第4章 指数函数与对数函数 单元复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数用 单元复习归纳 HH由时HEH目HHH 知识体系构建 中HH目H时国 n次方根及记法 次方根与根式 根式及性质 指数 整数指数幂 指数幂 运算性质：①da'=a" 有理数指数幂 2②(ay=a” 指数函数 无理数指数幂 ③(abr=a'b 定义：y=a(a>0,且a≠1D 指数函数 指数函数与对数函数 图象和性质 底数a 互为 相同反函数 应用 定义：y=logx(a>0,且a≠1D 对数函数 图象和性质 定义：a=N→b=logN 对数函数 运算性质：①log.(MD=logM+logN 对数 ②log.4-logM-logN ③logM'=nlog.M 换底公式：logb=oga logb 零点的定义：使f)=0成立的实数x叫作函数y=f(x的零点 函数零点与其对 零点的意义：方程f(x)=0的实数根→函数y=f(x的图象 应方程根的关系 与z轴交点的横坐标一函数y=∫(x的零点 零点存在定理：若函数y=f(x)的图象在[a,b】上连续不断，且 函数与方程 fa)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a.b)内有零点 用二分法求方 程的近似解 初始区间 取区间 中点函数 ·取新区间· 满足精 是 中点 值为零 确度 结束 函数的应用 是 几类不同增长 解决具体问题 的函数模型 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 函数模型及其应用 用已知函数模 常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、 型解决问题 对数函数、幂函数、分段函数 建立实际问题 收集数据→面散点图 选择函求函数 数模型模型 ·检验 符合实际用函数模型解 的函数模型 决实际问题 不符合实际 179 重难点手册高中数学必修第一册RJA 高考创新题型 例①[数学文化]成书于两千多年前的我 例⑧③[数学文化](2024·福建福州九师 国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加 联盟联考)高斯是德国著名的数学家，近代数 减消元求解n元一次方程组的算法，直到拥有 学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数” 超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极： 为：设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数 高的算法.按照这种算法，求解元一次方程 则y=[x]称为高斯函数.例如：[一3.6]=一4， 组大约需要对实系数进行C·n3(C为给定常 数)次计算.经济学家列昂惕夫为研究“投入产 61=3已知函数了)=号千。则面 出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济 数y=[f(x)门+[f(-x)]的值域是 学奖)，利用当时的计算机求解一个42元一次 方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模 解析f)=}-,c=1_1+)-11 21+ez1+e2 型包含500个未知数，受限于机器算力而不得 不进行化简以减少未知数.如果不进行化简， 根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于 因为y=1十e在R上单调递增， (). 所以了中在取上单消远流， A.103机时 B.10机时 C.105机时 D.105机时 所以a)=一受十十e在R上单调递减 解析设1机时能进行a次计算，则由题意得C· 当x<0时，e∈o,D7十∈（合，小fx) 42≈56a.原始模型包含500个未知数，如果不进行 化简，设所霄机时数为t,则C·5003≈ta,故将两式 (0,2),则[f(x)]=0: 42×56-52X101250 相比得1≈500 3×7=1323×10≈0.94× 当x=0时，[f0]=}]-[0=0，即 10,故结果最接近于105机时. [f(0)]=0: 答案C 当x>0时，e∈(1，+∞)1十e∈(o,2）, 例2[新定义]对于函数f(x),在使 f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的 fx)e(-号，o),则[fx)]=-1. 最小值称为函数f(x)的“上确界”，则函数 所以当x>0时，一x<0,则[f(x)]=-1,[f(一x)] f(x)=22的“上确界”为( =0,于是[f(x)]+[f(-x)]=-1+0=-1: 当x<0时，-x>0,则[f(x)]=0,[f(-x)] A.1 C.2 D.16 -1,于是[f(x)]+[f(-x)]=0+(-1)=-1: 解析因为2x一x2=-(x-1)2十1≤1，x=1时 当x=0时，[f(x)]+[f(-x)]=0+0=0. 取等号，所以22r的最大值为2，所以M≥2，故M 综上所述，y=[f(x)门+[f(一x)]的值战为 的最小值为2. {-1,0} 答案C 答案{-1,0. 180 第四章指数函数与对数函数辑 例④[新定义]若定义运算a⊕b= 1og1x,0x<1, b,a<b, 因此f(x) 则函数f(x)=log2x⊕log1x的值域 log2x,x≥1， a,a≥b, 是 显然，函数f(x)在(0,1)上单调递减，取值集合 解析依题意，由logx≥log1x, 为(0，十∞)，在[1，十∞)上单调递增，取值集合为[0， 得logx≥-log2x,即2log2x≥0，解得x≥1， 十∞)，所以函数f(x)的值城为[0，十∞). 由logx<log1x,解得0<x<1, 答案[0，十∞). 181由t=∫(x)+1=2,得f(x)=1,此时要使直线y=1与： f(x)的图象有且仅有一个交点， e"-l≥1， 则有 解得-5<a≤-2 a-4<1 -10 3.C[由题意知，函数f(x)=log(x+b)的图象过点(0,0)， 其反函数的图象过点(1,2)， (由反函数的性质得，原禹数f(r)=吧(：十6)的国象垃燕(2.1) 20/2 0g.(0+b)=0,h=1. a=3, 可得 即( 解得 则a+6=4.] lg.(2+b)=1,2+b=a. b=1. 图1 图2 4.A[(先求定义拔养科所盖数的奇偶性，利用定义诚，奇偶性相除部 ②-2<a≤0时，f(x)的图象如图2所示，f(t)=0只有一 分进项，再利用特殊点处的盖盘值或特珠区间内品数值的范圆排珍 个解1=2.1=f(x)+1=0没有三个解，不符合题意 其他不合造的砖场) ③0<a≤2时，f(x)的图象如图3所示. 易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(x)十f(一x)= 由g(x)=f(1)=0,得11=2.t:=0, 2me+1 由t1=f(x)十1=2，得(x)=1.直线y=1和f(x)的图象 "。+1-2-24-2=0 必有两个交点： 所以f(x)是奇函数，其图象关于原，点对称，排除BC: 由t=f(r)+1=0,得f(x)=一1，此时要使直线y=一1 当x>0时，fr)-2nc+-12血C-1=1,排除n] 和f(x)的图象有且只有一个交点，则有a2一4≤一1，解得 x 5.D[因为21+loga=4'+2ogb, -5≤a≤5，∴0a5. 所以4十2logb-(2+1oga)=4+logb-2-loga=0, 10 10 =240,即号=3"a=36>2b>0.所以a> 即logb 5 2h>0.] 2-x>0 6.D[A(×),由已知得 解得一4<x<2,即函数 -5 x+4>0, it-a f(x)的定义域是（一4,2）： 图3 图4 B×),f(x-1)=g(x)=log1(3-x）-log(x+3),其定 ④a>2时，f(x)的图象如图4所示 义域为(-3,3)， g(x)=f()=0只有一个根t=0,1=f(x)+1=0没有三 又g(1D=log12-log4=-3,g(-1)=log14-kg2=-3, 个解 则g(1)十g(一1)≠0，故函数y=f(x一1)不是奇函数，B 综上所述，4∈(-5，-2]U(03].] 错误： 第四章单元学能测评 C(×),f(.x)=log1(2-x)-log(x+4)=og1[(2-x)· 1.C[函数fx)=-6gr为减函数.由f2)=2-1 巧思：-legx+4)-l0gL(x+t) (x十4)]=log1(-x2-2x十8)，对于函数y=一x2一2x+ 1>0,f(4)=1-1og4=-一1<0，可得f(2)f(4)<0,所以由 8,其在[一1,2)上单调递减，则由复合函数单调性的性质可得 零点存在定理可知函数fx)=兰一1gx的零点在区间 f(x)=g1(一x2一2x十8)在[-1,2)上单调递增，C错误： (2,4)内.] D(√)，f(-1+x)-f(-1-x)=kg1(3-x)-log(x+ 2.C[:f(x)=a+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 3)-[og1(3+x)一log(3-x)]=-log(3-x)-log(.x+ (2,2),,m=n=2,g(x)=2-2,.g(x》为减函 3)+0g(3+x）+1og(3一x)=0, 数，且图象过点(0,1).(1,0)，大致图象如图所示，.函数 即f(-1+x)=f(-1-r). g(x)的图象不经过第三象限.] 又x∈（一4,2），故函数f(x)的图象关于直线x=一1对称， 66 D正确.] 又指数函数y-(侣)广为减函数。 7B[将式子变形.