第1章 集合与常用逻辑用语 单元复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

,第一章集合与常用逻辑用语进 单元复习归纳 HHB由HH过 知识体系构建 中HH目H时国 定义 确定性 含义 元索的三大特征 无序性 互异性 元素与集合的关系∈或任 集合 列举法 表示方法 描述法。(zx∈P,P是元素x所具有的性质 自然语言法 子集。A二B或B2A) 包含关系 真子集。 A手B或B吴星A) 合与常用逻辑 相等集合A=B 特殊集合 空集。 多 交集A∩B={xx∈A且x∈B 集合的运算 并集AUB={xx∈A或x∈B 补集。CuA={xx∈U且x年A) 充分条件：若p→g,则p是9的充分条件 充分条件与 必要条件：若g→，则p是g的必要条件 必要条件 充要条件：若p÷q,侧p与q是互为充要条件 全称量词一全称量词命题 全称量词与 存在量词一存在量词命题 全称量词命题的否定，命题p:x∈ 存在量词 M,p(x).7p:3x∈M,p(x) 含有一个量词命题的否定 存在量词命题的否定，命题p:3x∈ M,p(x).p:Hx∈M,p(x) S111111111111811118111113111111011801111111111111113001111111111111131000 高考创新题型 iH月iiii鞋 例I[新定义](2025·吉林长春阶段练习) B.集合A一B中元素个数最多为17 (多选)非空集合A,B满足AUB={1,2,·, C.集合A十B中元素个数最多为18 10},且A∩B中元素个数不大于1.定义集合 D集合管中元素个数最多为9 A士B=(x±y|x∈A,y∈B,B 思维过程 {x|x∈A,x任B},则(). 用card(M)表示有限集M的元素个数，由题意 知，非空集合A,B满足card(AUB)=l0,card(A∩ A.集合A,B中元素个数之和为10或11 37 重难点手册高中数学必修第一册RJA, B)≤1，得到card(A∩B)=0或1，根据集合A士 十…十a.,则称集合A具有性质P(k),下列 的定义，利用分类讨论并结合举反例及穷举法 B.A 选项正确的有(). A若集合A是由所有正奇数组成的集 对各选项逐一验证即可. 合，则集合A具有性质P(4) 解析用card(M)表示有限集M的元素个效， B.若集合A是由所有正偶数组成的集合， 由题意，知非空集合A,B满足card(AUB)= 则集合A具有性质P(3) 10,card(A∩B)≤1， C.若a1=1,b1≥3，则集合A具有性质 A(/),由card(A∩B)≤1，得card(A∩B)=0 P(b1) 或1，因为card(A)+card(B)=card(AUB)+card(A D.若a1=1,b1≥4且b2为奇数，则集合 ∩B), A具有性质P(b1)和P(b:),但不具有性质 当card(A∩B)=0时，card(A)+card(B)=l0; 当card(A∩B)=1时，card(A)+card(B)=1l. P(b2-b1) B(×),当A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={1, 解析A(/),显然A=1,3,5,…,B={2,4, 10}时，A-B={-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3, 6,…},4∈B且4=1十3. -2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8},则card(A-B)=18. B(×),A={2,4,6,…},B={1,3,5,…},但A C(/),因为A+B中元素最大为10+10=20， 中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误. 最小为1+1=2， C(/),因为a1=1,b1≥3，b1是B中元素的最 所以A+B二{2,3,4，，20}，card(A十B)≤19， 小者， 当取等号时，必有{2,20}二A十B,而2只能为 可知集合A中一定有1,2,3，…，b1一1这些元素， 1+1,20只能为10+10，故{1,10}二A∩B,这与 且b1=1十(b1一1)，则集合A具有性质P(b1). card(A∩B)1矛盾， D(/),因为a1=1,b1≥4且b2为奇数，b1是B 所以card(A+B)≤18，即card(A+B)的最大值 中元素的最小者， 为18. 