证猜测．他假设 EC ＝2cm ，依次求出了 ED 、AD 、BD 的长．小聪最后得出 BD ＝4cm． ②小慧同学则说：小聪的做法有道理，但只是猜测，验证也只适合 EC ＝2cm 的情况，EC ＝2cm 不具有 普遍性，不能作为说理的依据．可以设 EC ＝a cm ，用含 a 的式子表示出 BD 的长，进而得到 EC 与 BD 之间的数量关系． 请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程． 【类比分析】 （2）通过小慧的做法，李老师与同学们总结出：用字母表示一个基本量（CE ＝a cm），把其它相关的量 （线段 ED、AD 的长度）用含这个字母 a 的式子表示，就能发现一些量与量之间的数量关系（EC 与 BD 之间的数量关系）．为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解 答． 如图 2 ， ∠AOB ＝60 ° , 射线 OC 在∠AOB 内部，将射线 OC 绕 O 点逆时针旋转 120 °得到射线 OD（即 ∠COD ＝120 ° ) , OE 平分∠BOD ．探究∠EOB 与∠AOC 的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图 3 ，点 O 是直线 AB 上一点，射线 OC 在直线 AB 上方，且∠AOC ＝80 ° , 射线 OD ，OE ，OF 与射线 OC 位于直线 AB 的同侧， ∠AOE 与∠COD 互补，OF 平分∠COE ．请直接写出∠DOF 与∠COD 之间的数量关系． 第 15页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 16 ．【问题初探】 数学活动课上，李老师将一副三角尺按图 1 所示位置摆放．分别作出∠ABE，∠CBE 的平分线 BH，BF．然 后提出问题：求∠HBF 的度数． （1）①“智慧小组 ”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图 2 、图 3 所示 的方式摆放，BH 和 BF 仍然是∠ABE ，∠CBE 的平分线，DB 和 BC 在同一直线上．分别计算出图 2 ，图 3 中∠HBF 的度数，发现∠HBF 的度数均为 ° . ②探究完图 2，图 3 所示的特殊位置问题后，“智慧小组 ”的同学猜想出图 1 中∠HBF 的度数应该与图 2， 图 3 中∠HBF 的度数相同．他们经过合作交流后发现，在图 2 ，图 3 中∠ABE 和∠CBE 的度数都已知 或能求出具体的度数，但图 1 中， ∠ABE 和∠CBE 求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数．如果 设∠DBA = α , 则可以用含α 的式子表示∠ABE 和∠CBE，然后利用角的和与差，就能求出∠HBF 的度数．请 你根据“智慧小组 ”的思路，求出图 1 中∠HBF 的度数． [类比分析] （2）受到“智慧小组 ”的启发，“创新小组 ”将三角尺按图 4 所示方式摆放，分别作出∠ADB ， ∠CDE 的平分线 DN，DM．他们认为利用同样方法也能求出∠MDN的度数．请你求出∠MDN的度数． [学以致用】 （3）如图 5，已知点 C 在线段AB 上，AC ＝3BC．点D 在线段AC 上，点E 在线段AB 延长线上，且 若 AD+EC ＝9BE ，求的值． 第 16页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 17 ．已知如图 1 ， ∠AOB ＝40 ° . 若 则∠BOC = ; （2）如图 2 ， ∠AOC ＝20 ° , OM 为∠AOB 内部的一条直线，ON 是∠MOC 四等分线，且 3∠CON= ∠ NOM，求 4∠AON+∠COM 的值； （3）如图 3，∠AOC ＝20 ° , 射线 OM 绕着 O 点从 OB 开始以 5 度/秒的速度逆时针旋转一周至 OB 结束， 在旋转过程中，设运动的时间为 t ，ON 是∠MOC 四等分线，且 3∠CON= ∠NOM，当 t 在某个范围内 4 ∠AON+∠BOM 会为定值，请直接写出定值，并指出对应 t 的范围（本题中的角均为大于 0 °且小于 180 ° 的角）． 第 17页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 18 ．已知 O 是直线 AB 上一点， ∠COD 是直角，OE 平分∠BOC． （1）如图 1 ，当∠AOC ＝40 ° , 求∠DOE 的度数； （2）如图 2 ，OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的度数； （3）当∠AOC ＝36 °时，∠COD 绕点 O 以每秒 6 °沿逆时针方向旋转 t 秒（0≤t＜36），旋转过程中 OE 始终平分∠BOC，请直接写出∠AOC 和∠DOE 之间的数量关系． 第 18页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 七上数学：动角压轴专题 参考答案与试题解析 一．解答题（共 18 小题） 1 ．【答案】（1）30 ° ; （2）90 °或 50 ° ; （3） ①t 的值为 4 或 16； （4）． 【分析】（1）根据“绝配角 ”的定义， ∠AOC 是∠BOC 的“绝配角 ”，那么 2∠AOC+∠BOC ＝90 ° , 把 相关数值代入计算即可； （2）根据射线 OC 可能在∠AOB 内部，射线 OA 上方，射线 OB 下方，分三种情况得到∠AOC 的度数， 然后根据∠BOC 与∠BOD 互补，得到∠BOD 的度数，进而求得∠AOD 大小； （3） ∠AOB 是∠MON 的“绝配角 ”，那么 2∠AOB+∠MON＝90 ° , 已知∠AOB 的度数，即可求得∠ MON 的度数； ①当0＜t＜17 时，可分当 OC 未转够 180 ° 以及超过 180 ° , 而未到 340 °两种情况，根据∠MON的度 数求解即可； ②当 17＜t ≤20 时，若 t ＝20 ，20×20 ° =400 ° , 射线 OC 旋转超过 360 ° , 20×10 ° =200 ° , OD 旋 转超过 180 ° , 根据∠MON的度数求解即可． 【解答】解：（1） ∵ ∠AOB ＝60 ° , ∠AOC 是∠BOC 的“绝配角 ”， ∴2∠AOC+∠BOC ＝90 ° . 2∠AOC+（60 ° - ∠AOC）＝90 ° , ∠AOC ＝30 ° . （2） ①射线 OC 在∠AOB 内部． 由（1）得∠AOC ＝30 ° , ∵ ∠AOB ＝60 ° , ∴ ∠BOC ＝60 ° - 30 ° =30 ° . 第 19页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 “∠BOC 与∠BOD 互补， : ∠BOD ＝180 。 - 30 。＝150 。， : ∠AOD = ∠BOD - ∠AOB ＝150 。 - 60 。＝90 。． ②射线 OC 在射线 OA 上方． “ ∠AOB ＝60 。， ∠AOC 是∠BOC 的“绝配角 ”， : 2∠AOC+∠BOC ＝90 。． 2∠AOC+（60 。+ ∠AOC）＝90 。， ∠AOC ＝10 。． “ ∠AOB ＝60 。， : ∠BOC ＝60 。+10 。