3.2.2 奇偶性-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

重难点手册高中数学必修第一册RJA 3.2.2 奇偶性 重点和难点 课标要求 1.理解高数奇偶性的概念 重点：奇偶性的概念， 2.了解函数奇偶性的几何意义： 难点：奇偶性的判断及应用。 3.掌握函数奇偶性的应用 目a目目H 食必备知识梳理 i目HiH目目onnntnlnmnin目 基础梳理 知识点1 函数的奇偶性的概念 偶函数 奇函数 敲黑板。 判断函数奇偶性的两个关键点 般地，设函数f(x)的定义一般地，设函数∫(x)的定义 (1)定义战D关于原点对称 域为1，如果x∈1，都有域为1，如果Vx∈1，都有-工 定义 -x∈I,且f(-x)=f(x), ∈I,且f(-x)=-f(.x),那 定义域不关于原点对称时， 那么函数f(x)就叫作偶函数 么函数∫(x)就叫作奇函数 f(x)是非奇非偶函效.如f(x) =x,xR是偶函数，但f(x) 定义域特征 关于原点对称 =x.x∈[-1,2]是非奇非偶 f(-x)-f(.x)=0或 f(-x)+f(x)=0或 函数 等价形式 f(-x) f(x)=1 f(-z) =一1 f(z) (2)等式恒成立 当f(x)的定义城关于原点 ◆股想板 对称时，f(一x)=f(a)一fx) 知识点②奇、偶函数图象的特征 是偶函数：f(-x)=一f(x)曰 1.奇函数的图象特征 f(x)是奇函数：∫（一x)≠ 土f(x)台∫(x)是非奇非偶函 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中 数f(-x)=士f(x)=f(云)既 心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心 是奇函数义是偶函数，这样的函 的中心对称图形，则这个函数是奇函数 数只有一类，即f(x)=0,x∈ 2.偶函数的图象特征 1,且1关于原，点对称 若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴 [注意]判断f(.x)不是专函 的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函 数，只需举出一个反例即可，如 数是偶函数.◆划重 f(-1)≠-f(1):判断f(x)不 是偶函数，只需举出一个反例即 3.奇、偶函数的单调性 可，如f(-1)≠f1). 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论。 (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数 划重点。 在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇 奇、偶函数的图象特征的具体化 同偶异”. (1)如果f(x)为奇爵数，点 102 第三章函数的概念与性质 (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取 (x,f(x)在其图象上，那么点 最值时的自变量互为相反数：奇函数在关于原点对称的区间上的 (-x,f(-x),即点(-x 最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 一f(x)也在f(x)的图象上 (2)咖采f(x)为偶函数，点 重难拓展 (x,f(x)在其图象上，那么点 重难点（①判断函数奇偶性的常用方法 (一x,f(一x),即，点（一x, f(z)也在f(x)的图象上， 1.定义法：当函数给出解析式时常用定义法判断.步骤如下： (1)一求：求函数的定义域 (2)二看：定义域是否关于原点对称 (3)三判断：判断f(x)与f(一x)的关系. 2.图象法： 关于原点对称 f(x)为奇两数 f八x)的图象 关于y轴对称 f(x)为偶函数 3.性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合 敲黑板。 函数的奇偶性判断。◆黑题 (1)设f(x),g(x)的定义 说明 域分别是D1,D,在它们的公 判断一个定义战关于原点对称的函数不具有奇偶性，只要举出反例： 共定义域上有下列结论： :使f(一x)≠士f(x)即可. f(r) 锅 锅奇奇 (cx) 例①判断下列函数的奇偶性， f(r)十g(r) 偶 (1)f(x)=3x-4x3: f(r-g(r） 锅 奇 (2)f(x)=x2-x3: f(r)g(r) 锅 奇奇 (2)复合函数F(x)=f(g(x) (3)f(x)=/x2-1+/1-x2: 的奇偶性如下表： W/4-x f(r) g(r) F(r) (4)f(x)= 3-x+39 偶 偶 偶 (5)f(x)=|x-2|-|x+21. 偶 两 偶 解析(1)定义法f(.x)的定义域为【，是关于原点对称的。 奇 学 ,f(-x)=3(-x)-4(-x)3=-3.x+4x3=-f(x), 在f(g(r)中，g(x)的值 .f(x）=3x-4x8是奇函数. 城是f(x)的定义城的子集 (2)举反例f(x)的定义城为R,是关于原，点对称的。 (由f（一r)=x一t可以发现，f(x)似学非奇非偶，故可以米用联值法举及例验证) f(1)=0,f(-1)=2, :f(1)≠f(-1)且f(1)+f(-1)≠0， .f(x)=x2-x为非奇非偶函数 (3)定义法f(x)的定义城为[-1,1门，是关于原点对称的. :f(-1)=f(1)=0,∴.f(-x)=±f(x), 103 重难点手册高中数学必修第一册RJA 故f(x)=√x一1十1一x既是奇函数又是偶函数 4-x2≥0， (4)定义法由 可得一2≤x≤2且x≠0， 3-x+31≠0 ∴.定义域为[一2,0)U(0,2],关于原点对称 由定义域可知f(x)= V- 3-(x+3) 又：f(-x)+f)=42+-4-2 =0 f(-x)=一f(x),f(x)为奇函数 (5)方法一（定义法）f(x)的定义域为R,关于原点对称 又：f(-x)=|-x-2-1-x+2=x+2-x-2 =-(x-2|-lx+2|)=-f(x), f(x)为奇函数 方法二（图象法） 4,x≤-2， f(x)= 2x,-2x<2, -4.x≥2. 