专题06 动角问题（B26题）（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题06 动角问题压轴题专项训练（B26题） 1．（石室）已知为直线上一点，射线，，位于直线的上方，，，在的左侧． (1)如图1，若，则_____； (2)已知，射线平分． ①如图2，当时，猜想与之间的数量关系，并证明； ②射线在直线的下方，且满足，射线平分，当与和为时，直接写出的度数． 2．（树德）已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 3．（天府新区）在一次数学活动课上，小天同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小天一起求解．已知，，平分，平分． 【初步感知】 （1）如图，当在的内部，且与重合时，的度数为 °． 【深入探究】 （2）如图2，将从图的位置开始以每秒的速度绕着点顺时针旋转，设旋转的时间为秒，设． ①当时，求时的值； ②小天同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时的取值范围． 4．（金牛区）已知，，射线是由顺时针旋转得到的，平分，平分，探究与的关系．（本题出现的角均指大于且小于平角的角） 【初步感知】 （1）如图1，射线是由射线逆时针旋转得到的，，则______，______． 【深入探究】 （2）若射线在的内部，请探究与的关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3） 若射线从的位置开始绕着点旋转一周，射线平分，射线平分，射线平分，当时，请直接写出的大小． 1．如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合． (1)如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数． (2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值． 2．（青羊区）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值． 3．如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 4．如图，在数轴上，点表示的数是最大的负整数，点在点的右侧，在数轴上方以点为圆心，长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点，且． (1)填空：点表示的数为__________，点表示的数为__________； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点逆时针每秒旋转）运动到点后停止．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点顺时针每秒旋转）运动到点后停止．点和点同时出发，设运动时间为秒． （）当点和点都在线段上时，若，求的值； （）当点在半圆弧上时，连接，，为半圆弧上一点，连接，且，射线为的角平分线．试探究：是否存在的值，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 5．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 6．（锦江区）平面内在直线上方有一定点，点在直线上运动，过点在直线上方作射线，使得． (1)如图，当点运动到点的左侧时，连接，在射线另一侧作射线，使得．将射线绕点逆时针旋转得到射线． 若，求的度数； 当时，求的度数； (2)当点运动到某一时刻，射线与直线构成的角为，在射线左侧作，的边与射线重合，然后从射线出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转一周，射线为的角平分线．设运动时间为秒．当射线三等分时，求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06动角问题压轴题专项训练(B26题) 典例详解 1.