可知集合A中一定有1,2,3，…，b1一1这些元素， D,因为B非空，哈-(xlzEA.reB,) 且b1=1+(亿：一1)，则集合A具有性质P(b1), b2是B中元素的第二小者， 所以合SAUB=1,2,3,10)且1,23，… ①若b2=b1+1,因为b1≥4，则b2=(b1一1)+2， 10中至少有1个元素不在合中， 所以集合A具有性质P(b2): ②若b2>b1十1，则A集合中一定有1,2,3，…， 所以card 会) ≤9，当A={1,2,3,,10),B= b1一1，b1十1，…，b2一1这些元素， 且b2=(b2一1)+1，则集合A具有性质P(b2). {1}时取等号. 综上所述，集合A具有性质P(bz). 答案ACD 因为b2为奇数，则b2≠2b1 例2[新定义]（多选）已知集合A={a1, ①若b2<2b1,则b2-b1<b1, a2,a3,…,am,…},B={b1,b2,b3,…,bn,…}, 此时b2-b1∈A→b2一b1任B; 其中a1<a2<ag<<an<…,b<b2<bg<… ②若b2>2b1,则b1<b2-b1<b2: <bn<…,且满足：AUB=N',A∩B=☑，若 此时b2-b1∈A>b2-b1任B. 对于B中的元素，在A中至少存在两个不同 综上所述，集合不具有性质P(b2一b). 元素a1,a…,a;n(m≥2)，使得k=a,十a2 答案ACD 38 第一章集合与常用逻辑用语用 归纳总结 又由定义可知S≤n2, 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的 若对任意的i,jEA,A,∩A≠， 特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章 如取A4={x∈A|k≤x≤n},则S=n2,即S 办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决 =n2 答案ACD 例B[新定义]（多选）任取集合A={x∈ 归纳总结 N1≤x≤n,n∈N,n≥2}的n个非空子集A1, 采用从最特殊的当i=j时，A,∩A=A,则 A2,…,An,定义a(i,j∈A)为a am=1(i=1,2,…,n),故S≥n:再取A的单元素 0,A:∩A,=, 记所得a,的n2个值之和为 子集A:={},A,=G},则i≠j时，a可=0，所以求 1,A:∩A,≠0， 得S的最小值.在此基础上，若改变集合A:,A(1≤ S,则(). k,m≤n,k≠m)中的一个，可得到S的变化规律， A.S与n的奇偶性相同 从而得解。 B.S是n的一个倍数 例④(2025·上海宝山区阶段练习)已知 C.S的最小值为n S=(1,2,3,4,5},A={1,2,5},T={t1,t2}g D.S的最大值为n S,记A1={xlx=a+t1,a∈A,t1∈T},A2 思维过程 {x|x=b+t2,b∈A,t2∈T},若A1∩A2=☑， 根据题意，可知am一1(i-1,2,,n),故S≥ 则集合T为 n:当A:={i},A={j},则i≠j时，ag=0,所以 思维过程 Sn=n.若改变集合A.,A.(1≤k,m≤n,k≠m) 由A1∩A2=0得到t一t2≠b一a,进而得知 中的一个，使Aa∩Am≠0，则S=n十2，即S的值 t1与t2只能相差2，由此求得T. 由n增大为n十2，因此，A1,A2,…,A.中每增加一 对集合的交集非空，则S的值增加2，从而可判断 解析因为A1∩A2=,所以a十t≠b十t2,a, 选项ABC.又由定义可知，S≤n2,取A4={x∈A b∈A,即t1一t2≠b-a,a,b∈A. k≤x≤n},则S=n2,即Sm=n2,可判断选项D. 因为A={1,2,5},所以由2-1=1,5-2=3,5- 1=4知a与b可能相差1,3,4. 解析由定义知，当i=j时，A:∩A,=A,则 又因为S={1,2,3,4,5},T={t1,t2}二S,所以 aa=1(i=1,2,…,n),故S≥n. t1与t2可能相差1,2,3,4. 