专题1 方程与不等式恒成立(有解)问题-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

-2, 由g(x)<f(x)可得a(x+x)<x2-3x+4, 当组仅当=岛，即r=一5时，等号成立 由x∈(2,4]，可得 综上所述，(x+音+音)=26-2 ti 4x-1=1 fr x2十x -1+2 可得1<25-2.解得-5,11<5,1.且1≠0， 2 2 令1=一1E0,3,则y=1+号+3在1.2)上单调递减. 所以：的取值范阴为(oU(0.5。) 在(W,3]上单调递增， 20 思维过程 又1=1时y=6,1=3时y=3 (1)默值求得∫（一1）=0，根据奇函数的定义证明函数 20 所以当=3时y=3: 「(x)为奇函数 (2)由题意可得g(xy)一g(x)+g(y),根据单调性的 所以1 4 有最大值1一萄-号故<号 定义分析证明 -1+2 (3)根据题意结合函数性质可得x+2x十3>41.x, 所以。的取值范围为(-，号) 利用参支分高可得丝<（红+子十音）：术用表本 3.(首先随目条件说了f()是增远数，由些可以特他随提的不等式 不等式分析求解即可 再研究沙及的道辅多件) 专题1方程与不等式恒成立（有解）问题 因为f)在R上单调递增，所以f(虹，十)> 1.(1)g(x)=mx2-2mx+n+1=m(x-102-m十n+1, mr,+1D3r,+4>x-mr+1, .函数g(x)图象的对称轴方程为x=1. g(1)=0, 故题设条件等价于对任意的x1∈(0，十©)，总存在x:∈ 又m>0,且x∈[0,3]，∴依题意得 g(3)=4, [1,2],使得3x1+4>x-m+1, TI 一m十n十1=0， =1, 即 解得【 32十1十1=4， =0, 因为3x1+ ≥2，·千-4原，当且仅当= 4 故函数g(x)的解析式为g(x)=x2一2x十1. 2时取等号，所以十马 =45, (2fx)8）-2红=4+=x+L-4 min 从而43>x-mr:十1，故r-m.:十1<4v3, ① “f)-k≤0在x∈[合上相成立 (下面灵考虑m怎样取值能满足年在xE[1,2],使不等式①成点 即r+ 一一<0在r[]上相成立 专直接表一州：十1的最小值，剂需讨论对秘与尽问的位里装 系，比款复南，是客发现来数m容易分高出来，故米用禾变分离，回 >+1在[上相成立， 连计论】 当x:∈[1,2]时，不等式①等价于m2>x号十1一43一m> 只≥（刊）[ x+1-45 →m>,+14退 ② T: I: 所以问题等价于存在x2∈[1,2]，使不等式②成立， 设)=-+1=-2-3e[g网， 故只需m>(x,+1一45) T: :y=(一2)一3的图象的对称轴方程为t=2, 因为1一45<0，所以雨数y=r和y=二45在1,2上 ∴.背1=8时，函数h(1)取得最大值，为h(8)=33. .k≥33.故k的取值范围为33，+∞). 都单调递增，故y=r+一15在1,2]止单调递增， 2.(g()<r)中的x是同一个变量，它同时控制着g(?)与f(2)的 所以当x4=1时，，十4区取得最小值1十一45=2 值.新4不要错误转化为5(r)=<f()而是特他为[f(r)一 gG)]<0或用分离泰数法群答) 45,故m>2-45. 40 4.(1)函数「(x)为奇函数，证明如下： 所以g(x)∈[-1-2a,2a]. (证明分段函数的雪偶性，可用定义分银计论) 因为对任意x1∈[0,1门，总存在x:∈[0,1门，使得g(xe)= 当-2≤x<0时，0<一x≤2，所以f(x)=x2-x,f(-x) (x1)成立， =-(-x)-(-x)=一x2+x,满足f(-x)=一f(x): 所以[-4，-3]二[-1-2a,-2a], 当0<x≤2时，-2≤-x<0.所以(x)=-x-x,/(-x)= -1-2a≤-4 所以 (-x)2-(-x)=x2+x,满足f(-x)=-f(x) 解得a=是 -2a≥-3， 当x=0时，f(x)=f(0)=0.f(一x)=f(0)=0,也满足 3.3幂函数 f(-x)=-f(x); 变武细缘 综上所述，当x∈[一2,2时，恒有f(一x)=一f(x), 所以f(x)为奇函数 [变式1门(1)：y=x在[0，+∞)上为增函数.