(石室)己知O为直线MN上一点，射线OA,OB,0C位于直线MN的上方，∠M0A=110°， ∠B0C=40°，OB在0C的左侧. M M 图1 图2 A A M N M 备用图 备用图 (1)如图1，若∠M0B=40°，则∠A0C=一： (2)已知0°<∠M0B<140°，射线0D平分∠CON. ①如图2，当0°<∠M0B<70°时，猜想∠M0B与∠A0D之间的数量关系，并证明； ②射线OE在直线MN的下方，且满足LMOE=2LMOB,射线OF平分∠AOE,当LAOF与LAOD和为 90°时，直接写出∠AOD的度数 【答案】(1)30 2O∠AOD=}∠MOB,理由见解析；②35° 2 【分析】本题主要考查与角平分线有关的计算、几何图形中角度的计算： (1)根据∠M0A=∠M0B+∠B0C+∠A0C,即可求得答案； (2①限据∠C0D∠C0N=∠MON-∠AM0A+∠A0C,∠C0D=∠A0D+LA0C, LA0C=LM0A-∠M0B-∠B0C,进而可求得∠A0D=∠C0D-∠A0C; ②根据∠A0F=∠40N+∠N0E)=∠A0N+∠M0N-∠M0E,∠A0F=∠A0N+∠MON-2∠M08) 1/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可求得∠A0D=90°-∠A0F=∠M0B-35°，0°<∠M0B<90°，然后分两种情况：0°<∠M0B≤70°和 70°<∠M0B<90°. 【详解】(1)解：：∠M0B=40°，∠M0A=110°，∠B0C=40°，∠M0A=∠M0B+LB0C+∠A0C, ∴∠A0C=∠M0A-∠M0B-∠B0C=30°. 故答案为：30° (2)0:0n平分∠C0N,则∠c0D=<C0N=∠M0N-∠M01+∠40c)-=0+∠A0C1. 又：∠C0D=∠A0D+∠A0C,∠A0C=∠M0A-LM0B-∠B0C,∠M0A=110°，LB0C=40°， ∠A0C=∠M0A-LM0B-∠B0C=110°-∠M0B-40°=70°-∠M0B, ∴∠M0B=70°-∠A0C ∠40D=∠C0D-∠A0c=70+∠40C-∠A0c=0P-∠40C)=5∠M0B :∠AOD=∠MOB 2 ②：射线0F平分∠AOE, ∠A0F=∠AoN+ZNOE)=∠AON+∠MoN-∠MOE). 又：∠M0E=2LM0B,∠A0N=∠MON-∠M0A=70°， ∠40F=∠40N+∠M0N-2∠M0B=×70+180-2∠M0Bl=125-∠M0B. :∠A0D+∠A0F=90°， .∠A0D=90°-∠A0F=∠M0B-35°. :射线OE在直线MN的下方， ∴0°<∠M0E<180°. .0°<∠M0B<90°. A(C) D M M N 0 0°<∠MOB<70 ∠MOB=70° 70°<∠MOB<90° 当0°<LM0B≤70°时，如图所示 由(2)①得∠40D=70°-1∠M0B, 2 2/31 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠A0D=90-∠A0F=∠M0B-35°， ∴.∠M0B=70°. ∠A0D=35°. 当70°<∠M0B<90°时，如图所示. ∠A0D=∠A0c+∠C0D=∠A0c+CoN=∠NOB+∠B0C∠M0A+∠MON-∠MoB-∠B0C)=5MOB 1 2 ∠MOB=∠MOB-35°. 2∠M0B=350. ∠A0D=35°. 综上所述，∠A0D的度数为35°. 2.(树德)己知OC、OD、OE为从∠AOB顶点出发的三条射线，射线OD和射线OE分别平分∠AOB、 ∠BOC. B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当射线0C在∠A0B的外部时，∠A0B=120°.若∠B0E=38°，则∠D0E的度数为 (2)如图2，当射线0C在∠A0B的内部时，∠A0B=120°.若∠D0E=a,求LD0C的度数（用含的式子 表示) (3)如图3，若∠D0E=20°，且90°<∠A0B<140°，求∠A0B与∠D0C的数量关系. 【答案】(1)98° (2)∠D0C=60°-2a B)∠DoC= ∠A0B-40°或∠D0C=1∠A0B+40° 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键： (1)由题意易得∠BOD= 三∠AOB=60°，然后问题可求解； (2)由题意易得∠BOD=)∠AOB=60°，∠BOE=∠COE=∠BOC,则有 1 3/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B0E=∠B0D-∠D0E=60°-a=∠C0E,然后问题可求解； (3)由题意易得射线OE在∠AOB内部，则可分：当射线OE在∠DOB内部时，当射线OE在LAOD内部 时，然后分类求解即可 【详解】(1)解：因为射线0D平分∠A0B,∠A0B=120°， 