显然取A的单元素子集A,={i},A,={j},则 那么t1与t2只能相差2，符合条件的集合T可 i≠j时，a)=0,所以Sm=n. 以为(1,3}或{2,4}或(3,5}. 考虑S=n的情况下，若改变集合A,Am(1≤k, 答案{1,3}或{2,4}或{3,5}. m≤n,k≠m）中的一个， 归纳总结 使Ae∩A≠0，则am=ad=1,如取A1={1, 解决集合新定义问题，要合理利用集合的性 2},Ak={k}(k∈N,2≤k≤n), 质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算 则S=n十2，即S的值由n增大为n十2， 的外表，将其转化为我们熟悉的集合知识. 因此，A1,A2,…,A。中每增加一对集合的交集 非空，则S的值增加2， 例固[新定义](2025·北京东城区期末) 故S与n具有相同的奇偶性，但S不一定是n的 已知非空数集I,P满足： 倍数 (i)x∈I,有x∈P; 39 重难点手册高中数学必修第一册RJA, (ii)Hx,y∈I,有x十y∈I: 归纳总结 (iii)Vx∈I且Hy∈P,有xy∈I. 新定义题型的特，点是通过给出一个新概念或约 则称I是P的“理想子集”.给出下列四个 定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问 结论： 题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提 ①若I={2k|k∈Z},则I是Z的“理想 供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁 移，达到灵活解题的目的.本题的关键是理解“理想 子集”； 子集”的概念，结合元素与集合的包含关系求解 ②若I是R的“理想子集”，且存在非零实 数a∈I,则I=R; 例6[新定义](2024·北京丰台区期末) ③若I1,I2是P的“理想子集”，则I1UI2 设集合S={1,2,3,…,n},A={a1,a2,…, 也是P的“理想子集”： am},其中n,m∈N",且3≤m≤n.若集合A ④若I1,I2是P的“理想子集”，则I∩I2 同时满足下列两个条件，则称集合A是集合S 也是P的“理想子集” 的和谐子集， 其中正确结论的序号是 条件①：ACS; 解析①集合I={2k|k∈Z}表示所有偶数构成 条件②：对集合A中任意三个元素a:a,, 的集合， ak(1≤a:<a,<ak≤n),不存在t∈N",使得 所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶 ae=t(a:十a;). 数，任意偶数和整数的积仍是偶数， (1)若集合S=(1,2,3,4,5,6,7},A1= 满足()(i)(),故I是Z的“理想子集”，①说法 {2,4,6},A2={1,3,5,7},请判断集合A1,A2 正确 是否为集合S的和谐子集（不需要说明理由）； ②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I, (2)若集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 则由“理想子集"”的概念可知对任意的x∈R有 A是集合S的和谐子集，且集合A中的最小元 ax∈1，所以I=R,②说法正确. 素是3，求集合A中元素个数的最大值： ③若I1,I2是P的“理想子集”，则Hx,y∈I1, (3)若集合S={1,2,3,…,2024},且集合 有x十y∈I1,Hx,y∈I2,有x十y∈I2: A是集合S的和谐子集，求集合A中元素个数 但对于x∈I1y∈I2,不一定有x十y∈I1UI2, 例如I1={2kk∈Z},12={3k|k∈Z},P=Z,此 的最大值 时2∈11,3∈I2,2+3任I1U12,③说法错误 思维过程 ④若I1,I2是P的“理想子集”，对于I1∩12，显 (1)首先要理解和谐子集的定义，根据定义来 然Hx∈I1∩Iz,有x∈P,满足(i), 判断给定集合是否为和谐子集。 (2)(3)对于求元素个数最大值，需要根据和谐 令a,b∈I1∩I2,c∈P,则a,b∈I1, 子集的条件，通过分析元素之间的关系，逐步确定 又I1是P的“理想子集”，所以a十b∈I1,ac∈I1, 同理由I2是P的“理想子集”可得a十b∈I:, 可以选取的元素。 