专题2.4 指数与指数函数（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题2.4 指数与指数函数（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 指数幂的运算】 2 【题型2 指数幂的化简、求值】 4 【题型3 指数函数的判定与求值】 5 【题型4 指数（型）函数的图象问题】 7 【题型5 比较指数幂的大小】 9 【题型6 利用指数函数的单调性解不等式】 11 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 13 【题型8 指数（型）函数的综合问题】 15 1、指数与指数函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 (2)熟练掌握指数函数的图象与性质 2023年新课标I卷：第4题，5分 2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分 2025年北京卷：第4题，4分 2025年天津卷：第7题，5分 2025年上海卷：第14题，4分 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 知识点1 指数运算的解题策略 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 知识点2 指数函数的常见问题及解题思路 1．比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3．指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【题型1 指数幂的运算】 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【解题思路】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 【变式1-1】（2025·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得. 【解答过程】由题意可得，视力4.9的视标边长约为： cm. 故选：A. 【变式1-2】（2025·浙江杭州·二模）定义“真指数”（为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数新定义举反例可得ABD错误；结合均值不等式分析，分当时和当或时两种情况利用函数新定义可得C正确. 【解答过程】对于A，取，左边，即左边等于； 右边，故A错误； 对于B，取，左边，即左边等于； 右边等于，故B错误； 对于C，由于恒成立，所以在恒成立， 所以自然指数函数满足， 当且仅当即时取等号，故C正确； 对于D，取，左边，即左边等于； 右边等于，故D错误. 故选：C. 【变式1-3】（2025·江苏镇江·三模）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由得到求解. 【解答过程】， ，则，（舍）． ， ． 故选：A. 【题型2 指数幂的化简、求值】 【例2】（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值. 【解答过程】由. 故选：A. 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 【答案】D 【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可. 【解答过程】解：因为， 所以. 故选：D． 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【解答过程】． 故选：A． 【变式2-3】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出，根据的正负求出. 【解答过程】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 【题型3 指数函数的判定与求值】 【例3】（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【解题思路】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【解答过程】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 【变式3-1】（2025·贵州·三模）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【解答过程】因为，则， 所以. 故选：C. 【变式3-2】（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分段函数解析式，由的不同取值范围，分类讨论求解即可. 【解答过程】若，即，可得， 解得：，符合； 若，即，可得，解得：，符合； 综上可知：的值为0或， 故选：A. 【变式3-3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，先由可得的值，再由条件可得是函数的一个周期，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，即，所以， 所以时，， 由，得，于是， 因此是函数的一个周期， 则， 又，则. 故选：D. 【题型4 指数（型）函数的图象问题】 【例4】（2025·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【解答过程】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 【变式4-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在处函数值的正负排除B和C,得出结果. 【解答过程】 , 为偶函数,排除A. ,排除B和C. 故选:D. 【变式4-2】（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【解题思路】由，根据平移法则即可解出． 【解答过程】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 【变式4-3】（2025·山东青岛·二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案． 【解答过程】，的定义域均为，且,， 所以为奇函数，为偶函数. 由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB. 当时，，排除C. 故选:D． 【题型5 比较指数幂的大小】 【例5】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 【变式5-1】（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【解答过程】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 【变式5-2】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定. 【解答过程】∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 又，且， ∴，∴， ∴. 故选：C. 【变式5-3】（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【解答过程】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 【题型6 利用指数函数的单调性解不等式】 【例6】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 【变式6-1】（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【解题思路】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【解答过程】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D. 【变式6-2】（2025·山东聊城·三模）集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性来解指数不等式，再利用交集运算即可. 【解答过程】由， 则， 故选：B. 【变式6-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分，两种情况，结合函数性质求解即可. 【解答过程】当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递增函数， 所以在区间上也为单调递增函数， 因为时，， 所以的解为， 当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递减函数， 所以在区间上也为单调递减函数， 因为时，， 所以的解为， 综上，不等式的解集为. 故选：D. 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【解答过程】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D. 【变式7-1】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解答过程】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 【变式7-2】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式7-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析，即可判断和选择. 【解答过程】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数； 又，当时，令， 因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增， 故在单调递减，故AB都错误； 对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数； 又，当时，均为减函数，故为上的减函数， 故为上的增函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【题型8 指数（型）函数的综合问题】 【例8】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合指数函数、幂函数的单调性确定的单调性，构造函数并探讨奇偶性，再利用性质求解不等式. 【解答过程】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 令，则函数在上单调递增， ，即函数是奇函数， 不等式 ，则， 依题意，在上恒成立，而当时，，当且仅当时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式8-1】（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先判断的单调性与奇偶性，依题意可得对于任意恒成立，再分，两种情况讨论，当时参变分离可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【解答过程】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A. 【变式8-2】（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 【答案】D 【解题思路】根据条件和指数函数的性质得出，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可. 