所以∠B0D=号∠40B=60°， 2 :∠B0E=38°， ∠D0E=∠B0D+∠B0E=98°； 故答案为98°： (2)解：因为射线0D和射线OE分别平分∠A0B、∠B0C,∠A0B=120°， 所以∠BOD=∠AOB=60,∠B0E=∠COE=∠BOC, 2 因为∠DOE=a, 所以LB0E=∠B0D-∠D0E=60°-a=∠C0E, ∴∠D0C=∠C0E-∠D0E=60°-2a; (3)解：因为射线0D平分∠A0B, 所以∠AOD=∠BOD=∠A0B 因为90°<∠A0B<140°， 所以45°<∠AOD<70°，45°<∠B0D<70°， 由∠D0E=20°可知射线OE在∠AOB内部，则可分： 当射线OE在∠DOB内部时，如图， A 因为射线OE分别平分∠BOC, 所以∠BOE=∠COE=)∠BOC, 2 所t以∠BOE=∠B0D-∠DOE=∠AOB-20°=∠COE, 2 所以∠D0C=∠COE-∠D0E=∠A0B-40°； 当射线OE在∠AOD内部时，如图， 4/5⊥ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 因为射线OE分别平分∠B0C, 所以∠BOE=∠COE= ∠BOC, 所以∠BOE=∠BOD+∠D0E=∠AOB+20°=∠COE, 所以∠D0C=∠C0E+∠D0E=∠A0B+40°： 综上所述：∠D0C=∠A0B-40°或∠D0C= ∠AOB+40° 2 3.(天府新区)在一次数学活动课上，小天同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面 的问题，请你帮助小天一起求解.已知∠A0B=120°，∠C0D=100°，OM平分∠AOD,0N平分∠BOC C A A B 0 B B(D) 图1 图2 备用图 【初步感知】 (1)如图1，当0C在∠AOB的内部，且OB与0D重合时，∠M0N的度数为_°. 【深入探究】 (2)如图2，将∠C0D从图1的位置开始以每秒1°的速度绕着点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒，设 0<1<240 ①当t≤40时，求|∠BOD-∠COM=∠MON时的t值； ②小天同学发现∠MON的度数在某些时间范围内保持不变，请求出∠MON保持不变时的度数及此时t的取 值范围。 【答案】(1)10：(2)①1=20或10；②当0<1≤60时，∠M0N=10°，当60<1<240时， 3 ∠M0N=170°. 5/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算、利用一元一次方程解决动点问题等内容，熟练掌握 相关知识是解题的关键】 (1)根据角平分线的定义和角的和差即可直接得解； (2)①根据动角运动轨迹分别表示出∠BOD、∠C0M、∠M0N,再代入建立方程求解即可； ②分类讨论，OC在OB上方且OM在也在OB上方、OC在OB上方且OM在也在OB下方、OC在OB下方 时，进而根据角的和差求解即可. 【详解】解：(1)OB与0D重合， ∴.∠A0B=∠A0D=100°， :OM平分∠AOD,0N平分∠B0C, ∠D0M=号L40D=60,∠B0M=∠BOC=50: ∠M0N=∠D0M-∠B0N=10°， 故答案为：10： (2)①由题易知∠BOD=t°， ∠B0C=(100-t°，∠A0D=(120+°， :0N平分∠B0C, ∠80N=B0c=50-号P. :OM平分∠AOD, ÷∠D0M=3∠A0D=(60+3P, ∠C0M=∠C0D-∠D0M=100-(60+)°=(40°， ∠M0N=∠D0M-∠B0D-∠BON=(60+3)°-°-(50-0°=10， :|∠BOD-∠COM=∠MON, 3-(40-10, 都=0或g ②1°当0<1≤60时，如图， 6/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M N B D 同①中方法可得∠M0N=10°： 2°当60<1≤100时，如图， C B M D 此时∠A0D=360°-∠A0B-∠B0D=240-)°，∠B0C=(100-t)°， ∠n0N=A0D=020-号0，∠80N=∠B0c=(0-号0P 2 ∠M0N=∠D0M+∠B0D+∠BON=120-3)°+1°+(50-20°=170； 3°当100<t<240时， y M B N D 此时此时∠A0D=360°-∠A0B-∠B0D=240-t°，∠B0C=(1-100)°， ∠D0M=540D=020-号P,∠B0N=5n0c=(1-50, ÷∠M0N=∠D0M+∠B0D-∠B0N=I20-))°+P-(31-50P=170°： 综上，当0<1≤60时，∠M0N=10°，当60<1<240时，∠M0N=170°. 