ac∈I2, 解析(1)对于集合A1={2,4,6},其中6=1× 所以a十b∈1，∩I2,ac∈I1∩12满足(i)(ii), (2十4)，不满足和谐子集的条件②， 所以若I1,12是P的“理想子集”，则I1∩12也 所以A1不是集合S的和谐子集 是P的“理想子集”，④说法正确. 对于集合A2一{1,3,5,7}，满足和谐子集的条件 答案①②④. ①A2二S, 40 ,第一章集合与常用逻辑用语 且对集合A2中任意三个元素a:,aj,ae(1≤Q:< 被a1除所得的余数为r十1的元素有a1十r十1， a,<a4≤7)， 2a1+r+1,…,(g一1)a1+r+1; 不存在t∈N”,使得a=t(a:十a,),满足条件②， 所以A2是集合S的和谐子集. 被a1除所得的余数为a1一1的元素有a1十a1一 综上所得，集合A1不是集合S的和谐子集，集合 1,2a1+a1-1,…,(q-1)a1+a1-1: Az是集合S的和谐子集. 被a1除所得的余数为0的元素有2a1,3a1…, (2)将集合S中大于3的元素按照被3除所得的 ga. 余数进行分类： 因为a1是集合A中的最小元素，所以上述各行 被3除所得的余数为0的元素有6： 任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合A. 被3除所得的余数为1的元素有4,7； 设[x]为不大于x的最大整数， 被3除所得的余数为2的元素有5,8. 在前行中，争行至多有空个元素特合 因为3∈A,所以4与7,5与8不能同时属于集合A, 题意， 否则3十4=7，或者3十5=8，与已知矛盾. 设|A|为集合A中元素的个数，则A|≤4. 在剩下的a1一r行中，每行至多有 个元素符 构造集合A={3,6,7,8}, 合题意， 因为3十6>8，所以集合A是集合S的和谐子 集，故集合A中元素个数的最大值是4， 所以A1s1++a,- (3)不妨设集合A中的最小元素是a1, 1+2+号a,-)=1+ 2 则存在唯一非负整数数对(g,r),使得2024一 =1+1012-1013. ga1十r,其中0≤r<a1. 构造集合A=(1012,1013,…,2024}, 将集合S中大于a1的元素按照被a1除所得的 因为1012+1013>2024， 余数进行分类： 所以集合A是集合S的和谐子集， 被a1除所得的余数为1的元素有a1十1,2a1十 故集合A中元素个数的最大值是1013. 1,,(g-1)a1+1,9a1+1; 归纳总结 被a1除所得的余数为2的元素有a1十2,2a1十 此题涉及整数集合的新定义问题，关键是正确 2,…,(g-1)a1+2,ga1十2： 理解给出的定义，然后合理利用定义，将集合S中 。年。+。 大于a1的元素按照被a1除所得的余数进行分类， 被a1除所得的余数为r的元素有a1十r,2a1十 然后进行推理判断解决」 r,*,(q-1)a1十r,ga1十rt 41又3x∈{xx<-3,y1y<0,显然y2<0, 证明如下： 则3x∈{xx<-3,y1>0,而m<0, 先证明：k≤2，假设k>2,则3C,C,∈Q=(C1,C,…, 即3x∈{xx<-3},(x-2m)(x+m+2)<0, C),使得C,∩C,=必，与条件矛盾，所以假设不真，即 显然2m≠一m一2，否则Vx∈{xx<一31，y1<0,不符合 k≤2m: 题总， 再证明：k≥22，假设k<2,则CQ中的元素个数大于2， 当2m<-m-2,即m< 号时2m<-. 所以3D,E∈CQ,D∩E=⑦，DUE=A. 根据条件“VD∈CnQ,3C,∈Q,使得D∩C,=☑”， 解得m<一号此时-m一2>一3符合题意。 所以3两个不同的集合C,C,∈Q={C1,C2…,C, 因此-3Km<一2： 使得C,∩D=⑦，C,∩E=②. 又因为D∩E=.DUE=AC,二E,C,二D. 当-m-22m,即m>导时，-m-2K-3 所以C,nC,二DnE=g, 解得m>1.与一3<m<0矛盾， 与C,∩C,≠矛盾，所以假设不真，≥2， 综上所述，k=2 所以m的取值范围是m一3<m<一号引 思维过程 培优突破练 (1)(1)由n=3,所以B二A=12,3,4,5,6,71,再列 1.