从面转化为比较y-高>1)和y 则(3)<()从而()<()<(3) logx(m=2,3,4)图象交点的横坐标的大小，利用数形结合 1 思想可判断， B以×)，lg2= log 0.og-log0.:0.5 由2a号=2+10g:a,得 1 消豫底数差异，利用时数函数的单调性比轮大小 a-1 a-1 =og影a,由36-2 b-1 =3+log 6 又对数函数y=ogx在(0，十)上单调递增，则log20.3< 坐化年为同 得司=g6,南二3-4十gc,得 1 =logc,考虑 1og0.4<1og0.5<lg1=0,结合反比例函数y=是在 1 y=—x>1)和y=logx(m=2,3,4)的图象的交点. (一，0)上单调递减，则 1 1 1 6g0.31kg0.41og0.5 如图，在同一平面直角坐标系中画出y=ogx,y=lkgx, log.:2>logo2>loga3 2. y=logx与y=一r>1)的图象，根据图象可知a< 3、1 b<c,] 10A0[AW),由a=号，得f) g(+）w≥0， 3 1 -1 y=log. y=log.t 由3>1，得y一g一号在(-0,0)上单调遥增： y-log, 由子>1，得y=bg(+)在[0，+)上单调通猫。 8.D[因为f(.x)是定义在R上的奇函数， 当x=0时-子与(+）=D-子。 4 [所以f0)-2m-0.得m=2.fx)=1十2-21+2， 则f(x)是增函数 2 1+2 3-5,x<0. 从而由复合函数的单调性可知f(x)在R上单调递增， B(×),a=2.则f(x)= f(x)=-3, l0g(x+2),x≥0. 又)是定义在R上的奇函数，所以不等式f()十 则x<0时，3一5=-3，解得x=log2>0(舍去)： fag+u0等价于f()长-a…3-a小 x≥0时，log(x+2)=-3,解得x=- 15 8 <0(舍去). 3 3-3,x<0 即等价于g十≤一a·3一a C(×)a=3,则fx)= g(e+）>0 即a≤ 3 1 (3+1) 3>1.则函数y=3-3在(-，0)上单调递增，即-3< 3-3<-2: 该不等式对任意x∈[1,2恒成立， 则a不大于y= 1 g+ 一，x∈[1,2的最小值。 号>1.则函数y=6g!(+号)在[0.+o)上单测递增： 即g:(e+专)>≥1. 由复合函数的单调性可知y=一 1 在区间[1,21上 故(x)的值域为(-3，一2)U[1,+©). 3+ 3+2 D(/),当a>1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，无最大值. 单调递增，所以当x=1时，y=一 -,x∈[1,2]的 当0<a<1时，f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0.十∞) 上单调递减，即f(x)有可能存在最大值 当x<0时，易知1-3a<3-3a+12-3a, 1 最小值ym=一 3 3 所以ay=一] 当x≥0时，log(x十a)≤1，若f(x)有最大值，则1≥2 3a解特a≥号故a的取值范周是[片小门 9.AC[A(/),由幂函数y=x在(0，十o∞)上为增函数，得 11.ABC[由题意得L(1,x)=-L(r,1)=lnx (侣)>()月 所以L(x,1)=-nx. 67 当t>1时，L(4,v)=L(1,v)一L(1,)=lnv-n4: 的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应 画出因形，根据所围曲边形的面松吴桑得刻4 该用函数Q=a(t一120)2十m描述.将题表中两组数据 当1时，L(v)=L(M,1D一L(v,1)=L(1,)一L(自，u) (60.116)和(100.84)代人. =In v-In w: a(60-120)2+m=116, a=0.01. 可得 解得( 当u<1<p时，L(,p)=L(4,1)十L(1,)=L(1,v) a(100-120)2+m=84, n=80. L(1,u)=In v-In u: 所以Q=0.01(1-120)2+80. 当v=1或u=1时，L(u,)=nv-nu也成立. 故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg] 综上所述，L(u,v)=n一ln4. 15.(1):f(x)+g(x)=2·2,用-x代替x,得f(一x)+ AW).l(合g,)-h号-ln号-a2.L4.8)=h8 g(-x)=2·2, f(x)+g(x)=2·2, n4=h2,所以（合，专）-14.8： 则 f(x)-g(x)=2·2. B().1.(45.3100)In 3100-In 45 =In 3100-In 210= 解方程组得f(x)=2+2,g(x)=2一2. 100(n3-n2), (2)由题意可得f(2x)=22+2=(2-2)2+2≥ 且L.(2,3)=n3-n2,所以L(49,3w)=100L(2,3): m(2-2)-2对任意x∈[1，十6©)恒成立， C(√)，如图，因为S<S弗，所以L(u,v)=hv一h< 令1=2-21，x∈[1，+∞). 因为1=2-2在[1，十∞)上单调递增，放1≥号， 即2弘(w0)<”-“ 则m<牛-+片对[层+)恒成立 因为1+≥2 当且仅当1=2时等号成立 故m≤4，即实数m的最大值为4. 5 =2+2+4, a=-1 16.(1)由已知得 解得 17 b=0. D(×),取u=1,0=2.则1，(w“,)=L(1,2)=n2<2 4 =4+22+6, 1=1,] (2)由(1)可知f(.x)=2+2 120.