4.(金牛区)己知∠A0B=120°，∠A0B=2LC0D,射线0D是由0C顺时针旋转得到的，OM平分 7/31 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AOC,ON平分∠BOD,探究∠AOM与LBON的关系.（本题出现的角均指大于O°且小于平角的角） B(D) B 图1 图2 备用图 【初步感知】 (1)如图1，射线0C是由射线OB逆时针旋转得到的，∠B0C=30°，则∠AOM=一，LB0N= 【深入探究】 (2)若射线0C在∠AOB的内部，请探究∠AOM与LBON的关系并说明理由. 【拓展延伸】 (3)若射线00从OA的位置开始绕着点0旋转一周，射线OE平分∠AOQ,射线OF平分LB0Q,射线 0G平分∠E0F,当∠A00-∠Q0G=50°时，请直接写出LB00的大小. 【答案】(1)∠AOM=45°，∠BON=15°；(2)∠A0M-∠B0N=30°，理由见解析；(3)∠B0Q= 140 3 【分析】本题考查的是角的和差计算及角平分线的有关计算， (1)先求出∠C0D=60°，4A0C=90°，4B0D=30°，进而求出结论； (2)设LB0C=a,则∠AOC=120°-a,∠BOD=60°-a,求出∠A0M、LB0N即可求出结论； (3)分情况讨论：当00在∠A0B内部时，当00在∠A0B外部时，分别表示出∠AOQ、∠QOG,并列方 程即可求解； 【详解】解：(1) ∠A0B=120°，∠A0B=2∠C0D, .∠C0D=60°， :∠B0C=30°， .∠A0C=120°-30°=90°，∠B0D=60°-30°=30°， OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, 40w-40c-x0=45∠a0N-B00 2 2 2×30°=15： (2)∠A0M-LB0N=30°，理由如下： 设∠B0C=a, 8/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A0C=120°-Q,∠B0D=60°-a, OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, 240w-40c-120-a=6w-a,∠80N-号B00-×w-a=0- 3)当0在∠08肉时，段∠408=，则<006-400=，∠400=20. 当0<x<30时，如下图： :射线OE平分∠AOQ,射线0F平分LB0Q,射线0G平分∠E0F, B ∠0F=∠R00+∠r00-a00+s00-400+∠B0g=0, ·∠EOG=∠FOG=)∠EOF=30 ∠Q0G=∠E0Q-∠E0G=30°-x° :∠A09-∠Q0G=50 2x-(30-x=50 解得：5=80 20 3 (都不合题意，舍去) 当30<x<60时，如下图： E G 射线OE平分∠AO9,射线0F平分LB00,射线0G平分LE0F, B ∠B0F=2B00+20-40+80-400+∠00=m, ∴∠EOG=∠FOG 2<E0F=30 .∠Q0G=∠EOQ-∠EOG=x°-30° :∠A00-∠Q0G=50° 9/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-(x-30)=50 解得：x=20,x2=-80(都不合题意舍去)： 当00在∠A0B外部且在射线0A右侧时，设LA0E=x°，则∠Q0E=∠A0Q=x,∠A0Q=2x°， 2 当60<x<90时，如下图： A G: 射线OE平分∠AOQ,射线0F平分LB0Q,射线OG平分LE0F, B Q 2or=∠B00∠r00-400B002400-∠0g=60 ∠B0G=∠roG=BoF=30 .∠Q0G=∠E0Q-∠EOG=x°-30° :∠A00-LQ0G=50 .2x-(x-30)=50 解得：x=20,x2=-80(都不合题意舍去) 当00在∠40B外部且在射线0A左侧时，设∠40E=x°，则∠00E=∠A0Q=x,∠A0Q=2x°， 当60<x<90时，如下图： A B射线OE平分∠AO0,射线0F平分LB00,射线0G平分LEOF, G ∠B0F=∠E00+∠P00-∠A00+∠B00-x1360P-1209=120, 2 2 :∠BOG=∠F0G=1∠E0F=600 10/31