精品解析：广东省佛山市南海外国语学校2024-2025学年七年级下学期第二次段考数学试题

2024-2025学年七年级第二学期第二阶段素养评价数学科试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，故该选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减计算即可． 【详解】解：，选项A计算正确，符合题意； ，选项B计算错误，不符合题意； ，选项C计算错误，不符合题意； ，选项D计算错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键． 3. 如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、，不能得出直线，故此选项符合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 故选：． 4. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 同角的余角相等 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点A，B，C，D处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在C点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故选D． 5. 中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 用“”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案． 【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有 8 处，位于“”（图中虚线）的上方的有 2 处， 所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是， 故选：B． 6. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，求一个角的余角，根据平行线的性质得出，再根据余角的定义求解即可． 【详解】解：如下图： ∵直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选：A 7. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得的长为． 那么，河的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可得出答案． 【详解】解：由题意知，，， 在和中， ， ， ∴， 即河的宽度是12米， 故选：C． 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是角平分线的作图，不能确定． 故选：B． 9. 若中不含项，则，满足的数量关系是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含项，即可求出a与b的值． 【详解】 ∵不含项， 故选：C． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10. 如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点．①图1时，由两直线平行，同位角相等，得出的度数；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出的度数． 【详解】解：①若与位置如图1所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②若与位置如图2所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 12. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，则把数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】∵， 故答案为：． 13. 如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证△OAE≌△OBF，四边形EOFC的面积=三角形AOE面积+四边形AOFC面积=三角形BOF面积+四边形AOFC面积=正方形AOBC的面积=S大正方形，米粒落在图中阴影部分的概率就是阴影部分的面积同正方形总面积的比． 【详解】解：过O作OA⊥CE于A，OB⊥CF交CF延长线于B， ∵点O为正方形的中心， ∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=90º=∠AOB ， ∵∠EOF＝90°， ∴∠EOA+∠AOF=90º,∠AOF+∠FOB=90º， ∴∠EOA=∠FOB， ∴△EOA≌△FOB， Ｓ四边形EOFC =Ｓ△AOE+Ｓ四边形AOFC =Ｓ△BOF+Ｓ四边形AOFC=Ｓ正方形AOBC=S大正方形， S四边形EOFC=S正方形AOBC=S大正方形， 如图所示： ， P=， 因此米粒落在图中阴影部分的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查点投阴影部分的概率，掌握利用几何图形面积来确定概率的方法，不规则图形用全等三角形转化为正方形规则图形是解题关键． 14. 如图，在中，，高交于点．若，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 根据题意得到是等腰直角三角形，则，运用勾股定理得到，运用等面积法得到，在中，运用正弦值的计算得到，在中，，设，，则，根据，列式得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：5 ． 15. 如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，与交于点M，如图2，再将三角形沿折叠，点H落在点N的位置．若，则______． 【答案】##56度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、几何图中角度的计算，由题意可得，由平行线的性质可得，求出，由折叠的性质可得，，，从而可得，求出，即可得解． 详解】解：由题意可得， ∴， ∴， 由折叠性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（16-18每题7分，19-21每题9分，22题13分，24题14分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，包括零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方和绝对值． 首先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方和绝对值，然后计算加减． 【详解】解： ． 17. 完成证明并写出推理根据： 已知：如图，四边形，点E、F分别在边两方的延长线上，连接，若，． 求证：． 证明：∵点E在的延长线上（已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：∵点E在延长线上（已知） ∴（平角定义） 又∵（已知） ∴（同角的补角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算、化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 当，时， 原式． 19. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点P，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换知识，解题的关键是作出对称点以及对应点解决问题． （1）分别作出点A、B关于直线对称点，再顺次连接即可； （2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，再连接，此时． 【小问1详解】 如图，即为所作； 【小问2详解】 如图，点P即为所作； 20. 在中，，平分交于D，E，F在上，且． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质以及三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可解答； （2）由（1）得得出，证出得出，证明得出，再根据线段和差以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近________； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个；（3）15 【解析】 【分析】（1）根据摸到白球的频率，可得“摸到白色球”的概率； （2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）∵摸到白球的频率为0.25，∴“摸到白色球”的概率=0.25． （2）∵60×0.25＝15，60﹣15＝45，∴盒子里白球为15个，黑球45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得： 解得：x＝15． 答：需要往盒子里再放入15个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 【答案】（1），；（2）；（3）33；（4）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积； （2）根据两种方法得到的面积相等列出等式； （3）根据完全平方公式变形求值即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； （2）依题意得：； （3），， ； （4）阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 23. 操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）对，理由见解析；（4），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）过A点作于D，证明即可求解； （2）先证明，再根据证明即可求解； （3）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （4）由得，等量代换得，从而可证． 【详解】解：（1）如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （3）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴线段． （4），理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年七年级第二学期第二阶段素养评价数学科试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A. B. C. D. 4. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 同角的余角相等 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 5. 中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得长为． 那么，河的宽度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 9. 若中不含项，则，满足的数量关系是（） A. B. C. D. 10. 如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为__________． 12. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，则把数据用科学记数法表示为______． 13. 如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是___________． 14. 如图，在中，，高交于点．若，则_______． 15. 如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，与交于点M，如图2，再将三角形沿折叠，点H落在点N的位置．若，则______． 三、解答题（16-18每题7分，19-21每题9分，22题13分，24题14分） 16. 计算：． 17 完成证明并写出推理根据： 已知：如图，四边形，点E、F分别在边两方的延长线上，连接，若，． 求证：． 证明：∵点E在的延长线上（已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点P，使得． 20. 在中，，平分交于D，E，F在上，且． （1）求的度数； （2）求证：． 21. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近________； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 23. 操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $