专题1.2 一定是直角三角形吗（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题1.2 一定是直角三角形吗 教学目标 1.经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2. 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 教学重难点 1.重点：能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题. 2.难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 （1）把握勾股定理的逆定理； （2）用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。 知识点01：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的 ，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【即学即练1】 1．下列数组中，是勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，， 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15 知识点02：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定 （如）. （2）验证与是否 .若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为 ；当时，此三角形为 ，其中为三角形的最大边. 【即学即练2】 1．在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A． B． C． D． 2．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 3．如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 题型01 勾股树（数）的判定 【典例1】下列几组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，， 【变式1】下列各组数是勾股数的是（   ） A． B．1，， C．16，12，20 D．8，15，19 【变式2】下列各组数据不是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10 【变式3】下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A．，2， B．，， C．8，15，19 D．9，40，41 题型02 判断三边能否构成直角三角形 【典例1】已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【变式2】下列条件中，不能判定为直角三角形是（   ） A．，， B． C． D． 【变式3】满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型03 在网格中判断直角三角形 【典例1】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【变式3】如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ） A． B． C． D． 题型04 利用勾股定理的逆定理求解 【典例1】如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【变式1】如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【变式2】在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为 ． 【变式3】如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 题型05 勾股定理逆定理的实际应用 【典例1】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【变式1】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． (1)求小路的长； (2)求的度数和蔬菜区的面积． 【变式2】如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【变式3】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数． (2)若直线为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米？（精确到1m，参考数据，） 题型06 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例1】阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【变式1】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【变式2】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【变式3】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若a，b，c分别是的三边，那么下列条件中不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交，于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．，， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的 方向上． 7．已知的三边满足，则中最大的角是 ． 8．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 9．已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 10．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 11．如图，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高h． 12．已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 13．如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形． (1)求凹四边形的周长； (2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． 14．某占地面积为的办公区准备建设一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办公区的规划如图所示，已知，，，，． (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求这条直道的长度； (2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于，请判断上述设计方案是否符合规划要求？并说明理由． 15．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离． 16．如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 一定是直角三角形吗 教学目标 1.经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2. 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 教学重难点 1.重点：能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题. 2.难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 （1）把握勾股定理的逆定理； （2）用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。 知识点01：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【即学即练1】 1．下列数组中，是勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，， 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、是勾股数，故本选项符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴9，40，41是勾股数，故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴5，12，15不是勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5与2.5不是正整数， ∴1.5，2，2.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴13，14，15不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 知识点02：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【即学即练2】 1．在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定是直角三角形，故A选项不符合题意； B、，即， 根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故B选项不符合题意； C、，设， ， 根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故C选项不符合题意； D、 ， ， 不能判定是直角三角形，故D选项符合题意． 故选：D． 2．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质等知识点，掌握运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 3．如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理得，进而求得，在中，勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． ∴ 在中， （2）是直角三角形，理由如下： ∵，， ， 是直角三角形，是直角． 题型01 勾股树（数）的判定 【典例1】下列几组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意； B、，正确，是勾股数，符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，不是正整数，错误，不是勾股数，不符合题意 故选：B． 【变式1】下列各组数是勾股数的是（   ） A． B．1，， C．16，12，20 D．8，15，19 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，满足两直角边的平方和等于斜边的平方的三个正整数是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：显然选项A、B中的三个数非正整数，不符合题意； ∵，且三个数都是正整数， ∴它们是勾股数； ∵， ∴它们不是勾股数； 故选：C． 【变式2】下列各组数据不是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项符合题意； B、，是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项不符合题意； D、，是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式3】下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A．，2， B．，， C．8，15，19 D．9，40，41 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义：若正整数满足，则称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、和不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； B、，，都不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； C、，故此选项不属于勾股数，不符合题意； D、，故此选项属于勾股数，符合题意； 故选：D． 题型02 判断三边能否构成直角三角形 【典例1】已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意； B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意； C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意； D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意． 故选：B． 【变式1】已知，，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析各选项是否能判定为直角三角形． 【详解】解：．设三边分别为、、，则，满足勾股定理，是直角三角形，故该选项不符合题意； ．由三角形内角和为，得，即，故，是直角三角形，故该选项不符合题意； ．，，（对应，，）．最长边为，若为直角三角形，则需满足，即，不满足勾股定理，故不能判定为直角三角形，故该选项符合题意； ．．