作出f(x)的图象如图所示，故f(x)为奇 函数 培优突破 突破点（① 函数的周期性与对称性◆触墨板 敲黑板○ Hx∈R,f(a一x)=f(b十x),则f(x)的图象关于直线x 轴对称 周期函数的定义 结论 a中轴对称（若a=b,即f(a一x)=f(a十x),则f(x)的图象 2 一般地，设函数f(x)的定 关于直线x=a轴对称) 义域为D,如果存在一个非零常 数T,使得对每一个xED都有 中心对 Hx∈R,f(a十x)=2b-f(a-x),则f(x)的图象关于点(a, x+T∈D,且f(x+T)= 称结论 b)中心对称 f(x),那么函数f(x)就叫作周 期函数.非零常数T叫作这个 若函数f(x)的图象既关于直线x=4对称，又关于直线x=b 函数的周期， 对称，a≠b,则函数f(x)的周期为2a一b: “双对称”若函数f(x)的图象既关于点(a,c)对称，又关于点(b,c)对称， 结论 a≠b,则函数f(x)的周期为2a一b: 若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于点(b,d)对 称，a≠b,则函数f(x)的周期为4a一b 104 第三章函数的概念与性质 续表 拓视野。 二级结论法 ab为常数a≠0，若f(x十a)=b-fx)或fx十a)=±f 例2中，由y=g(x)的图要 关于直线x=2对称，得g(2 为常数减+a侣则：的调期T=2ai x)=g(2十x), 周期 a≠0，若f(x十a)= 1+fx)则fx)的周期T=3a: 1 又f(x)+g(2-x)=5, 结论 所以f(x)+g(2十x)=5. e0,者)b-fa减+o)芒侣则c) 由g(x)-f(.x-4)=7 的周期T=4a: 得g(2+x)-f(2-x)=7, a≠0，若f(x+2a)=f(x十a)-f(x),则f(x)的周期T=6la 则f(x)+f(2-x)=-2.f(x) 的图象关于点（一1.一1）对称. 例巴(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为 在f(x)+g(2-x)=5 中，用一x替换x,可得f(一x)十 R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x一4)=7.若y=g(x)的图 g(2+x)=5,故f(x)=f(-x), 象关于直线x=2对称，g(2)=4,则∑f(k)=( f(r)的图象关于直线x=0 对称 A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 综上，「(x)的周期为4X 解析由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，得g(2-x)=g(2十x), 0十1=4.（根据“双对称”结论 由f(.x)+g(2-x)=5,得f(-x)十g(2+x)=5,则f(.x)=f(-x), 得出(x)的周期，选而求值) 即f(x)是偶函数 由f(0)+g(2-0)=5, 由g(x)-f(x-4)=7,得g(2-x)-f(-x-2)=7,则g(2十x)= g(2)=4得f(0)=f(4)=1, 由f(1)+f(2-1)=-2得 g(2-x)=f(x+2)+7.即g(x)=f(x)+7. f1D=-1, (联想g(2-x)=g(2十x),我们将g(x)一fx一4)=7中的x替换为2-r) 由f(0)+f(2-0)=-2 所以函数「(x)的图象也关于直线x=2对称，即∫(x)=∫(4一x), 得f(2)=-3, 所以f(一x)=f(4+x).即f(x)=f(4+x), 由f(3)+f(2-3)=f(3) 所以函数f(x)的周期为4. +f(2-3+4)=-2得f(3) -1. 由f(x)=g(x)-7得f(2)=g(2)-7=4-7=-3. 对f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,令x=1得f(1)+g(1) 所以2fk)=5[f0)+ =5,g(1)-f(-3)=g(1)-f(1)=7,得f(1)=-1,得f(3)=f1)=-1. f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+ f(2)=-24. 对f(x)十g(2-x)=5,令x=0得f(0)十g(2)=5, 所以f(0)=1,则f(4)=f(0)=1. 从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-1-3-1+1=-4, 所以2F)=5X(-0-1一3=-2哉选D→验 答察D 105 重难点手册高中数学必修第一册RJA 关键能力提升 题型①分段函数奇偶性的判断 x)+f-）,hx)=f)-f-）,试 2 2 例B(2024·江西景德镇重点中学联考) 判断g(x)与h(.x)的奇偶性；根据g(x),h(x) 22+1x>0. 与f(x)的关系，你能猜想出什么样的结论？ 已知函数f(x)= 则( 证明(1)设a=0,则f(b)=f(0)十f(b), 22-1x<0, .f(0)=0. A.∫(x)是奇函数 又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x. B.f(.x)是偶函数 ∴.f(-x)=-f(x). C.f(x)既是奇函数又是偶函数 ∴.f(x)是奇西数 D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2g-x)=f-,+f=g. 2 解析函数的定义域为（一©，0）U(0,十∞)，关 于原点对称。 h(-x)=I(-x)-f(r) =-h(x), 当x>0时，-x<0f（-x)=-2(-x)-1 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数 g(x)+h(r)-f(D)+f(-2f()-f(-z) 2 2 (2x+1)=-fx): =(x),由此可得一般结论：如果一个函数的定义域 当x<0时，-x>0,f(-x)= 2(-x)+1 关于原点对称，那么这个函效就一定可以表示为一个 奇西数与一个偶函数的和 2x+1=-(←7x2-1=-fx) 例固若定义在R上的函数f(x)满足： 综上可知，函致f(x)是奇函数 (i)存在a∈R,使得f(a)=0: 答案A (i)存在b∈R,使得f(b)≠0： 归纳总结 (m)任意x1,x2∈R恒有f(x1十xg)十 用定义法判断分段西数的奇偶性：首先，要判：： f(x1-x2)=2f(x1)(x2). 断函数的定义城是否关于原点对称.