且2.3<2.4， (2)(不号式fx)多m-am一中，变量x和公做福岛在了不等 2.3<3.4 号两削，放分别专出它们，左边不参表，更察号青密，于是先有左边) (2):y=x音在(0，+0)上为减函数，且2<5， 由题意，对任意的x∈[-2,2]，都有f(x)≥m2-2am-9, 所以f(x)m≥m2-2am-9, ① ∴(W2)>(5) (3)y=x在R上为偶函数，∴(-0.31)=0.31】 又：函数y=x在[0，十)上为增函数，且0.31<0.35， 0.31<0.35,即(-0.31)<0.35 [变式2](1)由f(x)为幂函数知-2m2+m十2=1，解得m=1 函数f(.x)的大致图象如图，由图可知f(x)m=f(2)= 或m=一 ，当m=1时f(x)=x,符合题意： -2-2=-6, 代人①化简得m°一2am-3≤0， ② 当m=一 时)=，不符合题意，合去 (再考需受量日，可以纪左边青成关于4的一次函数y=一2m十加 ∴函数f(.x)的解析式为f(x)=x 一3.要使不等式②时V山E[一1.1门射成立，只男在两个绵点处成立 (2)由(1)得f(x)=x2, 孙可 ∴y=x2-2(a-1)x+1. m2-2×(-1)·m-3≤0. 所以 解得一1≤m≤1， 即函数图象的对称轴为直线x=a-1 m2-2×1·m-3≤0， :y=x2-2(a-1).x+1在(2,3)上为单调函数， 故实数m的取值范围是[一1,1门. ∴a-1≤2或a-1>3,解得a≤3或a≥4 5.(1D令m=2x+1∈[1,3]x=m 2 .实数a的取值范围是（一c∞，3]U[4,十o∞）. "2）-2(m2）-3 基细过关练 h() m2一8n十4 1c0=-@y=-证，0y==7. 1一8 0y三x=E@yx元·由以上解析式可知定 所以h(m)=n十 4一8在[1,2]上单调递诚，在(2,3]上单 义域为R的只有②④.] 调递增。 2c[ae{-11.2df)=r的图象经过(-1， 令m-2x十1=2解得x- -1). a=一1,1,3，此时f(x)=x是奇函数，反之也成立.] 所以函数：)的单调递减区间为[0，】，单调递增区间为 3.ACD[对于A和B项中，若函数g(x)=x“正确，可得出 (号]且f0)=-3(号)=-4)= 11 3 a<0,此时二次函数图象开口向下，对称轴x=一上>0，所 a 所以f(x)的值域为[-4，一3]. 给图象符合这一特征，故可能是A,不可能是B: (2)因为g(x)=一x一2a在[0,1]上单调递减， 对于C中，若函数g(x)=x“正确，可得出a>0,此时二次 41重难点手册高中数学必修第一册RJA, 专题1方程与不等式恒成立（有解）问题 恒成立与有解问题涉及常见函数的图象 (2)相等关系 与性质，渗透着换元、划归、数形结合、函数和 设y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y= 方程等思想.解决此类问题的基本思路：先将 g(x),x∈[c,d]的值域为B. 恒成立或有解问题向基本类型转化，然后选用 ①若Hx1∈[a,b],3x2∈[c,d],有 合适的方法，如最值法、集合法、数形结合法等 f(x1)=g(x2)成立，则有A二B; 求解. ②若3x1∈[a,b],Hx2∈[c,d],有 一、单变量的不等式恒（能）成立问题 f(x1)=g(x2)成立，则有AB: (1)一般利用参变分离法求解不等式恒 ③若3x1∈[a,b],3x2∈[c,d],有 (能)成立问题，可根据以下原则转化： f(x1)=g(x2)成立，则有A∩B≠☑. ①Vx∈D,m≤f(x)台m≤f(x)m; 例①(2024·宁夏银川第九中学高一期中) 设函数f(x)是定义在（一∞，十∞）上的增函 ②Hx∈D,m≥f(x)Hm≥f(x)max; 数，实数a使得f(1-ax-x2)<f(2-a)对于 ③3x∈D,m≤f(x)台m≤f(x)mx; 任意x∈[0,1]都成立，则实数a的取值范围 ④3x∈D,m≥f(x)台m≥f(x) 是( ）. (2)不等式恒成立也可以转化为图象问题. A.(-∞，1) 若f(x)>g(x)在x∈D上恒成立台在区 B.[-2,0] 间D上，f(x)的图象恒在g(x)图象的上方 C.(-2-22,-2+2√2) [注意]f(x)m>g(x)mx→f(x)>g(x) D.[0,1] 恒成立，但f(x)>g(x)恒成立不需要满足 解析方法一（函数最值法），∫(x)为增函数， f(x)min>g(x)mx(这一苛刻条件). .得1一ax-x8<2-a,整理得 二、双变量的不等式恒（能）成立问题 x十ax-a十1>0在x∈[0,1]上恒成立 一般转化为函数最值之间的关系求解， 令g(x)=x2+ax-a+1,只需g(x)在[0,1]上 设函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x), 的最小值大于0即可. x∈[c,d]. gx)=x2+ax-a+1=(+号)‘--a+1, (1)不等关系 ①若Hx1∈[a,b],Hx2∈[c,d],有 ①当-8<0，中a>0时， f(x1)<g(x2)成立，故f(x)mmx<g(x)mn g(x)n=g(0)=1-a>0, ②若Hx1∈[a,b],3x2∈[c,d],有 ∴.a<1,故0<a<1: f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)mx; ②当0区-2<1，即-2<a<0时， ③若3x1∈[a,b],x2∈[c,d],有 g)m-g(←）=-2-a+1>0, f(x1)<g(x2)成立，故f(x)mm<g(x)nim ④若3x1∈[a,b],3x2∈[c,d],有 ∴.-2-2√2<a<-2+2W2,故-2≤a≤0： f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x）m ⑧当-号>1，即a<-2时， 112 ,第三章函数的概念与性质群 g(x)m=g(1)=2>0,满足题意，故a<-2. 当a≥2时，函数g(x)=x2-2a.x十1在[1,2]上 综上所述，a的取值范国是（一∞，I).故选A 的最小值为g(2)=5-4a, 方法二（分离参数法】 3 此时有-1>5-4a,解得a≥2，∴a≥2： 由f(x)为增函数得1一a.x一x2<2一a, 整理得x2+1>a(1-x)在x∈[0,1]上恒成立. 当1<a<2时，函数g(x)=x2-2ax十1在[1,2] 又x∈[0,1]， 上的最小值为g(a)=1-a2, 当x=1时，a∈R 此时有-1≥1-a2,解得a≥√2或a≤-√2， 当x∈[0,1)时，a< +1（分式型函数）恒成立， ∴.2≤a<2; 1一x 农告号的表小性 当a≤1时，函数g(x)=x2-2ax十1在[1,2]上 的最小值为g(1)=2-2a, 令t=1-x∈(0,1]，.x=1-t. =+2-2 :x+1_(1-t)十1 此时有-1>2-2a,解得a≥ 2 t ∴无解，舍去 由双勾函数y=十2的国象与性质知， 综上所迷，a≥/2.故选C 当1=1时，+2)-8 方法二，原问题转化为3x2∈[1,2]，使得-1≥ g(x2), .a<3-2=1. ∴.x2-2a.x+1≤-1在x∈[1,2]上有解 综上可得a的取值范围为（一∞，1）. 由x2-2ax+1≤-1得2ax≥x2+2, 答案A 2a≥x+2在x∈[1,2]上有解 例2(2025·江苏如皋中学高一月考)已 知函数f(x)=x x中与gx)=x2-2ax+1 2a≥+) 满足：对任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[1,2]， 又工十2≥2w2(售直仅当工=E时款等号， 使得f(x1)≥g(x2).则实数a的取值范围是 ∴.2a≥22，.a≥2 (). 答案C A.[1,+∞) B.[2,+o∞) 例☒(2025·广东佛山高一阶段练习)已 C.[2,+∞) D.[4,+∞) 知定义在R上的函数f(x)=x2一2tx十1在 解析由题意可知，对任意的x1∈[0,1门，总存在 (一∞，1]上单调递减，且对任意的x1,x2∈ x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2). [0,t十1]，总有f(x1)一f(x2)|≤6，则实数t (x1与x1是两个变量，取值豆不影响，所以f(x),g(x) 的取值范围是 的值也互不影响) 解析(f(x)与f(x)表示是f(x)在x∈[0，t+1]上的 只要f)=x在[o,1上的最小位不小 任意画数值.所以f(红1)-f(x)≤6恒成立等价于fx) 于函数g(x)=x2-2ax十1在[1,2]上的最小值即可. -f(x)n≤6) 因为函数f(x)=x2一21x十1对称轴为x=t,函 当x[0,1]时，画数f)=x- x十有是单调递 数f(x)在（一∞，1门上单调递减，则t≥1， 增函数， 且函数在[0，t门上单调递减，在(t,t+1]上单调 故f(x)m=f(0)=-1. 递增， 方法一g(x)=x8-2a.x十1=(x-a)2+1-a2. 则f(x)m=f(t)=t2-22+1=-t2+1, 113 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 因为t-0=t≥1，t十1-t-1, h(t)nx≥5h(t)m, 则不等式组 不成立， 即f(0)≥f(t+1),则f(x)=f(0)=1, h(t)<h(t) 若对任意的x1,x2∈[0，t十1]， 所以，a<2或a>5, 都有|f(x1)一f(x2)≤6， 当a<2且t∈[2,5]时，h(t)=t-a在[2,5]上 则只要f(x)m一f(x)≤6即可， 单调递增，则h(t)m=h(2)=2-a,h(t)am=h(5)= 即1-(-t2+1)≤6， 5-a 解得-√6≤≤6.