【数学帮】七年级上册创新类压轴题

七上数学：创新类压轴题 一．解答题（共 15 小题） 1 ．数轴上有 M，N，P 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 3 倍的数量关系， 则称该点是其它两个点的“三倍点 ”． 例如，数轴上点 M，N，P 所表示的数分别为 1 ，4 ，5 ，此时点 N 是点 M，P 的“三倍点 ”． （1）点 A 表示的数是 - 2 ，点 B 表示的数是 2 ，下列各数 1 ，4 ，6 ，8 所对应的点分别是 C1 ，C2 ，C3， C4 ，其中是点 A ，B 的“三倍点 ”的是 ； （2）点 D 表示的数是 - 10 ，点 E 表示的数是 14，F 为数轴上一个动点，若点 F 是点 D，E 的“三倍点 ”， 求点 F 表示的数． 2 ．对于数轴上三个不同的点A ，B ，C，给出如下定义：在线段 AB ，BC，CA 中，若其中有两条线段相等， 则称 A ，B ，C 三点是“均衡点 ”． （1）点 A 表示的数是 - 2 ，点 B 表示的数是 1 ，点 C 表示的数是 3， ①A ，B ，C 三点 （填“是 ”或“不是 ”）“均衡点 ”； ②点 M 表示的数是 m ，且 B ，C，M 三点是“均衡点 ”，则 m = ; （2）点 D 表示的数是 x ，点 E 表示的数是 n ，线段 EF＝a（a 为正整数），线段 DE ＝b ，若 D ，E ，F 三 点是“均衡点 ”，且关于 x 的一元一次方程 ax+x ＝4b 的解为整数，求 n 的最小值． 第 1页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 3 ．对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式 A ＝x2 - 4x+5 ，若将其写成 A ＝（x - 2）2+1 的形式，就能看出不论字母 x 取何值，它都表示正数；若将它写成 A ＝（x - 1）2 - 2（x - 1）+2 的形式，就能与代数式 B ＝x2 - 2x+2 建立联系．下面我们改变 x 的值，研究一下 A，B 两个代数式取值的 规律： x - 2 - 1 0 1 2 3 B ＝x2 - 2x+2 10 5 2 1 2 5 A ＝（x - 1）2 - 2（x - 1）+2 17 p 5 2 1 2 （1）表中p 的值是 ； （2）观察表格可以发现： 若 x ＝m 时，B ＝x2 - 2x+2 ＝n ，则 x ＝m+1 时，A ＝x2 - 4x+5 ＝n ．我们把这种现象称为代数式 A 参照代数 式 B 取值延后，此时延后值为 1． ①若代数式 D 参照代数式 B 取值延后，相应的延后值为 2 ，求代数式 D； ②已知代数式 3x2 - 10x+b 参照代数式 3x2 - 4x+c 取值延后，请直接写出 b - c 的值． 4 ．已知有理数 x 、y 满足方程 3x - y ＝5① , 2x+3y ＝7② , 求 x - 4y 和 7x+5y 的值． 通过读题小凯发现题目中给出的方程是有两个未知数的方程，我们没有学习过，求值的代数式也有两个 未知数．小凯观察发现如果方程① , 方程②的左侧对应着相减，即：（3x - y） - （2x+3y）化简后恰好 出现代数式 x - 4y ，方程①的左侧与方程②的左侧的 2 倍相加，即：（3x - y）+2（2x+3y）化简后恰好 出现代数式 7x+5y ，依据所学知识可得：（3x - y） - （2x+3y）＝5 - 7 ＝ - 2；（3x - y）+2（2x+3y）＝5+2 ×7 ＝19 ．因此，小凯求出：x - 4y ＝ - 2 ，7x+5y ＝19． 请你按照小凯思路解决下列问题： （1）如果 4x+3y ＝15 ，x+2y ＝10 ，那么 x+y ＝ ，2x - y = ; （2）小凯为班集体购买活动奖品，第一次他购买了 15 支铅笔、5 块橡皮、4 本日记本共花了 75 元，第 二次他购买了29 支铅笔、9 块橡皮、7 本日记本共花了 140 元，第三次老师让小凯购买 6 支铅笔、6 块 橡皮、6 本日记本共需要多少元？ （3）对于有理数 x、y，我们定义一个新运算：x*y ＝ax+by+c，等式右边是我们学习过的加法和乘法运算， 其中 a 、b 、c 是常数，x，y 是未知数．如果 3*5 ＝15 ，4*7 ＝28 ，计算 1*1 的值． 第 2页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 5 ．钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成 12 个大格，每个大格等分成 5 个小格．如图，设在 4 ：00 时，分针的位置为 OB ，时针的位置为 OA ，运动后的分针为 OP ，时针为 OQ （本题中的角均指小于 180 ° 的角）． （1）求 4 ：00 开始几分钟后分针第一次追上时针； 若在 4 ：00 至 5 ：00 之间，OM 在∠AOP 内，ON 在∠AOQ 内，∠POM= ∠AOP ，∠NOQ = AOQ． ①当 OP 在∠AOB 内时，求∠POM 和∠AON 之间的数量关系； ②从 4 ：00 开始几分钟后， ∠MON＝111 ° . 6 ．阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题． 材料 1：一般地，n 个相同因数 a 相乘，记为 an，如 23 ＝8，此时，3 叫做以 2 为底的 8 的对数，记为 log28， 即 log28 ＝3 ；再如：43 ＝64 ，则 log464 ＝3． 材料 2：一般地，对于数 a 和b，(“≠ ”不等号），但是对于某些特殊的数 a 和b，．我 们把这些特殊的数 a 和 b，称为“理想数对 ”，记作( a，b) ．例如当 a ＝1，b ＝ - 4 时，有， 那么( 1 ， - 4) 就是“理想数对 ”． （1）计算：log525 = ; （2）填空：如果( 3 ，x) 是“理想数对 ”，那么 x = ; （3）若( m ，n) 是“理想数对 ”，求式子（8n - 3m） - 7（n - m ）+（log216）的值． 第 3页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 7 ．小林用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验．