＝70 。． “∠BOC 与∠BOD 互补， : ∠BOD ＝180 。 - 70 。＝110 。， : ∠AOD = ∠BOD - ∠AOB ＝110 。 - 60 。＝50 。． ③射线 OC 在射线 OB 下方． “ ∠AOB ＝60 。， ∠AOC 是∠BOC 的“绝配角 ”， : 2∠AOC+∠BOC ＝90 。． 2∠AOC+ (∠AOC - 60 。）＝90 。， : ∠AOC ＝50 。． 第 20页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠AOC<∠AOB， ∴OC 在∠AOB 的内部，不符合题意，舍去． 答： ∠AOD 大小是 90 °或 50 ° . （3） ∵ ∠AOB ＝10 ° , ∠AOB 是∠MON 的“绝配角 ”， ∴2∠AOB+∠MON＝90 ° , 20 °+ ∠MON＝90 ° , ∠MON＝70 ° . ① Ⅰ 、由题意得： ∠AOC ＝20t ° , ∠BOD ＝10t ° . ∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD， ∴ ∠AOM＝10t ° , ∠BON＝5t ° . 当 OC 未转够 180 ° , 即 0＜t＜9 时， 如图： ∠AOM+∠AOB+∠BON＝70 ° . 10t+10+5t ＝70， 15t ＝60， t ＝4． Ⅱ 、当 OC 旋转超过 180 ° , 即 9≤t＜17 时． 由题意得：OC 转了 20t ° , ∠BOD ＝10t ° . ∴ ∠AOC ＝（360 - 20t） ° ∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD， 第 21页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 如图： ∠AON - ∠AOM= ∠MON． ∴ (∠AOB+∠BON） - ∠AOM＝70 ° . ∴（10+5t） - （ 180 - 10t）＝70， 10+5t - 180+10t ＝70， 15t ＝240， t ＝16． 答：t 的值为 4 或 16． ②当 17＜t ≤20 时，若 t ＝20 ，20×20 ° =400 ° , 射线 OC 旋转超过 360 ° , 20×10 ° =200 ° , OD 旋 转超过 180 ° . OC 转了 20t ° , OD 转了 10t ° . ∴ ∠BOD ＝（360 - 10t） ° , ∠AOC ＝（20t - 360） ° . ∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD， ∵ ∠BON - AOM - ∠AOB = ∠MON， ∴（ 180 - 5t） - （ 10t - 180） - 10 ＝70． 280 ＝15t 故答案为：． 【点评】本题考查了角的新定义问题及一元一次方程的应用，理解“绝配角 ”的定义是解决本题的关键．动 直线问题，是有可能需要分类探讨的题型，注意类比思想的应用． 2 ．【答案】（1）34 ° ; （2）α 的值为 45 ° ; 第 22页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 （3）当射线 OA ，OB ，OC，OD 构成内余角时，t 的值为 7.5 秒或 52.5 秒． 【分析】（1）根据内余角可求出∠COD 的度数，再根据∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD 即可求解； （2）根据旋转的性质分别用含α 的式子表示∠COB ， ∠BOD 的度数，再根据∠COB 是∠AOD 的内余角 列式求解即可； （3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当 OC 在∠AOB 内部时；当 OC 在射线 OB 下方时；当 OD 在 OA 上方时；当 OD 在∠AOB 内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可． 【解答】解：（1） ∵∠COD 是∠AOB 的内余角， ∴ ∠COD+∠AOB ＝90 ° , ∵ ∠AOB ＝72 ° , ∴ ∠COD ＝90 ° - ∠AOB ＝90 ° - 72 ° = 18 ° , ∵ ∠AOC ＝20 ° , ∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD =72 ° - 20 ° - 18 ° =34 ° , 故答案为：34 ° ; （2） 已知∠AOB ＝60 ° , OA 绕点 O 顺时针方向旋转一个角度α（0 ° < α <60 ° ) 得到 OC，OB 绕点 O 顺时针方向旋转一个角度 α得到 OD， ∴ ∠AOC = α , 匕 ∴ ∠BOC = ∠AOB - α =60 ° - α , 匕AOD = 匕AOB + 匕 ∵∠COB 是∠AOD 的内余角， ∴ ∠COB+∠AOD ＝90 ° , 解得α =45 ° ∴α 的值为 45 ° ; （3）根据题意可得，∠AOB ＝30 ° , 三角板 COD 绕顶点 O 以 6 度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时 间为 t 秒， 当 OC 在∠AOB 内部时，如图所示， 第 23页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠AOC ＝6t ， ∠BOD ＝6t， ∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC ＝30 ° - 6t ， ∠AOD = ∠AOB+∠BOD ＝30 °+6t， 若∠COB 是∠AOD 的内余角时，得∠COB+∠AOD ＝90 ° , ∴30 - 6t+30+6t ＝90 ° , 无解， ∴当 OC 在∠AOB 内部时，射线 OA ，OB ，OC，OD 不能构成内余角； 当 OC 在射线 OB 下方时，如图所示， ∴ ∠BOC ＝6t - 30 ° , ∠AOD ＝6t+30 ° , 若∠BOC 是∠AOD 的内余角， ∴6t - 30 °+6t+30 ° =90 ° , 解得 t ＝7.5； 当 OD 在 OA 上方时，如图所示， ∴ ∠AOD ＝360 ° - 6t - 30 ° =330 ° - 6t ， ∠BOC = ∠AOD+60 ° =330 ° - 6t+60 ° =390 ° - 6t， 若∠AOD 是∠BOC 的内余角， ∴330 ° - 6t+390 ° - 6t ＝90 ° , 解得 t ＝52.5； 当 OD 在∠AOB 内部时，如图所示， 第 24页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠AOC ＝360 ° - 6t ， ∠BOD ＝360 ° - 6t ， ∠AOD ＝6t - ∠AOC ＝6t - （360 ° - 6t）＝12t - 360 ° , ∴ ∠BOC = ∠AOC+∠BOD ＝360 ° - 6t+360 ° - 6t ＝720 ° - 12t， 若∠AOD 是∠BOC 的内余角， ∴ 12t - 360+720 - 12t ＝90 ° , 无解， ∴当 OD 在∠AOB 内部时，射线 OA ，OB ，OC，OD 不能构成内余角； 综上所述，当射线 OA ，OB ，OC，OD 构成内余角时，t 的值为 7.5 秒或 52.5 秒． 【点评】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． 3 ．【答案】（1）80 ° ; （2） ∠MEF+∠NEG ＝90 ° ; （3）|2x - 180| ° . 【分析】（1）根据折叠的性质即可求解； （2）根据折叠的性质即可求解； （3）根据折叠的性质分两种情况即可求解． 【解答】解：（1） 由折叠可得， ∠MEA = ∠MEF＝30 ° , ∠BEN= ∠GEN＝20 ° , ∴ ∠AEF＝30 ° ×2 ＝60 ° , ∠BEG ＝20 ° ×2 ＝40 ° , ∴ ∠FEG ＝180 ° - 60 ° - 40 ° = 80 ° ; （2） ∠MEF+∠NEG ＝90 ° , 理由如下： 由折叠可得： ∠AEF＝2∠MEF， ∠BEG ＝2∠NEG， ∵ ∠AEF+∠BEG ＝180 ° , ∴2∠MEF+2∠NEG ＝180 ° , ∴ ∠MEF+∠NEG ＝90 ° ; （3）当折叠后的图形如图 1 时，90≤x＜180， ∠AEM+∠BEN＝180 ° - x ° , ∴ ∠AEF+∠BEG ＝2 (∠AEM+∠BEN）＝2（180 ° - x ° ) =360 ° - 2x ° , ∵ ∠AEF+∠BEG+∠FEG ＝180 ° , ∴360 ° - 2x °+ ∠FEG ＝180 ° , 第 25页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠FEG ＝2x ° - 180 ° = |2x - 180| ° ; 当折叠后的图形如图 3 时，0＜x≤90， ∠AEM+∠BEN＝180 ° - x ° , ∴ ∠AEF+∠BEG ＝2 (∠AEM+∠BEN）＝2（180 ° - x ° ) =360 ° - 2x ° , ∵ ∠AEF+∠BEG ＝180 °+ ∠FEG， ∴360 ° - 2x ° = 180 °+ ∠FEG， ∴ ∠FEG ＝180 ° - 2x ° = |2x - 180| ° ; 综上， ∠FEG 的度数为|2x - 180| ° . 【点评】本题考查了折叠的性质，角的和差关系，掌握折叠的性质是解题的关键． 4 ．【答案】（1）3； （2） ① - 2+t ，8 - 2t； 或 32． 【分析】【材料阅读】 （1）根据非负数的性质求出 a、b 的值，即可求出线段 AB 的长，再根据点 C 是线段 AB 的中点即可求出 AC 的长，从而得出点 C 表示的数； （2） ①根据点 M、N 的运动速度、方向以及点 A 、B 表示的数即可得出点 M、N 表示的数； ②根据 N 到达 A 点时只需用时 5 秒，判断出 M 在线段 AC 上，再表示出 CM、CN，根据 CM＝3CN，即 可求出 t 的值； 【方法迁移】 （3）当 0＜t ≤20 时， ∠COM＝40 - t ， ∠CON＝40 - 2t；当 20＜t ≤40 时， ∠COM＝40 - t ， ∠CON＝2t - 40， 根据其中一个角是另一个角的 3 倍列出关于 t 的方程，分别求解即可． 【解答】解：【材料阅读】 第 26页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 （1） ∵|a+2|+（b - 8）2 ＝0， 又∵|a+2|≥0 ，（b - 8）2 ≥0， ∴a+2 ＝0 ，b - 8 ＝0， ∴a ＝ - 2 ，b ＝8， ∴AB ＝8 - （ - 2）＝10 ， ∵点 C 是线段 AB 的中点， ∴AC ＝5， ∴点 C 表示的数是 - 2+5 ＝3， 故答案为：3； （2） ①∵动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右运动，点 A 表示的数是 - 2， ∴点 M 表示的数是 - 2+t， ∵动点 N 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 B 表示的数是 8， ∴点 N 表示的数是 8 - 2t， 故答案为： - 2+t ，8 - 2t； ②N 到达 A 点时只需用时 5 秒，则此时 M 在线段 AC 上． ∴CM＝3 - （ - 2+t）＝5 - t ，CN＝|8 - 2t - 3| ＝|5 - 2t|， ∵CM＝3CN， ∴5 - t ＝3|5 - 2t|， 解得：t ＝2 或 【方法迁移】 （3） ∵ ∠AOB ＝80 ° , OC 平分∠AOB， ∵射线 ON 到达 OA 时只需用时 80÷2 ＝40 秒，此时射线 OM 到达 OC， 如图 2 ，当 0＜t ≤20 时， ∠COM＝40 - t ， ∠CON＝40 - 2t， 第 27页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 显然∠COM＞∠CON， ∴ ∠COM＝3∠CON， 则 40 - t ＝3（40 - 2t）， 解得 t ＝16； 当 20＜t ≤40 时， ∠COM＝40 - t ， ∠CON＝2t - 40， 如图 3， 若∠COM＝3∠CON， 则 40 - t ＝3（2t - 40）， 解得 如图 4， 若∠CON＝3∠COM， 则 2t - 40 ＝3（40 - t）， 解得 t ＝32； 第 28页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，t 的值为 16 或 或 32． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，利用数形结合思想找到相等关系是解题的关键． 5 ．【答案】（1）8 ，2； （2）或 t ＝1 或 2.5 或或 11． 【分析】（1）根据相遇问题的解法，求出相遇时间以及 E 走的路程，即可求得距离 B 的长度； （2）根据 K 在 BC 和 AC 上两种情况分类讨论求解即可； （3）根据 P ，Q 在每段运动时间的情况分类讨论，根据两点距离公式求解即可． 【解答】解：（1）相遇时间：（6+8+10） ÷（1+2）＝8（秒）， E 走的路程为：1 ×8 ＝8， 相遇点到 B 的距离为：8 - 6 ＝2， 故答案为：8 ，2； （2）当 K 在 BC 上时，BK＝2t， 当 K 在 AC 上时，AK＝AC+BC - 2t ＝18 - 2t， （3）P 从 M 到 A 所用时间：8÷4 ＝2s， 从 A 到 C 所用时间：14÷2 ＝7s， Q 从 N 到 C 所用时间：（20 - 14） ÷2 ＝3s， 从 C 到A 所用时间：14÷3.5 ＝4s， 当 0≤t ≤2 时，AP ＝8 - 4t ，CQ ＝6 - 2t， ∵AP ＝CQ， 第 29页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴8 - 4t ＝6 - 2t， ∴t ＝1； 当 2＜t ≤3 时，AP ＝2（t - 2）＝2t - 4 ，CQ ＝8 - 2t， ∵AP ＝CQ， ∴2t - 4 ＝6 - 2t， ∴t ＝2.5 ，符合题意； 当 3＜t ≤7 时，AP ＝2（t - 2）＝2t - 4 ，CQ ＝3.5（t - 3）， ∴2t - 4 ＝3.5（ t - 3）， 符合题意； 当 7＜t ≤9 时，AP ＝2t - 4 ，CQ ＝14+2（ t - 7）＝2t， ∴AP≠CQ ，不符合题意； 当 t＞9 时，AP ＝14+4（ t - 9）＝4t - 22 ，CQ ＝14+2（t - 7）＝2t， ∵AP ＝CQ， ∴4t - 22 ＝2t， ∴t ＝11， 综上所述，t ＝1 或 2.5 或或 11． 