又因为t≥1，则t∈[1，W6]. 5-a≥52-a解得月<a<号 所 l5-a<6(2-a), 答案[1，w6]. 当a>5且t∈[2,5]时，h(t)=a一t在[2,5]上 例④(2025·天津高一期末)已知函数g(x) 单调递减，则h(t)am=h(5)=a一5，h(t)=h(2) 3-x,x≤1， a-2, =x2+1,x>1 f(x)=|g(x)-a|(a∈R), a-2>5(a-5), 所以 若存在n(n∈Z,n≥2)个实数为x1,x2,x3,…, a-2<6(a-5), 玉.∈层习，使得了a)+f)++ 蛛上所运，实数a的取值范国是[匠，号)U(管，引 f(xm-1)=f(xn)成立，且n的最大值为6，则 答案 [民u(乳 实数a的取值范围为 例固(2025·江苏徐州高一阶段练习)已 思维过程 知函数f(x)的定义域为[一1,1]，对定义域内 求出函数g)在侵，2上的值或为[2,5]，◆ 任意的非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)十 t=g(x),则2≤t≤5，则条件等价于函数h(t)= f(y),且当x∈(-1,0)时，f(x)>0. lt-al(a∈R),若存在t1,t2,ta,…,tn∈[2,5]，使 (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性， 得h(t1)十h(t2)十…十h(tm-1)=h(tn)成立的最 (2)求证：函数f(x)在区间(0,1)上单调 |h(t)mx≥5h(t)mm, 递诚 大整数n的值为6，可得出 h(t)6h(t)min' (3已知f份》=3，gc)图象关于点2,2》 后对实数a的取值进行分类讨论. 1 解桥当x1时，g)=3-x∈2，引： 对称且zeb,时，g)=2r-+ 当1<x≤2时，g(x)=x2+1∈(2,5] 若对任意x∈[o,1,总存在：∈[合，小，使 所以，画数g✉)在侵上的值城为2.51 得g(x1)=f(x2),求实数m的取值范围. 思维过程 令t=g(x),则2≤1≤5， (1)采用赋值法可得∫(x)的奇偶性（前面研究 则条件等价于函数h(t)=|t一a(a∈R), 过判断抽象函数的奇偶性的方法). 若存在t1,t2,ta,…,tn∈[2,5]，使得h(t1)十 h(t:)十…十h(t,-1)=h(tn)成立的最大整数n的值 (2)任取1>x>x1>0,令x=4 y=工2，结合 为6， 已知等式和f(x)在(0,1)上的正负即可得到结论. h(t)nx≥5h(t)m, 则 (3)记fc)在[侵]上的位域为A,g✉)在 h(t)m<h(t) 因为当a∈[2,5]时，h(t)=0, [0,1]上的值域为B,将问题转化为B二A. 114 ,第三章函数的概念与性质辑 解析(1)令x-y=1,则f(1)-f(1)+f(1), ∴.f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+ 六gx)m=1-2m,B= m.1-2m f(-1)=0,(-1)=0:取y=-1,则f(-x)= 2m≥0， f(x)+f(-1)=f(x). 由B二A得 又m≤0，解得m=0. f(x)为定义在[-1,1门上的偶函数 1 2m≤3. (2)任取1>x2>x1>0,由偶函数性质， ②当0<号，即0<m<2时g红)在0，受） 4 当x∈(0,1)时，f(x)>0, 令=要y=,则f红)=f份)+f小 上单调韆流，在停引上单须适塔。 即f)-f)=f》 1>x2>x1>0,∴∈(0,1). ga)-1tgm 又当x∈(0,1)时，f(x)>0, f(>0,即f>x, 由B二A得 ∴f(x)在(0,1)上单调递减。 (3)由(1)(2)知∫(x)在(0,1)上单调递减且 0≤m≤4， (0≤m≤4， f)=0,又f(分）=3， 则 (m-2)≤20,2-2W5≤m≤2+2V5. 当e[}]时fu)c[o3],记A=o.31 又0<m<2,解得0<m<2. 又对任意∈[0，总存在x∈[合小，使 ③当贸>≥号即m≥2时，g红)在6，引上单满 递减， 得g(x1)=f(x), 设g(x)在[0,1门上的值域为B,B二A. ∴g(x)ms=g(0)=2m, “g红)的图象关于点侵，》中心对称， 8)=1-m,即B=-m] ∴当x∈[0,1]时，g(x)x十g(x)m=1 1 1-2m≥0， ①当<0，即m<0时，gx)在0，上单明 由BCA得 1 2m≤3 递增， 又m≥2，解得m=2. ∴g(x)血=g(0)=2m, 综上可知m的取值范固为[0,2]. 115