[由lbog6+b0ea=是，换成以e为底：可得么+品 Ina Inb 任取x∈R,则f(一x)=2+2-1=2+2=f(x), 17 又f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数 (3)f(x)在（一∞，0]上为减函数.证明如下： 设品胎则：+只解得1=4或=是 任取x1x2∈（一o∞，0们，且x1<x,则 fx1)-f(x)=(2+2)-(2+2) 又b>a>l,则nb>lna>0, 则1R合>1.所以1=4，即h6=ha,即n6一ha=0] =-+分别 =2-2)22-D 3[日，)U(4.8.[由题意可得1-2么+e+1=0,则 212 因为x1x∈(-∞，0]，且x1<x2 a=2当：03时，c)=单润递增，因为) 所以02<2≤1 是偶函数，所以当x∈[-3,0]时，f(x)单调递减，而 从而21-2<0,212-1<0,22>0， f(-2)=f(2)=1.故f(logm)>1等价于f(logm)> 故f(x1)一f(x:)>0, 一3l0g2m3, 由此得函数「(x)在（一a,0们上为减函数 f(2),得 logm>2. 解得g<m<或m8】 (4)因为f(x)在（一，0]上为减函数，且f(x》为偶函数， 14.120:80.〔因为随若时间的增加，种植成本先减少后增加， 所以f(x)在[0.十∞)上是增函数. 而且当：一60和1一180时种植成本相等，再结合题中给出： 所以当x≥≥0时，f(x)≥f(0). 68 又因为f(x)在（一∞，0]上为减函数， 25=og品-g… 所以当x0时，f(x)≥f(0),从而对于任意的x∈R,都 依题意可得 有/x)≥f0)=2+ 2 =2,所以f(x)的最小值为2. 15=26g总0-lg… 2,.x≤0， 17.(1)当m=0时，f(.x)= 两式相减可得1=专g会，于是兰- g x1+1.r>0. 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雕鸟每分钟耗氧量的9倍。 令y=f(x)-2=0,得f(.x)=2, 19.(1)f(x)>0即2>2，.x>-x,x>0. 则1lgx|+1=2或2x=2. (2)设函数f(x),g(x)在区间[1，+∞)上的值域分别为 解lg十1=2.得x=10或0 A.B. 解2=2，得x=-1或x=1(舍去). :存在x1,∈[1，+∞)，使得f(x1)=g(:), ∴A∩B≠必. 六当m=0时，函数y=fx)-2的零点为一1，。10，共3个 (2)令[f(x)]-3f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=3. 9)=2-立在1，+四)上为增漏数. 由题意知f(x)>0恒成立. A=[+) .f(x)=3必有3个实根，即1gx+1=3和2=3共有 :g(x)=-(lnx-2)2+b+4,x∈[1，+oo) 3个根 ∴.g(x)∈(-o∞，b+4],∴.B=(-∞，b+4门. ①解2=3，得r=-1og3或x=log3>1(含去)，故有 1个根 6+>号用≥吾 ②解gx+1=3.得x=100或x=100 1 (3)不存在.理由如下：：g(x)=一(nx一2)2+b十4<0 对于x∈(0，+∞)恒成立， 要使得两根都满足题意，则有m<10: 1 ∴.b+4<0,b<-4.且g(x)∈(-6o,b+. 又0≤m<1, 0em<高 :x)=2一立为增函数，且<0时，0. ∴.f(g(x)<0. 实数m的取值范周是0动】 ∴.f(g(x)+b<0, 18.(1)因为候鸟的飞行速度可以表示为函数= 21og100 ,不存在实数x,使得(g(x))=一b成立. Ig zo. 第五章三角函数 所以将x=3,x=8100代入函数式可得 5.1任意角和弧度制 0= 21og81-lg3=2-0.48=1.52, 变武抑练 故此时候鸟的飞行速度为L.52km/min [变式1门由已知得k,·360°<a<90°+k1·360°. ① (2)因为候鸟的飞行速度可以表示为函数v=21g0 90+k2·360°<3<180°+k:·360. ② 由①+②得90°+(k:+k:）·360°<a十8<270°+(k1+ Ig to. k:)·360. 将玉=6=0代入函数式可得0=之g后一g6, 六45+(k1+k)·180<a十 <135°+(k1+k:)·180 即1og100=2lg6=24g2+1g3)=1.56, (k1,k:E7). 所以00=30=5.55，于是x=55, 当k,+k:=2m(m∈ZD时，45°+m·360<a+9<135+ 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为555个单位. (3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x,雄鸟每分钟的耗氧量为x, w·360, 的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负 2 69