【点评】本题主要考查了数轴的综合运用，正确的分类讨论是本题解题的关键． 6 ．【答案】（1）MP 平分∠AMN，理由见解答； （2） ①∠MFQ 的度数为 40 ° ; ②当点 E 在线段 PN 上时，α =2β；当点 E 在线段 PN 的延长线上时，α+2β = 180 ° ；理由见解答． 【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AMP = ∠MPN，然后利用等量代换可得∠AMP = ∠PMN，从而利 用角平分线的定义即可解答； （2）①设∠MFQ ＝x ° , ∠EMN＝y ° , 先利用角平分线的定义可得， 再利用平行线的性质可得∠PMF = ∠MFQ ＝x ° , 从而利用角的和差关系可得 ∠ 进而可得 然后再利用平行线的性质可得∠ AME = ∠MEN＝80 ° , 从而可得∠AMP+∠PME ＝80 ° , 进而可得 最后进行计算即可 解答； ②分两种情况：当点 E 在线段 PN 上时；点 E 在线段 PN 的延长线上时；然后分别进行计算即可解答． 第 30页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1）MP 平分∠AMN， 理由： ∵AB∥CD ， ∴ ∠AMP = ∠MPN， ∵ ∠PMN= ∠MPN， ∴ ∠AMP = ∠PMN， ∴MP 平分∠AMN； （2） ①设∠MFQ ＝x ° , ∠EMN＝y ° , ∵MF 平分∠EMN， ∵FQ∥MP， ∴∠PMF= ∠MFQ ＝x ° , ∵AB∥CD， ∴ ∠AME = ∠MEN＝80 ° , ∴ ∠AMP+∠PME ＝80 ° , 解得：x ＝40， ∴∠MFQ ＝40 ° , ∴∠MFQ 的度数为 40 ° ; ②分两种情况：当点 E 在线段 PN 上时，α =2β；当点 E 在线段 PN 的延长线上时，α+2β = 180 ° ; 理由：当点 E 在线段 PN 上时， 设∠EMN＝y ° , ∵MF 平分∠EMN， ∵FQ∥MP， ∴∠PMF= ∠MFQ = β , 第 31页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵AB∥CD， ∴ ∠AME = ∠MEN= α , ∴ ∠AMP+∠PME = α , ∴α =2β; 当点 E 在线段 PN 的延长线上时，如图： 设∠EMN＝y ° , ∵MF 平分∠EMN， ∵FQ∥MP， ∴∠PMF= ∠MFQ = β , , , ∵AB∥CD， ∴ ∠AME+∠MEN＝180 ° ∴ ∠AMP+∠PME+∠MEN＝180 ° , ∴α+2β = 180 ° ; 综上所述：当点 E 在线段 PN 上时，α =2β；当点 E 在线段 PN 的延长线上时，α+2β = 180 ° . 第 32页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7 ．【答案】（1）25． （2） ∠MON＝（n+25） ° . （3）两个 t 的值为 或 【分析】（1） 由 OM，ON 分别平分∠AOB 和∠COD ，得 40 ° , 再计算∠MON= ∠AOM - ∠AON＝25 ° . （2） 由 ON 分别平分∠COD ，得∠NOD ＝40 ° . 由 OM 平分∠AOB ，得∠MOA ＝65 ° . 由∠COD 绕点 O 顺时针旋转 n ° , 得∠COA ＝n ° , 故∠MON= ∠MOA+∠AOC - ∠CON＝（n+25） ° . （3）分两种情况讨论：①∠BOB ′ ＝15t ° , ∠AOC ＝12t ° , 得∠AOB ′ ＝230 ° - 15t ° , ∠COD ＝80 ° +12t ° , 列式为 再计算即可．②由 得 +80 ° 再计算即可． 【解答】解：（1） ∵OM，ON 分别平分∠AOB 和∠COD， ∴ ∠MON= ∠AOM - ∠AON＝25 ° , 故答案为：25； （2）如图： ∵ON 分别平分∠COD， ∵OM 平分∠AOB， 第 33页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 “∠COD 绕点 O 顺时针旋转 n 。， : ∠COA ＝n 。， ∠MON= ∠MOA+∠AOC - ∠CON＝65 。+n 。 - 40 。＝（n+25）。， 答： ∠MON 的度数为（n+25）。． （3） ①如图：设 OB 转到 OB I ． : ∠BOB I ＝15t 。， ∠AOC ＝12t 。， : ∠AOB I ＝360 。 - 130 。 - 15t ＝230 。 - 15t 。， . “ ∠COD ＝80 。+12t 。， : ∠DON= ∠NOC ＝40 。+6t 。． . ②如图：设 OB 转到 OB I ． : ∠COD ＝360 。 - 12t 。 - 80 。＝280 。 - 12t 。， “ ∠AOB I ＝360 。 - 130 。 - 15t 。， 第 34页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 . 答：两个 t 的值为 或 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系列出方程是解题的关键． 8 ．【答案】（1） ∠MPN＝75 ° . （2）证明见解答． （3） 或 【分析】（1）运用平行线性质即可； （2）过点 F 作FK∥AB ，过点 P 作PR∥AB ，运用平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理等即 可证得结论； （3）分两种情况：当点 H 在点 P 的左侧时，当点 H 在点 P 的右侧时，分别求得∠PQH即可． 【解答】（1）解： ∵AB∥CD， ∴ ∠CPM= ∠ABM， ∵ ∠ABM＝45 ° , ∴ ∠CPM＝45 ° . ∵ ∠MPN= ∠CPM+∠CPN， ∠CPN＝30 ° , ∴ ∠MPN＝45 °+30 ° =75 ° . （2）证明：过点 F 作FK∥AB ，过点 P 作PR∥AB， ∴ ∠KFB = ∠ABF， ∠RPM= ∠ABM， ∵AB∥CD， ∴FK∥CD ，PR∥CD， ∴ ∠KFE = ∠CEF， ∠CEP+∠EPR ＝180 ° . 第 35页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵BF 平分∠ABM， ∴ ∠ABM＝2∠ABF， 同理可得： ∠CEP ＝2∠CEF． 设∠CEF＝x ， ∠ABF＝y， ∴ ∠KFE = ∠CEF＝x ， ∠CEP ＝2∠CEF＝2x， ∠KFB = ∠ABF＝y ， ∠ABM＝2∠ABF＝2y， ∴ ∠EPR ＝180 ° - ∠CEP ＝180 ° - 2x ， ∠RPM= ∠ABM＝2y ， ∴ ∠MPN= ∠EPR+∠RPM＝180 ° - 2x+2y ＝180 ° - 2（x - y）， ∵ ∠BFE = ∠KFE - ∠KFB ＝x - y， ∴ ∠MPN＝180 ° - 2∠BFE， ∴2∠BFE+∠MPN＝180 ° . 