(1)(1)由n=3,所以B二A={1,2,3,4,5,6,7},可得：四元 出满足题意的集合B即可： 素的集合B可以是B=(1,2,4,7}或B=1,3,5,7}或B= (1)记集合M={1,3,5,…,2n十1}，N={2,4,…, (2,3,6,7}或B=(3,4.5,6}或B=(3.5,6,71或B=(4,5, 2n,设满足条件的集合B=(m1m:…,m,n1,n:,, 6.71. },其中m1,m2,,m,∈M,,2,…,n,∈N,且m1< (1)对于任意给定的n(n∈N”,n≥2)，集合B中的元素个 m:<<m,n1<n4<…<n,别集合B中的元素个数等 数的最大值为n+1, 于s十1，证明x十1≤n十1即可得答策： 其证明过程如下： (2)本题幕(2)问的关键是充分理解①②两条性质，然 记集合M={1,3,5.…,2m+1},N={2,4,…,2n}, 后利用反证法，分k2和≥2两种情况进行讨论，以 设满足条件的集合B={m1m:,…,m,n1n:,…,n,}, 上不等式同时满足时，可直接得到结论k=2. 其中1n:,m,∈M,1n2…,n,∈N,且m1<mg<< 第一章单元学能测评 m,n1<ng<<n, 1.D[因为a+2∈{1,3，a2),所以a+2=1或3或a2.当a+ 则集合B中的元素个数等于x十， 根据条件对任意的1≤i≤x一1,1≤j≤，都有m.一m,≠n· 2=1时，即a=一1，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合 中元素的互异性，舍去：当a十2=3时，即a=1,此时集合中 （雪创，就有m,十机，=州，不杆合超意) 又因为m,一m,∈N,n,∈N,其中1≤i≤s一1,11， 元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去：当a十2 即n,一m1m,一m,…m,一m-1…,n,是N中的 a时，解得a=2或a=一1（舍去），此时集合中元素为1,3， 不同的元素， 4符合题意.] 所以(8一1)十1≤n,即集合B中的元素个数x十1≤n十1， 2.C[由一元二次方程(x-a)(x一a-1)=0的两个根为a, 取B=《n+1,n十2，…，2+1满足条件.且元素个数等于 Q+1,又方程有一个正实数根和一个负实数根， n十1，所以集合B中的元素的最大值等于n十1. a<0: ∴.一1Ca<0,即“一元二次方程(x一a)(x (2)以A=1,2,3为例：（多取不符令系件①，少服不每合豪件②） a+1>0, 这时P={⑦，{1}，(2，{3}，{1,21,1,3，(2,3}，{1,2,3})， a一1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为 因为1}∩(2,3}=0：1}U{2.3}=A.取Q={1.(1,21, a∈（一1,0），则其充分不必要条件a的范围应为（一1,0）的 1,3},{1,2,3}即可， 真子集，结合选项可得选项C符合题意.] (1,2∩(3}=⑦：1.21U3}=A,则 3A[若△AC的周长为16，则x+1 解得=5， VD∈CnQ={2,3,3.2,01. 2x+y=16 y=6, 1,3)∩{21=0：1,31U{2}=A, 所以△ABC其中一条边长为6.若△ABC其中一条边长为 若取Q={1},1.2}.{1,3}.(1,2,3)∩0=0： 6,如x=6,则y=6+1=7,此时△A1BC的周长为6+6+7 (1,2,3)U0=A,则CmQ={2,31,{31,2,0,1,2,3}1, =19,即无法得出△ABC的周长为16， 12 所以△ABC的周长为16是△ABC其中一条边长为6的充： .-2x十a≤2， 分不必要条件] ∴.-x-2≤u≤-x十2在1≤x≤2上恒成立， 4.B[因为A={0.1.2,B=(2,3,4}, ∴.(-x-2)mx≤a≤(-x+2)mm,∴.-3≤a≤0， 又A◇B={cc=a十b,a∈A,h∈B}, 所以实数a的取值范围是[一3,01.] 