如图：他在木杆的正中间处栓绳，将木杆吊起 来，吊绳处为木杆的支点，记为 O ．然后在木杆的左边挂 m 个重物，在木杆的右边挂 n 个重物，且 m ≠ n ．并通过移动左右两边的重物直至木杆平衡．记平衡时木杆左边挂重物的位置为 A ，木杆右边挂重物的 位置为 B 、多次实验后、小林发现了规律：m . OA ＝n . OB ，即木杆平衡时，左边挂重物的个数×支点 到木杆左边挂重物处的距离＝右边挂重物的个数×支点到木杆右边挂重物处的距离． （1）填空： ＝ （用含有 m 和 n 的式子表示）； （2）设木杆上 AB 中点的位置为 C． ①若 m ＝3 ，n ＝2 ，AB ＝40cm ，求 OC； ②问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 8 ．将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线 MN 上，且三角板 ADE 始终摆放在直线 MN 下方， 三角板 ABC 可绕点 A 任意旋转．已知∠CAB = ∠AED ＝90 ° , ∠C ＝45 ° , ∠EAD ＝30 ° . 设∠BAN＝m ° , ∠DAN＝n ° （0≤m ≤180 ，0≤n≤150）． （1）当 m+n ＝0 时，求∠CAE 的度数； （2）当 n ＝2m（m ≠0）时，求∠CAM 与∠MAE 的数量关系； （3）当点 C，A ，E 三点共线时，请通过画图探究说明 m 与 n 的数量关系． 第 4页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 9 ．如图 1 ，已知射线 OC 在∠AOB 的内部，若∠AOB ，∠AOC 和∠BOC 三个角中有一个角的度数是另一个 角度数的两倍，则称射线 OC 是∠AOB 的奇妙线． （1）一个角的平分线 这个角的奇妙线；（填“是 ”或“不是 ”） （2）如图 2 ， ∠MPN＝60 ° . ①若射线 PQ 是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 ； ②若射线PF 从PN 位置开始，以每秒旋转 3 ° 的速度绕点P 按逆时针方向旋转，当∠FPN 首次等于 180 ° 时停止旋转，设旋转的时间为 t（s）．当 t 为何值时，射线 PM 是∠FPN的奇妙线？ 10 ．在数轴上，O 为原点，点 A ，B 对应的数分别是 a ，b（a≠b ，ab≠0），M 为线段 AB 的中点． 给出如下定义：若 OA÷OB ＝4，则称 A 是 B 的“正比点 ”；若 OA×OB ＝4，则称 A 是 B 的“反比点 ”．例 如 a ＝2 ，b ＝时，A 是 B 的“正比点 ”；a ＝2 ，b ＝ - 2 时，A 是 B 的“反比点 ”． （1）若|a+4|+（b - 8）2 ＝0 ，则 M 对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）． ①A 是 M 的“正比点 ”；②A 是 M 的“反比点 ”；③B 是 M 的“正比点 ”；④B 是 M 的“反比点 ”； （2）若 ab＞0 ，且 M 是 A 的“正比点 ”，求的值； （3）若 ab＜0 ，且 M 既是 A ，B 其中一点的“正比点 ”，又是另一点的“反比点 ”，直接写出的值． 第 5页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 11．对于数轴上的点A 和正数 r ，给出如下定义：点 A 在数轴上移动，沿负方向移动 r 个单位长度后所在位 置点表示的数是 x ，沿正方向移动 r 个单位长度后所在位置点表示的数是 y ，x 与y 这两个数叫做“点 A 的 r 对称数 ”，记作 D（A ，r）＝{x，y} ，其中 x＜y． 例如：原点 O 表示 0 ，原点 O 的 1 对称数是 D（O ，1）＝{ - 1 ，1}． （1）若点A 表示 2 ，则点 A 的 4 对称数 D（A ，4）＝{x，y} ，则 x ＝ ，y = ; （2）若 D（A ，r）＝{ - 3 ，11} ，求点 A 表示的数及 r 的值； （3）已知 D（A ，5）＝{x，y}，D（B ，3）＝{m ，n} ，若点 A 、点 B 从原点同时出发，沿数轴反向运动， 且点A 的速度是点 B 速度的 2 倍，当 2（y - n）＝3（x - m ）时，请直接写出点 A 表示的数． 12 ．对于由若干不相等的整数组成的数组 P 和有理数 k 给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为 1 个单 位长度的线段 AB，使得将数组 P 中的每一个数乘以 k 之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示， 就称 k 为数组 P 的收纳系数． 例如，对于数组 P： 1 ，2 ，3 ，因为： ＝ ， ＝ ， ，取 A 为原点，B 为表示数 1 的点，那么这三个数都可以用线段 AB 上的某个点来表示，可以判断是 P 的收纳系数． 已知 k 是数组 P 的收纳系数，此时线段 AB 的端点A ，B 表示的数分别为 a ，b（a＜b）． （1）对数组 P：1 ，2 ， - 3 ，在 1 ， ，这三个数中，k 可能是 ； （2）对数组 P：1 ，2 ，x ，若 k 的最大值为 ，求 x 的值； （3） 已知 100 个连续整数中第一个整数为 x ，从中选择 n 个数，组成数组 P． ①当 x ＝ - 80 ，且 a ＝3 时，直接写出 n 的最大值； ②当 n ＝100 时，直接写出 k 的最大值和相应的|a+b|的最小值． 第 6页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 13 ．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联 系，它是“数形结合 ”的基础．如图，在数轴上点 A 表示数 a ，点 B 表示数 b ，点 C 表示数 c ，其中 b 是最小的正整数，且多项式（a+2）x3+2x2+9x+5 是关于 x 的二次多项式，一次项系数为 c． （1）a ＝ ，b ＝ ，c = ; （2）若将数轴折叠，使得点A 与点 C 重合，此时点 B 与某数表示的点重合，则此数为 ； （3）在数轴上剪下 AC（从 a 到 c）这条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀 得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为 2 ：2 ：5 ，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可 能是多少？ 