解：匕或匕 当点 H 在点 P 的左侧时，如图， ∵AB∥CD， ∴ ∠DPG = ∠BGP = α , ∵ ∠BPD = ∠PHB+∠PBH， ∠PHB = ∠PBH， ∴ ∠BPD ＝2∠PHB ＝2∠PBH， ∵PQ 平分∠MPN， ∵∠PBH= ∠MPQ+ ∠PQH， 当点 H 在点 P 的右侧时，如图， 第 36页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵AB∥CD， ∴ ∠DPG = ∠BGP = α , ∵ ∠BPC = ∠PHB+∠PBH， ∠PHB = ∠PBH， ∴ ∠BPC ＝2∠PHB ＝2∠PBH， ∵PQ 平分∠MPN， ∵∠BPC+∠MPQ = ∠PQH+∠PHB， 综上所述或 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形外角性质等．解题的关键是作出适当的 辅助线，学会利用参数解决问题． 9．【答案】（1）75 °；（2）证明过程见解析部分；（3）当 0 ° <x≤150 °时，∠AOE+∠BOF＝75 °；当 150 ° <x≤180 °时， ∠AOE - ∠BOF ＝75 ° ；当 180 ° <x≤330 °时， ∠AOE+∠BOF ＝105 ° ；当 330 ° <x ≤360 °时， ∠BOF - ∠AOE ＝75 ° . 【分析】（1）根据平角的定义求出∠AOC+∠BOD 的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOE+∠BOF 的度数即可； （2）根据∠AOC 内的角的数量关系，将等式左边的转化为∠POG 和∠BOF 的数量关系，再根据∠POG =50 ° , 进行进一步证明即可； （3）当 0＜x＜150 °时， ∠AOE 与∠BOF 的数量关系由（1）可知，然后根据 150 °≤x≤180 ° 、180 ° <x＜330 ° , 330 ° <x＜360 ° , 进行分类讨论即可． 【解答】解：（1）解： ∵ ∠AOC+∠BOD+∠COD ＝180 ° , ∠COD ＝30 ° , 第 37页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 : ∠AOC+∠BOD ＝150 。， “射线 OE ，射线 OF 分别为∠AOC， ∠BOD 的角平分线， : ∠AOE+∠BOF= (∠AOC+∠BOD） ＝75 。． 故答案为：75 。． （2）证明：“ ∠AOG+∠POG+∠COP = ∠AOC， : ∠AOG+∠POC = ∠AOC - ∠POG， 由 知 : ∠AOC ＝150 。 - 2∠BOF， : (∠AOG+∠POC）= POG， “ ∠POG ＝50 。， （3）解：根据（1），得当 0 。＜x≤150 。时， : ∠AOE+∠BOF＝75 。； 当 150 。＜x≤180 。时， “ ∠AOC ＝180 。 - ∠BOC， : ∠AOC - ∠BOD ＝180 。 - ∠BOC - ∠BOD， : ∠AOC - ∠BOD ＝180 。 - (∠BOC+∠BOD） ＝180 。 - ∠DOC ＝150 。， : ∠AOE - ∠BOF＝75 。； 第 38页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 当 180 ° <x≤330 °时， ∵ ∠AOC ＝180 ° - ∠BOC， ∠BOD = ∠DOC+∠BOC， ∴ ∠AOC+∠BOD ＝180 ° - ∠BOC+∠BOC+∠DOC， ∴ ∠AOC+∠BOD ＝180 °+ ∠DOC ＝210 ° , ∴ ∠AOE+∠BOF＝105 ° ; 当 330 ° <x≤360 °时， ∵ ∠BOD ＝180 ° - ∠AOD ， ∠AOC = ∠DOC - ∠AOD， ∴ ∠BOD - ∠AOC ＝180 ° - ∠AOD - (∠DOC - ∠AOD） ＝180 ° - ∠DOC ＝150 ° , ∴ ∠BOF - ∠AOE ＝75 ° ; 综上所述，当 0 ° <x≤150 °时， ∠AOE+∠BOF＝75 ° ; 当 150 ° <x≤180 °时， ∠AOE - ∠BOF＝75 ° ; 当 180 ° <x≤330 °时， ∠AOE+∠BOF＝105 ° ; 当 330 ° <x≤360 °时， ∠BOF - ∠AOE ＝75 ° . 【点评】本题主要考查角的计算，掌握分类讨论是解决本题的关键． 10 ．【答案】（1） ①25 ° ；80 ° ; ②∠CAD+∠BAE ＝105 ° , 理由见解答过程； （2）30 或 66． 【分析】（1） ①先依题意得： ∠BAC ＝45 ° , ∠EAD ＝60 ° , 再由 m ＝20 ，得∠DAB ＝20 ° , 然后根据 第 39页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∠CAD = ∠BAC - ∠DAB ， ∠BAE = ∠DAB+∠EAD 可得出答案； ②由∠DAB ＝m ° , 且 0＜m＜45 ，得∠CAD = ∠BAC - ∠DAB ＝（45 - m ） ° , ∠BAE = ∠DAB+∠EAD =（m+60） ° , 由此得∠CAD+∠BAE ＝105 ° , 据此可得出∠CAD 与∠BAE 之间的数量关系； （2）根据∠DAB ＝m ° , 且 0＜m＜120 ，分两种情况讨论如下： ①当 0＜m ≤45 时，则∠CAD = ∠BAC - ∠DAB ＝（45 - m ）° , ∠BAE = ∠DAB+∠EAD ＝（m+60） ° , 然后由∠BAE ＝6∠CAD ，得 m+60 ＝6 （45 - m），据此解出 m 即可；②当 45＜m＜120 时，则∠CAD = ∠DAB - ∠BAC ＝（m - 45）° , ∠BAE = ∠DAB+∠EAD ＝（m+60） ° , 然后∠BAE ＝6∠CAD ，得 m+60 ＝6（m - 45），据此解出 m 即可，综上 所述可得 m 的值． 【解答】解：（1） ①依题意得： ∠BAC ＝45 ° , ∠EAD ＝60 ° , ∵m ＝20， ∴ ∠DAB ＝20 ° , ∴ ∠CAD = ∠BAC - ∠DAB ＝45 ° - 20 ° =25 ° , ∠BAE = ∠DAB+∠EAD ＝20 °+60 ° = 80 ° ; 故答案为：25 ° ；80 ° . ②∠CAD+∠BAE ＝105 ° , 理由如下： ∵ ∠DAB ＝m ° , 且 0＜m＜45， ( , )∴ ∠CAD = ∠BAC - ∠DAB ＝（45 - m ） ° ∴ ∠BAE = ∠DAB+∠EAD ＝（m+60） ° , ∠CAD+∠BAE ＝（45 - m ） °+（m+60） ° = 105 ° . （2） ∵ ∠DAB ＝m ° , 且 0＜m＜120， ∴有以下两种情况： ①当 0＜m ≤45 时，如图 1 所示： ∴ ∠CAD = ∠BAC - ∠DAB ＝（45 - m ） ° , ∠BAE = ∠DAB+∠EAD ＝（m+60） ° , 第 40页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠BAE ＝6∠CAD ， ∴m+60 ＝6（45 - m）， 解得：m ＝30； ②当45＜m＜120 时，如图 2 所示： ∴ ∠CAD = ∠DAB - ∠BAC ＝（m - 45） ° , ∠BAE = ∠DAB+∠EAD ＝（m+60） ° , ∵ ∠BAE ＝6∠CAD ， ∴m+60 ＝6（m - 45）， 解得：m ＝66． 