所以A◇B=(2,3,4,5,61, 思维过程 由于集合A◇B中共有5个元素， 由题意可得，当1≤x≤2时，关于x的不等式|x十a 则集合A◇B的真子集个数为2一1=31（个）.] +12x-1≤2x+1|位成立，即x+a+2x-1≤2x+1 思维过程 恒成立，即一x一2≤a≤一x十2恒成立，由此可得实数a的 由已知中集合A,B之间的运算“◇”的定义，可计算出 取值范围 集合A◇B的元素个数，可根据含有n个元素集合的真子 9.BD[A(×),比较接近设有一个标准，故不符合集合确定性 集有(2一1)个，得到答案。 的性质： 5.D[A(×),当】<1时，x<0或x>1,故x>1能推出 B(√)，因为x=x,一x=一x,所以当x=0时，这 几个数均为0，当x>0时，它们分别是r,一x,x,x,一x,当 上<1，但上<1不能推出x>1,所以“x>1“是1<1“的 x<0时，它们分别是x,一x,一x,一x,一x,均最多表示两 充分不必要条件： 个不同的数，故所组成的集合中的元素最多为2个： B(X),由存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题“若 C(×),集合A中包含(0,0)，而集合B中不含(0,0)： 3x≥1，使得x<2”的否定是“Hx≥1，x≥2”： D√)，对于集合Mx=专+上-2坠k∈乙对于集合 2十4 4 C(×),由x+|y>0得x≠0或y≠0，故x+|y|>0 推不出x>0,但是当x>0时，x+ly≥x+0=x>0 N-冬十号生学，4€五因为必+1是奇数+2是整 一定成立，即x>0能推出x十y>0,所以“x十y> 数集，则MN,门 0”是“x>0”的必要不充分条件： 10.ACD[如图1所示. D(/),已知a,b∈R,当a=b=0时，满足4一3b=0,但是不 选项A中，若AUB=A,则B二A:反过来，若B二A,则A 满足号=3，反之，当号=3时.则4=3动，即a一3动=0，所以 UB=A.故互为充要条件 选项C中，若CA二CB,则B二A:反过来，若B二A,则 “口一3动=0是“号=3”的必要不充分条件.] CA二CB.故互为充要条件 6.D[对于方程x-2|十x+2=4,当x≥2时，x一2+x十 故选D中，若AU(CB)=U,则CA三CB,故B二A:反过 2=4,解得x=2,当-2x<2时，2一x十x十2=4，即4= 来，若B二A,则CA二CB,故AU(CB)=U,故互为充要 4,恒成立，当x≤一2时，2-x-(x十2)=4，解得x=-2, 条件 .U={x∈Z一2≤x2}.由题意得A={0,1},B={x 选项B中，如图2所示， x=一a,a∈A}=(0,一1.图中阴影部分表示在集合B中， U 不在集合A中的元素构成的集合，为（一1.] 7.C[A(√)，2023=5×404+3，故2023∈[3]： B(√)，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故Z= 图1 图2 [0U[1]U[2]U[3]U[4]: 若A∩B=A,则A二B,推不出B二A.] C(×),-2=5×(-1)+3,故-2∈[3]： D(√)，由题意可知a一b能被5整除，故a,b分别被5除的 11.ABD[A(√)，因为A①B=B,所以B={xx∈AUB,x EA∩B},所以A二B,且B中的元素不能出现在A∩B 余数相同，故整数a,b属于同一类.] 中，因此A=必： 8.B[由集合A是关于x的不等式|x十a十2x一1|≤2.x B(/),因为A①B=,所以d={xx∈AUB,x任A∩ +1的解集，且(x1≤x2)二A. B},即AUB与A∩B是相同的，所以A=B: 则当1≤r≤2时，不等式x十a十l2x-1≤2x十1恒成立， ✉减通，点：把第合关系转化为渔成立 C(×),因为A①B二A,所以{xx∈AUB,x任A∩B}日 即|x+a+2x-1≤2x+1在1≤x≤2上恒成立， A,所以B二A: .x+a十2x-1≤2.x十1，即x+a2, D(J),A=B时，A⊕B=⑦，CgA④CgB=0=A④B.] 13 12.{a0≤a<4h.[因为命题“3x∈R,a.x2-ax十1≤0"是 思维过程 假命题，所以其否定“Vx∈R,ax2一ax十1>0”是真命题， 由题可知，命题“Vm∈R,A∩B=O”为真命题，进而 即ax2-ax+1>0在R上恒成立，当a=0时，不等式化 分A=②和A≠两种情况讨论求解即可 为1>0恒成立，当a≠0时，若ax2一a.x十1>0在R上恒 15.