14 ．在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若 x0是关于 x 的一元一次方程 ax+b ＝0（a≠0） 的解，y0 是关于y 的方程的所有解的其中一个解，且 x0，y0 满足 x0+y0 ＝99 ，则称关于y 的方程为关于 x 的一元一 次方程的“久久方程 ”．例如：一元一次方程 3x - 2x - 98 ＝0 的解是 x0 ＝98 ，方程|y|+1 ＝2 的所有解是 y = 1 或y ＝ - 1 ，当y0 ＝1 ，x0+y0 ＝99 ，所以|y|+1 ＝2 为一元一次方程 3x - 2x - 98 ＝0 的“久久方程 ”． （1） 已知关于y 的方程： ①2y - 2 ＝4 ，②|y| ＝2 ，其中哪个方程是一元一次方程 3（x - 1）＝2x+98 的“久久方程 ”？请直接写出 正确的序号 ． （2）若关于y 的方程|2y - 2|+2 ＝4 是关于 x 的一元一次方程 x - 的“久久方程 ”，请求出 a 的值． （3）若关于y 的方程 a|y - 49|+a+b ＝是关于 x 的一元一次方程 ax+50b ＝55a 的“久久方程 ”， 求出的值． 第 7页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 15 ．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为 5 ，十位数字与个位数字的和为 6 ，那么我 们把这样的数称为“五颜六色数 ”．例如： 1433 的千位数字与百位数字的和为： 1+4 ＝5 ，十位数字与个 位数字的和为：3+3 ＝6，所以 1433 是一个“五颜六色数 ”；3252 的十位数字与个位数字的和为：5+2≠6， 所以3252 不是一个“五颜六色数 ”． （1）判断 2315 “五颜六色数 ”，4223 “五颜六色数 ”（填“是 ”或“不是 ”）； （2）若一个“五颜六色数 ”m 表示成 ，其中 a 、b 、c 、d 分别是其千位数、百位数、十位数和个位 数字，交换其百位数字和十位数字得到新数 m' = . ①若 ＝135 ，试求 3b - 2c+a 的值． ②若 m'也是五颜六色数，关于 x 的方程（4 - d+a）x ＝b2+2 的所有整数解分别为 x1，x2 ，… , xn ，试求|y - x1|+|y - x2|+…+|y - xn|的最小值． 第 8页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 七上数学：创新类压轴题 参考答案与试题解析 一．解答题（共 15 小题） 1 ．【答案】（1）C1 、C2； （2）x ＝ - 22 或 x ＝26 或 x ＝8 或 x ＝ - 4． 【分析】（1）根据“三倍点 ”的新定义，逐步计算即可； （2）根据“三倍点 ”的新定义，假设点 F 在点 D 的左侧，点 F 在点 E 的右侧和点 F 在点 D 、E 的两点 之间三种情况，分别进行讨论，即可． 【解答】解：（1） ∵点 A 表示的数是 - 2 ，点 B 表示的数是 2 ，点 C1为 1， ∴AC1 ＝3 ，BC1 ＝1， ∴C1是 A 、B 的“三倍点 ”； ∵点 A 表示的数是 - 2 ，点 B 表示的数是 2 ，点 C2为 4， ∴AC2 ＝6 ，BC2 ＝2， ∴C2是 A 、B 的“三倍点 ”； ∵点 A 表示的数是 - 2 ，点 B 表示的数是 2 ，点 C3为 6， ∴AC3 ＝4 ，BC3 ＝4， ∴C3不是 A 、B 的“三倍点 ”； ∵点 A 表示的数是 - 2 ，点 B 表示的数是 2 ，点 C4为 8， ∴AC4 ＝4 ，BC4 ＝6， ∴C4不是 A 、B 的“三倍点 ”； 故答案为：C1 、C2． （2）若点 F 在点 D 的左侧，且点 F 是点 D ，E 的“三倍点 ”，设点 F 表示的数为 x， 则有：3FD ＝FE ，3（ - 10 - x）＝14 - x， 解得：x ＝ - 22； 若点 F 在点 E 的右侧，且点 F 是点 D ，E 的“三倍点 ”，设点 F 表示的数为 x， 则有：FD ＝3FE ，x+10 ＝3（x - 14）， 解得：x ＝26； 第 9页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 若点 F 在点 D 、E 的两点之间，且点 F 是点 D ，E 的“三倍点 ”，设点 F 表示的数为 x， 则有：DF＝3FE 或 3DF＝FE ，x+10 ＝3（ 14 - x）或 3（x+10）＝14 - x， 解得：x ＝8 或 x ＝ - 4， 故答案为：x ＝ - 22 或 x ＝26 或 x ＝8 或 x ＝ - 4． 【点评】本题考查的是数轴和一元一次方程的求解，解题的关键是读懂新定义与灵活运用分类讨论的思 想． 2 ．【答案】（1）不是；（2） - 1 、2 或 5 ；（3） - 7． 【分析】（1）根据题意分别表示出 AB ＝3 ，BC ＝2 ，AC ＝5 ，即可得到本题答案； （2）根据题意针对三点的位置分情况讨论，列关于 m 的一元一次方程并解出即可得到本题答案； （3）根据题意针对三点分情况讨论，可分为 6 种情况，再分别列出方程正确解答后比较 n 的数值，即可 得到本题答案． 【解答】解：（1） ①解： ∵点 A 表示的数是 - 2 ，点 B 表示的数是 1 ，点 C 表示的数是 3， ∴AB ＝3 ，BC ＝2 ，AC ＝5， ∵AB≠BC≠AC， ∴A ，B ，C 三点不是“均衡点 ”； 故答案为：不是． ②∵点 M 表示的数是 m ，且 B ，C，M 三点是“均衡点 ”， 又∵点 B 表示的数是 1 ，点 C 表示的数是 3 ，分情况讨论： Ⅰ. 当点 B ，C，M 顺次时，BC ＝2 ，CM＝m - 3， 即 BC ＝CM，2 ＝m - 3， 解得：m ＝5； Ⅱ. 当点 B ，M，C 顺次时，BM＝m - l ，CM＝3 - m， 即 BM＝CM，m - 1 ＝3 - m， 解得：m ＝2； Ⅲ. 