设角分别为，，，则，解得，最大角，是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列条件中，不能判定为直角三角形是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理进行判定即可选项A；根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据三角形的内角和为度，计算出的值即可判断选项C；根据角的比值和三角形的内角和为度求出各角的度数，即可判断选项D． 【详解】A、当，，， ，故是直角三角形， B、当时，设，，， 则，故是直角三角形， C、当时，∵，则，故是直角三角形， D、当时，∵，则最大角为，故不是直角三角形， 故选：D． 【变式3】满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由，及得，故不是直角三角形； C、由三角形三个角度数和是及解得，故是直角三角形． D、由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：B． 题型03 在网格中判断直角三角形 【典例1】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确． 故选：D． 【变式1】如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，， ，即， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 【变式2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握勾股定理与网格，全等三角形的判定和性质是关键． 如图，连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：B． 题型04 利用勾股定理的逆定理求解 【典例1】如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 【详解】解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 【变式1】如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据点D为边上的中点即可得出是等腰三角形，故可得出的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点D为边上的中点，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为 ． 【答案】36或24/24或36 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．注意分点B在外部与内部两种情况讨论． 【详解】解：中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 分两种情况，当点B在外部时，如图： 、、、围成的四边形的面积为：； 当点B在内部时，如图： 、、、围成的四边形的面积为：； 故答案为：36或24． 【变式3】如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 题型05 勾股定理逆定理的实际应用 【典例1】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 【变式1】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． (1)求小路的长； (2)求的度数和蔬菜区的面积． 【答案】(1)小路的长为25米 (2)的度数为，蔬菜区的面积为150平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理的逆定理求的度数，再根据三角形面积求解． 【详解】（1）解：∵，米，米， ∴(米)， 答：小路的长为25米． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴(平方米) ． 答：的度数为，蔬菜区的面积为150平方米． 【变式2】如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【答案】(1)是，见解析； (2)观景台与观景台之间距离的长为． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）在中，∵，， ∴ ∴，即 根据垂线段最短， ∴是露营区到湖边的最短路径； （2）∵ ∴ ∴在中，由勾股定理得 解得： 答：观景台与观景台之间距离的长为． 【变式3】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数． (2)若直线为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米？（精确到1m，参考数据，） 【答案】(1) (2)被监控到的道路长度为． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 题型06 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例1】阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【答案】(1)锐角； (2)或 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可． 根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状； 当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 【变式1】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 【变式2】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【知识点】新定义下的实数运算、整式的混合运算、因式分解的应用、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 【变式3】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 2．若a，b，c分别是的三边，那么下列条件中不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的混合运算、三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角度条件（有一个角为）和勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）．根据三角形的内角和定理以及勾股定理逆定理，逐一分析各选项，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故选项A能判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴；故选项B能判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴；故选项C不能判定是直角三角形，符合题意； ∵， ∴设， ∴；故选项D能判定是直角三角形，不符合题意； 故选C． 3．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交，于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，如图，过点D作于点H．利用勾股定理的逆定理证明，再证明，利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 5．如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，由勾股定理求出，，即可判定①；由勾股定理的逆定理可判定②；根据三角形的面积公式求出的面积可判定③，据此即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：，故①正确； ，， ∵， ∴是直角三角形，故②正确； ，故③错误； 故选：A． 6．，， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的 方向上． 【答案】正南 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，能够利用直角三角形判断方向角．由题中数据可得为直角三角形，所以点，在一条垂线上，进而可得出其方向角． 【详解】解：， 为直角三角形， 地在地的正南方向上， 故答案为：正南． 7．已知的三边满足，则中最大的角是 ． 【答案】/90度 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了绝对值的非负性，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据非负性得出，再把代入，求出，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 把代入 ∴ ∴ ∴ ∵ 即 ∴ ∴则中最大的角是 故答案为： 8．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 9．已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 10．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /90度 2 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理逆定理的应用． （1）先利用勾股定理求出，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案． （2）利用等面积法求解即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得： ，，， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， 故答案为： （2）∵， ∴， ∴ 故答案为：2 11．如图，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高h． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)2． 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理计算三边，再由勾股定理逆定理证明即可； （2）由等积法得到，即可求解． 【详解】（1）.解：是直角三角形， 理由：， ， ， ， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：， ， ∴． 12．已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1)或 (2)直角三角形，理由见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理： （1）把代入，可得，然后把分别代入A，B，即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上所示：或； （2）解：以整式、、为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 13．如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形． (1)求凹四边形的周长； (2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角，凹四边形的面积为 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求多边形的周长，求四边形的面积，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． （1）先求出凹四边形的各条边长，即可求出长凹四边形的周长； （2）先求出，，，再利用勾股定理的逆定理验证，再根据凹四边形的面积等于丙个三角形的面积差求解． 【详解】（1）解：， ， ，， 凹四边形的周长为 ； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角， ∴凹四边形的面积等于 ． 14．某占地面积为的办公区准备建设一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办公区的规划如图所示，已知，，，，． (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求这条直道的长度； (2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于，请判断上述设计方案是否符合规划要求？并说明理由． 【答案】(1) (2)不符合，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算出面积，再计算出要求该办公区的绿化面积，比较即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这条直道的长是． （2）解：不符合，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． ， ∵， ∴上述设计方案不符合规划要求． 15．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等； （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过作交的延长线于，延长交于，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， 为直角三角形， ， ； （2）解：过作交的延长线于，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故购物车把手到的距离为． 16．如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$