【解答过程】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误； 由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误； 由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确； 故选：D. 【变式8-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果. 【解答过程】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得，即的取值范围为. 故选：B. 一、单选题 1．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由即可判断. 【解答过程】； 充分性：若，则，故充分性成立； 若，则，一正一负，即，故必要性成立， 则“”是“”的充要条件， 故选：C. 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B. 3．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】由奇函数性质可得，列方程求，再检验所得结果即可. 【解答过程】由，可得，所以， 所以的定义域为， 因为是奇函数，所以， 又，， 所以，解得. 当时，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以此时是奇函数 故选：D. 4．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【解答过程】因为，所以即， 故即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【解答过程】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D. 6．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【解答过程】的定义域为，排除D； 因为 ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 7．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，且在R上为减函数，将不等式化简为，再由的单调性可得，解不等式即可得出答案. 【解答过程】, 设，的定义域为R， ，所以为奇函数， 则， 又因为在R上均为减函数， 所以在R上为减函数， 由可得， 即，所以， 解得：或. 故选：D. 8．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断的区间单调性，讨论、、一正一负，结合不等式恒成立确定不等关系. 【解答过程】由，且的定义域为R，所以是偶函数， 当，令，则在上单调递增， 又在上单调递增，故在上单调递增， 由偶函数的对称性，在上单调递减， 当，由，则， 当，由，则， 当一正一负，不妨令，则， 显然与矛盾， 综上，. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据指数运算律计算求解判断各个选项. 【解答过程】A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，当时，，当时，，错误； D选项，，正确. 故选：AD. 10．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用函数图象变换依次判断可得出结论. 【解答过程】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确； 对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误； 对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD. 11．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 【答案】ACD 【解题思路】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D. 【解答过程】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 【答案】 【解题思路】由指数的运算性质即可得解. 【解答过程】由题意，所以. 故答案为：. 13．（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ． 【答案】-3 【解题思路】可根据奇函数的性质来求解与的值，进而得到的值． 【解答过程】因为函数为奇函数， 所以，当时，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 14．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【解答过程】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据分数指数幂的运算公式，即可求解； （2）利用平方关系，根据分数指数幂的运算公式，即可求解. 【解答过程】（1）. （2）①，所以； ②，且， 所以. 16．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 17．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【解题思路】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【解答过程】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 18．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【解答过程】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 19．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【解题思路】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【解答过程】（1）是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， （2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； （3）， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 指数与指数函数（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 指数幂的运算】 2 【题型2 指数幂的化简、求值】 3 【题型3 指数函数的判定与求值】 3 【题型4 指数（型）函数的图象问题】 4 【题型5 比较指数幂的大小】 5 【题型6 利用指数函数的单调性解不等式】 5 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 6 【题型8 指数（型）函数的综合问题】 6 1、指数与指数函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 (2)熟练掌握指数函数的图象与性质 2023年新课标I卷：第4题，5分 2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分 2025年北京卷：第4题，4分 2025年天津卷：第7题，5分 2025年上海卷：第14题，4分 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 知识点1 指数运算的解题策略 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 知识点2 指数函数的常见问题及解题思路 1．比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3．指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【题型1 指数幂的运算】 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【变式1-1】（2025·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·浙江杭州·二模）定义“真指数”（为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江苏镇江·三模）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 【题型2 指数幂的化简、求值】 【例2】（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 【变式2-3】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 指数函数的判定与求值】 【例3】（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【变式3-1】（2025·贵州·三模）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 【变式3-3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 指数（型）函数的图象问题】 【例4】（2025·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【变式4-3】（2025·山东青岛·二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【题型5 比较指数幂的大小】 【例5】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 利用指数函数的单调性解不等式】 【例6】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【变式6-2】（2025·山东聊城·三模）集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【题型8 指数（型）函数的综合问题】 【例8】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 【变式8-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 8．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 11．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 三、填空题 12．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 13．（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ． 14．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 16．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 17．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 18．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 19．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$