其次，如果其 求证： 定义城关于原点对称，要分段讨论，必须判断函数是 (1)任意x∈R恒有f(x十4a)=f(x): 否在每一授上都满足f(一x)=一f(x)或f(一x)= (2)函数f(x)是偶函数， ∫(x),才能判定∫(x)的奇偶性，此題用图象法来 证明(1)（此是实质是证明∫(x)为周期高数且T=a, 判定应更快捷」 所以通过版值给1x,得到f工十u)或(r一u)的式于) 在f(x1十x2)+f(x1一x2)=2f(x1)f(x2)中， 题型②抽象函数奇偶性的判断 令x1=x,x2=a,得f(x十a)+f(x-a)=2f(x)f(a) 例④(2024·浙江名校联考)(1)已知函 三0. 数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有 .f(x+a)=-f(x-a) f(a+b)=f(a)十f(b).求证：f(x)为奇 ∴.f(x+2a)=-f(x), 函数 ∴.f(x+4a)=-fr+2a)=-[-f(x)]=f(.x), (2)已知f(x)是定义在R上的函数，设g(.x) 故对任意x∈R恒有f(x十4a)=f(x). 106 ,第三章函数的概念与性质通 (2)(证f(x)的奇偶性，需得列f(x)与f(一x)的等式，：1)=(9.x2一1)(x一a), 所以常要尝试给1，：藏值，我到一种可行性或值：令1=0， (注竞到y=9x一1为偶通致，根据“偶×奇=奇”，要使 ,=x,刚得士)+f(一x)=2f(0)f(x).所以要先求f(0) f(x)为奇善数，应有g(x)=x一a为青函数) 的值) g(-x)=一g(x)恒成立， 令x1=b,x±=0得f(b)十f(b)=2f(b)f(0). 故一x一a=一(x一a),化简得a=0. 又f(b)≠0，∴.2f(0)=2,.f(0)=1. 方法三（根据函数为奇属数求参，也可虑直接用定 再令x1=0,x:=x得 义处理) f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x)=2f(x), f(x)为奇函数 f(-x)=f(x, ∴f(-x)=-f(x)恒成立， f(x)为偶函数. 故[3(-x)+1](-x-4)[3(-x)-1]=-(3x 变式O(多选)已知奇函数f(x)和偶函 +1)(x-d)(3.x-1), 数g(x)的定义域和值域均为R.则下列函数 化简得(3.x-1)(x十a)(3x+1)=(3x+1)(x 中为偶函数的有(). a)(3r-1), ,∴.a(3.x-1)(3x+1)=0. ① A.f(z)g(z) B.f(r)g(lx) .(3x-1)(3.x十1)不恒为0， C.f(g(x)) D.g(f(x)) ∴.式①要恒成立，只能似=0. 题型③函数奇偶性的应用 (3)方法一当x>0时，一x<0,f(-x) 1.利用函数的奇偶性求参数值 (-x)2+(-x)=x2-x. 例6(1)若函数f(x)=a.x2+bx十3a十b 又，∫(x)为奇函数， 是偶函数，定义域为[a-1,2a],则a ∴.f(x)=-f(-x)=-x2十x, ,b= 即a.x十b=一x十x, (2)已知f(x)=(3x+1)(x-a)(3.x-1) ,.a=一1，b=1,则a+b=0 为奇函数，则a= 方法二由题意知/(2)=一(-2》， f1)=-f(-1), (3)(2024·湖南长沙重点中学联考)已知 4a+2b=-2. a=-1, x2+x,x≤0， 则 函数f(x)= 为奇函数，则a十 a+b=0, b=1. ax2+bxx>0 当a=一1，b=1时，经检验知f(x)为奇西数，故 6= d十b=0. 解析(1)因为偶函数的定义城关于原点对称，所 答案1号0.(2)0.3)0， 以a-1=-2a,解得a=3 2.利用函数的奇偶性求函数的解析式 又量f)+bx十6+1为二次函数，结 例7(1)已知函数f(x)为R上的偶函 合偶函数图象的特点，易得b=0. 数，且当x<0时，f(x)=x(x一1)，则当x>0 (2)方法一（奇函数如鼎在x=0处有定义，刚必镜 时，f(x)= 「(0)=0，载可由此建立方程求a) (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，x> :f(x)为奇函数，且定义城是R, .f(0)=-a·(-1)=a=0, 0时，f)=++2.则/(-D= 此时f(x)=x(9x一1)，满足f(x)为奇画数。 该函数的解析式为 方法二由题意，f(.x)=(3.x十1)(x一a)(3.x 解析(1)当x>0时，一x<0, 107 用重难点手册高中数学必修第一册RJA。 则f(-x)=-x(-x-1)=x(x十1). (2)已知fr)=x+ar+6-8.且f(2 ,函数f(x)为R上的偶函数， .f(x)=f(-x)=x(x+1). =10,则f(-2)= (2)f(x)为奇函数， (3)当x∈[一1,1]时，函数f(x)= ∴-1)=-f)=-(++2)=-4 (x+1)2+ax 的最大值为M,最小值为m,其 x2+1 (已如x>0时f(r)的解折式，只常再求出x=0与x<0 时的解析式印可.在x<0时，可利用奇函数的定义.将f(x)转 中a为常数，则M十m= 化为（一工），些时括号内的一工>0，就啊直接代入备件己知的 解析(1)，g(x)为奇函数， 解析式) g(x)=一g(一x). 当x<0时，一x>0,由题设条件有，f(一x)= f(-2)=3, （-0++2=-+2, .f(-2)=g(-2)+1=-g(2)+1=3, g(2)=-2,f(2)=g(2)+1=-1. ∴f)=-f(-x)=-(是+2=-x2+ (2)方法-f2)=2+a·2+合-8=10. 1一2. 又，奇函数f(x)满足f(0)=0, x+1+2,x>0. f(-2)=-2-4·2--8=-40 f(x)= 0,x=0: =-40+14=-26. -2x<0. 方法二2)=2+a…2+合-8 答案(1).x(x+1). x2+ 1 +2,x>0, 1-2)=-2-a2-合-8. @ 由①+②得f(2)+f(-2)=-16. (2)-4:f(x）= 0,x=0, 又f(2)=10,.f(-2)=-26. -x2+1-2,x<0. (3)(f(r)的解折式较夏帝，且会来.这里M知m不好单 变式2已知y=f(x)是偶函数，y= 脑求，那怎样年M十m?观容发现若持分子的(X十1)展开，则 g(x)是奇函数，它们的定义域都是[-3,3]，且 会出现与分母相同的部分，于是可专弗先拆确试试) 它们在x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式 由题意fr)=+1)+ax_2+1十2x+aE x2+1 x2+1 fx)<0的解集是 g(z) =1+2x十ax r2+1 y=gC) 《注意列2工十工这部分为奇通数，它在[-1,1门上取得最 x2+1 12 大值、最小值的点之定是芙于原点时称的，如国，于是份可用 yf(2) 臂面的“奇遇数十常数”的结论处理) 题型4“奇函数十常数”型函数 y=g(x) 例8(1)已知g(x)为奇函数，f(x) g(x)十1，且f(-2)=3,则f(2)= 108 ,第三章函数的概念与性质通 设g(x)=2r十ar2 x2十1 x∈[-1,1]， 则g(x)为奇函数，且f(x)=1十g(x), ① 假设g(x)在x处取得最大值，则由对称性，它 必定在一江处取得最小值， 由①可知f(x)与g(x)在相同的地方取得最值， 答案D 所以M+m=f(x。)十f(-x。)=1十g(x)十1 变式3(2025·河北衡水高三阶段练习) 十g(-xo)=2. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0 答案(1)-1.(2)-26.(3)2. 时，f(x)=3.x一2x+m,则f(x)在[1,2]上 归纳总结 的最大值为( 形如∫(x)=g(x)十1（其中g(x)为奇函数） A.1 B.8 的函数在关于原点对称的区间上取得最大值和最 C.-5 D.-16 小值的自变量也关于原点对称出现，抓住这一点往 例10已知定义在[一2,2]上的偶函数 往是解题的关键，只是有时g(x)十1这种“奇函数 f(.x)= 2ax+b 十常数”的结构不会直接给出，而是隐藏在解析式 x2+1 中，这就需要我们自己去发现，本题就是如此 (1)求函数f(x)的解析式： (2)解关于m的不等式f(1一3m)一f(m 题型⑤函数奇偶性与单调性的综合 -1)<0. 应用 解析(1)：f(x)为偶函数，.f(-x)=f(x) 例⑨(2024·广东惠州一中期中)如果奇 恒成立，故2a(-x)+b_2ax+b 函数f(x)在(0，十○)上为增函数，且f(2)=0, (-x)P+1x2+1,化简得ax=0, 则不等式fx)-f-》<0的解集为( ,x不恒为0，上式要恒成立，只能a=0, b 故f(x)= x2+1 A.(-2,0)U(2.+∞) B.(-o∞，-2)U(0,2) 》-8 9 +1 C.(-o∞，-2)U(2,十∞) D.(-2,0)U(0,2) 解得b=1,故f(x)= 2+x∈[-2,20. 解析由函数f(x)为奇函数可知f(一x)=一f(x), (2)(这里f(x)有群析式.要代解析式求解f(1一3m) 因此)=f-<0可化为不等式2)0. (m一1)<0吗？这样微显然比较难算，可专速通过移项将其 亿为「(1一3m)「(m一1)，用单调性处理，下西我们先根据解 x>0 x<0, 折式利断单调性) 故有 或 f(x)<0f(x)>0. 方法一任取0≤x1<x≤2，f(x)-f(x:)= 再由f(2)=0可得f(一2)=0. 1x+1-xi-1(xg十x1)(x2-x1) x+1xi+1(x+1)(x+1)(xi+1)(x+1) 由函效f(x)在(0，十∞)上为增函数，可得西数 0≤x1<x≤2， f(x)在（一∞，0）上也为增函数，结合函数f(x)的单 ∴.x+x1>0,xg-x1>0.(.x+10(x+1)>0. 调性和奇偶性可得示意图，所求不等式组的解集为 从而fx)-f(,)=+>0. {x-2x<0成0<x<2}. (x+1)(x2+1) 109 重难点手册高中数学必修第一册RJA 故f(x1)>f(x2),所以f(x)在[0,2]上单调递减， 化简得m(2m-1)>0,解得m<0或m> ① 方法二《可以根据复合孟数的单满性法刚来利所 f(r)的草调性) (处千规宽了f(x)的宽义城是「一2.2]，所r4还应考虚宽 义城) 令u=x2+1,则y=1 -2≤1-3m≤2， 由题意得 :=x2+1在[0,2]上为增函数，且>0， -2≤m-1≤2， 而y=1在(0，十)上为减函数， 站合①可得-号长m<0或号<m≤1， 1在[0,2]上单调递减。 .不等式f(1-3m)-f(m一1)<0的解集为 ∴.f(x)= x2+1 (目标不等式中的1一3m和m一1不一定在[0,2们上.可通 3ou侵 过加绝对值，把它们化到[0,2]上，便于用单调性) 归纳总结 f(1一3m)-f(m-1)0=f(1-3m)<f(m- (1)无论是否给出f(x)的解析式，研究f(…) 1)台f(11-3m)<f(m-1), <f(…)这类不等式，都首先考虑单调性」 结合f(x)在[0,2]上单调递减可知|1一3m|> (2)当函数的定义域不是R时，别忘了考虑定 m-1,故1-6m+9m2>m2-2m+1, 义城」 HHi目 核心素养聚焦 4目目4国4目 考向①函数奇偶性的判定 数，故C正确。 例1口(2023·全国I卷改编)（多选）已知 答案AIBC 函数f(x)的定义域为R,f(xy)=yf(x)十 例☑（经典·全国乙卷）设函数f(x)= x2f(y),则( 则下列函数中为奇函数的是() A.f(0)=0 B.f(1)=0 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)是奇函数 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解析令x=y=0,得f(0)=0,故A正确。 令x=y=1,得f(1)=f(1)十f(1),即f(1)= 解析方法一f(x-1)-1=1一红-1D 1+x-1 -1 0,故B正确. 2一2江，不是奇函数，故选项A不符合题意： 当xy≠0时，由f(xy)=y2f(x)+xf(y).得 f(ry)f(r)f(y) r'y y. fG-D+1-+1=是是奇画，故 设F)=9,那F)=F+P,易 选项B符合题意： fx+1)-1=1-+1-1=-2红2 得F(1)=0. 1+x十1 x+2,不是奇 令x=y=-1.得F(1)=F(-1)+F(-1)=0, 函效，故选项C不符合题意： 则F(一1)=0. fx+1D+1==士D+1=2 1十x+1 +2不是奇函 令y=-1,得F(-x)=F(x)+F(-1)= 数，故选项D不符合题意.故选B F(x),所以F(x)为偶函数 由y=x2为偶函数，得f(x)=xF(x)为偶函： 方法二 由f)---1+ 1十x 110 ,第三章函数的概念与性质谁 1十x,画出f(x)的图象（知图所示）.由困可知，fx) 2 解得a=1. 答案1. 