当点 M，B ，C 顺次时，MB ＝1 - m ，CB ＝2， 即 MB ＝CB ，l - m ＝2， 解得：m ＝ - 1； 综上所述：m 的值为 5 或 2 或 - 1； 故答案为： - 1 ，2 或 5． （2） ∵D ，E ，F 三点是“均衡点 ”，分情况讨论： 第 10页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ①当点 D ，E ，F 顺次时，即 DE ＝EF 时， ∵线段 EF＝a （a 为正整数），线段 DE ＝b， ∴a ＝b， ∵关于 x 的一元一次方程 ax+x ＝4b 的解为整数， ∴x = = , ∵a 为正整数， ∴a ＝1 或 a ＝3， ∴当 a ＝1 时，x ＝ ＝2 符合题意， ∵点 E 表示的数是 n ，点 D 表示的数是 x， ∴n - x ＝a ，即 n ＝a+x ＝1+2 ＝3， 当 a ＝3 时，x ＝3 符合题意， ∴n - x ＝a ，即 n ＝a+x ＝3+3 ＝6； ②当点 D ，F，E 顺次时，即 DF＝EF 时， ∵线段 EF＝a（a 为正整数），线段 DE ＝b， ∴a ＝ ，即 b ＝2a， ∵关于 x 的一元一次方程 ax+x ＝4b 的解为整数， ∴x = , ∵a 为正整数， ∴a ＝1 或 a ＝3 或 a ＝7， ∴当 a ＝1 时，x ＝ ＝4 符合题意， ∵点 E 表示的数是 n ，点 D 表示的数是 x， ∴n - 2a ＝x ，即 n ＝2a+x ＝2+4 ＝6， 当 a ＝3 时，x ＝ ＝6 符合题意，此时 n ＝12， 当 a ＝7 时，x ＝ ＝7 符合题意，此时 n ＝21； ③当点 E ，D ，F 顺次时，即 DE ＝DF 时， ∵线段 EF＝a （a 为正整数），线段 DE ＝b， ∴a ＝2b， 第 11页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵关于 x 的一元一次方程 ax+x ＝4b 的解为整数， ∴x = = , ∵a 为正整数， ∴当 a ＝1 时，x ＝ ＝1 符合题意， ∵点 E 表示的数是 n ，点 D 表示的数是 x， ∴n ＝x - ，即 n ＝1 - ； ④当点 E ，F，D 顺次时，即 EF＝DF 时， ∵线段 EF＝a （a 为正整数），线段 DE ＝b， ∴2a ＝b， ∵关于 x 的一元一次方程 ax+x ＝4b 的解为整数， ∴x = , ∵a 为正整数， ∴当 a ＝1 时，x ＝ ＝4 符合题意， ∵点 E 表示的数是 n ，点 D 表示的数是 x， ∴n ＝x - 2a ，即 n ＝4 - 2 ＝2， ∴当 a ＝3 时，x ＝ ＝6 符合题意，此时 n ＝0， 当 a ＝7 时，x ＝ ＝7 符合题意，此时 n ＝ - 7； ⑤当点 F，D ，E 顺次时，即 FD ＝DE 时， ∵线段 EF＝a（a 为正整数），线段 DE ＝b， ∴a ＝2b， ∵关于 x 的一元一次方程 ax+x ＝4b 的解为整数， ∴x = , ∵a 为正整数， 当 a ＝1 时，x ＝ ＝1 符合题意， ∵点 E 表示的数是 n ，点 D 表示的数是 x， n ＝x+ ，即 n ＝1+， 第 12页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 当 a ＝3 时，x ＝ ＝2 符合题意，此时 n = , ⑥当点 F，E ，D 顺次时，即 FE ＝DE 时， ∵线段 EF＝a（a 为正整数），线段 DE ＝b， ∴a ＝b， ∵关于 x 的一元一次方程 ax+x ＝4b 的解为整数， ∴x = = , ∵a 为正整数， ∴当 a ＝1 时，x ＝ ＝2 符合题意， ∵点 E 表示的数是 n ，点 D 表示的数是 x， ∴n ＝x - a ，即 n ＝2 - 1 ＝1， 当 a ＝3 时，x ＝ ＝3 符合题意，此时 n ＝0， 综上所述：n 的最小值为 - 7． 【点评】本题考查解一元一次方程，数轴上两点之间距离关系，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用 这些知识点． 3 ．【答案】（1）10； （2） ①x2 - 6x+10； ②7． 【分析】（1）把 x ＝ - 1 代入即可求得； （2） ①D ＝（x - 2）2 - 2（x - 2）+2 ＝x2 - 6x+10； ②由①可得 a ＝3 ，设延后值为 k，3m2 - 4m+c ＝3（m+k）2 - 10（m+k）+b ，则可求 b - c ＝7． 【解答】解：（1）将 x ＝ - 1 代入 A ＝（x - 1）2 - 2（x - 1）+2 得，A ＝10， 故答案为：10； （2） ①∵代数式 D 参照代数式 B 取值延后，相应的延后值为 2， - 6m - 4 ＝ - 10 ，m ＝1 ，b ＝3m2+4m+c ，b - c ＝7， ∴D ＝（x - 2）2 - 2（x - 2）+2 ＝x2 - 6x+10； ②由①可得 a ＝3， ∴ax2 - 10x+b ＝3x2 - 10x+b， ∵代数式 ax2 - 10x+b 参照代数式 3x2 - 4x+c 取值延后， 设延后值为k， 第 13页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵x ＝m 时，3x2 - 4x+c ＝3m2 - 4m+c， x ＝m+k 时，ax2 - 10x+b ＝3（m+k）2 - 10（m+k）+b， ∴3m2 - 4m+c ＝3（m+k）2 - 10（m+k）+b， ∴6k - 10 ＝ - 4， ∴k ＝1， ∵c ＝3k2 - 10k+b， ∴b - c ＝7， 故 b - c 的值为 7． 【点评】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确地列出代数式，并进行求解即可． 4 ．【答案】（1）5 ， - 5； （2）60； （3） - 11． 【分析】（1） 由① - ③可求得 2x - y ，由①+ ②可求得 x+y； （2）设 1 支铅笔 x 元，1 块橡皮y 元，1 本日记本 z 元， 由题意：买 15 支铅笔、5 块橡皮、4 本日记本 共需 75 元，买 29 支铅笔、9 块橡皮、7 本日记本共需 140 元，列出方程组，再由整体思想 ”求出x+y+z = 10 ，即可得出结论； （3） 由定义新运算：x※y ＝ax+by+c 得 3※5 ＝3a+5b+c ＝15① , 4※7 ＝4a+7b+c ＝28② , 求出 a+b+c = - 11 ，即可得出结论． 