综上所述：当 0＜m＜120 且∠BAE ＝6∠CAD 时，m 的值 30 或 66． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换，角度的计算，准确识图，熟练掌握图形的旋转变换，及角度 的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察量角器上的读数，即可得到问题的答案； （2）分两种情况，一是 OC 与 OD 相遇前 CO⊥DO ，可列方程 8t+10t+90 ＝180；二是 OC 与 OD 相遇后 CO⊥DO ，可列方程 8t+10t - 90 ＝180 ，解方程求出相应的 t 值即可； （3）设∠AOD = α , 分三种情况，一是当 0 °≤α ≤30 °时，可推导出α =90 ° - ∠DOE ＝30 ° - 2∠COF， 则 ；二是当 30 ° < α ≤90 °时，可推导出α =90 ° - ∠DOE ＝2∠COF+30 ° , 则 三是 90 ° < α ≤120 °时，可推导出α =90 °+ ∠DOE ＝2∠COF+30 ° , 则∠COF 【解答】解：（1）观察量角器可知， ∠COB ＝45 ° , ∠DOA ＝60 ° , 故答案为：45 ，60． （2）在 OC 与 OD 相遇前 CO⊥DO ，则 8t+10t+90 ＝180， 解得 t ＝5； 第 41页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 在 OC 与 OD 相遇后 CO⊥DO ，则 8t+10t - 90 ＝180， 解得 t ＝15， 答：当 CO⊥DO 时，运动时间 t 是 5 秒或 15 秒． （3）设∠AOD = α , 当 0 °≤α ≤30 °时，α =90 ° - ∠DOE， ∴α =30 ° - 2∠COF， ∴90 ° - ∠DOE ＝30 ° - 2∠COF， 当 30 ° < α ≤90 °时，α =90 ° - ∠DOE， ∴α =2∠COF+30 ° , ∴90 ° - ∠DOE ＝2∠COF+30 ° , 当 90 ° < α ≤120 °时，α =90 °+ ∠DOE， ∴α =2∠COF+30 ° , ∴90 °+ ∠DOE ＝2∠COF+30 ° , 综上所述，当 0 °≤α ≤30 °时 当 30 ° < α ≤90 °时 当 90 ° < α ≤120 °时 【点评】此题重点考查角度的计算、垂直的定义、角平分线的定义、角的大小比较等知识，正确地用代 数式表示∠DOE 、 ∠COF 是解题的关键． 12 ．【答案】（1）t 的值为 （2）t ＝15； （3）CD∥AB ．证明见解答． 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； 第 42页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据题意列方程求解即可； （3）由旋转得：∠DCD ′ = ∠ECE ′ ＝4t ° , ∠ACA ′ = ∠BCB ′ ＝t ° , 由题意得：∠ECB ＝3t °+75 ° , ∠DCA ＝3t °+15 ° , ∠ECA ＝3t ° - 15 ° , 根据∠ECB ＝2∠DCA+∠ECA ，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1） ∵边 CA 恰好平分∠DCE ， ∠DCE ＝30 ° , 由题意得：4t - 15 ＝90 - 30， 解得： ∴t 的值为 （2） ∵ ∠BCE = ∠BCA - ∠ACE ＝90 ° - 15 ° =75 ° , 由题意得：9t ＝75+4t， 解得：t ＝15； （3）CD∥AB ．理由如下： 如图，由旋转得： ∠DCD ′ = ∠ECE ′ ＝4t ° , ∠ACA ′ = ∠BCB ′ ＝t ° , 由（1）得： ∠B ′CE ′ ＝75 ° , ∠A ′CB ′ = ∠ACB ＝90 ° , ∠D ′CE ′ = ∠DCE ＝30 ° , ∠A ′ = ∠A =45 ° , ∴ ∠ECB = ∠ECE ′+ ∠B ′CE ′ - ∠BCB ′ ＝4t °+75 ° - t ° =3t °+75 ° , ∠DCA = ∠DCD ′+ ∠D ′CE ′+ ∠B ′CE ′ - ∠BCB ′ - ∠ACB ＝4t °+30 °+75 ° - t ° - 90 ° = 3t ° +15 ° , ∠ECA = ∠DCA - ∠DCE ＝3t °+15 ° - 30 ° =3t ° - 15 ° , ∵ ∠ECB ＝2∠DCA+∠ECA， ∴3t °+75 ° =2（3t °+15 ° ) +（3t ° - 15 ° ) , 解得：t ＝10， ∴ ∠DCA ＝3t °+15 ° =30 °+15 ° =45 ° , ∴ ∠DCA = ∠A， 第 43页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴CD∥AB． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，旋转变换的性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义，一 元一次方程的应用等，解题关键是运用数形结合思想解决问题． 13 ．【答案】（1）150 ° , 30 ° ; （2）（8t - 60） °或（2t+60） ° ; （3）15 ° . 【分析】（1）①将∠AOC+∠BOD 转化为∠COD+∠AOB 即可得；②依据∠BOC = ∠AOB - ∠AOC、∠ AOD = ∠COD - ∠AOC，将原式转化为∠AOB - ∠COD 计算可得； （2）设运动时间为 t 秒，0＜t ≤36 ， ∠MOC ＝（5t） ° , 只需表示出∠AOD 即可得出答案，而∠AOD 在 OD 与 OA 相遇前、后表达式不同，故需分 OD 与 OA 相遇前后即0＜t ≤20 和20＜t ≤36 两种情况求解； （3）设 OC 绕点 O 逆时针旋转 n ° , 则 OD 也绕点 O 逆时针旋转 n ° , 再分①射线 OE 、OF 在射线 OB 同侧； ②射线 OE 、OF 在射线 OB 异侧，分别求解即可． 【解答】解：（1） ①∠AOC+∠BOD = ∠AOC+∠AOD+∠AOB = ∠COD+∠AOB ＝60 °+90 ° = 150 ° , ②∠BOC - ∠AOD = (∠AOB - ∠AOC） - (∠COD - ∠AOC）= ∠AOB - ∠AOC - ∠COD+∠AOC = ∠AOB - ∠COD ＝90 ° - 60 ° =30 ° ; 故答案为：150 ° , 30 ° ; （2）设旋转时间为 t 秒，则 0＜t ≤36 ， ∠MOC ＝（5t） ° , ①0＜t ≤20 时，OD 与 OA 相遇前， ∠AOD ＝（60+2t - 5t） ° =（60 - 3t） ° , ∴ ∠MOC - ∠AOD ＝（8t - 60） ° ; ②20＜t ≤36 时，OD 与 OA 相遇后， ∠AOD ＝[5t - （60+2t）] ° =（3t - 60） ° , ∴ ∠MOC - ∠AOD ＝（2t+60） ° ; （3）设 OC 绕点 O 逆时针旋转 n ° , 则 OD 也绕点 O 逆时针旋转 n ° , ①0＜n °≤150 °时，如图① , OE、OF 在射线 OB 同侧， ∵ ∠AOB ＝90 ° , ∠MOD ＝60 ° - n ° , ∴ ∠BOD = ∠AOB+∠MOD ＝（ 150 - n） ° , 第 44页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 “OF 平分∠BOD， “ ∠MOC ＝n 。