的图象关于点（一1，一1）对称，因而只需将(x)的图 考查内容 核心素养 象向右平移1个单位长度得函数y=f(x一1)的图 高考难度 象，再将所得图象向上平移1个单位长度，即可得奇 考查函数奇偶性的应用 数学运算 ★★★☆☆ 函数y=f(x一1)十1的图象.故选B. 考向③函数对称性与周期性的应用 例14（经典·全国Ⅱ卷）若函数f(x)的 定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)· f(),f1)=1,则∑fk)=( 3 A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析：f(x十y)十f(x一y)=f(x)f(y), 易错普示 令x=1,y=0得2f(1)=f(1)f(0). 运用图象平移变换时，要正确理解与运用“左 .f(0)=2. 加右减，上加下减”的平移规律，不要弄错方向 ------------ 再令x=0得f(y)+f(-y)=2f(y). 答案B ∴.f(y)=f(-y). 考查内容 核心素养 高考难度 .f(红)为偶函数 考查函数的奇偶性及运算 再令y=1得f(x十1)十f(x-1)=f(x), 逻辑推理 ★★☆☆☆ 性质 ∴.f(x十2)十f(x)=f(x十1)，从而得f(x十2) 考向②函数奇偶性的应用 =-f(x-1),f(x-1)=-f(r-4),故f(x+2)= f(.x-4), 例13（经典·全国I卷改编）设函数 .f(x)=f(x十6)，.f(x)的周期为6. f(x)=x3十(a-1)x2十a.x.若f(x)为奇函 又：f(2)=f(1)-(0)=1-2=-1,f(3) 数，则a= f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2) 解析方法一因为函数f(x)=x3十(a一1)x =-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2. 十a.x为奇函数，所以f(-x)=一f(x), .f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0. 所以(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-[x3 由于22除以6余4 十(a-1)x2十a.x],所以2(a-1)x2=0. 因为x∈R,所以a=l. 2fk)=f1+2+f3+4=1- 方法二因为函数f(x)=x3十(a一1)，x”十ax 1-2-1=-3. 为奇函数，所以f(一1)十f(1)=0,所以一1+a一1 答案A a十(1十a-1十a)=0,解得a=1. 考查内容 核心素养 高考难度 方法三易知f(x)=x十(a一1)x”十ax x[x+(a一1)x十a],因为f(x)为奇函数，所以函数 数学运算 考查函数的对称性与周期性 ★★★☆☆ 逻辑推理 g(.r)=r2十(a一1)x十a为偶函数，所以a-1=0, 111因为x1,x2∈(0，a),x1<x2,所以0<x1x2<a2,x1一x2<0, 则f-f）=1-).1-a>0. 2a政f2=2+号， III: 若}+2a>2+号即。>1，则最大值为f(侣)=名+2， 即f(x1)>f(x),f(x)在区间(0，a)上单调递减。 同理，任取x1,x2∈(a,十o∞)，x1<x2. 则有号+2<解相2<a<2 2. 因为x1x2∈(a,十oo),x1<xg,所以x1x1>a2,x1一x2<0, 则)-f)=-).a<0, 将a<2>1.2<a<2取集 IIT: 即f(z1)<f(x2),f(x)在区间(a,十o∞)上单调递增 可得1<2， @09-ga-抄-异21 若号+2a<2+号，即0<a<1,最大值为f2)=2+受， 当x∈(-1,1D时，1+x∈(0,2)， 故异=ea,+m),g)=子-1e0,+m 2 则有2+号a,解得4-25<a<4+25。 .t=g(x)∈(0，十∞). 将号<a<2,0Ca<1,4-2w5<a<4+25取交集， 当1∈(0，+∞)时，)=1+在0，D上为诚西数，在 可得4-2W3<a≤1， (1,十∞)上为增函数， 若a>2,则fx)=x+在x∈[日，]上单调递减， ∴.f(t)n=f(1)=2,即h(x)mn=2. @司为是在[音吉】上任意麻信，行以A-A份后 故fx)=f(侵）=7+2a,f)m=f2)-2+g 4)位成立，等份于h(r)一h(x)m≤h(e)m) 是+2a<2+)解得-<a< 2 e[】时，1+e[导]ge)= 2 :-1∈ 由于<2，故此时解集为以. 2 [2, 综上，实数a的取值范围是4一25<4<2牛日 2 归钠总结了 等价于对任意的n4∈[侵习)一f心，<， 对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方 法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另 只需f)=x+在x∈[，习上，满足fx)= 一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确 定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情 f(x)f(r)f(x)<2f(x) 况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数， 由1)，f)=x+在（0e)上单调递减，在a,十o上 通过两个函数图象确定条件， 单调递增， 3.2.2奇偶性 若0<a<分则fx)=x+在x∈[2,2上单调递增， 变武孤练 [变式1门ACD[A(/),令F(x)=f(xI)g(x),F(-x)= 故fe)m=f（合)=号+2a,f)=f2=2+号 f(-x)g(-x)=f(x|)g(x)=F(x): 故2+<2（侵+2a）,解得>或a<- B(×),令F(x)=f(x)g(|x|),F(-x)= 7 f(-x)g(|-x)=-f(x)g(x|)=-F(x),故F(x) (去)，由于>，散此时解集为心 为奇函数： C(/),令F(x)=f(g(x),.F(-x)=f(g(-x)= <a<2,则了)=x+号在x[d]上单减。 f(g(z))=F(z); 在x∈(a,2]上单调递增， D(),4 F(z)=g(f()),F(-)=g(f(-x))= g(-f(x)=g(f(x)=F(x).] 故fx)=f(a)=2a,fx)的最大值为f(侵）-专+ [变式2]{x-2<x<1或0<x<1或2<<3》. 