【解答】解：（1）联立 4x+3y ＝15 ，x+2y ＝10 ，得 ①+ ② , 得 5x+5y ＝25， ∴x+y ＝5． ② ×2 ，得 2x+4y ＝20 ， ③ ① - ③得：2x - y ＝ - 5． 故答案为：5 ， - 5； （2）设 1 支铅笔 x 元，1 块橡皮y 元，1 本日记本 z 元， 由题意得： ， ① ×2 - ②得：x+y+z ＝10， 第 14页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 即购买 1 支铅笔、1 块橡皮、1 本日记本共需 10 元； ∴购买 6 支铅笔、6 块橡皮、6 本日记本共需要 6（x+y+z）＝6×10 ＝60（元）； （3） ∵x※y ＝ax+by+c， ∴3※5 ＝3a+5b+c ＝15① , 4※7 ＝4a+7b+c ＝28② , ② - ①得：a+2b ＝13， ∴a ＝13 - 2b， ② ×3 - ①×4 得：b - c ＝24， ∴c ＝b - 24， ∴a+b+c ＝13 - 2b+b+b - 24 ＝ - 11， ∴ 1※1 ＝a+b+c ＝ - 11． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识；熟练掌握整体思想和新运算， 找准等量关系，列出方程组是解题的关键． 5 ．【答案】（1）4 ：00 开始分钟后分针第一次追上时针； （2） ①6∠AON+∠POM＝40 ° ; ②从 4 ：00 开始分钟或分钟后， ∠MON＝111 ° . 【分析】（1）设 4 ：00 开始 x 分钟后分针第一次追上时针，可得（6x） ° - （0.5x） ° =4×30 ° , 即可 解得答案； （2）①设运动时间为 t 分钟，可知∠BOP ＝（6t）° , ∠AOQ ＝（0.5t）° , 即得∠AOP ＝120 ° - ∠BOP = 120 ° - ° , 而∠POM= ∠AOP ， ∠NOQ = ∠AOQ ，故∠POM＝40 ° - ° , ∠AON= ∠AOQ = ×（0.5t） ° =（ t ） ° , 从而可得 6∠AON+∠POM＝40 ° ; ②设从4：00 开始m 分钟后，∠MON＝111 ° , 当 OP 未追上 OQ 时，有∠MON= ∠AOM+∠AON＝（120 ° - 6 °m+0.5 °m ）＝80 ° - （ m ） ° , 故 80 ° - （ m ） ° = 111 ° , 当 OP 旋转角度小于 300 °时， 同理可得（ m ） ° - 80 ° = 111 ° , 当 OP 旋转角度大于 300 °时，320 ° - （ m ） ° = 111 ° , 解方 程可得答案． 【解答】解：时针每分钟转 0.5 ° , 分针每分钟转 6 ° ; （1）设 4 ：00 开始 x 分钟后分针第一次追上时针， ∴（6x） ° - （0.5x） ° =4×30 ° , 解得 x = , 第 15页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴4：00 开始分钟后分针第一次追上时针； （2） ①当 OP 在∠AOB 内时， 设运动时间为 t 分钟， ∴ ∠BOP ＝（6t） ° , ∠AOQ ＝（0.5t） ° , ( , )∴ ∠AOP ＝120 ° - ∠BOP ＝120 ° - （6t） ° ∵ ∠POM= ∠AOP ， ∠NOQ = ∠AOQ， ∴ ∠POM＝40 ° - ° , ∠AON= ∠AOQ = ∴6∠AON＝（2t） ° , ∴6∠AON+∠POM＝40 ° ; ②设从 4 ：00 开始 m 分钟后， ∠MON＝111 ° , 当 OP 未追上 OQ 时， - 6 °m+0.5 °m ）＝80 ° - （ m ） ° , ∴80 ° - （ m ） ° = 111 ° , ∴（ m ） ° = - 31 ° <0（舍去）； 当 OP 旋转角度小于 300 °时， 同理可得∠MON= ∠AOM - ∠AON= ° - 80 ° , ∴（ m ） ° - 80 ° = 111 ° , 解得 m = , 当 OP 旋转角度大于 300 °时， 第 16页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴320 ° - （ m ） ° = 111 ° , ∴m = . 答：从 4 ：00 开始分钟或分钟后， ∠MON＝111 ° . 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握时针的运动速度是解题关键． 6 ．【答案】（1）2； （2） - 12； （3）4． 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行计算即可； （2）根据“理想数对 ”的定义列出关于 x 的方程，解方程即可； （3）先根据“理想数对 ”得出 ＝，整理得 n ＝ - 4m，然后代入（8n - 3m）- 7（n - m）+（log216） 求出结果即可． 【解答】解：（1） ∵52 ＝25， ∴log525 ＝2． 故答案为：2； （2） ∵（3 ，x）是“理想数对 ”， ∴+ = , 解得：x ＝ - 12； 故答案为： - 12； （3） ∵24 ＝16， ∴log216 ＝4， ∵（m ，n）是“理想数对 ”， ∴ = , 整理得：n ＝ - 4m， 把 n ＝ - 4m 代入（8n - 3m） - 7（n - m ）+（log216）得： 8×（ - 4m） - 3m - 7（ - 4m - m ）+4 = - 32m - 3m - （ - 35m）+4 第 17页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 = - 35m+35m+4 =4． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值，新定义运算，解题的关键是理解新定义， 根据新定义列出方程． 7 ．【答案】（1）； （2）OC ＝4cm； （3）是定值，定值为． 【分析】（1）根据小林发现的规律：m . OA ＝n . OB 即可解答； （2） ①设 OA ＝x cm ，则 OB ＝（40 - x）cm ，根据 m . OA ＝n . OB ，列出方程求得 OA ＝16cm ，OB = 24cm ，根据线段中点性质的 AC ＝20cm ，则 OC ＝AC - OA； （3）分 OA＜OB 和 OA＞OB 两种情况，先分别表示出 OA 的长，再表示出 OC，以此即可求解． 