，OE 平分∠AOC， : 匕 : ∠EOF= ∠BOE - ∠BOF＝15 。； ②150 。＜n 。 ≤180 。时，如图② , OE、OF 在射线 OB 异侧， “ ∠AOB ＝90 。， ∠MOD ＝n 。 - 60 。， : ∠BOD = ∠MOD - ∠AOB ＝（n - 150）。， “OF 平分∠BOD， “ ∠MOC ＝n 。，OE 平分∠AOC， : 匕 : ∠EOF= ∠BOE+∠BOF ＝15 。． 综上， ∠EOF＝15 。． 【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运 用． 14 ．【答案】（1）40； （2） ①当 t 为 28 秒或 44 秒时， ∠COD 的度数是 40 。； ②当 t 为秒或 45 秒时，射线 OC、OD 中恰好有一条射线是另一条射线的友好线． 【分析】（1）根据新定义直接可得答案； 第 45页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 （2） ①分两种情况：在 OC、OD 相遇前，180 ° - 3t ° - 2t ° =40 ° , 在 OC、OD 相遇后，3t °+2t ° - 180 ° =40 ° , 即可解得答案； ②分 2 种情况：若 OD 是 OC 的友好线 若 OC 是 OD 的友好线，3t °+2t ° 解方程可得答案． 【解答】解：（1） ∵射线 OM 是射线 OA 的友好线， 故答案为：40； （2）射线 OD 与射线 OA 重合时，t ＝60（秒）， ①存在某个时刻 t（秒），使得∠COD 的度数是 40 ° , 有两种情况： 在 OC、OD 相遇前，180 ° - 3t ° - 2t ° =40 ° , ∴t ＝28； 在 OC、OD 相遇后，3t °+2t ° - 180 ° =40 ° , ∴t ＝44， 综上所述，当 t 为 28 秒或 44 秒时， ∠COD 的度数是 40 ° ; ②若 OD 是 OC 的友好线，则 若 OC 是 OD 的友好线，则 ∴t ＝45； 综上所述，当 t 为秒或 45 秒时，射线 OC、OD 中恰好有一条射线是另一条射线的友好线． 【点评】本题考查角的和差及新定义，解题的关键是读懂新定义，用方程的思想解决问题． 15 ．【答案】（1）见解析； （2） 证明见解析； 【分析】（1）设 EC ＝a cm，于是得到 ED ＝EC+CD ＝a+6，根据线段中点的定义得到AD ＝2ED ＝2（a+6） 第 46页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 =2a+12 ，于是得到结论； （2）设∠AOC = α , 根据已知条件得到∠BOC = ∠AOB - ∠AOC ＝60 ° - α , 求得∠BOD = ∠COD - ∠ BOC ＝120 ° - （60 ° - α ) =60 °+α , 根据角平分线的定义得到 于是求得 （3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）设 EC ＝a cm， ∴ED ＝EC+CD ＝a+6， ∵点 E 是线段 AD 的中点， ∴AD ＝2ED ＝2（a+6）＝2a+12， ∵AB ＝12cm， ∴BD ＝AD - AB ＝2a+12 - 12 ＝2a， ∴BD ＝2EC； （2） 证明：设∠AOC = α , ∵ ∠AOB ＝60 ° , ∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC ＝60 ° - α , ∵ ∠COD ＝120 ° , ∴ ∠BOD = ∠COD - ∠BOC ＝120 ° - （60 ° - α ) =60 °+α , ∵OE 平分∠BOD， 第 47页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 （3） ∵ ∠AOC ＝80 ° , ∴ ∠BOC ＝100 ° , 如图① , ∵ ∠AOE+∠BOE ＝180 ° , ∠AOE+∠COD ＝180 ° , ∴ ∠COD = ∠BOE， ∴ ∠DOE = ∠BOC ＝100 ° , ∴ ∠BOD = ∠BOC+∠COD ＝100 °+ ∠COD， ∵OF 平分∠COE， ∴ ∠COF= ∠EOF， 如图② , ∵ ∠AOE+∠BOE ＝180 ° , ∠AOE+∠COD ＝180 ° , ∴ ∠COD = ∠BOE， ∴ ∠BOD = ∠COE = ∠BOC - ∠COD ＝100 ° - ∠COD， ∵OF 平分∠COE， 如图， 第 48页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠AOE+∠BOE ＝180 ° , ∠AOE+∠COD ＝180 ° , ∴ ∠COD = ∠BOE， ∴ ∠COE ＝100 ° - ∠COD， ∵OF 平分∠COE， . 【点评】本题是几何变换综合题，考查了两点间的距离，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 16 ．【答案】（1） ①30； ②30 ° ; （2）15 ° ; （3） 【分析】（1） ①根据角平分线的定义和直角三角形的性质即可得到结论； ②设∠CBE = α , 得到∠ABE ＝60 °+α , 根据角平分线的定义即可得到结论； （2）设∠ADE = β, 根据角的和差得到∠ADB = ∠ADC+∠BDC ＝90 °+ β , ∠CDE = ∠ADC - ∠ADE ＝60 ° - β , 据角平分线的定义即可得到结论； （3）设 BC ＝x ，AC ＝3x ，得到AB ＝4x ，设 BE＝y ，求得 AE ＝AB+BE ＝4x+y ，解方程得到 于是 得到结论． 【解答】解：（1） ①如图 2 ， ∵ ∠ABE = ∠ABC+∠DBE ＝60 °+45 ° = 105 ° , ∵BH 和 BF 是∠ABE ， ∠CBE 的平分线， ∴ ∠HBF= ∠ABE - ∠ABH - ∠EBF ＝30 ° ; 如图 3 ， ∵ ∠ABE ＝180 ° - ∠ABC - ∠DBE ＝180 ° - 60 ° - 45 ° =75 ° , 第 49页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵BH 和 BF 是∠ABE ， ∠CBE 的平分线， ∴ ∠HBF= ∠EBF - ∠EBH＝30 ° ; 故答案为：30； ②设∠CBE = α , ∴ ∠ABE ＝60 °+α , ∵BH 和 BF 是∠ABE ， ∠CBE 的平分线， （2）设∠ADE = β , ∴ ∠ADB = ∠ADC+∠BDC ＝90 °+ β , ∠CDE = ∠ADC - ∠ADE ＝60 ° - β , ∵ ∠ADB ， ∠CDE 的平分线为 DN，DM， （3） ∵AC ＝3BC， ∴设 BC ＝x ，AC ＝3x， ∴AB ＝4x， 设 BE＝y， ∴AE ＝AB+BE ＝4x+y， ∴AD ＝AE - DE ＝4x+y - 2x ＝2x+y ∵AD+EC ＝9BE， ∴2x+y+x+y ＝9y， 【点评】本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，角的和差，两点间的距离．