35 [由于y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，根据函数图 1 象的对称性画出y=f(x),y=g(x)在区间[一3,0]上的图 又() 2 31 >0,排除D,故选A.] 象，如图所示.由图象可知，∫(x)>0等价于0<x<2或-2< 1-( x<0gx)>0等价于1<<3或-1<x<0.又2<0 2.A[(要求f(2),可先在所给等式中取x=2) g(x) 由f(x)+g(x)=x2-x+1, If(x)>0,f(x)0, 等价于 或 可求得其解集是{x|一2< 得f(2)+g(2)=2-2+1=3, ① g(x)<0g(x)>0, (还差一个方程，知何拘建？渔意到∫(x),g(x)有争得性，于是 x<一1或0<x<1或2x<3}.] f(一2)，g(一2)可分别转他为一f(2),g(2),故再取士=一2，莉建 g(x) 第二个方程) 在f(x)十g(x)=x2-x十1中，取x=-2, =f(r) 可得f(-2)+g(-2)=(-2)2-(-2)+1=7, ② 思维过程) f(-2)=-f(2), 又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以 本题可以借助函数图象的奇偶性，画出y=∫(x),y= g(-2)=g(2), g(x)在区间[一3,0]上的图象，结合图象可以看出使得 代人②得-f(2)+g(2)=7, ③ fr),g(红)大子零成小于零的区间，从而求得<0的 用式①减式③可得2f(2)=一4，所以f(2)=一2.] g(x) 3ABD[A(√)，当x为有理数时，一x也为有理数， 解集 .有f(-x)=f(x)=1,当x为无理数时，有f(一x)= [变式3]C[:f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0. f(x)=0,∴f(x)为偶函数. 又：当x≤0时，f(x)=3x2-2x十m, 显然B是对的. ∴.f(0)=0=m,.当x≤0时，f(x)=3x2-2x. C(×),若x为有理数时，f(x)=1,由f(f(x)=f(x)得 设x>0,则一x<0,则∫(-x)=3x2+2x,则∫(x)= f(1)=f(x),此时x为有理数 -f(-x)=-3x2-2x,即当x>0时，f(x)=-3x2-2x, D(√)，若x为有理数，由f(f(x)=x得f(1)=x, .f(x)在[1,2]上单调递减， x=1,若x为无理数，由f(f(x)=x得f(0)=x,此时 .f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=-5.] x无解.] 基础过关练 4.D[由单调性定义知f(x)在[1，十∞)上为增函数， 1.A[方法一（观客四个图象可发现，A,B关于原点对#，C,D关： (x1>rPf(r)>f(rm片1<x→f(u)f(xa)) 于y轴对标，故可通过刊断奇偶性排除两个选请) :f(x十1)为偶函数， 由1一x2≠0可得x≠士1→f(x)的定义域是{xx≠土1}， .f(-x+1)=f(x+1). 该定义域关于原点对称， (令gx)=fx+1),由g(-x)=g(x)得f(-x十1)=f(x+1) 一江 f(x)图象关于x=1对称 又f-)1--=1-元=-fx (回为横坐标之和（一x十1）十(x十1)为定值2，从坐标相等，也可以 所以f(x)为奇函数，其图象应关于原点对称，排除CD. 送=+年食y=e,所y=c+i)时释 (建项AB的区别在于相同自变量下通数值的立、费不司，数不梦速】 精x=0锈到x=1,f(上)时称轴为x=1) 一很来看者f(x)的正、角，可选0<x<1这狼) 所以f(x)的图象如下： 当x∈(0,1)时，1一x>0,所以f(x)= 1工>0，排除B, 故选A 方法二 根福解新式选困象，也可考露代特林值排修这清，观参 发现这项在原点附近的朋家不同，故才电取工=士。 由图象知离直线x=1越近的点函数值越小， .|2a-1-1>la-2-1|, 1 一号<0，排除配 .(2a-2)2>(a-3)2，∴.3a2-2a-5>0, 由题意，()- 2 a+1D(3a-5)>0,a<-1或a>号] 36 5.-x2-2x:(-∞，-2)U(0,1)U(2,十o∞). 化为f(…)<f(…)的形式，用单调住处理) [当x<0时，-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+ 因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)+f(x2)<0曰f(x2)< 2x, -f(x-1)台f(x)<f(1-x), ② 又f(x)=-f(-x)=-x2-2x. 由(2)可知f(x)在（一1,1）上单调递增，所以不等式②等价 易知f(x)的图象如下： -1<x2<1, 于一11-x<1,解得0<<5，-1. 2 x2<1-x 别老了定义减对于∫(…)指号内的作用 所以5-1D+f:<0的解集为6,5) x-1>0, x-1<0, 原不等式可化为 或 绵合提能练 f(x)>0lf(x)<0, 1,D[:g(x)为奇函数，g(一x)=一g(x), 由图可知不等式组可等价化为 .f(-x)=4+(-x)g(-x)=4-x2g(x), x1 x<1, 或 f(x)+f(-x)=8, -2<x<0或x>2x<-2或0<x<2, f(x)的图象关于点(0,4)对称， .x>2或0<x<1或x<一2， ,不等式解集为(0,1)U(2,+∞)U(一∞，一2).] 一心)在区间[？，]上的最高点和最低点也类于点 6.(1)方法一因为f(x)为奇函数，所以f(一x)=一f(x)恒 (0,4)对称，故M十m=8.] 成立，从面岁放 2.A[方法-当x<0时，f(x)=-f(一x)=-[-x(-x 1+x2 1+x2” 1)J=-x(x+1): 所以-ax+b=-(ax+b),从而b=0,故fx)=1+立， ax 当x≥1时，x-1≥0，f(x)+f(x-1)=x(x-1)+(x-1)· (x-2)<2,解得0<x<2,即1≤x<2: 又由题意，(2 2 当0≤x<1时，则x-1<0,f(x)+f(x-1)=x(x-1) ,解得a=1, 1+( x(x一1)=0<2，满足题意： 当x<0时，则x-1<0,f(x)+f(x-1)=-x(x+1) 所以f(x)=1十云 (x-1)x=-2x2<2恒成立. 