【解答】（1） 由题意可知，m . OA ＝n . OB， ∴; 故答案为：； 设 OA ＝x cm ，则 OB ＝（40 - x）cm， ∵m . OA ＝n . OB， ∴3x ＝2（40 - x） 解得：x ＝16， ∴OA ＝16cm ，OB ＝24cm， ∵C 为 AB 的中点， ∴AC ＝ ＝20cm， ∴OC ＝AC - OA ＝20 - 16 ＝4（cm）； ②当 OA＜OB 时， ∴OC = = , ∴ , 第 18页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 当 OA＞OB 时， ∴ , 综上，是定值，定值为． 【点评】本题主要考查线段的和差、线段中点性质、一元一次方程的应用，解题关键在于根据题中给出 的等量关系列出方程，并学会运用分类讨论思想解决问题． 8 ．【答案】（1） ∠CAE 的度数为 120 ° ; （2） ∠MAE ＝2∠CAM - 30 ° ; （3）m+n ＝60 °或 n - m ＝60 ° . 【分析】（1）已知∠CAB = ∠AED ＝90 ° , ∠C ＝45 ° , ∠EAD ＝30 ° , ∠BAN＝m ° , ∠DAN＝n ° , 当 m+n ＝0 时，因为∠CAE = ∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD ，所以可以直接计算出∠CAE 的度数； （2）根据三角形的余角和补角之间的关系，利用已知条件，可以得出∠CAM 与∠MAE 的数量关系； （3）当点 C，A ，E 三点共线时，此时∠CAE ＝180 ° , 利用已知条件，可以探究出 m 与 n 的数量关系． 【解答】解：（1）∵ ∠CAB = ∠AED ＝90 ° , ∠C ＝45 ° , ∠EAD ＝30 ° , ∠BAN＝m ° , ∠DAN＝n ° （0 ≤m ≤180 ，0≤n≤150）， 又∵∠CAE = ∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD， ∴当 m+n ＝0 时， ∴ ∠CAE ＝90 °+30 ° = 120 ° , 答： ∠CAE 的度数为 120 ° ; （2）当 AB 在 MN 上方时， ∵MN 是直线， ∠CAB = ∠AED ＝90 ° , ∠BAN＝m ° , ∠DAN＝n ° （0≤m ≤180 ，0≤n≤150）， ∴ ∠CAM＝180 ° - 90 ° - m ° =90 ° - m ° , ∴ ∠MAE ＝180 ° - 30 ° - n ° = 150 ° - n ° , ∵n ＝2m（m ≠0）， ∴ ∠MAE ＝2∠CAM - 30 ° , 当 AB 在 MN 下方时， ∠MAC ＝180 ° - （90 ° - m ° ) =90 °+m ° , ∠MAE ＝180 ° - 30 ° - 2m ° = 150 ° - 2m ° , 第 19页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠MAE ＝330 ° - 2∠MAC； 答： ∠CAM 与∠MAE 的数量关系为： ∠MAE ＝2∠CAM - 30 °或∠MAE ＝330 ° - 2∠MAC； （3）如图 1 ，当点 C，A ，E 三点共线时， ∵点 C，A ，E 三点共线， ∴ ∠CAE ＝180 ° , ∵ ∠CAE = ∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD， ∴ 180 ° =90 °+30 °+m+n， ∴m+n ＝60 ° , 如图 2 ，当点 C，A ，E 三点共线时， ∵点 C，A ，E 三点共线， ∴ ∠CAE ＝180 ° , ∵ ∠CAE = ∠CAB+∠BAD+∠DAE， ∴ 180 ° =90 °+30 °+n - m， ∴n - m ＝60 ° , 综上所述：m+n ＝60 °或 n - m ＝60 ° . 【点评】考查重点是熟练掌握三角形的余角，补角的定义，学会利用三角形余角和补角之间的关系，进 行综合运算． 9 ．【答案】（1）是；（2）20 或 30 或 40；（3）当 t 为 30 或 40 或 60 时，射线 PM 是∠FPN 的奇妙线． 【分析】（1）根据其妙线的定义进行判断即可； （2） ①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可； ②射线 PM 是∠FPN的奇妙线，PM 在∠FPN的内部，PF 在∠NPM的内部，然后分三种情况求解即可． 【解答】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2 倍，满足奇妙线的定义， 所以一个角的平分线是这个角的奇妙线； 第 20页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：是； （2） ①∠MPN＝60 ° , 射线 PQ 是∠MPN的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论： 当∠QPN＝2∠MPQ 时， ∵∠QPN+2∠MPQ ＝60 ° , ∴; 当∠MPQ ＝2∠QPN 时， ∵2∠QPN+∠MPQ ＝60 ° ∴; 当∠NPM＝2∠QPN 时， ∵ ∠MPN＝60 ° , ∴; 故答案为：20 或 30 或 40； ②∵射线 PM 是∠FPN 的奇妙线， ∴PM 在∠FPN的内部， ∴PF 在∠NPM的内部； 分三种情况： ( Ⅰ ) 如图，当∠NPM＝2∠FPM 时，如图所示： ∴ ∠FPN= ∠NPM+∠FPM＝60 °+30 ° =90 ° , ∴t ＝90÷3 ＝30（s）； ( Ⅱ ) 如图，当∠FPN＝2∠MPN 时，如图所示： ∴ ∠FPN＝2×60 ° = 120 ° , 第 21页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴t ＝120÷3 ＝40（s）； (Ⅲ) 当∠FPN＝2∠NPM 时，如图所示： ∵ ∠FPM＝2×60 ° = 120 ° , ∴ ∠FPN= ∠NPM+∠FPM＝60 °+120 ° = 180 ° , ∴t ＝180÷3 ＝60（s）； 综上：当 t 为 30 或 40 或 60 时，射线 PM 是∠FPN 的奇妙线． 