(1)因为A={x0≤x≤21，所以CRA={xx<0或x>21. a>0, 又B={.rlar≤3-2a}且(CRA)UB=R. 成立，则 解得0<a<4,综上所述，实 4=(-a)-4a<0, 3-2aa, 数a的取值范围为{a0≤a<4.门 所以a≤0， 解得a≤0. 13.44.[把54个学生看成集合U,选择物理的人组成集合 3-2a≥2. A,选择化学的人组成集合B,选择生物的人组成集合C. 所以实数a的取值范围是（一oo,0们. 如图1所示. (2)若A∩B=B(补来思总)，则B二A。 由题意知card(U)=54.card(A)=32,card(B)=24. 当B=0时，3-2a<a,解得a>1: 当B≠心时，3-2a≥a.即a≤1， card(C)=22. 且card(A∩B)=18,card(B∩C)=10,card(C∩A)=16, a≥0， 要使B二A,则 3-2a≤2. 则card(A∩BnC)≤10，由card(AUBUC)=card(A)+ 1 card(B)++card(C)-card(AnB)-card(BC)-card(C 综上可知，当A∩B=B时u≥2： nA)+card(A∩B∩C)可得， 所以AnB≠B时，实数a的取值范围是{aa<}。 card(AUBUC)=32+24+22-18-10-16+card(AnB ∩C)≤34+10=44. 16.必要性：设方程x2+2ax十b2=0与x2+2x-=0有公 当且仅当ad(A∩BnC)=10时，即cmrd(AUBUC)=44 共根xo,则x6+2a.x0十b2=0,x8十2cx0-b2=0. 验证：此时各区域人数如图2所示，满足题中所有条件. 两式相减，得c一a)x。=b2, C U 由>0，可得c一Q≠0.故= c-a 将此式代入+2a,+6-0得（停与）'+2a() 10 b2=0, 图1 图2 可得b2+c2=a2.故∠A=90° 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有44人，] 充分性：∠A=90°，.=a2-c”. ① 思维过程 将①代人方程x2+2a.x十b“=0, 根据题意，将51个学生看成集合U,选择物理的人组 可得x2+2ax+a°-c2=0.即(x+a-c)(x十a十c)=0, 成集合A,选择化学的人组成集合B,选择生物的人组成集 方程两根为r=c一a或x=一a一c, 合C,结合Venn图与客斥原理可知，当cmrd(A∩B∩C)取 将①代人方程x2+2cx-b=0,可得x2+2cx+e2-a2=0, 最大值时card(AUBUC)最大，验证即可得. 即(x十c一a)(x十c十a)=0,方程两根为x=a一c或x 14.{ala<3.[因为命题“3m∈R,A∩B≠"为假命题. 所以，命题“Vm∈R,A∩B=”为真命题：因为集合A= 故两方程有公共根x=一(a十c). {x0≤x≤a},集合B={xm+3≤r≤m2十4}， ∴.方程x2十2ax十b=0与x+2cx-b=0有公共根的 四为m+>m2+3,所4B+ 充要条件是∠A=90 所以，当A={xl0≤x≤a}=☑时，即a<0时，A∩B=☑ 17.(1)由x2-4r-12≤0得-2x6. 成立， 故集合A={.x-2≤x≤6)， 当A=(xl0≤x≤a}≠时， 由x2-2x十1-m2=0得x1=1一m,x4=1十m, a20, 因为m>0,故集合B={x1一m≤x≤1十m. 由“Vm∈R,A∩B=☑”得 解得0≤a<3, a<m2+3. (2)若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条 综上所述，实数a的取值范围为{aa<3.] 件，集合A是集合B的真子集， 14 (1-m≤-2， 若A为U的R(7)子集，1∈A,2∈CA,7∈A: 则有1十m≥6，其中等号不同时取到，解得m≥5， 若3∈A,取a=3,b=1,a+b=4∈U,则4任A,4∈CA, m>0. 再取a=3,b=4,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛盾， 所以，实数存在且实数m的取值范围是{m≥5}. 