方法二因为f(x)为奇函数，且0在定义域（一1,1）上， 综上所述，x的取值范围是（一∞，2），故选A ax 方法二（图象法）当x<0时，f(x)■一f(一x),此时 所以f(0)=b=0,故f(x)= 1+x2, f(x)=-x(x+1), 又y=f(x一1)的图象是由y=f(x)图象向右平移一个单 又由题意，（号） 2 ,解得a=l, 1+(2) 位长度而得，作出y=f(x)与y=f(x一1)图象如下： y y=f(x) 所以f心x)=千子，经检验，满足fx)为奇函数。 y=f(x-1) (2)f(x)在（一1,1）上单调递增，证明如下： 任取-1<x,<x:<1,fx)一fx:)=1十1+z 1)(1+i) (1+x1)(1+x) (1+x)(1+x) 由图知x≤号时，fx)十fx-1)<2显然成立， =1-x:十x1xx2-x1)(x1-x2)1-x1x2) (1+x)(1+x2) (1+x)(1十x2) 当x≥号时y=f)+f-1D为增函数， 因为-1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1一x1x2>0, 又f(2)+f(2-1)=f(2)+f(1)=2, 又(1十x)(1十x)>0,所以结合①得f(x1)-f(x2)<0, .f(x)+f(x-1)<2的解集为(-∞，2)，故选A] 从而f(x1)<f(x2),故f(x)在(-1,1)上单调递增. x2(0), （③)在寺通数中，者到心一计)<0，怎到先梦项，再用有雾社 3.C[(由趋说b表得f(x) 希要直换去钟f代x十a)≥ -x(x<0》. 37 2∫(x)中的外表””，需要分多种情况，这样本复条，能香把： B(X),因为f(0)=2,所以函数f(x)不可能为奇函数： 2f(x)变或f(A)?弄结合f(x)的单调性去#“) C(√)，在2f(x+y)=f(x)f(y)中，令y=-x,所以有 |x2,x≥0， 2f(0)=f(x)f(-x)→f(x)f(-x)=4>0,当x<0时， 由题意知f(x)= 则2f(x)=f(W2x), -x2,x<0 -x>0,因此有fx)f(-x)=4Pfx)=7-∈(0， 因此原不等式等价于f(x+a)≥f(W2x). 因为f(x)在R上是增函数， 2),而f(0)=2,所以f(x)的值域为(0，十o∞)： D(/)设Vx1,x2∈R,x1<x,显然x2一x1>0,即有 所以x十a≥√瓦x,即a≥(W2-1)x. f(x2-x1)>2成立，因为2f(x+y)=f(x)f(y),所以有 又因为x∈[a,a十2]，所以当x=a十2时，(2-1)x取得 最大值(W2-1D(a十2)，因此a≥(2-1)(a十2)，解得a≥ f-x)>22fx)·f-x)>2,而fx)f(-x)= 2.故a的取值范围是[2，十∞).] 4所以有2f,)-x>22fx,)·万>2= 4A[(/)/0怎么精换？在与高款的单满性有 f>1,因为fx)的值域为(0，+o∞，所以f(x)>0= 美，第爱出与工1工有关的时标式，所以分手可以除以x1江： f0,因此有密分1P,>c.即1e在R rif(n)f(r:) 上单调递增.] 由f）-f0可化为。1>0， 6(一3，一1).[（色知f(x)为奇画数：g()为偶画数，由f(x) T1一Tg x1-2 g(红)的性衡可得f(一x)十g(一x)的值城，这是狼随的关链，点) f(x1)f(x2】 14>0 ,fx)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数， xI-xx .-[f(x)-g(x]=-f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x. 设函数g(x)=f四，则函数g(x)=f四2在0，十∞)上单 函数f(x)十g(x)的值域为(1,3)， x x ∴1<f(-x)+g(-x)<3,即1<-[f(x)-g(x)]<3, 调递增，且g3)-3-1 3 则-3<f(x)-g(x)<-1, 当x>0时，不等式f(x)一x>0等价于f(x)>x, 即函数f(x)-g(x)的值域为(-3，一1).] 即f2>1, 7.(1)因为y=f(x)是偶函数， x 所以f(-2)=f(2)=2×(3-2)=2. 即g(x)>g(3),解得x>3, (2)当x<-3时，一x>3,则f(x)=f(一x)=(-x-3)· 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, (a十x)=-(x+3)(a+x), 所以当x=0时，不等式f(x)一x>0无解. 所以当x<-3时，f(x)的解析式为f(x)=一(x+3)(a十x). 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(一x)=一f(x), (3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[一5,5]上的最大值 gx)=f2的定义域为(-60,0U(0,十∞. 即为它在区间[0,5]上的最大值. 又g(-x)-f二2-f四-f四-gx), ①当3<a<7时，fx)在[0，]和[，3生]上单调递增， x 放g)=工为偶函数，且在(-0,0)单调递减， 在[23]和[生可上单调遥减。 x 当x<0时，不等式f(x)-x>0等价于f(x)>x, 所以此时只需比较了(）-与(生）=a》的大 即f<1, 小即可 因为g(-3)=-f③=1，故g)g(-3》,解得-3<x<0, （1)冷a3》≤号，解得0<a≤6. -3 又因为3<a≤7，所以3<a≤6. 综上，不等式f(x)-x>0的解集为(-3,0)U(3,+∞).] 5.ACD[(A选项可用纸值清得出，由A选诵可得B错，而C选项可 所以当3Ka≤6时，ga)=f(2）-是 以极锡一工与工的关系来求，D速项是轴象孟数单调性，需用定义法 (老不具有单调性，立可果及例)) （1)冷a》>号解得a<0或a>6 A(√)，显然由2f(1)=f(1)f(0)→f(0)>0,因此f(0)=2: 又因为3<a≤7，所以6<a≤7. 38 所以当6<a≤7时ga)=f生）-a,3》 所以f(m十1)17，即f(m十1)f(64). 又函数为偶函数，则f(m+1)≤f(64), ②当a>7时，fx)在[0，]和[3,5上单调递增，在 因为f(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以m+1≤64，解得-65≤m≤63， [层司]上单调递减，且/()-号<6)=2a-5, 故m的取值范围为[一65,63]. 