【点评】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解， 是解题关键． 10 ．【答案】（1）2； ③ ; （2） = ; （3）的值为 - 9 或 - ． 【分析】（1） 由|a+4|+（b - 8）2 ＝0 ，得 a ＝ - 4 ，b ＝8 ，则中点 M 对应的数为： ＝2 ，利用“正比 点 ”，“反比点 ”的定义直接判断即可； （2）先表示出 M 点对应的数为： ，分析出 a，b，都同号，根据定义得 OM÷OA ＝4 ，得 = 4a ，化简即可求解； （3）利用定义可得 OA•OB ＝1 ，得 ab ＝ - 1 ，分两种情况： ①OM＝4|a| ，得|| ＝4|a| ，解方程即可； ②OM＝4|b| ，得|| ＝4|b| ，解方程即可求解． 【解答】解：（1） ∵|a+4|+（b - 8）2 ＝0， ∴a ＝ - 4 ，b ＝8， ∵M 为线段 AB 的中点． ∴M 对应的数为： ＝2， ①OA÷OM＝4÷2 ＝2 ， ∴A 不是 M 的“正比点 ”； 第 22页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ②OA×OM＝4×2 ＝8 ， ∴A 不是 M 的“反比点 ”； ③OB÷OM＝8÷2 ＝4， ∴B 是 M 的“正比点 ”； ④OB×OM＝8×2 ＝16， ∴B 是 M 的“反比点 ”； 故答案为：2； ③ ; （2） ∵M 为线段 AB 的中点， ∴M 点对应的数为： ， ∵ab＞0， ∴a ，b ，都同号， ∵M 是 A 的“正比点 ”， ∴OM÷OA ＝4， ∴ =4a， 7a ＝b， ∴ = ; （3） ∵ab＜0， ∴a ，b 异号， ( , )∵M既是 A ，B 其中一点的“正比点 ”，又是另一点的“反比点 ” ∴OM＝4OA ，OM×OB ＝4 或 OM＝4OB ，OM×OA ＝4， 化简都得出：OA•OB ＝1， ∴ab ＝ - 1， 分两种情况： ①OM＝4|a|， ∴|| ＝4|a|， ∴ =4a 或 ＝ - 4a， 解得：7a ＝b（舍去）或 b ＝ - 9a， ∴ = - ； 第 23页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ②OM＝4|b|， ∴|| ＝4|b|， ∴ =4b 或 ＝ - 4b， 解得：7b ＝a（舍去）或 a ＝ - 9b， ∴ = - 9， ∴的值为 - 9 或 - ． 【点评】本题考查了阅读理解能力，非负数的性质，解决问题关键是分类讨论思想． 11．【答案】（1） - 2；6；（2）点 A 所表示的数为 4 ，r 的值为 7 ；（3）． 【分析】（1）根据新定义概念列式计算； （2）根据新定义概念列方程组求解； （3）设点A 所表示的数为 a ，则 B 点所表示的数为 ，然后根据新定义概念用含 a 的式子表示出 x，y， m ，n ，从而代入求解． 【解答】解：（1）当点A 表示 2 时， x ＝2 - 4 ＝ - 2，y ＝2+4 ＝6， 故答案为： - 2；6； （2）设点A 所表示的数为 a ，由题意可得： , 解得， ∴点A 所表示的数为 4 ，r 的值为 7； （3）设点A 所表示的数为 a， ∵点A 、点 B 从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点 A 的速度是点 B 速度的 2 倍， ∴点 B 所表示的数为 - ， 又∵D（A ，5）＝{x，y} ，D（B ，3）＝{m ，n}， ∴a - 5 ＝x ，a+5＝y ， - - 3 ＝m ， - +3 ＝n， 当 2（y - n）＝3（x - m ）时， 2[a+5 - （ - +3）] ＝3[a - 5 - （ - - 3）]， 第 24页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 解得：a = , ∴点A 所表示的数为． 【点评】本题属于新定义题目，考查解二元一次方程组，一元一次方程的应用，理解新定义概念，掌握 解二元一次方程组和解一元一次方程的步骤是解题关键． 12 ．【答案】（1） - ；（2）4 或 - 1 ；（3） ①21； ②k 的最大值为 ，相应的|a+b|的最小值． 【分析】（1）利用收纳系数的定义解答即可； （2）根据分类讨论的思想方法，利用收纳系数的定义列出方程解答即可； （3） ①利用收纳系数的定义求出k 的最小值，进而求得数组 P 中的最大值，利用最小值为 - 80 即可求 得 n 的最大值； ②利用收纳系数的定义列出不等式，解不等式即可得出k 的最大值，再依据 k 值和收纳系数的定义解答 即可． 【解答】解：（1） ∵ 1 × 1 ＝1 ，2×1 ＝2 ， - 3 × 1 ＝ - 3 ，1 - （ - 3）＝1+3 ＝4＞1， ∴k 不可能为 1； ∵ 1 × = , 2× , - 3 × = - ， ＝＞1， ∴k 不可能为； ∵ 1 × = - ，2× = - ， - 3 × = , = 1， ∴k 可能为 - ． 故答案为： - ； （2） ∵对数组 P：1 ，2 ，x ，若 k 的最大值为， ∴将各数乘以 k 得： ， ，， ∵AB 是一条长为 1 个单位长度的线段，且这三个数都可以用线段 AB 上的某个点来表示， 第 25页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴ - = 1 或 ＝1， 解得：x ＝4 或 x ＝ - 1． ∴x 的值为 4 或 - 1； （3） ①∵a ＝3， ∴b ＝4． ∵100 个连续整数中第一个整数为 x ＝ - 80， ∴ - 80k≤4， ∴k≥ - ， ∴k 的最小值 - ． 设数组 P 中的最大的数为 m， ∴ - m ＝3， ∴m ＝ - 60， ∴n 的最大值为 - 60 - （ - 80）+1 ＝21， ∴n 的最大值为 21； ②当 n ＝100 时， ∵这 100 个数是连续整数， ∴数组 P 中的最大的数与最小数之差为 99， ∴|k|的最大值． ∴k 的最大值为； 当中间的数字为 0 时，|a+b|的值最小． ∵n ＝100， ∴第 50 个或第 51 个数字为 0 时，|a+b|的值最小． 当 50 个数字为 0 时，a ＝ - ，b = , ∴|a+b| ＝|| = ; 当 51 个数字为 0 时，a ＝ - ，b = , ∴|a+b| ＝|| = . 综上，k 的最大值为 ，相应的|a+b|的最小值． 