则3∈A,3∈CA: 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件， 若4∈A,取a=4,b=3,a十b=7∈U,则7∈A,与7∈A矛 集合B是集合A的真子集， 盾，则4EA,4∈CA: f1-m≥-2， 若5∈A,取a=5,b=2,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛 则有1十m≤6，其中等号不同时取到，解得0<m≤3， 盾，则5任A,5∈CA: m>0, 若6∈A,取a=6,b=1,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛 盾，则6庄A,6∈CA: 所以实数m存在且实数m的取值范用是(m0<m3}. 取a=7,b=1,2,3,4,5,6,a+b=8,9,10,11,12,13∈U,则 18.(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x≤4.一p:31≤x≤ 8,9,10,11,12,13gA,8.9,10,11,12,13∈C4: 2,x-a<0,为真命题，即a>(x')m: 取a=7,b=2,ab=14∈U,则14∈A: 又1≤r≤2..(x)m=1.a>1. 取a=14,b=1,2,3,4.5,6,a+b=15,16,17,18,19,20∈ ∴.实数a的取值范围是{aa>1). U,则15,16,17,18,19,20年A,15,16,17,18,19,20∈C4: (2)由(1)知命题p为其命题时a≤1. 取a=7,b=3,ab=21∈U,则21∈A: 力为真所对应的ù的范的等价千一P为恨片时在的a的范圆 取a=21,b=1,2,a+b=22,23∈U,则22,23任A.22.23∈ 命题g为真命题时，△=4a2-4(2a十a2)≥0，解得a≤0， CA. ∴二q为真命题时，a>0, 综上所述，集合A={7,14,21}, 不用写出一日命班，而走果力为真时a范围在R上的补事印可 恩维过程 a≤1， (1)取a=1,b=2,由ab=2任A不满足性质②可得A 解得0<a≤1. a>0, 不是U的R(3)子集： 即实数a的取值范围为{a0<a≤1. (2)通过反证法，分别假设1∈A,2∈A的情况，由不满 思维过程 足R(7)子集的性质，可证明出2任A: (1)写出命题力的否定，由它为真命题求解： (3)由(2)得，1∈CA,2∈CrA,7∈A,再分别假设3 (2)由(1)易得命题p为真时4的范国，再由g为真命 A,4∈A,5∈A,6∈A四种情况，由不满足R(7)子集的性 质，可得出3,4,5,6正A,再根据性质②和性质③，依次验证 题时a的范国得出非g为真时a的范国，两者求交集可得， 823中的每个数值是否满足条件即可. 19.(1)当n=6时，U=1.2,3,4.5,6},A={1,3,6),CA= {2,4,5},取a=1,b=2,则ab=2∈U,但ab=2任A,不满 第二章一元二次函数、方程和不等式 足性质②， 2.1等式性质与不等式性质 所以A={1,3,6}不是U的R(3)子集 (2)当n≥7时.A为U的R(7)子集，则7∈A: 变武细练 假设1∈A,设x∈CA,即xA: [变式1门：(+I+√a+2)”-(√a+I++2)°= 取a=1,b=x,则ab=xEU,但ab=xEA,不满足性质②， a+b+3+2√a+2)(h+1D-(a十b+3+2a+1)b+2)= 所以1任A,1∈CA: 原式若直接作差，刚下一步变衫不好特作，现客发现年项和有根与， 假设2∈A, 放专盘先移项，再平方作差，减少根号个数 取a=2,b=1,a+b=3∈0，且a+b=34A,则3∈CA, 2(√ab+a+2hb+2-√ah+2a+b+2), 再取a=2,b=3,ab=6∈U,则ab=6∈A, 又(a+2b)-(2a+b)=b一c<0, 再取a=6,b=1,a+b=7∈U,且a+b=7EA, ∴.w/ab+a+2h+2<√ab+2a+b+2. 但与性质①7∈A矛盾， ∴.(6+I+a+2)<(√a+I+√6+2)， 所以2廷A. 又√b+1+a+2>0.a+1+b+2>0. (3)由(2)得，当n≥7时，若A为U的R(7)子集，1∈CA, 2∈CA,7∈A, ∴.√+T+a+2<wa+I+0+2, 所以当=23时，U=(1,2,…,23}, 即a+I-√a+2>√+I-√+2. 15