所以g(a)=f(5)=2(a-5). 倍优实破绵 [是a<6, 1.(1)因为f(xy)=xf(y)+yf(x) 综上可得，g(a)=(a-3) 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f1),得f(1)=0: -,6<a≤7， 4 令x=y=-1,则f1)=-f(-1)-f(-1),得f（-1)=0. 2(a-5),a>7. Vx∈R,令y=1, 8.(1)令x=y=-1,则 依题意得f(-x)=x·f(-1)+(-1)·f(x),即f(-x) f(1)+f(-1)+f(-1)=f(-1)f(-1)+2, =一f(x）, 所以f(1)=[f(-1)]-2f(-1)+2=2, 所以f(x)是奇函数. 令y=,得f1)+f)+f(）=fxf()+2, (2)由fy)=xf0y)+yfx)得fz=f+f2, xy x y 即g(xy)=g(z)+g(y) 即f)+f(（2）-fxr(）, V1x,∈(0，+∞)<x,则2>1，则g(凭）>0， 又因为对于任意的x∈R,都有f(x)≥1， 所以当x≠0时，云+ =1成立 可得g)-g)=g)-g)=g)+ ) 8()-8)=g(图）>0， (2)f(x)在[0，十∞)上是增函数，证明如下： 即g(x2)>g(x1),所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 任取x1x∈(0，+∞)且x1<则>1， (3)因为g()f四(z≠0，且函数f(x)为奇函数， x 所以fx)=f(g·x)=f(任)·fx)-f(图) 则g(-x）=f二==f_o-g, 一x 一x x f(x1)+2, 可知g(x)是偶函数，且g(4)=g(2)十g(2)=2, 所以，f)-f)=f()·f)一f(g）-2f)+2 因为g(x2+2x+3)-g(tx)>2, 可得g(x2+2x+3)>g(4)+g(1x)=g(4x), =(g✉)-1-2f✉)-门-[/()-2 因为g(x)是偶函数，且x2+2x十3=(x+1)2+2>0, [f(x1)-1], 可得g(x2+2x十3)>g(4x), 又因为函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又由题意知f红>1f(任)>2， 可得x2+2x十3>4x|, 所以f(x)-∫(x1)>0, 因为x0,则如<牛+=+音+音 x 即f(x1)<f(x2), 故f(x)在(0，十∞)上是增函数. 可知<(a+品+音) 又因为f(0)=1,且f(x)≥1， 当x>0时， 所以f(x)在[0，+∞)上为增函数. (3)令y=-x,则f(0)十f(x)+f(-x)=f(x)f(-x)+2, +日+倍=lz+高+22·高+2=26 令y=-1,则f(-x)+f(x)+f(-1)=f(-1)f(x)+2, +2, 所以f(-x)=f(x), 3 当且仅当x一，即x=3时，等号成立： 放函数f(x)为偶函数，且在[0，十∞)上单调递增. 当x<0时， 又f(8×8)+f(8)+f(8)=f(8)f(8)+2, 解得f(64)=17, 1+高+音+高-22高-2=26 39 -2, 由g(x)<f(x)可得a(x2+x)<x2-3x+4, 当且仅当1x一子即x=一原时，等号成立 由x∈(2,4]，可得 4 综上所述，(+子+)=25-2 a<二3红+41 x2+x 4z一4=1 x2+x x-1+2 1+3 可得14<25-2，解得-3,14<5，，且1≠0. 2 2 令=x-1∈(1,3]，则y=1+2+3在(1W2)上单调递减， 所以：的取值范围为-2一，o)U(o,2) 在(，2,3]上单调递增， 20 思维过程 又t=1时y=6,=3时，y=3: (1)赋值求得f(一1)=0，根据奇函数的定义证明函数 20 所以当t=3时，ym=3 f(x)为奇函数」 (2)由题意可得g(xy)=g(x)十g(y),根据单调性的 4 所以1一 有最大值1一0-号，故a<号 4=2 定义分析证明。 x-1+2 1+ 3 (3)根据题意结合函数性质可得x2+2x十3>41x|, 所以。的取值范围为(-∞，号)】 利用泰支会离可得<(：十日+)利用蒸未 3.(首先超目条件说了f(工)是增盖数，由此可以简化想议的不第式， 不等式分析求解即可. 再研完涉爱的道裤备件) 专题1方程与不等式恒成立（有解）问题 因为f)在R上单调递增，所以/(3如+)>f 1.(1)g(x)=mx2-2mx十n+1=m(x-1)2-m十n十1， mx2+1)白3x1+4>x-mr+1, ∴.函数g(x)图象的对称轴方程为x=L g(1)=0, 故题设条件等价于对任意的x1∈(0，十∞)，总存在x2∈ 又m>0,且x∈[0,3]，∴依题意得 g(3)=4, [1,2],使得3x1+4>x-mx2+1, 一m十n十1=0， m=1, 即 解得 3m++1=4, n=0, 因为3x1十 故函数g(x)的解析式为g(x)=x2-2x十1. 2 tI= (2fx)=）-2红--4红+l=x+1-4 3时取等号，所以(3x十4)】 =45, 1/min 从而45>x经-mx2十1，故x-mx2十1<43， ① “f)-tx<0在x∈[层，8上恒成立， (下面又考塞阳怎样取值能满足存在玉∈[1,2]，使不等式①成立 即x+一4一红0在xe[上恒成立， 若直接求一m,十1的最小值，刚常计论时行轴与区间的位置美 系，比胶复系，观寒发观求数州容易分南出来，放桑用来变分高，四 >号兰+1在[上恒度立 迎讨论) 一分扇养数 当x2∈[1,2]时，不等式①等价于mx2>x+1-4v3m> ∴只需≥（侵-+1）x∈[g司 x1+1-43 9m>x4+1-43 ② 令=士由x[居网得e[g8 所以问题等价于存在x:∈[1,2]，使不等式②成立， 设h)=-+1=u-2-3e[g,8 故只需m>(,+1因)， I?/min :y=(t一2)2一3的图象的对称轴方程为t=2, 因为1-45<0，所以函数y=z和y=45在1,2]上 ∴.当t=8时，函数h(t)取得最大值，为h(8)=33. ∴.k≥33.故k的取值范围为[33，十c∞). 都单调递增，故y=x十一5在1,2上单调递增， 2.(g(x)<f(x)中的x是周一个爱量，它同时控制着g(:)与fx)的 所以当，=1时，x,十1二45取得最小值1+1一45=2 值，所从不套错溪转化为君(x)山<f(江)一而是精他为[∫（江）一 1 gGx)门<0或用分高参数法解答) 45,故m>2-43. 40