正确地识别图形 第 50页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 是解题的关键． 17 ．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分两种情况讨论： ① OC 在∠AOB 内部时， 由 得到 ②OC 在∠AOB 外部时， 由 得到 （2）设∠CON＝x ° , 根据题意用 x 表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值； （3）按 OM 和 ON 的不同位置分五种情况分别讨论，记 OM 转过的角度为α , 第一种情况：当 0< α ≤60 ° , 即 0＜t ≤12 时；第二种情况：当 60 ° < α ≤180 °时，即 12＜t ≤36 时；第三种情况：当 180 ° < α ≤240 ° 时，即 36＜t ≤48 时；第四种情况：当 240 ° < α ≤340 ° , 即 48＜t ≤68 时；第五种情况：当 340 ° < α ≤360 ° , 即 68＜t ≤72 时．用 t 表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM 的最后结果． 【解答】解：（1） ①C 在∠AOB 内部时，如图， ②OC 在∠AOB 外部时，如图， 综上所述： ∠BOC ＝30 °或 60 ° ; 故答案为：30 °或 60 ° . （2）解： 第 51页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 设∠CON＝x， “ON 是∠MOC 的四等分点，且 3∠CON= ∠NOM， : ∠NOM＝3x ， ∠COM＝4x， 又“∠AOC ＝20 。， : ∠AOM＝4x - 20 。， : ∠AON= ∠NOM - ∠AOM＝3x - （4x - 20 。）＝20 。 - x， :4∠AON+∠COM＝4（20 。 - x）+4x ＝80 。， :4∠AON+∠COM＝80 。． （3）记 OM 的旋转角度为α , 分五种情况讨论： 第一种，当 0 。< α ≤60 。，即 0＜t ≤12 时，如图， 射线 OM 绕着 O 点从 OB 开始以 5 度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB ＝5t 。， : ∠COM= ∠COA+∠AOB - ∠MOB ＝60 。 - 5t 。， “ON 是∠MOC 四等分线，且 3∠CON= ∠NOM， : 0≤t ≤12 时，4∠AON+∠BOM＝20 。+10t 。，不是定值． 第二种情况：当 60 。< α <180 。，即 12＜t＜36 时，如图， 第 52页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠MOB ＝5t ° , ∴ ∠COM= ∠MOB﹣ ∠BOC ＝5t °﹣60 ° , ∴4∠AON+∠BOM＝4（5 °+ t ° ) +5t ° = 10t °+20 ° , ∴ 12＜t＜36 时，4∠AON+∠BOM 不是定值． 第三种情况：当 180 °≤α ≤240 ° , 即 36≤t ≤48 时，如图， 由∠MOB ＝360 °﹣5t °得， ∠COM＝5t °﹣60 ° , ∵ON 是∠MOC 四等分线，且 3∠CON= ∠NOM， +20 ° =5 °+ t ° , ∴4∠AON+∠BOM＝4（5 °+ t ° ) +360 °﹣5t ° =380 ° , ∴当 36≤t ≤48 时，4∠AON+∠COM 为定值 380 ° ; 第四种情况：当 240 ° < α <340 °时，即 48＜t＜68 ，如图， 第 53页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 由∠MOB ＝360 ° - 5t °得， ∠COM= ∠MOB+∠BOC ＝360 ° - 5t °+60 ° =420 ° - 5t ° , ∴48＜t＜68 时，4∠AON+∠COM 不是定值； 第五种情况：当 340 °≤α ≤360 ° , 即 68≤t ≤72 时，如图， 由∠MOB ＝360 ° - 5t °得， ∠COM= ∠MOB+∠BOC ＝360 ° - 5t °+60 ° =420 ° - 5t ° , ∴68≤t ≤72 时，4∠AON+∠COM 为定值 20 ° . 综上所述：当 36≤t ≤48 时，4∠AON+∠COM 为定值 380 ° ；当 68≤t ≤72 时，4∠AON+∠COM＝20 ° , 为定值 20 ° . 【点评】本题考查了角的三等分线，四等分线的定义，角的和差关系，图形的旋转，是个综合题，掌握 每种情况以及未知数的取值范围，并画出对应的图形是解决此题的关键． 18．【答案】（1）20 ° ；（2）45 ° ；（3）∠AOC ＝2∠DOE（0≤t ≤6），∠AOC+2∠DOE ＝360 °（6＜t ≤36）． 【分析】（1） 由补角及直角的定义可求得∠BOD 的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE 的度数； （2） 由角平分线的定义可得 进而可求解； （3）可分三总情况： ①0＜t ≤6 时，6＜t ≤36 时， ③36＜t ≤60 时，分别计算可求解． 第 54页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1） ∵ ∠AOC ＝40 ° , ∴ ∠BOC ＝180 ° - ∠AOC ＝180 ° - 40 ° = 140 ° , ∵OE 平分∠BOC， ∵ ∠COD ＝90 ° , ∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE ＝90 ° - 70 ° =20 ° ; （2） ∵OE 平分∠BOC，OF 平分∠BOD， ∵ ∠COD ＝90 ° , ∴ ∠EOF＝45 ° ; （3） ①0≤t ≤6 时， 由题意得∠AOC ＝36 ° - 6t ° , ∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 18 ° - 3t ° , ∴∠AOC ＝2∠DOE； ②6＜t ≤36 时， 由题意得∠AOC ＝6t ° - 36 ° , ∴ ∠DOE = ∠COD+∠COE = 198 ° - 3t ° , ∴ ∠AOC+2∠DOE ＝360 ° ; 第 55页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 综上所述， ∠AOC ＝2∠DOE（0≤t ≤6）， ∠AOC+2∠DOE ＝360 °（6＜t ≤36）． 【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的 关键． 第 56页（共 56页） 学科网（北京）股份有限公司 $$