【点评】本题主要考查了数字的变形的规律，数轴，绝对值，本题是新定义型，准确理解新定义并熟练 应用是解题的关键． 13 ．【答案】（1） - 2 ，1 ，9； （2）6； 第 26页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 （3）或或． 【分析】（1）根据有理数概念及多项式定义得出结论； （2）根据数轴上两点间距离及线段中点表示即可解决； （3）根据数轴上点的表示及线段中点定义即可求出． 【解答】解：（1） ∵b 是最小的正整数，多项式（a+2）x3+2x2+9x+5 是关于 x 的二次多项式，一次项系 数为 c， ∴b ＝1 ，a+2 ＝0 ，c ＝9， 解得：a ＝ - 2 ，b ＝1 ，c ＝9， 故答案为： - 2 ，1 ，9； （2） ∵将数轴折叠，使得点A 与点 C 重合， ∴线段 AC 中点为， 设此时与点 B 重合表示的点表示的数是 x， ∴ , 解得：x ＝6 ， 则此数为 6 ， 故答案为：6； （3） ∵线段 AC ＝9 - （ - 2）＝11 ，这三条线段的长度之比为 2 ：2 ：5， ∴ , ∴这三条线段的长度分别为 ， ，， 若剪下的从左到右第一条线段长为 ，第 2 条线段长度也为时， 则折痕表示的数为：； 若剪下的从左到右第一条线段长为 ，第 2 条线段长度为， 则折痕表示的数为：； 若剪下的从左到右第一条线段长为 ，第 2 条线段长度为， 则折痕表示的数为：； 第 27页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴折痕表示的数为或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，解题的关键 是理解题意，学会利用转化的思想思考问题． 14 ．【答案】（1） ② ; （2）a 的值为 48 或 47； （3）11． 【分析】（1）先求出一元一次方程 3（x - 1）＝2x+98 的解，再解出 2y - 2 ＝4 和|y| ＝2 ，根据“久久方程 ” 的定义判断即可； （2）解出|2y - 2|+2 ＝4 的解，再解出 x - 的解是 x ＝2a+3 ，分类讨论，令 x0+y0 ＝99 ，即可 求出 a 的值； （3）先解出一元一次方程 ax+50b ＝55a 的解，再根据 x0+y0 ＝99 表示出y，将y 代入到方程 a|y - 49|+a+b = 中化简即可． 【解答】解：（1）3（x - 1）＝2x+98 的解为 x0 ＝101， 方程 2y - 2 ＝4 的解是y ＝3 ，x0+y0≠99；故不是“久久方程 ”； 方程|y| ＝2 的解是y ＝2 或y ＝ - 2 ，当y0 ＝ - 2 时，x0+y0 ＝99 ，故是“久久方程 ”， 故答案为： ② ; （2）方程|2y - 2|+2 ＝4 的解是y ＝2 或y ＝0 ，一元一次方程 x - 的解是 x ＝2a+3， 若y0 ＝0 ，x0+y0 ＝99 ，则 2a+3+0 ＝99 ，解得 a ＝48； 若y0 ＝2 ，x0+y0 ＝99 ，则 2a+3+2 ＝99 ，解得 a ＝47； 答：a 的值为 48 或 47； （3）解方程 ax+50b ＝55a ，得 x ＝ ＝55 - ， ∵x0+y0 ＝99， ∴y0 ＝99 - x ＝44+， ∵a|y - 49|+a+b = ∴a|44+ - 49|+a+b = , 第 28页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 整理得 a| - 5| ＝0， ∵分母 a 不能为0； ∴ - 5 ＝0 ，即 ＝10； ∴ = +1 ＝11． 答：的值为 11． 【点评】本题考查解一元一次方程，理解题目定义中的“久久方程 ”是解题的关键，再通过解一元一次 方程的方法求解． 15 ．【答案】（1）是，不是； （2） ①11； ②5． 【分析】（1）根据“五颜六色数 ”的定义直接判断即可； （2） ①由题意可得 1000a+100b+10c+d - （1000a+100c+10b+d）＝270 ，求出 b+d ＝9 ，则 3b - 2c+a ＝2 （b+d） - 7 ＝11； ②由题意可得 b ＝c ，再由 a ＝5 - b ，d＝6 - b ，可得 3x ＝b2+2 ，则 x ＝ ，根据 x 是整数，分别求出 x ＝1 或 x ＝2 或 6 ，则|y - x1|+|y - x2|+…+|y - xn| ＝|y - 1|+|y - 2|+|y - 6| ，当y ＝2 时，|y - x1|+|y - x2|+…+|y - xn|有最小值 5． 【解答】解：（1）∵2315 的千位数字与百位数字的和为：2+3 ＝5，十位数字与个位数字的和为：1+5 ＝6， ∴2315 是一个“五颜六色数 ”； ∵4223 的千位数字与百位数字的和为：4+2 ＝6， ∴4223 不是一个“五颜六色数 ”； 故答案为：是，不是； （2） ①∵m 表示成是“五颜六色数 ”， ∴a+b ＝5 ，c+d ＝6， ∵ = 135， ∴ 1000a+100b+10c+d - （1000a+100c+10b+d）＝270， ∴b - c ＝3， ∴b+d ＝9， ∵3b - 2c+a ＝3b - 2（6 - d）+（5 - b）＝2（b+d） - 7， 第 29页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴3b - 2c+a ＝18 - 7 ＝11； ②∵m'也是五颜六色数， ∴a+c ＝5 ，b+d ＝6， ∵a+b ＝5 ，c+d ＝6， ∴b ＝c， ∴a ＝5 - b ，d ＝6 - b， ∴（4 - d+a）x ＝（4 - 6+b+5 - b）x ＝3x ＝b2+2， ∴x = , ∵x 是整数， ∴b ＝1 或 b ＝2 或 b ＝4， ∴x ＝1 或 x ＝2 或 6， ∴|y - x1|+|y - x2|+…+|y - xn| ＝|y - 1|+|y - 2|+|y - 6|， 当y ＝2 时，|y - x1|+|y - x2|+…+|y - xn|有最小值 5． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，弄清定义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 第 30页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 $$